MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 10 (1972) STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO WŁODZIMIERZ GAWROŃ SKI (GDAŃ SK) Waż niejsze oznaczenia jakobian (wyznacznik funkcyjny) M x wartość ś rednia zmiennej x E symbol uś redniania a x wariancja zmiennej x K xx moment korelacyjny zmiennej x K xy moment korelacji wzajemnej zmiennych x i y. Schemat ukł adu pokazano na rys. 1. Na masę m podwieszoną na sprę ż yni e o sztywnoś ci c działa siła okresowa P(t) P o sin (cot+q>). Masa m w czasie ruchu uderza o zderzak. Przy analizie ruchu układu zakł adamy że masa zderzaka jest nieskoń czeni e duż a a czas y/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Rys. 1 uderzenia masy o zderzak jest mał y w porównaniu z okresem ruchu. Zjawisko uderzenia scharakteryzowane jest współ czynnikiem restytucji prę dkoś i c R. W przyjmowanym najczę ś cie j modelu układu wibrouderzeniowegq zakłada się że poł oż enie zderzaka jest niezmienne w czasie. Zderzakiem tym czę sto bywa pal wbijany w grunt a zadaniem wibromłota którego modelem jest ukł ad wibrouderzeniowy jest zmiana położ enia tego zderzaka. Skł ad i struktura gruntu jest (również w kierunku przesuwu pala) zmienną losową. Parametry statystyczne tej zmiennej dla danego typu gleb warunków otoczenia itp. moż na wyznaczyć doś wiadczalnie. Położ enie zderzaka x Q jest wię c zmienną losową. Dalej przyjmujemy założ enie że zarówno wartość ś rednia tej zmiennej jak i jej wariancja są wielkoś ciami stał ymi 0) M Xo const a Xo const. 6 Mechanika Teoretyczna
430 W. GAWROŃ SKI Ruch układu rozpatrywać bę dziemy mię dzy dwoma kolejnymi uderzeniami masy o zderzak. Przy tego typu analizie ruchu układu zjawisko uderzenia masy o zderzak wpływa na warunki począ tkowe ruchu. Ponieważ poł oż enie zderzaka x 0 jest zmienną losową wię c i warunki począ tkowe ruchu są zmienną losową. Ruch masy tj stan dynamiczny układu należy wię c rozpatrywać w aspekcie probabilistycznym. Poł oż enie układu x(t) i jego prę dkość v(t) moż na przedstawić w zależ nośi cod losowych warunków począ tkowych w postaci rozwią zania róż niczkowego równania ruchu ukł adu. Pit) r / / 0 T _Zit Rys. 2 te*. vs- t W badanym przypadku nie interesuje nas jednak poł oż enie i prę dkość masy w chwili bież ą ce j t lecz czas w jakim masa m wychodzą c z poł oż enia x x 0 wróci do tego poł oż enia oraz jej prę dkość w tym momencie. Czas ten oznaczymy przez r a prę dkość przez v x. Obie te wielkoś ci są zmiennymi losowymi. Zakładamy że w chwili t 0 nastą piło j- te uderzenie masy o zderzak. Wielkość fazy siły wymuszają cej w tym momencie oznaczamy przez q>. Przez ę oznaczamy wielkość fazy siły wymuszają cej po i+ l- szym uderzeniu. Z rys. 2 odczytujemy zależ ność mię dzy lj> y i r. Analogicznie oznaczamy wielkoś ci prę dkoś ic począ tkowej po z'- tym uderzeniu przez v Q a po i+ 1- szym uderzeniu przez v 0. Dla rozpatrywanego układu szukamy rozwią zania ograniczonego. Pod poję ciem ograniczonoś ci rozumiemy tutaj prawdopodobień stwo zdarzenia że trajektoria fazowa Rys. 3 układu wyjdzie poza obszar A o skoń czonej ś rednicy jest równa zeru dla 0 < / < r. Oznacza to że wszystkie momenty wektora fazowego układu muszą przyjmować wartoś ci skoń czone.
STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO 431 Rozpatrzmy w tym aspekcie cią g punktów S t S 2 S 3... na. prostej x x 0 w przestrzeni fazowej (rys. 3) jednoznacznie scharakteryzowanych przez trójwymiarową zmienną losową y {<pv Q x 0 } (rys. 3 przedstawia rzut trajektorii fazowych na płaszczyznę (p <p 0 ). Zależ ność mię dzy z- tym i i + 1- szym wyrazem tego cią gu wyznaczona jest za pomocą funkcji którą otrzymujemy z rozwią zania równania róż niczkowego ruchu. Funkcję tę oznaczamy literą Q współrzę dne z- tego wyrazu cią gu przez y {cp v 0 } a współ - rzę dne f+ 1- szego wyrazu cią gu przez y {yv o x o }. Mamy zatem (2) y Q(y). Niech zmienne losowe y i y mają wartoś ci ś rednie oznaczone odpowiednio przez M y {M 9 M Vo MĄ } M y {M p M Vo M x \} oraz momenty drugiego rzę du oznaczone przez jx 2 \Ji<pę > A Oo v 0 J &x Q x 0 ) &ipv 0 > - "cjx o ' "*>o x o I > p2 i- "yc) A Uo Q Ax x 0 ; AJI 0 Ac Xo Aj o x o /. Zależ nośi cmię dzy tymi wielkoś ciami dane są w postaci (3) My QtiMy) (4) Ji 2 Q 2 (f 2 ). Funkcje i?! i Q 2 nazywamy odpowiednio funkcjami nastę pstwa rzę du pierwszego i drugiego. Jeś li istnieje rozwią zanie ograniczone tzn. o skoń czonych wartoś ciach momentów zmiennej y to znajdziemy takie punkty M*j i n\ (patrz Aneks 1) że (5) M* Q^Mf) (6) [Ą. Q 2 {ją ). Punkty M* i af nazywamy punktami stałego odwzorowania odpowiednio funkcji i3 i Q 2. W przypadku układu zdeterminowanego (wystę puje tylko funkcja nastę pstwa rzę du pierwszego) zwią zek (5) wyznacza warunki okresowoś ci ruchu układu (czas mię dzy uderzeniami jest stały) [1]. W przypadku układu probabilistycznego czas mię dzy uderzeniami jest zmienną losową chociaż zarówno jego wartość ś rednia jak i momenty wyż szego rzę du są stał e [wynika to ze zwią zków (5) i (6)]. Ruch taki nazwiemy ruchem quasi- okresowym. Wyznaczymy funkcje Q x i Q 2 dla badanego układu oraz ich punkty stałego odwzorowania. Charakterystyki probabilistyczne przemieszczenia masy zależą tylko od warunków począ tkowych wymuszenie jest wielkoś cią zdeterminowaną a wię c zwią zek mię dzy 7p v 0 x 0 i <p v 0 moż emy przedstawić za pomocą zależ nośi cfunkcjyjnej y f(<p v 0 ) o g(<pv 0 ) x 0. Ostatni zwią zek wynika z dokładnoś cią do momentów rzę du drugiego z zał oż enia (1) pozostałe wyznaczamy nastę pują co: najpierw znajdujemy zależnoś ci mię dzy prę dkoś ci ą ukł adu v 0 i ką tem przesunię cia fazowego siły wymuszają cej <p tuż po i+ 1- szym uderzeniu a prę dkoś ci ą układu v t tuż przed i+ 1- szym uderzeniem i czasem przebywania układu mię dzy uderzeniami t. Te ostatnie zaś wielkoś ci zależą funkcyjnie 6*
432 W. GAWROŃ SKI od prę dkoś i cv Q poł oż enia zderzaka x a i fazy siły wymuszają cej ę tuż po / - tym uderzeniu: * / ioo <px Q ) Funkcje te otrzymamy z rozwią zania równania róż niczkowego ruchu w postaci uwikłanej (7) JF 1 (TW 1 C)WO J.- V:O) 0 Fzit! <pv o x 0 ) 0. Zależ ność mię dzy <j» T i ę wynika z rys. 2 (przyję liś my że czas uderzenia jest pomijalnie mały) (8) cp a>r + cp- 27c a mię dzy w 0 i w okreś lona jest zwią zkiem (9) v 0 - - Rv v Wartoś ci ś rednie M Vi M r i odpowiednie momenty korelacyjne wyznaczymy w sposób przybliż ony przy pomocy linearyzacji funkcji zmiennych losowych (patrz Aneks 2). Zgodnie z tą metodą wartoś ci ś rednie wyznaczamy ze zwią zków Fi(M t M Vl M v M Vo M XQ ) 0 F 2 (M t) M Vl M v M Vo M Xo ) 0 momenty zaś korelacyjne wyznaczamy na podstawie zależ noś : ci (11) K m d l d 2 K oraz K VlVi - dlk Krep Oj K w + Ó 3 K ę Vo + (55 K ll>xq K Vl t (5 2 - Sr vc + (3 4 iś T? j 0 + <?6 ^ ^jwo b2k<p Vo - \- Ó4.Kv ovo + d W zwią zkach (11) i (12) oznaczyliś my K Vl x 0 ^2 K ę Xo + ó A K VXo + <5 6 (13) <L m - 31 (5 - - ^32
STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁ ADU WIBROUDERZENIOWEGO 433 8(F 1 F 2 ) d(f lt F 2 ) d(f u F 3 ) a%1 i2 d(m T M v y d{m ę M v y ~ d{m r M ę )> ^32 d(f u F 2 ) d(m T M Xo ) Ze zwią zków (8) i (9) mamy (15) Ml M o )' 31 d{m XQ M v y (16) M Va - RM VV Na podstawie (8) i (9) wyznaczamy także zależ nośi cmię dzy momentami korelacyjnymi zmiennych T i v t i momentami korelacyjnymi zmiennych c> v 0 : (17) K w E[(ę - M 9 ) 2 ] E[f 2 ]- MŹ - ^[(WT+ ^- I^) 2 ]- - (com r + M c (18) K E[(ip- M 9 )(vo- M v j\ E{yv o ]~M v M Vo (19) Ą^ E[(v 0 - M Vo ) 2 ] E[v%] - M\ VQ (20) Ę * o RSS o ]- M v M Xo E[(a>T + <p- 2n)x 0 ]- - {wm x +M 9-2n)M Xo (21) ^oxo E[v 0 x 0 ]- M Vo M Xo E[- Rv lxo ]+RM Vl M Xo - RK VlXo. We wzorach (17)- H(21) skorzystaliś my z nastę pują ce j zależ noś : ci E[(x- M x ) 2 ] E[x 2 ]- M 2. Zależ nośi cmię dzy v 0> q> po / - tym i i+ 1- szym uderzeniu mają postać: a) dla wartoś ci ś redniej (funkcja nastę pstwa rzę du pierwszego) po uwzglę dnieniu (1) (8) (9) (10) M Xo MĄ ~M 9 a>m x + M v - 2n (22) M Vo - RM Vi FdM r M Vl M 9 M Va M Xa ) 0 F 2 (M r> M Vl> M ę M Vo M Xo ) 0. b) dla momentów korelacyjnych (funkcja nastę pstwa rzę du drugiego) po uwzglę dnieniu (1) (11) (12) (17)- ł - (21) przy oznaczeniu K XQXO al o : (23) K ę v
434 W. GAWROŃ SKI (23) JC o [c.d.] K VoVo Funkcje i^ i i*^ otrzymujemy z równania ruchu układu które ma postać (24) x + 6 2 x psin(cot + cp); 0 <? < r \ m m v Q (stan układu po uderzeniu) otrzy- Przyjmują c warunki począ tkowe ^(0) x o v(0) mujemy rozwią zanie równania (24) w postaci / P \ sinbt I pco X[t)~ \ X 0-2 (25) x(0 fcsinfol 2 j- sin99 x o \ + lw 0 rj 5 pj O ft) cos( Nastę pne uderzenie w układzie nastą pi w chwili t x gdy x x 0 i: (26) x(r) * 0 x(r) v v Z warunków (26) na podstawie (25) otrzymujemy funkcje F. i F 2 w postaci Fi(*Vi<PVoXo) - x 0 + (x 0 + Csin(p)cosbT+ z- X o <27) x(u 0 - Ccocos99) + Csin(a)T+ (p) 0 F 2 (rv lt cp v Q ) - v 1 +bsinbr(csin<p- x 0 ) + +cosbt(v 0 Ccocos(p) + Ca)cos(a)t+(p) 0 Na podstawie zależ nośi c(22) i (27) znajdujemy punkt stałego odwzorowania dla funkcji nastę pstwa rzę du pierwszego. Zadanie to sprowadza się do wyznaczenia warunków okresowoś ci rnchu dla układu zdeterminowanego i został o przeanalizowane np. w [1 2]. Z analizy ci tej otrzymujemy m.in. że M T -. co
STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO 435 Na podstawie (14) i (27) wyznaczamy wielkoś ci A o A lt A l2 A 21 A 22 A 3U A a2 ; A o (Cń nm ę M XQ ) b sin A + (M Va + Ccocos M) cos A + Cco cosm ę (28) + b (Cco cos M ę - M 0 ) sin A - Cco 2 sin M ] + [6 sin X (C sin M p - M XQ ) + + (M Vo + Cco cos My) cos A + Cco cos M r ] [b cos M 9 sin A + co sin M^(cos A 1)] : A 31 1- cosa A (1 CC 32 Cco 2 sin M T ] b sin A [b sin A(Csin Af v M Xo ) + cos A (M Vo Cco cos M) + + Cco cos MJ Z powyż szych zależ nośi ci z równań (13) wyznaczone są współczynniki d y + ć 6 ). Wyznaczamy stą d na podstawie (6) i (23) punkt stałego odwzorowania dla funkcji nastę pstwa rzę du drugiego. Otrzymujemy układ równań co +2d 3 d 5 K oxo - 5 < (29) ± ^K VaXa - d 6 al 0
436 W. GAWROŃ SKI Powyż szy ukł ad równań ma nastę pują ce rozwią zanie Ra 2 - d s a W o W t Z) 1 W 2 b 1 oraz 1O4 o 2 o 3 a 2 03o 6 0405 a 3 Oidg o 2 o s - - a 3 ) ANEKS 1. O punkcie stałego odwzorowania dla cią gu zmiennych losowych Rozpatrzmy w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej cią g punktów (Al) Si S 2 S 3 SĄ... których współ rzę dne są zmiennymi losowymi. Oznaczmy współ rzę dne punktu Si przez Xi x 2 x 3 a współrzę dne punktu S t+i przez x lt x 2 x 3. Wartoś ci ś rednie tych współrzę d- nych oznaczamy odpowiednio przez M Xx M Xl M Xi i M Xl M X2 M X3 zaś momenty
STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO 437 centralne rzę du n- tego oznaczamy / u i Ji : - M Xl )l (x 2 - M x y (* - M X3 y t ] pqr - 0 12 3...«;j + tf + r «w 234... Mamy wię c f^n \ A*n. O 0> A^n- l 1O> ^n- 10 li > A*l O n - 1' i"o ln- 1> / Mo O nj j i n li^n.oo> i^o- l 10) ^ 1-1 0 1' ' Ml. 0n- 15 fto ln- 1» / ^O O n} > s u O 1 2... /i. ^M i /< są wię c wektorami ifc- wymiarowymi k 1+ 2+... +n + + «+ l 2Z ( 1 Załóż my że mię dzy charakterystykami statystycznymi wyrazów cią gu (Al) zachodzi jednoznaczna zależ noś: ć (A3) M x^q i.(m x ) ) (A4) Ż ł»- fl.cuo. przy czym M* {Af M Xj M X3 } M x - {M Xj M X2 M x> }. Zależ ność (A3) nazywamy funkcją nastę pstwa rzę du pierwszego a (A4) funkcją nastę pstwa rzę du n- tego. Oznaczmy przez S k fc- wymiarową przestrzeń euklidesową oraz obierzmy w tej przestrzeni podzbiór Ś S k ograniczony i domknię ty. Cią g (Al) moż emy scharakteryzować cią gami punktów: (A5) M X '\M?\M?\M?\... (A6) W.lfc.W.ł tfk- - przy czym dla każ dego wyrazu cią gów (A5) i (A6) zachodzi M x e S$ 3 i / i n e SS k. Ponieważ zbiór $ k jest nieprzeliczalny i ograniczony wię c posiada na mocy twierdzenia Bolzano- Weierstrassa co najmniej jeden punkt skupienia. Oznacza to że istnieje taki punkt n*e!m k że (A7) / Ą Q n (fls). Punkt ten nazywamy punktem stałego odwzorowania. Analogiczny zwią zek zachodzi dla wartoś ci ś redniej ' 2 O linearyzacji funkcji zmiennych losowych PUGACZEW [3] podał metodę wyznaczania wartoś ci ś rednich i momentów korelacyjnych funkcji zmiennych losowych. Niech dana bę dzie funkcja (A8) y y {yi}>2 jjr} X {X 1 X 2...X ).
438 W. GAWROŃ SKI Funkcję tę rozwija się w szereg Taylora wokół wartoś ci ś redniej M x i po pominię ciu wyrazów rzę du drugiego i wyż szych otrzymujemy funkcję (A8) w postaci liniowej» (A9) y t f (M Xl MĄ... M Xn ) + V a ip (x p - M*) (A10) ^ Stosują c odpowiednie wzory definicyjne otrzymano wartoś ci ś rednie i momenty korelacyjne zmiennej losowej y w postaci (Ali) M f t (M x ) (A12) K yiyj - 2] oraz / ; 12...r S/KM*) Metoda ta wymaga uzupeł nienia. W celu wyznaczenia peł nych charakterystyk zmiennej y (z dokł adnoś cią do momentów rzę du drugiego) należy wyznaczyć funkcje korelacji wzajemnej wartoś ci funkcji i jej argumentów. Wykorzystują c zlinearyzowaną funkcję (A9) zgodnie z definicją momentów korelacyjnych znajdujemy (A13) K yixs E[( yi - M y Xx s - M Xs )) E\ya tp (x p - M x \)( Xs - M x Ą i 1 2... r 5 12... n. Dalej załóż my że dana jest funkcja (A8) w postaci uwikł anej tj. (A14) FiOi.Js..y r x l x 2...x ) 0 *- I2...r 1 ~~ / c+in- t^- XpXl x*. iii ' Postę pując podobnie jak w poprzednim przypadku znajdujemy że wartość ś rednia zmiennej losowej y wyznaczona jest zwią zkiem (A15) F^MĄ M y2...m* M Xl M Xl... AfJD 0 i" 12...;- momenty zaś korelacyjne tej zmiennej oraz momenty korelacji wzajemnej y i x dane są zwią zkami (A12) i (A13) przy czym współczynniki a ip i a jq wyznaczamy z nastę pują cych Z_i P I '"
STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO 439 zwią zków zy 12...r / >g 12...«i <d o #0. W zwią zkach (A16) oznaczyliś my F 2...F r ) Pl d(f lf F 2i... d(m n M y2...m Xp...M yr ) Literatura cytowana w tekś cie 1. H. H. BWXOBCKHH OcHosbi meopuu euópaijuohuou mexnuku H3fl. MauiHHOCTpoeHHe MocKBa 1969. 2. B. KOWALCZYK Badanie stabilnoś cistrukturalnej układu wibrouderzeniowego o jednym stopniu swobody Zesz. Nauk. Politechniki Gdań skiej Nr 112 Mechanika Nr 9 Gdań sk 1967. 3. B. C. ITyrA^EB Teopun cnyuauhbix $yhkuuu H3fl. HayKa MocKBa 1962. P e 3 re M e CTATHCTH^ECKHfł AHAJ1H3 BHBPOyflAPHOfł CHCTEMŁI nobeflehhe BHSpoyflapiiofi CHCTeMbi npn cnyqateom nojiojkehhh 3HaqeHHe H Bapnaimiw nojkokenna orpahh^hieiw HBJiHiOTca BeJiH^niHaMH noctohhhbimh. orpahhiehhoe peuiehhe ochobahhoe Ha Meiofle TOMeMHbK OTOópawceHuił nphmehehhom HJW o^iek co cnyqaiou.imh KoopflHHaTaMH. PememieM HBJIHMTCH MOMBHTbl (J)a3OBbIX KOOpflHHaT CHCTeMbi. Summary STATISTICAL ANALYSIS OF VIBRO- IMPACT SYSTEM In the paper the vibro- impact system with random coordinate of the buffer is analyzed. The average value and the variance of this variable are assumed to be constant. The bounded solutions are found by means of the point mappings method interpreted for points sequence of random coordinates. The correlation moments of state coordinates of the system are determined. INSTYTUT MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN POLITECHNIKI GDAŃ SKIEJ Praca została złoż ona w Redakcji dnia 7 lipca 1971 r.