r u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ.

Wprowadzenie Mamy ustalone T > 0 horyzont, (Ω, F, P) z F filtracja, F = {F t } t [0,T ] oraz Proces chwilowej stopy procentowej r = (r t ) t [0,T ], tzn. rachunek bankowy spełnia ODE: db t = B t r t dt, B 0 = 1. Rozwiazanie jest postaci ( t B t = exp 0 ) r u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 1 / 21

Przyrzeczona wypłata X - zobowiazanie do spłacenia w momencie wykupu T < T Przyrzeczone dywidendy A - zobowiazania (kupony) płacone w sposób cigły lub dyskretny. Wypłata zastępcza X wypłacana w T jeżeli default nastapił przed lub w momencie wykupu T. Proces wypłaty zastępczęj (odzysku) Z - wypłata zastępcza wypłacana w momencie defaultu. P - prawdopodobieństwo statystyczne (historyczne,rzeczywiste). M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 2 / 21

Założenie A : Definicja Procesy V,Z,A,v sa F progresywnie mierzalne. Zmienne losowe X, X sa F T mierzalne. Proces A ma skończone wahanie, oraz A 0 = 0. Odopowiednia całkowalność wszystkich losowych obiektów. Wypłata narażona na ryzyko kredytowe nazywamy piatkę (X, A, X, Z, τ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 3 / 21

Proces indykatora defaultu H t := 1 {t τ}. Definicja Procesem dywidend D wypłaty narażonej na ryzyko kredytowe (X, A, X, Z, τ) o terminie wykupu T definujemy dla każdego t R + wzorem D t = XT d 1 [T, [(t) + (1 H u )da u + Z u dh u, (0,t] (0,t] gdzie X d T := X1 {τ<t } + X1 {τ T }. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 4 / 21

Mamy (0,t] (1 H u )da u = A t 1 {t<τ} + A τ 1 {t τ} tzn że jeżeli jest jakaś płatność w chwili t = τ nie jest ona wypłacana. Ponadto (0,t] Z u dh u = Z τ 1 {t τ} M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 5 / 21

Założenie B : Istnieje miara martyngałowa Q (miara martyngałowa spot). Miara taka że ceny aktywów nie płacacych dywidend zdyskontowane rachunkiem bankowym sa Q-martyngałami. Definicja Dla każdego t [[0, T ]] cena ex-dividend wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) S t := B t E Q Bu 1 dd u F t. (t,t ] Zadanie Pokazać że St = S t B 1 t jest podmartyngałem (nadmartyngałem) przy mierzez Q wtedy gdy D jest malejacy (rosnacy). M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 6 / 21

Definicja Dla każdego t [0, T ] skumulowana cena S c wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) St c = B t E Q Bu 1 dd u F t = S t + B t Bu 1 dd u. (0,T ] (0,t] Zadanie Pokazać że S c t = S c t B 1 t jest Q-martyngałem. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 7 / 21

Obligacja zero-kuponowa z ryzykiem kredytowym Niech A = 0, Z = 0, X = L, gdzie L stała L > 0. Dla (L, 0, X, 0, τ) proces S reprezentuje cenę obligacji zerokuponowej o nominale L i wypłacie zastępczej X w momencie wykupu. Dla t < T mamy ( D(t, T ) = B t E B 1 T (L1 {τ>t } + X1 ) {τ T } ) F t Inna reprezentacja gdzie D(t, T ) = LB t E δ(t ) := X L stopa odzysku w przypadku defaultu. ( B 1 T (1 {τ>t } + δ(t )1 {τ T } ) F t ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 8 / 21

Jeszcze inna reprezentacja ( ( )) D(t, T ) = L B(t, T ) B t E B 1 T w(t )1 {τ T } F t gdzie B(t, T ) cena obligacji zerokuponowej skarbowej: ( ) B(t, T ) = B t E F t B 1 T w(t ) strata (procentowa) (write-down rate upon default) w(t ) = 1 δ(t ) Cena zależy od łacznego rozkładu przy mierze Q z.l. (B T, δ(t ), τ) lub (B T, w(t ), τ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 9 / 21

Jeszcze inna reprezentacja ( ( )) D(t, T ) = L B(t, T ) B t E B 1 T w(t )1 {τ T } F t gdzie B(t, T ) cena obligacji zerokuponowej skrabowej: ( ) B(t, T ) = B t E F t w(t ) strata (procentowa) B 1 T w(t ) = 1 δ(t ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 10 / 21

Założenie B : B jest deterministyczny. B(t, T ) = B t B 1 T Wtedy mamy reprezentacje D(t, T ) = L t (1 w (t, T )), gdzie lub gdzie L t := LB(t, T ), w (t, T ) := E ( ) w(t )1 {τ T } F t D(t, T ) = L t (1 wt pt ), pt := Q(τ T F t ), wt := E ( ) w(t )1 {τ T } F t Q(τ T F t ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 11 / 21

Założenie B : δ(t ) = δ [0, 1] jest deterministyczne. Wtedy w(t ) = w = 1 δ oraz mamy reprezentacje D(t, T ) = L t (1 wpt ), gdzie p t := Q(τ T F t ). UWAGA! Nie ma powodu dla ktorego mielibyśmy mieć w ogólności Q(τ T F t ) = P(τ T F t ). Skad wiec wziaść Q(τ T F t )? Z modelu!? Z rynku!? M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 12 / 21

Model Mertona Załóżmy, że 1 Rachunek bankowy jest deterministyczny r t = r, t [0, T ]. 2 W aktywa firmy można investować. 3 Rynek jest wolny od arbitrażu i zupełny. 4 Proces wartości aktywów firmy spełnia SDE dv t = V t ((r κ)dt + σ V dw t ), V 0 = v. gdzie r, κ, σ V stałe, W - proces Wienera przy mierze Q, filtracja F := F W = F V. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 13 / 21

Model Mertona Postulaty 1 Firma ma pojedyncze zobowiazanie w chwili T o nominale L. 2 Zdolność firmy do wykupu długu/spłaty zobowiazania jest określona tylko przez wartość V T. 3 Default może zajść tylko w chwili T gdy V T < L tzn τ = T 1 {VT <L} + 1 {VT L}. 4 W chwili T posiadacz obligacji otrzyma wypłatę L1 {VT L} + V T 1 {VT <L} = min {V T, L} M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 14 / 21

W modelu Mertona mamy X = L, X = VT, A = 0, Z = 0, Niech D(t, T ) oznacza cenę ex-dividend wypłaty (L, V T, 0, 0, τ). Wtedy dla t < T mamy ( ) D(t, T ) = B t E B 1 T (L1 {V T L} + V T 1 {VT <L}) F t Zauważmy że ta wypłatę w chwili T można zapisać Stad L1 {VT L} + V T 1 {VT <L} = min {V T, L} = L (L V T ) + D(t, T ) = Le r(t t) P t gdzie P t cena opcji sprzedaży na aktywa firmy V z cena wykonania L. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 15 / 21

Theorem Dla t [0, T ) cena D(t, T ) obligacji narażonej na ryzyko kredytowe jest dana wzorem D(t, T ) = V t e κ(t t) N( d 1 (V t, T t)) + Le r(t t) N(d 2 (V t, T t)), gdzie d 1,2 (V t, T t) = ln(v t/l) + (r κ ± 1 2 σ2 V )(T t) σ V T t Wynika z opcyjnej reprezentacji D(t, T ) = Le r(t t) P t, oraz z wzorów BS P t = Le r(t t) N( d 2 (V t, T t)) V t e κ(t t) N( d 1 (V t, T t)), M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 16 / 21

Distance to default Stad Stad ( P(V T L F t ) = N ln(v ) t/l) + (µ 1 2 σ2 V )(T t)) σ V T t ( ) ln(vt /L) + (µ 1 2 P(V T > L F t ) = N σ2 V )(T t)) σ V T t Definicja Odległość od defaultu jest dana przez ln(v t /L) + (µ 1 2 σ2 V (T t)) = E P(ln V T F t ) ln L σ V T t σ V T t M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 17 / 21

Kapitał własny firmy (Equity) Kapitał firmy w chwili T E(V T ) = V T Debt(V T ) = V T min {V T, L} = (V T L) + kapitał firmy w chwili t [0, T ] E(V t ) = V t e κ(t t) LB(t, T ) + P t = C t Na akcjonariuszy (udziałowców) można więc patrzeć jak na investorów zajmujacych długa pozycję w opcji kupna na aktywa firmy. V T < L V T L Obligacja V T L Equity 0 V T L M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 18 / 21

Obligacje z pierwszeństwem (Subordinated debt) Rozważmy teraz przypadek gdy firma ma dwa zobowiazania o wartościach nominalnych L S i L J. Załóżmy że L S opdowiada obligacji z pierwszeństwem spłaty długu (senior), L J odpowiada obligacji która jest spłacana w drugiej kolejności (junior). Wtedy mamy wypłaty w chwili T : V T < L S L S V T < L S + L J L S + L J V T Obligacja Senior V T L S L S Obligacja Junior 0 V T L S L J Equity 0 0 V T (L S + L J ) Wyznaczyć reprezentacje opcyjna cen obligacji senior, junior oraz kapitału. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 19 / 21

Credit Spread Rentownościa obligacji bez ryzyka nazywamy r(t, T ) takie że stad r(t,t )(T t) B(t, T ) = e r(t, T ) = 1 ln B(t, T ) T t Rentownościa obligacji kredytowej o nominale L nazywamy r d (t, T ) takie że D(t, T ) = Le r d (t,t )(T t) czyli r d ln D(t, T ) L (t, T ) = T t M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 20 / 21

Zadanie Credits spread jest natomiast definiowany dla t [0, T ) S(t, T ) = r d (t, T ) r(t, T ) = 1 LB(t, T ) ln T t D(t, T ) lub poprzez własność S(t,T )(T t) D(t, T ) = LB(t, T )e W rzeczywistość rentowności obligacji emitowanych przez firmy sa większe od rentowności obligacji skarbowych czyli S(t, T ) > 0. Dla uproszczenia weźmy κ = 0. Pokazać, że w modelu Mertona mamy S(t, T ) > 0. Ponadto { 0 gdy V T > L lim S(t, T ) = t T + gdy V T < L. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, 2014 21 / 21