Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 1. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 1 Marcin Szczuka Instytut Matematyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 28

Plan wykładu 1 Język logiki modalnej 2 Semantyka stukturalna, modalna konsekwencja Modele Kripkego Semantyka modalna 3 Przykład 4 Trzy relacje spełnialności Własności relacji spełnialności Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 2 / 28

Modalność (Modality) (za Wikipedią) In linguistics, modals are expressions broadly associated with notions of possibility and necessity. Modals have a wide variety of interpretations which depend not only upon the particular modal used, but also upon where the modal occurs in a sentence, the meaning of the sentence independent of the modal, the conversational context, and a variety of other factors. For example, the interpretation of an English sentence containing the modal must can be that of a statement of inference or knowledge (roughly, epistemic) or a statement of how something ought to be (roughly, deontic). The following pair of examples illustrate the interpretative difference: 1 John didn t show up for work. He must be sick. 2 John didn t show up for work. He must be fired. Modal logic is a type of formal logic that extends the standards of formal logic to include the elements of modality (for example, possibility and necessity). Traditionally, there are three modes or moods or modalities represented by modal logic, namely, possibility, probability, and necessity. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 3 / 28

Logiki modalne (za Wikipedią) Logika modalna, obok klasycznych spójników logicznych, posiada funktory modalne. Funktor modalny jest to funkcja, która przypisuje wartości logiczne termom, które same mogą zawierać funktory modalne. Cechą charakterystyczną funktorów modalnych jest fakt, że nie są ekstensjonalne, czyli funktor może przyporządkowywać inną wartość dwóm równoważnym zdaniom. Najczęściej spotykane, klasyczne operatory modalne to konieczność i możliwość. Logika modalna uprawiana była już przez Arystotelesa jako sylogistyka zdań modalnych. Ten bardzo rozwinięty w logice średniowiecznej system był bardzo zbliżony do sylogistyki zdań asertorycznych, z tą różnicą, że przynajmniej jedna przesłanka każdego sylogizmu musiała być zdaniem modalnym, tj. problematycznym (zawierającym funktor możliwości) lub apodyktycznym (zawierającym funktor konieczności). Niekiedy termin logika modalna rozumie się szerzej, włączając w jego obręb takie podejścia jak: logiki epistemiczne, logiki temporalne, logiki deontyczne i logiki programów. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 4 / 28

Język logiki modalnej Język (zdaniowej) logiki modalnej jest rozszerzeniem języka rachunku zdań. Dodajemy zestaw unarnych operatorów modalnych. Początkowo w logikach modalnych rozpatrywano tylko jeden taki operator, (i dualny do niego ). Wygodniej jest od razu wprowadzać rodzinę operatorów i etykietowanych elementami zbioru I (i I), nazywanego sygnaturą. Język logiki modalnej nad sygnaturą I tworzą: Zbiór zmiennych zdaniowych V AR = {p, q, r,...} Spójniki rachunku zdań: Rodzina spójników modalnych,,,,, { i : i I} wraz z nawiasami ( i ) do określenia kolejności obliczeń. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 5 / 28

Formuły modalne Formuły w języku modalnym nad sygnaturą I są definiowane rekurencyjnie następująco: [Formuły atomowe:] Zmienne zdaniowe ze zbioru V AR = {p, q, r,...} oraz, są formułami. [Formuły zdaniowe:] Jeśli φ i ψ są formułami, to φ, (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ) są formułami. [Formuły modalne:] Jeśli φ jest formułą, to i φ dla każdej etykiety i I też jest formułą. Zbiór wszystkich formuł (w tym modalnych) ponownie oznaczamy przez F ORM. Przykładem formuły modalnej jest 1 ((p q) 2 p) p Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 6 / 28

Systemy modalne Pierwsze badania nad logiką modalną dotyczą języka z jednym spójnikiem. Wówczas formuła φ może być różnie interpretowana np.: Koniecznie, że φ zachodzi Wiadomo, że φ... Operator modalny może być traktowany jako kwantyfikator ogólny. Możemy wprowadzić dodatkowy operator analogiczny do kwantyfikatora szczególnego i przez: i φ = def i φ który może być czytany: możliwe, że φ zachodzi. Przykładem binarnej logiki modalnej jest logika temporalna, która ma dwa operatory modalne: oraz. Mogą być one interpretowane jako operatory temporalne, tzn. formuła φ jest czytana jako φ zajdzie w przyszłości a formuła φ jest czytana jako φ zaszło w przeszłości. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 7 / 28

Wyróżnione formuły modalne Pewne rodziny formuł mają szczególne znaczenie w logice modalnej. Przyjmujemy te oznaczenia z pewnych historycznych powodów. Są to: D(φ) : φ φ T(φ) : φ φ B(φ) : φ φ 4(φ) : φ φ 5(φ) : φ φ P(φ) : φ φ Q(φ) : φ φ R(φ) : φ φ G(φ) : φ φ L(φ) : T(φ) φ M(φ) : φ φ Ponadto wyróżniamy regułę rozdzielności konieczności względem implikacji K(φ, θ) : (φ θ) ( φ θ) Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 8 / 28

Struktury relacyjne, stany, przejścia W logice zdaniowej do zbudowania semantyki wystarczał zbiór dwuelementowy B = {0, 1}. Przypadek modalny jest bardziej zagmatwany, gdyż musimy odzwierciedlić modalność, czyli określać znaczenie formuł tak, by odpowiadało to wykorzystaniu operatorów modalnych. Dopiero w latach 1960. Saul Kripke spopularyzował wykorzystanie skierowanych struktur relacyjnych (grafów skierowanych) jako modelu dla systemów logiki modalnej. Podejście Kripkego pozwoliło na znacznie efektywniejsze i bardziej przejrzyste interpretowanie logiki modalnej. Do tego stopnia, że przekształcił logiki modalne w dziedzinę zajmująca się badaniem i opisywaniem struktur za pomocą języka formuł (modalnych). Definicja model Kripkego Modelem Kripkego nazywamy parę K = Γ, val, gdzie Γ = (W, E) jest skierowanym grafem określającym relację przejścia między stanami (lub światami) ze zbioru W, a val : W V AR {0, 1} jest wartościowaniem. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 11 / 28

Semantyka strukturalna Semantyka formuły φ w modelu K i w stanie q W jest definiowana przez relację (K, val, s) = φ pomiędzy: modelem A wartościowaniem val stanem s (element struktury K) formułą modalną φ. Jeśli model K jest ustalony, to będziemy pisali s = φ dla uproszczenia. Semantyka, podobnie jak w przypadku zdaniowym, będzie określana jako funkcja przypisująca formule jej wartość logiczną. Tym razem jednak, funckcja ta będzie będzie zależała także od stanu (wierzchołka, miejsca, swiata) w strukturze relacyjnej (grafie). W dalszej części będzie nam potrzebne pojęcie osiągalności. Stan (wierzchołek) q W jest osiągalny ze stanu s W jeśli sq E. Przez R(s) oznaczymy zbiór wszystkich stanów w W osiągalnych ze stanu (wierzchołka) s. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 13 / 28

Semantyka strukturalna definicja Dla każdego stanu s W, definiujemy przez indukcję względem konstrukcji formuły φ funkcję [.] s : F ORM {0, 1} taką, że: (Const) [ ] s = 1; [ ] s = 0 (Var) dla zmiennych p V AR [p] s = val(s, p) ( ) dla dowolnej formuły φ F ORM [ φ] s = 1 [φ] s ( ) dla dowolnych formuł φ, ψ F ORM [φ ψ ] s = [φ] s [ψ ] s gdzie jest dowolnym operatorem logicznym (,,,...) ( ) dla dowolnej formuły φ F ORM [ φ] s = [φ] s s R(s) gdzie R(s) jest zbiorem stanów osiągalnych ze stanu s. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 14 / 28

Modalna konsekwencja logiczna (semantyczna) Modalna relacja konsekwencji logicznej Relacja s = φ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy [φ] s = 1. Formalnie, relacja K, val, s = φ jest odczytywana jako s wymusza φ. Możemy również rozumieć to jako: φ jest spełniona w modelu (K, val, s); φ jest prawdziwa w stanie s; Łatwo można się przekonać, że zachodzi następujące twierdzenie: Jeśli formuła φ jest tautologią rachunku zdań, to φ jest spełniona we wszystkich stanach modelu Kripke go. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 15 / 28

Przykład - semantyka formuły modalnej Załóżmy, że V AR = {p}. Rozpatrzmy prosty model Kripke go o (4) stanach {a, b, c, d} i osiągalności zadanej przez graf poniżej: a b d c Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 17 / 28

Przykład wartościowanie Rozpatrzmy następujące wartościowanie: val(a, p) = val(c, p) = 1; val(b, p) = val(d, p) = 0; Bezpośrednio z tego wartościowania mamy: a = p b = p c = p d = p Dalej, z grafu mamy: R(a) = {b}, R(b) = {c}, R(c) = {a}, R(d) = {a, c} Stąd prawdziwość semantyczna zachodzi dla następujących formuł: a = p b = p d = p Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 18 / 28

Przykład c.d. Możemy teraz przerysować przykładowy graf razem z formułami prawdziwymi semantycznie w odpowiednich wierzchołkach: p, p a b p, p p, p d c p, p Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 19 / 28

Przykład - formuły z podwójną modalnością Rozpatrzmy formuły o dwóch operatorach modalnych. Zauważmy, że: a = p b = p c = p Ponadto stan d jest bardzo interesujący, gdyż startując z niego można dojść do wszystkich innych stanów następująco: d a b c a... c a b c... Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 20 / 28

Przykład c.d. Dla stanu d mamy: d = p d = 2 p d = 3 p d = 4 p itd... Dla stanu a mamy zaś tylko jedną ścieżkę o długości 3: a b c a Zatem dla każdej formuły φ: a = 3 φ a = φ czyli a = ( 3 φ φ) Z tego samego powodu, formuła ( 3 φ φ) jest pradziwa w stanach b i c. Stąd możemy pokazać, że d = ( 4 φ φ) Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 21 / 28

Operator modalny Stwierdzenie semantyka Niech (K, val) będzie modelem Kripke go. Wówczas a = φ ( x R(a))[x = φ] Dowód: a = φ a = φ [a = φ] ( x R(a))[x = φ] ( x R(a)) [x = φ] ( x R(a))[x = φ] Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 22 / 28

Trzy relacje spełnialności W odróżnieniu od przypadku zdaniowego, w systemach modalnych wprowadzimy nie jedną, a aż trzy różne relacje spełnialności: Są one zdefiniowane następująco: = p = v = u Relacja punktowa = p jest po prostu relacją = z poprzedniej sekcji. Relacja = p oznacza model punktowy (stanowy) z wartościowaniem. Relacja = v jest stosowana dla modeli z wartościowaniem. Jest ona definiowana z relacji punktowej poprzez uogólnienia stanów, czyli K, val = v φ ( s W ) {K, val, s = φ} Relację = u nazywamy spełnialnością strukturalną, gdyż jest ona definiowana z relacji = v następująco K = u φ ( val) {K, val = v φ} Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 24 / 28

Przykład trzy relacje Wróćmy do modelu Kripkego wykorzystanego we wcześniejszym przykładzie. Zachodzi dla niego: K, val = v P 3 P ale (np. dla wartościowania val(p, {a, b, c, d} = {0, 0, 0, 1})) mamy nieprawda, że K = u P 3 P Za to relacja spełnialności strukturalnej zachodzi dla K = u 4 P P Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 25 / 28

Własności spełnialności strukturalnej Jeżeli dana struktura relacyjna (graf) K = (W, E) jest odpowiednio: 1 zwrotna (reflexive) 2 przechodnia (transitive) 3 dyskretna (pathetic) 4 gęsta (dense) to, w każdej sytuacji następujące formuły 1 φ φ 2 φ 2 φ 3 φ φ 4 2 φ φ są odpowiednio spełnialne w K (w relacji = u ) Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 27 / 28

Rodzaje relacji Relacja gęsta Relacja binarna R jest gęsta jeśli dla każdej pary (x, y) R- istnieje z takie, że (x, z) R i (z, y) R. Formalnie: x y xry ( z xrz zry). Przykładowo, ostry porządek częściowy jest porządkiem gęstym wtedy i tylko wtedy gdy jest relacją gęstą. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 28 / 28