Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go

Transkrypt

1 Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go Definicja 1 Strukturą częściowo uporządkowaną (ang. partially ordered set, w skrócie poset) nazywamy układ (W, ), gdzie W to dowolny zbiór niepusty, zaś jest relacją częściowego porządku, czyli relacją zwrotną, tj. x(x ), przechodnią, tj. x y z ( (x y y z) x z ), słabo-antysymetryczą, tj. x y ( (x y y ) x = y ). Jeśli w zbiorze W jest taki element z, że dla dowolnego x W zachodzi z, to ten element nazywamy elementem najmniejszym. Łatwo zauważyć, że jeśli istnieje element najmniejszy, to jest on jedyny. Element najmniejszy będziemy oznaczali symbolem 0. Ponadto piszemy (W,, 0) dla podkreślenia, że w strukturze W jest element najmniejszy. Definicja 2 Z każdą relacją częściowego porządku wiążemy dwie następujące relacje: x < y (x y x y), x y (x < y z(x < z z < y)). Definicja 3 Dla dowolnej struktury częściowo uporządkowanej można sporządzić sugestywny rysunek obrazujący relację, zwany diagramem Hassego. Zasada jest następująca: jeśli x y to rysujemy dwie kropki, jedna niżej niż druga, tę niższą podpisujemy x, tę wyższą y oraz kropki łączymy kreską. Długość kreski oraz jej kąt są nieistotne. Poniżej przedstawiono trzy możliwości zobrazowania x y: Z diagramu Hassego łatwo odczytywać jakie punkty są ze sobą w relacji, a jakie nie są: jeśli z punktu x da się dojść do punktu y (po diagramie chodzimy"wyłącznie z dołu do góry) to oznacza to, że x y. Przykładowo na rysunku poniżej 0 2 (bo 0 1 2) ale 2 0. Ponadto 1 5 i też

2 Przykład 1 Poniżej przedstawiono diagram Hassego struktury z Zadania 1(e) Zadanie 1 Każdą strukturę (W, ) można jednoznacznie opisać podając czym jest W oraz czym jest relacja bezpośredniego następstwa. Narysuj diagram następujących struktur: (a) W = {0, 1}, 0 1; (b) W = {0, 1, 2}, 0 1, 1 2; (c) W = {0, 1, 2}, 0 1, 0 2; (d) W = {0, 1, 2, 3}, 0 1, 0 2, 0 3; (e) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 0 1, 0 4, 1 2, 1 3, 4 5, 4 6; (f) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, 0 1, 0 2, 1 3, 1 4, 2 4, 2 5; (g) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, 0 5, 0 4, 5 3, 5 1, 4 1, 4 2; (h) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 0 5, 0 4, 0 6, 2 3, 4 1, 5 2; (i) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 0 5, 0 3, 3 2, 3 1, 5 4, 5 6, 5 7; (j) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 0 1, 0 2, 0 3, 1 4, 1 5, 2 4, 2 6, 3 5, 3 6; (k) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 0 5, 0 4, 0 3, 0 7, 3 6, 3 8, 4 1, 4 2, 5 1, 5 6, 7 2, 7 8; (l) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 0 5, 0 4, 1 3, 1 6, 3 2, 4 1, 5 1, 6 2; (m) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 0 4, 0 9, 4 7, 4 2, 4 5, 5 8, 5 1, 9 5, 9 6, 9 3; (n) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, 0 4, 0 1, 0 8, 1 10, 1 2, 2 6, 2 11, 3 7, 3 9, 4 3, 4 10, 8 2, 8 12, 10 9, 10 6, 12 11, 12 5; (o) W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}, 0 1, 0 2, 0 3, 1 4, 1 5, 1 6, 2 5, 2 7, 3 6, 3 7, 3 8, 4 9, 4 10, 5 9, 5 11, 6 10, 6 11, 6 12, 7 11, 7 13, 8 12, 8 13, 9 14, 10 14, 11 14, 11 15, 12 15, Definicja 4 Niech (W, ) będzie strukturą częściowo uporządkowaną oraz A W. Powiemy, że A jest domknięty w górę (ang. upset), gdy dla dowolnych x, y W zachodzi: (x A x y) y A. Zadanie 2 Rozważmy strukturę z Zadania 1(n). Czy poniższy zbiór jest domknięty w górę? (a) {7, 6, 5}, (b) {8, 12, 5}, (c) {3, 7, 9, 12, 5}, (d) {7}. Zadanie 3 Rozważmy strukturę z Zadania 1(n). Wskaż najmniejszy zbiór domknięty w górę, zawierający poniższy zbiór. 2

3 (a) {7, 12}, (b) {4, 5}, (c) {7, 6, 11}, (d) {1, 3}. Definicja 5 Niech (W, ) będzie strukturą częściowo uporządkowaną, zaś e funkcją, która każdemu zdaniu atomowemu p przypisuje podzbiór zbioru W oznaczany e(p). (Dopuszcza się możliwość, że e(p) =.) Funkcję e nazwiemy wartościowaniem, gdy dla dowolnego p At zbiór e(p) jest domknięty w górę. Strukturą Kripke go nazywamy wtedy układ (W,, e). Definicja 6 Niech (W,, e) będzie strukturą Kripke go oraz α F m. Indukcyjnie zdefiniujemy frazę zdanie α jest prawdziwe w x przy wartościowaniu e (symbolicznie x e α, lub prościej x α): (a) x p x e(p), dla p At, (b) x α β x α oraz x β, (c) x α β x α lub x β, (d) x α dla dowolnego y : y α, (e) x α β dla dowolnego y : y α lub y β, (f) x α β x α β oraz x β α. Zadanie 4 Zaneguj warunki w powyższej definicji. (a) x α β... (b) x α β... (c) x α... (d) x α β... (e) x α β... Zadanie 5 Narysuj diagram struktury Kripke go z Zadania 1(k). Rozważmy następujące wartościowanie e dla formuł atomowych p, q, r: e(p) = {1, 5, 6}, e(q) = {2, 8}, e(r) = {3, 6, 8}. Wskaż te światy możliwe, w których prawdziwe są następujące formuły: (a) p, (e) p r, (i) p p, (m) p q, (b) q, (f) p p, (j) p q, (n) r (p q), (c) r, (g) (p p), (k) p q, (o) (r p) q, (d) p q, (h) p q, (l) r p, (p) (p q). Definicja 7 Niech e będzie wartościowaniem w strukturę (W, ), zaś α ustaloną formułą. Przyjmijmy oznaczenie: ē(α) = {x W : x e α}. Zadanie 6 Dla formuł p, q określ wartościowanie e działające w strukturę z Zadania 1(k), tak aby zachodził warunek: 3

4 (a) ē(p q) = {1, 2, 4, 8}, (b) ē(p q) = {2, 6}, (c) ē( p) = {1, 2, 4, 5, 6}, (d) ē(p q) = {1, 2, 4, 5, 6}, (e) ē( p q) = {1}, (f) ē( p q) = {2, 3, 8}, Zadanie 7 Sprawdzić, czy następujące formuły są tautologiami logiki intuicjonistycznej. Prawo tożsamości α α Prawa wyłączonego środka α α α α Prawo sprzeczności (α α) Prawa podwójnego przeczenia α α α α α α Prawa De Morgana (α β) ( α β) ( α β) (α β) (α β) ( α β) ( α β) (α β) Prawa negowania implikacji (α β) (α β) (α β) (α β) Prawa definiowania (α β) ( α β) (α β) (α β) (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) [(α β) β] (α β) ( α β) (α β) (α β) (α β) [(α β) (β α)] Prawa sylogizmu [(α β) (β γ)] (α γ) (α β) [(β γ) (α γ)] Prawo sylogizmu Fregego [α (β γ)] [(α β) (α γ)] Prawo poprzedzania α (β α) Prawa przepełnienia (α α) β α (α β) Prawa kontrapozycji (α β) ( β α) ( α β) (β α) Prawa transpozycji (α β) (β α) ( α β) ( β α) Prawa redukcji do absurdu ( α α) α (α α) α ( α β) [( α β) α] (α β) [(α β) α] Prawa przemienności (α β) (β α) (α β) (β α) Prawa łączności [α (β γ))] [(α β) γ] [α (β γ)] [(α β) γ] Prawa dystrybutywności [α (β γ)] [(α β) (α γ)] [α (β γ)] [(α β) (α γ)] Prawa pochłaniania [(α β) α] α [(α β) α] α Prawa falsum i verum (α ) (α ) α (α ) α (α ) (α ) α (α ) ( α) ( α) α Prawo skracania [α (α β)] (α β) Prawo komutacji [α (β γ)] [β (α γ)] Prawa importacji i eksportacji [α (β γ)] [(α β) γ] [(α β) γ] [α (β γ)] Prawa Peirce a [(α β) α)] α Prawo Łukasiewicza ( β α) [( (α β) α ) α ] Prawo Dummeta (α β) (β α) 4

5 Prawo Scotta Prawo Kreisela-Putnama Prawo Jankova [( α α) (α α)] ( α α) [ α (β γ)] [( α β) ( α γ)] α [α (β β)] Literatura [1] R. Epstein, The Semantic Foundations of Logic Volume 1: Propositional Logics, Nijhoff International Philosophy Series, Volume 35, Springer-Science+Business Media, New York 1990, Rozdział VII. [2] R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 2001, Część II. Dr Marcin Łazarz Katedra Logiki i Metodologii Nauk, Uniwersytet Wrocławski lazarzmarcin@poczta.onet.pl 5