ODWZOROWANIE I PRZETWARZANIE SYGNAŁU OPTYCZNEGO W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM

Podstawy Inżynierii Fotonicznej - Laboratorium Ćwiczenie 2 ODWZOROWANIE I PRZETWARZANIE SYGNAŁU OPTYCZNEGO W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM 2.1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie z teorią dwustopniowego procesu formowania obrazu optycznego i jej eksperymentalną weryfikacją z wykorzystaniem tzw. doświadczenia Abbego. W procesie formowania obrazu optycznego wyróżnia się dwa etapy: Etap tworzenia widma częstości przestrzennych przedmiotu (przestrzennego sygnału optycznego) w tzw. polu dyfrakcyjnym Fraunhofera. Etap ten opisuje przekształcenia Fouriera funkcji przedmiotu. Etap tworzenia obrazu, w którym zaburzenia pochodzące od wzajemnie koherentnych częstości przestrzennych interferują i tworzą obraz przedmiotu w polu dyfrakcyjnym Fraunhofera tych częstości. Etap opisuje kolejne przekształcenie Fouriera, tym razem widma częstości przestrzennych przedmiotu. Łatwy dostęp do płaszczyzny widmowej w układzie optycznym umożliwia prowadzenie dowolnych operacji filtracji częstości przestrzennych mających na celu modyfikację rozkładu intensywności w obrazie. Doświadczenie Abbego ułatwia zrozumienie procesu formowania obrazu optycznego oraz ilustruje użyteczność opisu zjawisk optycznych za pomocą matematycznej analizy fourierowskiej. 2.2 Wiadomości ogólne Dwustopniowy proces formowania obrazu. Częstości przestrzenne Układ optyczny do demonstracji i badań dwustopniowego procesu formowania obrazu oraz filtracji częstości przestrzennych przedstawiony jest schematycznie na rys. 2.1. K y 1 P 1 x 1 ν P 2 y L 1 L 2 νx P3 S x 2 f f f f f y 2 Rys. 2.1 Schemat układu optycznego Płaszczyznę przedmiotową P 1 oświetla przestrzennie koherentna fala płaska generowana przez kwasipunktowe źródło S umieszczone w płaszczyźnie ogniskowej przedmiotowej obiektywu kolimatora K. Obiektyw L 1 tworzy w swej płaszczyźnie ogniskowej obrazowej P 2 obraz źródła światła. Płaszczyzna P 2 odpowiada tzw. płaszczyźnie widmowej Fraunhofera (częstości przestrzennych) przedmiotu. W przypadku umieszczenia Copyright: Zakład Techniki Optycznej autor: prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Instytut Mikromechaniki i Fotoniki Politechnika Warszawska

przedmiotu o transmitancji V(x,y) w płaszczyźnie ogniskowej przedmiotowej obiektywu L 1, rozkład amplitud i faz w płaszczyźnie widmowej P 2 jest opisany zależnością V(ω x, ω y ) = C 1 Vx,y) exp{-i(ω x x + ω y y} dx dy, (2.1) gdzie ω x = 2πx ' s /λf', ω y = 2πy ' ' ' s /λf', C 1 stała, x s i y s są współrzędnymi liniowymi w płaszczyźnie P 2, f' oznacza ogniskową obiektywów L 1 i L 2, granice całkowania od - do +. Rozkład V(ω x, ω y ) jest więc transformatą Fouriera przedmiotu amplitudowo-fazowego o zespolonej transmitancji Vx,y), ω x i ω y noszą nazwę kołowych częstości przestrzennych przedmiotu. Przedmiot można przedstawić jako zbiór rozkładów harmonicznych o różnych częstościach przestrzennych ν x = ω x /2π i ν y = ω y /2π, o określonej amplitudzie, kierunku i fazie, patrz rys. 2.2. x k Λ x =1/ν x z θ x f(x,y) λ Rys. 2.2 Jednowymiarowa reprezentacja przestrzennej funkcji harmonicznej f(x,y) = V 0 exp[i2π(ν x x + ν y y)] i odpowiadającej jej fali płaskiej. V 0 amplituda fali, ν x i ν y częstości przestrzenne, Λ x okres funkcji harmonicznej, sinθ x = λν x (związek ten mówi, że kąt propagacji fali płaskiej jest wprost proporcjonalny do częstości przestrzennej funkcji harmonicznej). Okres przestrzenny zaburzenia (fali) wzdłuż kierunku propagacji k wynosi λ, a wzdłuż osi x wynosi λsinθ x. Faza harmonicznej wynika z jej usytuowania (przesunięcia poprzecznego w płaszczyźnie xy) względem początku układu współrzędnych. Na rys. 2.3 pokazano schematycznie reprezentację przedmiotu w postaci zbioru kilku elementarnych obszarów o transmitancji opisanej funkcją harmoniczną o pewnej częstości przestrzennej i pewnym kierunku w przestrzeni (płaszczyźnie xy). Wymiary poprzeczne elementarnych obszarów są znacznie większe od okresu funkcji harmonicznej. y x Rys. 2.3 Ugięcie fali płaskiej na przedmiocie złożonym z kilku funkcji harmonicznych o różnych okresach przestrzennych i kierunku w przestrzeni. 14

Transmitancję przedmiotu można również zapisać jako superpozycję siatek dyfrakcyjnych opisywanych za pomocą szeregów Fouriera. s 0 d // x Rys. 2.4 Funkcja transmitancji binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej; d okres siatki, s szerokość szczeliny o transmitancji równej 1, x współrzędna prostopadła do linii siatki. Przykładowo, transmitancję binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej pokazanej na rys. 2.4 opisuje szereg Fouriera V(x,y) = a n exp{in2πx/d}, (2.2) gdzie sumowanie odbywa się teoretycznie od n = - do n = + (w praktyce, przy oświetleniu siatki wzdłuż osi z, rys. 2.1 i 2.2, sinus kąta ugięcia θ n fali płaskiej stanowiącej n-ty rząd ugięcia siatki dyfrakcyjnej nie może przekraczać 90 0, a n oznacza amplitudę n-tego rzędu ugięcia siatki, rys. 2.5. płaszczyzna x widmowa Fouriera d n = +3 n = +2 +3 +2 n = +1 +θ 1 +1 n = 0 0 -θ 1-1 n = -3-2 n = -2-3 λ sinθ = n = n d ( λ ) n ν x n = -1 Rys. 2.5 Kierunki propagacji siedmiu najniższych rzędów ugięcia binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej oświetlonej falą płaską wzdłuż normalnej do płaszczyzny siatki oraz odpowiadające im częstości przestrzenne zlokalizowane w płaszczyźnie widmowej Fouriera. Funkcja opisana wzorem (2.2) jest funkcją prostokątną o współczynniku wypełnienia (s/d) definiowanym jako iloraz szerokości szczeliny o transmitancji 1 do okresu. Dla funkcji prostokątnej nieograniczonej wzdłuż osi x współczynniki Fouriera dane są wzorami a n = (s/d) sinc (ns/d), a 0 = s/d, (2.3) 15

gdzie sinc(x) = sin(πx)/πx. Z uwagi na parzystość funkcji pokazanej na rys. 2.4 spełniona jest zależność a n = a -n = a * n. Łatwo wykazać, że w przypadku siatki dyfrakcyjnej o współczynniku wypełnienia (s/d) = 0.5 (tzw. siatka Ronchi) znikają parzyste rzędy ugięcia n = ±2, ±4, ±6,... Uwaga: Wierne odwzorowanie przedmiotu (np. w przypadku rozważanej binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej uzyskanie ostrych krawędzi linii siatki) wymaga obecności w płaszczyźnie obrazu wszystkich harmonicznych tworzących przedmiot. Brak wyższych harmonicznych powodowany przez skończone wymiary poprzeczne układu optycznego, rys. 2.1, prowadzi do rozmycia krawędzi linii siatki. W przypadku małej liczby harmonicznych w obrazie, np. trzech, uzyskuje się kosinusoidalny rozkład intensywności (zamiast rozkładu prostokątnego). Filtracja częstości przestrzennych Dyskretny charakter widma (transformaty Fouriera) siatki dyfrakcyjnej, rys. 2.5, pozwala na łatwą filtrację (modyfikację) częstości przestrzennych i szybką interpretację obrazu po filtracji. W omawianym układzie, rys. 2.1, można dokonywać dowolnych operacji w płaszczyźnie widmowej (częstości przestrzennych) sygnału i kontrolować niezależnie amplitudę i fazę rozkładu amplitudy zespolonej w płaszczyźnie P 2. Te operacje przestrzennej filtracji optycznej, których podstawy zostały podane po raz pierwszy przez Abbego w jego teorii formowania obrazu w mikroskopie, pozwalają na prowadzenie szeregu analogowych operacji liniowych i nieliniowych na sygnale wejściowym V(x,y). Zespolona amplitudowa transmitancja filtra F(ν x, ν y ) spełnia następujące warunki F(ν x, ν y ) = F(ν x, ν y ) exp[iφ(x,y)], F(ν x, ν y ) 1; 0 Φ(ν x, ν y ) 2π, (2.4) i może być przedstawiona jako zbiór punktów leżących na lub wewnątrz okręgu jednostkowego w płaszczyźnie zespolonej, rys. 2.6. I m F((ν x,ν y ) (0,1) (-1,0) (1,0) Re F(ν x,ν y ) (0,-1) Rys. 2.6 Funkcja zespolonej transmitancji amplitudowej filtra przestrzennego. Z rys. 2.6 wynikają możliwości syntezy trzech rodzajów filtrów: amplitudowych przez zmianę gęstości optycznej (filtrowi takiemu odpowiadają punkty leżące na osi rzeczywistej płaszczyzny zespolonej), fazowych realizacja opóźnień fazowych przez zmianę grubości optycznej (punkty na osi urojonej), oraz amplitudowo-fazowych przez kombinację dwu poprzednich technik. 16

Obrazowanie w koherentnym układzie optycznym Przez zastosowanie drugiego obiektywu umieszczonego w odległości ogniskowej od płaszczyzny obrazu źródła światła P 2, w płaszczyźnie P 3 tworzony jest obraz przedmiotu. Płaszczyzna P 3 pokrywa się z płaszczyzną ogniskową obrazową obiektywu L 2 jeśli przedmiot V(x,y) znajduje się w płaszczyźnie ogniskowej przedmiotowej obiektywu L 1. Należy podkreślić tutaj fakt, że w przedstawionym układzie optycznym mamy do czynienia z kolejno następującymi po sobie transformacjami Fouriera dokonywanymi przez obiektywy L 1 i L 2, a nie z przekształceniem odwrotnym następującym po pierwszym przekształceniu Fouriera. Przekształcenie odwrotne, które charakteryzuje jądro całkowe exp{i(ω x x + ω y y)}, wymagane jest z matematycznego punktu widzenia przy przejściu z płaszczyzny widmowej (częstości przestrzennych) P 2 do płaszczyzny P 3. Ażeby pogodzić te dwa fakty stosuje się odwrócony układ współrzędnych w płaszczyźnie P 3, gdyż TF { TF [V(x)] } = 2π V(-x), (2.5) gdzie TF oznacza operację przekształcenia Fouriera. W ten sposób układ optyczny może również realizować odwrotne przekształcenie Fouriera i jednocześnie zachowana jest zgodność z formalizmem matematycznym. Należy również zwrócić uwagę, że odwrócenie układu współrzędnych zgodne jest z ujemnym znakiem powiększenia układu L 1 L 2. Na rys. 2.1 pokazano układ L 1 L 2 o jednakowych ogniskowych f' obiektywów składowych. W przypadku ogólnym, gdy oznaczymy przez f 1 ' i f 2 ' ogniskowe obiektywów L 1 i L 2, powiększenie wyniesie (-f 2 '/f 1 '). Obrazowanie przedmiotów okresowych w układzie z przeogniskowaniem W przypadku koherentnego obrazowania przedmiotów okresowych, np. wyżej omówionej binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej, obserwuje się okresową zmianę kontrastu rozkładu intensywności w płaszczyźnie detekcji w funkcji odległości (przeogniskowania) względem płaszczyzny obrazu geometrycznego. Efekt ten związany jest z tzw. zjawiskiem samoobrazowania, które występuje w przypadku interferencji minimum trzech rzędów dyfrakcyjnych [5]. Można udowodnić [5], że w przypadku oświetlenia siatki dyfrakcyjnej falą płaską, patrz rys. 2.1, rozkład intensywności tworzony przez rzędy ugięcia 1, 0 i +1 opisuje wzór V(x,z)V*(x,z) = A 0 2 + 2A 1 2 +4A 0 A 1 cos(πλz/d 2 ) cos (2πx/d) + 2A 1 2 cos (4πx/d), (2.6) gdzie z oznacza odległość przeogniskowania względem płaszczyzny P3. Z ostatniego wzoru wynika, że rozkład intensywności w płaszczyźnie obserwacji jest okresową funkcją z. Będzie on równy rozkładowi intensywności w zogniskowanym obrazie siatki kosinusoidalnej (transmitancję amplitudową siatki tego typu opisuje wzór (2.2); n = -1, 0, +1) danemu wzorem V(x,z=0)V*(x,z=0) = A 0 2 + 2A 1 2 + 4A 0 A 1 cos (2πx/d) + 2A 1 2 cos(4πx/d ), (2.7) gdy pierwszy kosinus cos(πλz/d 2 ) we wzorze (2.6) będzie równy jedności, tzn. gdy z = 2nd 2 /λ, n = 1,2,3,... Dodatkowo, gdy cos(πλz/d 2 ) = -1, czyli dla z = (2n + 1)d 2 /λ otrzymuje się ten sam rozkład intensywności, ale przesunięty o pół okresu wzdłuż osi x. Gdy z = (n + ½ )d 2 /λ amplituda pierwszej harmonicznej cos (2πx/d) rozkładu intensywności zeruje się. W tym ostatnim przypadku obserwowana jest więc (poza składową stałą A 2 0 + 2A 2 1 ) druga 17

harmoniczna 2A 2 1 cos(4πx/d) rozkładu intensywności, a więc prążki interferencyjne o dwukrotnie mniejszym okresie od okresu obrazowanej siatki. Wnioski dotyczące poosiowej lokalizacji płaszczyzn samoobrazów (w których powtarza się rozkład amplitudy z płaszczyzny przedmiotu), wyprowadzone na przykładzie siatki kosinuosidalnej z trzema rzędami ugięcia, pozostają ważne dla przedmiotów okresowych o bardziej złożonej transmitancji amplitudowej, np. siatki binarnej, a więc przedmiotów zawierających wyższe harmoniczne przestrzenne. Oczywiście rozkłady intensywności w płaszczyznach samoobrazów i płaszczyznach pośrednich zależą od rozważanej transmitancji przedmiotu. Przykładowo, w przypadku szczególnym amplitudowej siatki binarnej o współczynniku wypełnienia (s/d) = 0.5, w płaszczyźnie z = (n + ½)d 2 /λ obserwuje się jednorodny (stały) rozkład intensywności. 2.3 Przebieg ćwiczenia Do wykonywania ćwiczenia student otrzymuje zestawiony na ławie optycznej układ kolimatora dający wiązkę o płaskim czole falowym propagującą się wzdłuż ławy. Na ławie ustawiane będą elementy optyczne według rys.2.1 w kolejności wynikającej z niżej przedstawionych zadań. Jako przedmiot wykorzystana będzie binarna amplitudowa siatka dyfrakcyjna omówiona w poprzednim punkcie instrukcji. Kolejność wykonywania ćwiczenia: 1. Zaobserwować zmiany w energetycznym widmie Fraunhofera (płaszczyzna P 2, rys.2.1) binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej w funkcji jej okresu przestrzennego d i ustawienia kątowego płaszczyzny siatki względem wiązki oświetlającej (obrót w płaszczyźnie siatki wokół kierunku propagacji wiązki i obrót pozapłaszczyznowy wokół osi obrotu równoległej i prostopadłej do linii siatki). Częstości przestrzenne siatek: 10, 25 i 40 linii/mm. Wstawić w płaszczyźnie P 2 (rys.2.1) kamerę CCD lub matówkę. Naszkicować lub zarejestrować przy pomocy kamery CCD i zapisać rozkłady widmowe zaobserwowane w normalnym położeniu siatki/siatek, oraz w skrajnych wychyleniach przy obrocie w płaszczyźnie i obrocie pozapłaszczyznowym. 2. Zaobserwować płynną zmianę skali widma częstości przestrzennych siatki. Wstawić siatkę przedmiotową na ławie optycznej pomiędzy obiektywem L 1 (rys.2.1) a kamerą CCD. Przesunąć siatkę maksymalnie blisko obiektywu L 1. Zarejestrować przy pomocy kamery CCD lub naszkicować z matówki obraz widma. Przesunąć siatkę wzdłuż osi optycznej w kierunku kamery CCD lub matówki. Naszkicować lub zarejestrować przy pomocy kamery CCD widmo siatki. Opisać charakter zmian skali widma. 3. Uzyskać obrazy binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej o częstości 10 linii/mm w płaszczyźnie P 3 sprzężonej optycznie z płaszczyzną P 1, rys. 2.1, tworzone przez: a) harmoniczne 0 i +1; 0, -1 i +1; -1 i +1 oraz wszystkie harmoniczne jednakowego znaku z zastosowaniem filtra częstości przestrzennych w płaszczyźnie P 2, b) wszystkie harmoniczne przepuszczane przez układ optyczny L 1 -L 2, bez stosowania filtra częstości przestrzennych. Wstawić kamerę CCD lub matówkę w płaszczyźnie P 3 (rys.2.1). Wstawić siatkę przedmiotową w płaszczyźnie P 1 (rys.2.1). Wstawić filtr częstości przestrzennych w 18

płaszczyźnie P 2 (rys.2.1). Wykonać punkty a) i b) rejestrując rozkłady widma przy pomocy kamery CCD lub szkicując rozkłady intensywności obserwowane na matówce. Obliczyć rozkłady intensywności dla przypadków interferencji rzędów ugięcia: 0 i +1 oraz 1 i +1. Porównać te rozkłady. Przykład wyznaczania rozkładu intensywności tworzonego przez rzędy ugięcia 0 i +1: Ze wzoru (2.2) amplitudy zespolone rzędów ugięcia są równe: a 0 i a 1 exp(i2πx/d). Rozkład intensywności oblicza się w następujący sposób: a 0 + a 1 exp(i2πx/d) 2 = [a 0 + a 1 exp(i2πx/d)] [a 0 + a 1 exp(i2πx/d)]* = [a 0 + a 1 exp(i2πx/d)] [a 0 + a 1 exp(-i2πx/d)] = a 2 0 +a 2 1 + a 0 a 1 exp(-i2πx/d) + a 0 a 1 exp(i2πx/d) = a 2 0 + a 2 1 +2a 0 a 1 cos(2πx/d). Uwaga: * oznacza wielkość sprzężoną. 4. Przeprowadzić górnoprzepustową filtrację częstości przestrzennych. Zablokować niskie częstości przestrzenne w płaszczyźnie widma P 2 (rys.2.1). Zaobserwować wzmocnienie krawędzi (zarysu) przedmiotu. Zarejestrować rozkład intensywności przy pomocy kamery CCD lub naszkicować obraz obserwowany na matówce. Wyjaśnić charakter obserwowanego zjawiska. 5. Zaobserwować wpływ przeogniskowania płaszczyzny obserwacji względem płaszczyzny P 3, rys. 2.1, na obrazowanie przedmiotu okresowego w postaci amplitudowej siatki dyfrakcyjnej o częstości przestrzennej 10 linii/mm. Przy pomocy filtra częstości przestrzennych przepuścić rzędy ugięcia 1,0,+1. Przemieszczając kamerę CCD lub matówkę obserwować zmieniający się rozkład intensywności. Wymontować z układu filtr częstości przestrzennych. Przemieszczając kamerę CCD lub matówkę w kierunku równoległym do osi optycznej układu obserwować zmieniający się rozkład intensywności. Wyznaczyć odległość samoobrazowania d 2 /λ, przedyskutować i opisać obserwowane zmiany intensywności - patrz wzór (2.6). Uwaga: w położeniu wyjściowym, bez przeogniskowania, płaszczyzna detektora (matrycy CCD) powinna pokrywać się z płaszczyzną obrazu geometrycznego siatki (płaszczyzna P 3 ). 6. Stosując jako przedmiot dwuwymiarową okresową strukturę dyfrakcyjną (krzyżową siatkę dyfrakcyjną) wytworzyć z niej jednowymiarową strukturę okresową za pomocą filtracji w płaszczyźnie częstości przestrzennych, patrz rys. 2.7. Ile takich struktur różniących się kierunkiem linii w obrazie można uzyskać? Sygnał wejściowy (siatka krzyżowa) (a) Transformata Fouriera (b) Filtr amplitudowy (c) Obraz po filtracji (d) Rys 2.7 Przykład operacji filtracji częstości przestrzennych dającej jednowymiarowy okresowy rozkład intensywności z dwuwymiarowej struktury okresowej (np. siatki krzyżowej lub dwuwymiarowej matrycy punktów). 19

Uwaga: odpowiedzi na pytania i polecenia wytłuszczone w tekście opisu ćwiczenia zamieścić w sprawozdaniu. W sprawozdaniu nie opisywać sposobu wykonania ćwiczenia i wykorzystanego sprzętu pomiarowego! 2.4 Literatura uzupełniająca 1. J.R. Meyer-Arendt, Wstęp do optyki, PWN, Warszawa, 1977, rozdz. 4.3. 2. W.T. Cathey, Przetwarzanie informacji optycznej i holografia, PWN, Warszawa 1978, rozdz. 2. 3. M. Pluta, Mikroskopia optyczna, PWN, Warszawa 1982, rozdz. 1.6, 3.3, 3.4.1. 4. K. Gniadek, Optyka fourierowska, WPW, Warszawa 1987. 5. R. Jóźwicki, Teoria odwzorowania optycznego, PWN, Warszawa 1988, rozdz. 3 i 7. 20