RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 1 1.Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: a) A - wszystkie elementy są takiej samej jakości; b) B - co najmniej dwa elementy są takiej samej jakości; c) C - każdy element jest innej jakości. Czy zdarzenia A oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A oraz C są rozłączne?, czy B oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A B oraz C są równe? 2.Niech A k, k = 1, 2,..., n oznacza zdarzenie: k-ty podzespół w urządzeniu zbudowanym z n podzespołów jest sprawny. Zapisać zdarzenia: a) podzespół pierwszy i drugi są sprawne, pozostałe są zepsute; b) co najmniej jeden z podzespołów A 1 lub A 2 jest zepsuty, pozostałe sprawne c) tylko jeden z A 1 oraz A 2 jest zepsuty, pozostałe są sprawne. d) dokładnie 2 podzespoły są sprawne. 3.Niech A, B, C oznaczają dowolne zdarzenia w Ω. Wykazać,że: a) P (A B C) = = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C); b) jeśli A B to P (A ) P (B ); c) dla C = A B A B (C oznacza: zaszło tylko jedno ze zdarzeń A,B) zachodzi P (C) = P (A) + P (B) 2P (A B). 4.Rzucamy kostką sześcienną dopóki pojawi się 1 lub 6. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: 1 lub 6 pojawi się po raz pierwszy na parzystym miejscu. 5.Wśród m losów; m 5 jest 5 wygrywających. Dla jakich m prawdopodobieństwo zdarzenia: zakupione 2 losy będą wygrywające jest mniejsze niż 0.5. 6.O pracę w pewnej firmie ubiega się n osób. Poproszono 3 specjalistów, aby każdy niezależnie uszeregował je według przydatności do pracy. Do pracy zostanie przyjęta osoba, którą przynajmniej 2 specjalistów umieści na pierwszym miejscu. Obliczyć prawdopodobieństwo,że jedna z n osób zostanie przyjęta. 1

Odpowiedzi. zad.1 Zdarzenia A,C są rozłączne; nie są przeciwne. Zdarzenia B,C są przeciwne; A B = C. zad.2 a) A 1 A 2 A 3... A n = A 1 A 2 ( n k=3 A k ) b)(a 1 A 2) n k=3 A k c)(a 1 A 2 A 2 A 1 ) n k=3 A k d) i<j(a i A j n k=1 A k)i, j = 1, 2,..., n; k i; k j. zad.3 Wsk. a) A B C = (A B) C zast. 2 razy wzór na sumę b)a B B A. c) Zdarzenia A B oraz A B są rozłączne i A = (A B) (A B ) to P (A B ) + P (A B) = P (A). zad.4 2 3n 2 ; zad.5 m 7; zad.6 P(A)= 5 n 2 LISTA 2 1.W produkcji firmy A jest 1% braków, zaś w produkcji firmy B jest ich 2%.Kupujemy produkt firmy A oraz B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) przynajmniej jeden jest dobry; b) obydwa są dobre; c) tylko jeden z nich jest dobry. 2.Dwie osoby umawiają się na spotkanie. Każda z nich przychodzi w losowej chwili między godziną 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? Ile czasu powinna czekać każda z osób, aby prawdopodobieństwo spotkania było większe niż 0.75? 3.Drut długości 40 cm zgięto w losowo wybranym punkcie pod kątem prostym, a następnie zgięto jeszcze w 2 punktach tak, aby powstała prostokątna ramka o obwodzie 40 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramką jest większe niż 75 cm 2? 4.Wśród wyrobów firmy A jest 0.5% wadliwych, firmy B jest 2% wadliwych zaś firma C ma 1% wadliwych. Z partii towaru zawierającej 500 elementów firmy A,300 firmy B oraz 200 firmy C losujemy jeden element.obliczyć prawdopodobieństwo, że a) jest on dobry, b) jest dobry i pochodzi z firmy B, c) wyprodukowała go firma C, jeśli wiemy,że jest dobry. 5.Dwie wyrzutnie W1 oraz W2 specjalnymi pociskami gaszą reaktor. W tym samym czasie gdy wyrzutnia W1 wyrzuca 9 pocisków to W2 wyrzuca 10. W1 trafia w cel z prawdopodobieństwem 0.8, zaś W2 z prawdopodobieństwem 0.7. Reaktor ugaszono. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zrobiła to W2? 2

6.Test na obecność pewnego wirusa w organizmie daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0.98, jeśli wirus jest w organizmie. Jeśli wirusa w organizmie nie ma to prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0.07. Zakłada się, że 1 % populacji jest zarażona wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) test dał wynik pozytywny u losowo wybranej osoby z tej populacji; b) losowo wybrana osoba jest zarażona wirusem, jeśli test dał wynik pozytywny. 7.Wiadomo,że przeciętnie 5 % badanych elementów ma wadę. Do wykrycia wady wykorzystuje się następujący test. Jeśli element ma wadę to test w 90 % wskazuje jej istnienie ( wynik testu jest pozytywny) i w 90 % nie wskazuje wady,gdy element jej nie ma. Jakie jest prawdopodobieństwo, że element ma wadę,jeśli wynik testu jest pozytywny? Jakie będzie powyższe prawdopodobieństwo, jeśli element zostanie poddany testowi dwukrotnie i w obu przypadkach wynik testu będzie pozytywny? Odpowiedzi zad.1 a) 09998; b) 0.9702; c) 0.0296 zad.2 odp. 7 16 zad.3 odp. 1 2 ( w zad.2,3 wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne) zad.4 a) 0.9895; b) 0.294; c) 0.2 zad.5 odp. 35 71 zad.6 a) 0.0791; b) 0.1239 zad.7 odp. 9 28 ; 0.81. LISTA 3 1. Podać przykład (Ω, P ), i w niej dwóch zdarzeń niezależnych. 2. Wykazać,że jeśli zdarzenia A i B są niezależne to niezależne są A i B. 3.Uzasadnić,że jeśli P (A B) = P (A B ) to zdarzenia A i B są niezależne. 4. Grupie studentów zadano pytanie: czy ściągają na egzaminach? i poproszono o odpowiedź z wykorzystaniem metody losowej. Polega ona na tym,że każdy student rzuca monetą :jeśli wypadnie orzeł i student nie ściąga to odpowiada : NIE w pozostałych przypadkach odpowiada : TAK. Przyjmując,że 40% studentów ściąga,obliczyć prawdopodobieństwo,że losowo wybrana osoba odpowie NIE.Jak oszacować procent studentów ściągających, jeśli w grupie było 20% odpowiedzi NIE. 5. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 2 karty. Jeśli wśród nich będą : 2 piki to wygrywamy 20 punktów, jeśli tylko jeden pik wygrywamy 10 pkt,jeśli żadnego przegrywamy 5 pkt (wygrywamy -5 pkt). Niech zmienna losowa X oznacza wartość wygranej.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz 3

dystrybuantę X. 6. Spośród liczb 1,2,3,...,20 losujemy 4 razy ze zwracaniem po jednej liczbie.obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wylosowanych liczb będą: a) co najmniej 2 liczby mniejsze od 16; b) 2 liczby podzielne przez 5; c) żadnej liczby większej niż 5. W każdym przypadku wykorzystać rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami. 7.Prawdopodobieństwo,że w każdej sekundzie pojawi się sygnał wynosi 3 5. Obliczyć prawdopodobieństwo,że; a) w ciągu 2 minut pojawią się 3 sygnały; b) w ciągu 2 minut pojawią się co najmniej 2 sygnały. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pojawień się sygnału w przeciągu 121s, 122s a jaka w przeciagu 124 s? 8.Partia towaru zawiera 1 % braków. Ile elementów należy sprawdzić, aby prawdopodobieństwo wykrycia co najmniej jednego braku było większe niż 0.9. 9.Spośród 3 dobrych i 2 wadliwych elementów losujemy jednocześnie 3 elementy.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę zmiennej losowej X, gdzie X jest liczbą wylosowanych elementów wadliwych. Z wykresu dystrybuanty odczytać: P (X > 1), P (1 X < 4). 10.Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się szóstka. Niech zmienna losowa X oznacza numer rzutu, w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X. Obliczyć a) P( X 10); b) P (X 10). 11.Liczba samochodów, które ulegają wypadkowi w ciągu jednego dnia w danym mieście i wymagają naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z parametrem λ = 10. Ile miejsc do naprawy należy przygotować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0.95 było wolne miejsce dla uszkodzonego samochodu. 12.Urządzenie produkuje element wadliwy z prawdopodobieństwem p=0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii 100 elementów są co najwyżej 2 wadliwe? Podaj rozwiązanie dokładne i przybliżone rozkładem Poissona. 4

Odpowiedzi zad.2 P (A)P (B ) = P (A)(1 P (B)) = P (A) P (A B) = P (A B ) bo A,B są niezależne oraz A B i A B są rozłączne i ich sumą jest A. zad.4 P( NIE )=0.3; P(ściąga)=0.6 zad.5 P (X = 5) = 57 102 39, P (X = 10) = 102 F (t) =, P (X = 20) = 6 102 0, gdy t 5,, gdy 5 < t 10,, gdy 10 < t 20 1, gdy t 20 57 102 96 102 zad.6 a) sukces -wylosowanie liczby mniejszej niż 16; X-liczba sukcesów wśród wylosowanych 4 liczb; X B(4, 3 243 ); P (X 2) = ; 4 256 b) Y B(4, 1 ), P (Y = 2) = 96/625; 5 c) Z B(4, 1 ), P (Z = 4) = 1/256 4 zad.7 X-liczba sygnałów w ciągu 2 min. X B(120, 3 ), najbardziej prawdopodobna 5 liczba sygnałów to odpowiednio: 73; 73; 74 lub 75. zad.8 n 230, zad.9 P(X=0)=0.1; P(X=1)=0.6; P(X=2)=0.3 F (t) = 0, gdy t 0, 0.1, gdy 0 < t 1, 0.7, gdy 1 < t 2 1, gdy t 2 P (X > 1) = 0.3; P (1 X < 4) = 0.9. zad.10 X-numer rzutu w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy P (X = k) = 1( 5 6 6 )k 1, F (t) = k<t 1( 5 6 6 )k 1, k = 1, 2,...; tɛr; a) 1 F (10) = ( 5 6 )9 ; b) P (X 10) = F (11) = 1 ( 5 6 )10 ; zad.11 X-liczba uszkodzonych samochodów P (X n) > 0.95, z tablic rozkładu Poissona dla λ = 10 odczytujemy : n 15. zad.12 X-liczba elementów wadliwych wśród 100 elementów; X B(100; 0.02); P (X 2) = (0.98) 100 + 2(0.98) 99 + 4950(0.02) 2 (0.98)98, z rozkładu Poissona z λ = 2 mamy P (X 2) = 0.6767. LISTA 4 1*.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w m komputerach? Wykonaj obliczenia dla λ = 8, p=0.125, m=10. 5

2.Czy można dobrać stałe a, b ; aby funkcja F(t) była dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej? a) a + 1 + e t, gdy t 1, F (t) = e 1, gdy 1 t < 1, b(3 2 ), gdy t > 1. t b) F (t) = a + barctgt. 3.Dla jakiej { wartości a funkcja a(2 x), gdy 1 < x < 2 a) f(x) = 0, gdy x 1 lub x 2 b) f(x) = ae x jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. Dla przykładu a) oraz b) znaleźć dystrybuntę zmiennej losowej X, naszkicować wykresy gęstości oraz dystrybuantę. Obliczyć P (1 < X < 5), P (X < 0 X > 1). 4.Dzienne zużycie energii (w setkach kwh) pewnej firmy jest zmienną losową X o gęstości: f(x) = { 1 (3 + 2x 9 x2 ), gdy 0 < x < 3, 0, gdy x 0 lub x 3 Jakie jest prawdopodobieństwo, że zużycie energii w ciągu dnia jest: większe niż 50 kwh; między 100 a 200 kwh. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 30 dni jest 10 dni, w których zużycie energii przekroczy 200 kwh. 5.Czas pracy diody jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z α = 10 4. Wiadomo, że dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie jest prawdopodobieństwo, że popracuje co najmniej 6000h? 6.Prawdopodobieństwo wykrycia awarii urządzenia w czasie krótszym niż t minut wynosi F (t) = 1 e 5t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wykrycie awarii potrzeba: a) więcej niż 4 min. b) więcej niż 4,ale mniej niż 6 min. c) co najwyżej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z prawdopodobieństwem większym niż 0.5? 6

7.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,2) wyznaczyć, korzystając z tablic: P ( 1 X 1), P (X > 2), P ( 3 X 1), P (X 5), P (X > 10), P ( X > 2). 8.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m,σ) obliczyć P ( X m < σ). 9.Czas oczekiwania na połączenie telefoniczne w pewnej centrali dla każdego abonenta ma rozkład wykładniczy z α =0.2 s. Z centrali korzysta jednocześnie i niezależnie 100 abonentów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: najkrótszy z czasów oczekiwania na połączenie jest większy niż 5s; najdłuższy mniejszy niż 10s. 10.Czasy pracy każdej z n żarówek są niezależne i mają taki sam rozkład wykładniczy z parametrem α = 0.001. Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy układu złożonego z n żarówek połączonych równolegle, zaś zmienna losowa Y czas pracy układu złożonego z n żarówek połączonych szeregowo. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość X oraz Y. Odpowiedzi zad.1 z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy (pλ)m. m!e pλ zad.2 a) nie; b) tak; a = 1/2; b = 1/π zad.3 a) a=2/9 0, gdy t 1, 4 F (t) = 9 t 1 9 t2 + 5, gdy 1 < t 2, 9 1, gdy t > 2. P (1 < X < 5) = 1, P (X < 0 X > 1) = 2; 9 3 b) a=1/2 { 1 F (t) = 2 et, gdy t 1 1 1 2 e t, gdy t > 0 P (1 < X < 5) = 1 2 (e 1 e 5 ), P (X < 0 X > 1) = 1(1 + 2 e 1 ). zad.5 P (X > 5000) = e.5 ; zad.6 a) P (X > 4) = e 20 ; b) P (4 < X < 6) = e 20 e 30 ; c) P (X 5) = 1 e 25 ; P (X < T ) 0.5 dla T 0.2 ln(2). zad.7 P ( 1 < X < 1) = Φ(2) Φ(1) = 0.1359 P (X > 2) = 1 Φ(0.5) = 03085; P ( 3 < X < 1) = 0.3413; P (X < 5) = Φ(4) = 1; P (X > 10) = 1; P ( X > 2) = 1 Φ(2.5)+Φ(0.5) zad.8 2Φ(1) 1 = 0.6826. zad.10 X { = max(x 1, X 2,..., X n ); Y = min(x!, X 2,..., X n ) 0, gdy t < 0 F X (t) = (1 e tα ) n, gdy t 0 7

{ 0, gdy t < 0 f X (t) = nαe tα (1 e tα ) n 1, gdy t > 0 { 0, gdy t < 0 F Y (t) = 1 e ntα, gdy t 0 { 0, gdy t < 0 f Y (t) = nαe ntα, gdy t > 0 LISTA 5 1.Na loterii jest n 1 losów na które pada wygrana x 1, n 2 losów na które pada wygrana x 2,..., n k losów na które pada wygrana x k. Wszystkich losów jest N. Wartość oczekiwana wygranej X przy jednokrotnym losowaniu jest równa połowie ceny losu. Obliczyć cenę losu.czy warto wziąć udział w takiej loterii. 2.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Jaka jest jej wartość oczekiwaną i wariancję. Wyznaczyć stałe A, B takie, że zmienna losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. 3.Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla następujących zmiennych losowych: a) zmienna losowa X każdą z wartości 1,2,3,4,5,6 przyjmuje z takim samym prawdopodobieństwem; b) P( Y = -2)= P( Y = 0)= 0.1; P( Y = 2)= 0.8; c) dystrybuanta zmiennej losowej Z jest postaci: 0, gdy x 1, F (x) = x 1, gdy 1 < x < 4 1, gdy x 4 d) zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem α. 4.Dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z α = 2 wyznaczyć medianę oraz kwantyl rzędu 3.Jaka jest interpretacja otrzymanych wartości? 4 5.Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest największa? 6.Wiedząc,że: EX= -1, EX 2 = 3 wyznaczyć: varx, E(4X-1), var(4x-1), E(-2X-2), var(-2x-2). 8

7*.Rzucamy kostką sześcienną. Niech X oznacza numer rzutu, w którym ścianka z 2 oczkami wypadła po raz pierwszy. Jaka jest EX oraz varx? 8.Prawdopodobieństwo,że obroty firmy jednego dnia przekroczą 1 mln zł wynosi 0.2.Jaka jest oczekiwana, a jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba dni z obrotami większymi niż 1 mln w ciągu 24 dni pracy firmy? Odpowiedzi: zad.1 c = 2EX = 1 Ni=1 x N i n i, nie warto,ponieważ cena losu jest większa niż wartość oczekiwana wygranej. zad.2 EX = a+b (b a)2, varx =, A = 1 albo A = 1 ; B = 1 A (a + b). 2 12 b a b a 2 2 zad.3 a)ex= 7 35, varx = ; b) EY=1.4, vary=1.64 2 12 c)ex= 7 34, varx= ; d) 3 45 EX=α 1 ;varx=α 2. zad.4 mediana=ln 2, kwantyl rzędu 3 = ln 2; zad.5 p=0.5; 4 zad.6 2; -5; 32; 0; 8. zad.7 EX=6, varx=30; zad.8 EX=4.8,k 0 = 4lubk 0 = 5. LISTA 6 1.Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(1000,100).Jaki powinien być okres gwarancji, aby na 99% miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji? 2.Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,σ).Dobrać σ,aby drukarka działała co najmniej 900 dni z prawdopodobieństwem 0.95. 3.W windach osobowych jest napis: maksymalne obciążenie 7 osób albo 500 kg. Zakładając,że waga pasażerów ma rozkład N(70,4) obliczyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg. 4.Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-1,5]. Dla zmiennej losowej Z = max(x 1, X 2 ) wyznaczyć funkcję gęstości oraz obliczyć EZ. 5.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n są niezależne i każda ma rozkład N(0,1).Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Y n = 1 nk=1 n X k. 6.Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi 0.25. Ile prób należy wykonać,aby prawdopodobieństwo,że liczba sukcesów odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 20% wszystkich prób było większe od 0.8? 9

7.Prawdopodobieństwo porażki w każdej próbie wynosi 0.9. Oszacować: a) wykorzystując nierówność Czebyszewa; b) centralne twierdzenie graniczne prawdopodobieństwo,że w 400 próbach liczba porażek będzie większa niż 320 i mniejsza niż 400. 8.Komputer dodaje 1200 liczb rzeczywistych przedtem każdą zaokrąglając do najbliższej liczby całkowitej.zakładamy, że błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd w obliczaniu sumy będzie większy niż 5 i mniejszy niż 10? 9.Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = 0.001.Jakie jest prawdopodobieństwo,że zapas 100 diod wystarczy na co najmniej 80000 godzin pracy? 10.Korzystając ze zdjęć satelitarnych mierzono odległości między 2 obiektami. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi opisującymi wyniki kolejnych pomiarów.założono,że EX k = d, varx k = 1, k=1.2,...,n. Za oszacowanie odległości d przyjęto Y n = 1 n X k n k=1. Ile pomiarów należy wykonać, aby P ( Y n d 0.1) 0.99. Odpowiedzi zad.1 co najwyżej 767 dni, zad.2 Φ( 100 ) 0.95,, σ 61, zad.3 0.1711, σ { t+1, gdy 1 < t < 5 zad.4 f Z (t) = 18, 0, poza EZ=3, zad.5 N(0,1); zad.7 a)większe niż 391; b)równe 1 400 zad.9 Φ(2)=0.9772. 10