Logika Temporalna i Automaty Czasowe

Transkrypt

1 Modelowanie i Analiza Systemów Informatycznych Logika Temporalna i Automaty Czasowe (3) Logika CTL Paweł Głuchowski, Politechnika Wrocławska wersja 2.2

2 Treść wykładu Charakterystyka logiki CTL Czas w Computation Tree Logic (CTL) Do czego można zastosować CTL? 2

3 Treść wykładu Składnia i semantyka Struktura czasowa (struktura Kripkego) Operatory ścieżkowe Porównanie formuł z różnymi operatorami ścieżkowymi 3

4 Treść wykładu Przykładowe prawa Komplementarność operatorów ścieżkowych i dualność operatorów temporalnych 4

5 Treść wykładu Przykładowe formuły Przykłady Ćwiczenia 5

6 Charakterystyka logiki CTL Czas w Computation Tree Logic (CTL) Do czego można zastosować CTL? 6

7 Charakterystyka logiki CTL Computation Tree Logic (CTL) to rozszerzenie LTL o warianty przepływu czasu. Czas w CTL Czas jest: punktowy, rozgałęziony (lewostronnie liniowy), lewostronnie skończony (nieograniczony od teraźniejszego momentu do przyszłości). 7

8 Charakterystyka logiki CTL Do czego można zastosować CTL? do opisu i analizy deterministycznych i niedeterministycznych: algorytmów, właściwości algorytmów; gdzie mogą być różne warianty przepływu czasu. 8

9 Składnia i semantyka Struktura czasowa (struktura Kripkego) Operatory ścieżkowe Porównanie formuł z różnymi operatorami ścieżkowymi 9

10 Składnia i semantyka Struktura czasowa (struktura Kripkego) M = (S,R,L) S zbiór stanów (stany reprezentują momenty): s 0,s 1,s 2, S R binarna relacja między stanami: każdy stan ma przynajmniej jeden następny stan: ( x S)( y S)((x,y) R) L etykietowanie każdego stanu zbiorem wyrażeń atomowych WA które są prawdziwe w tym stanie: L:SxWA {prawda, fałsz} Struktura M jest drzewem, które składa się ze ścieżek. Ścieżka to sekwencja stanów (x = s 0, s 1, s 2,...): ( i)((s i,s i+1 ) R) 10

11 Składnia i semantyka Struktura czasowa (struktura Kripkego) Niech WA będzie zbiorem wyrażeń atomowych; niech i {0,1,...}. Formułę generuje się wg reguł S1, S2 i S3: S1: każde wyrażenie p WA jest formułą: s i p jeśli L(s i,p) = prawda S2: jeśli p i q są formułami, to p q i p też są formułami: s i p q jeśli s i p i s i q s i p jeśli nie s i p Reguła S3 jest inna, niż reguła S3 z LTL! 11

12 Składnia i semantyka Struktura czasowa (struktura Kripkego) S3: jeśli p i q są formułami, to A(pUq), E(pUq), AXp i EXp też są formułami: s i A(pUq) jeśli dla każdej ścieżki s i,s i+1, ( k i) ((s k q) ( j, i j < k) (s j p)) s i E(pUq) jeśli dla pewnej ścieżki s i,s i+1, ( k i) ((s k q) ( j, i j < k) (s j p)) s i AXp jeśli dla każdej ścieżki s i,s i+1, s i+1 p s i EXp jeśli dla pewnej ścieżki s i,s i+1, s i+1 p 12

13 Składnia i semantyka Operatory ścieżkowe Każdy operator temporalny (U,X,F,G) przypisany jest do jednego ścieżkowego operatora A lub E, np. AX, E(pUq), AGAF (AGF jest niepoprawne z powodu braku ścieżkowego operatora przy F). Operatory ścieżkowe pozwalają na użycie operatorów temporalnych dla: A każdej możliwej ścieżki (przyszłego upływu czasu), E pewnej możliwej ścieżki (przyszłego upływu czasu). Kolejność priorytetów operatorów i spójników logicznych jest taka sama jak dla logiki LTL, z tym że każdy operator temporalny stanowi nierozłączną parę z jednym operatorem ścieżkowym. 13

14 Składnia i semantyka Porównanie formuł z różnymi operatorami ścieżkowymi AGp p jest prawdziwe w każdym stanie (momencie) każdej możliwej ścieżki (przyszłości): AGp A(p U fałsz) EGp p jest prawdziwe w każdym stanie (momencie) pewnej możliwej ścieżki (przyszłości): EGp E(p U fałsz) s 0 s 0 niebieski punkt: s i p czarny punkt: s i prawda 14

15 Składnia i semantyka Porównanie formuł z różnymi operatorami ścieżkowymi AFp p jest prawdziwe w pewnym stanie (momencie) każdej możliwej ścieżki (przyszłości): AFp A(prawda U p) EFp p jest prawdziwe w pewnym stanie (momencie) pewnej możliwej ścieżki (przyszłości): EFp E(prawda U p) s 0 s 0 niebieski punkt: s i p czarny punkt: s i prawda 15

16 Składnia i semantyka Porównanie formuł z różnymi operatorami ścieżkowymi A(pUq) w każdej możliwej ścieżce: q jest prawdziwe w pewnym stanie i p jest prawdziwe we wszystkich wcześniejszych stanach. E(pUq) w pewnej możliwej ścieżce: q jest prawdziwe w pewnym stanie i p jest prawdziwe we wszystkich wcześniejszych stanach. s 0 s 0 niebieski punkt: s i p pomarańczowy punkt: s i q czarny punkt: s i prawda 16

17 Przykładowe prawa Komplementarność operatorów ścieżkowych i dualność operatorów temporalnych 17

18 Przykładowe prawa Komplementarność operatorów ścieżkowych i dualność operatorów temporalnych AGp EF p EGp AF p AFp EG p EFp AG p AX p EXp EX p AXp 18

19 Przykładowe formuły Przykłady Ćwiczenia 19

20 Przykładowe formuły Przykłady s0 EFAGp od pewnego momentu pewnej przyszłości: w każdym momencie każdej możliwej dalszej przyszłości p jest prawdziwe. s0 p (p AFq) p jest teraz prawdziwe i, jeśli p jest teraz prawdziwe, to q będzie prawdziwe w pewnym momencie każdej możliwej dalszej przyszłości. niebieski punkt: s i p, pomarańczowy punkt: s i q, czarny punkt: s i prawda 20

21 Przykładowe formuły Ćwiczenie 1. Które formuły są równoważne formule p EXE(pUq)? p A(pUq) p E(pUq) p EFq E(pUq) 21

22 Przykładowe formuły Ćwiczenie 1. Które formuły są równoważne formule p EXE(pUq)? p A(pUq) nie jest p E(pUq) p EFq E(pUq) 22

23 Przykładowe formuły Ćwiczenie 1. Które formuły są równoważne formule p EXE(pUq)? p A(pUq) nie jest p E(pUq) nie jest p EFq E(pUq) 23

24 Przykładowe formuły Ćwiczenie 1. Które formuły są równoważne formule p EXE(pUq)? p A(pUq) nie jest p E(pUq) nie jest p EFq E(pUq) (p EFq) E(pUq) p EFq E(pUq) 24

25 Przykładowe formuły Ćwiczenie 1. Które formuły są równoważne formule p EXE(pUq)? p A(pUq) nie jest p E(pUq) nie jest p EFq E(pUq) (p EFq) E(pUq) p EFq E(pUq) nie jest 25

26 Przykładowe formuły Ćwiczenie 2. Które formuły wynikają z formuły AFAGp? AGAFp AGEFp EGEFp 26

27 Przykładowe formuły Ćwiczenie 2. Które formuły wynikają z formuły AFAGp? AGAFp wynika AGEFp EGEFp 27

28 Przykładowe formuły Ćwiczenie 2. Które formuły wynikają z formuły AFAGp? AGAFp wynika AGEFp wynika EGEFp 28

29 Przykładowe formuły Ćwiczenie 2. Które formuły wynikają z formuły AFAGp? AGAFp wynika AGEFp wynika EGEFp wynika 29

30 Przykładowe formuły Ćwiczenie 3. Zapisz następującą własność jako formułę CTL: p jest prawdziwe teraz i w każdym momencie pewnego wariantu przyszłości, i p jest prawdziwe teraz i tylko w każdym nieparzystym momencie innego wariantu przyszłości: 30

31 Przykładowe formuły Ćwiczenie 3. Zapisz następującą własność jako formułę CTL: p jest prawdziwe teraz i w każdym momencie pewnego wariantu przyszłości, i p jest prawdziwe teraz i tylko w każdym nieparzystym momencie innego wariantu przyszłości: p EXEGp EX( p EG( p EX(p EG(p EX p)))) 31

32 Przykładowe formuły Ćwiczenie 4. Zapisz następującą własność jako formułę CTL: Jeśli p jest prawdziwe, to: q jest prawdziwe w pewnych trzech momentach każdego wariantu dalszej przyszłości; albo q jest fałszywe w każdym momencie pewnego wariantu dalszej przyszłości z wyjątkiem momentu, w którym p jest prawdziwe: 32

33 Przykładowe formuły Ćwiczenie 4. Zapisz następującą własność jako formułę CTL: Jeśli p jest prawdziwe, to: q jest prawdziwe w pewnych trzech momentach każdego wariantu dalszej przyszłości; albo q jest fałszywe w każdym momencie pewnego wariantu dalszej przyszłości z wyjątkiem momentu, w którym p jest prawdziwe: p AF(q AXAF(q AXAFq)) (q EXEG q) 33

34 Koniec Literatura: E.A. Emerson Temporal and modal logic, 1995 R. Klimek Zastosowanie logiki temporalnej w specyfikacji i weryfikacji oprogramowania w stronę czasu rzeczywistego, w: Wykłady zaproszone. Systemy Czasu Rzeczywistego 2000, 2001