ROBERT K R Z Y W I E C (WARSZAWA)

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 13 (1975) O MODELOWANIU WAŁU WIELOPODPOROWEGO Z WIELOMA TARCZAMI ZA POMOCĄ WIELKIEGO SYSTEMU BIOSCYLATORÓW CZĘ ŚĆ II. BIOSCYLATORY WIELOWSKAŻ NIKOWE. MODELOWANIE WAŁU ROBERT K R Z Y W I E C (WARSZAWA) W pracy skonstruowano prosty, ale oryginalny model dyskretny sprę ż ystego wału waż kiego na wielu podporach sprę ż ystych, obcią ż onego wieloma tarczami. Jest nim bioscylator wielowskaznikowy o sześ ciu stopniach swobody (trzy w ruchu postę powym, trzy w ruchu obrotowym), za pomocą którego modelujemy: n 3 przekrojów podporowych wału, «4 przekrojów obcią ż onych tarczami, n 5 przekrojów redukowania mas, w przestrzeni «! - wymiarowej, przy uwzglę dnieniu n rodzajów ruchu. Rozważ ania przeprowadzono w terminologii wielocią gów, których algebrę i elementy analizy sformułował autor w oddzielnej pracy. Otrzymane równania- róż niczkowe są pię ciocią gowe o współczynnikach wyraż onych cią gami dziesię ciocią gowymi. Wprowadzamy oznaczenia: 1. Bioscylator jednowskaź nikowy o stopniach swobody x gdzie j = 1,' wskaź nik iloś ci stopni swobody cią gu jednowskaź nikowego stopni swobody układu mechanicznego, x x wartość wektora przemieszczenia x t w ruchu postę - powym punktu, x wartość wektora obrotu (ką ta) x w ruchu obrotowym 1) punktu; cią g jednowskaź nikowy wartoś ci prę dkoś i cliniowej i ką towej w ruchu układu mechanicznego, gdzie x x wartość wektora prę dkoś i c (liniowej) x t w ruchu postę powym punktu, x wartość wektora prę dkoś i c (ką towej) x w ruchu obrotowym punktu; [7] = w cią g jednowskaź nikowy wartoś ci przyspieszenia: liniowego i ką towego w ruchu układu mechanicznego, gdzie x\ wartość wektora przyspieszenia liniowego % w ruchu po- Mamy tutaj właś ciwie ruch punktu po okrę gu ruch wahadła matematycznego.

2 4 R. KRZYWIEC stepowym punktu, x wartość wektora przyspieszenia ką towego x w ruchu obrotowym punktu; [m 1 m \ gdzie ji = j 1, wskaź nik cią gu dwuwskaź nikowego współczynników bezwładnoś ci (mas) samego układu mechanicznego, m 11 masa punktu w ruchu postę powym z wartoś cią x x przemieszczenia x x proporcjonalną do wartoś ci S t siły sprę ż yste j S 1} m 1 moment bezwł adnoś ci masy punktu wzglę dem osi obrotu podzielony przez długość wahadła, jako masa uogólniona w ruchu postę powym o wartoś ci przemieszczenia proporcjonalnej do wartoś ci S momentu sprę ż ystego S,m 1 masa punktu w ruchu obrotowym wzglę dem osi obrotu o wartoś ci obrotu proporcjonalnej do wartoś ci S t siły sprę ż yste j S t pomnoż ona przez długość odpowiedniego wahadła, jako masa uogólniona, m moment bezwładnoś ci masy punktu wzglę dem osi obrotu odpowiedniego wahadła, jako masa uogólniona punktu w ruchu obrotowym z wartoś cią x obrotu x proporcjonalną do wartoś ci S momentu sprę ż ystego S. Oznaczamy również przez: cią g jednowskaź nikowy uogólnionych sił sprę ż ystych, gdzie S t wartość wektora siły sprę ż yste j S x w ruchu postę powym, S wartość wektora momentu sprę ż ystego S w ruchu obrotowym, jako siły sprę ż yste j uogólnionej ) ;?. cią g dwuwskaznikowy współczynników sprę ż ystośi cdanego układu mechanicznego, gdzie Sn współ czynnik sprę ż ystośi cprzy obcią ż eni u masy m xx siłą S x, s i współczynnik sprę ż ystośi cprzy obcią ż eni u masy uogólnionej m 1 momentem 5*, s 1 współczynnik sprę ż ystośi cprzy obcią ż eni u masy uogólnionej m 1 siłą S ls s współczynnik sprę ż ystośi cprzy obcią ż eni u masy uogólnionej m momentem S ; cią g dwuwskaznikowy współczynników tł umienia danego układu mechanicznego, gdzie '"n współczynnik tłumienia (oporu) masy w lt, na którą działa siła tł umienia R x o wartoś ci R t, r i współczynnik tłumienia (oporu) masy m 1, na którą dział a moment sił tł umienia R o wartoś ci R, r 1 współ czynnik tł umienia (oporu) masy m 1, na którą dział a siła tłumienia Ri, r współczynnik tłumienia (oporu) masy m, na którą dział a moment sił tłumienia R ; - [R] - > W jednym równaniu (sił) moment sprę ż yst y jest siłą sprę ż yst ą uogólnioną, w drugim natomiast równaniu (momentów) siła sprę ż yst a jest momentem sprę ż ystym uogólnionym.

3 O MODELOWANIU WAŁU WIELOPODPOROWEGO 43 ciąg jednowskaź nikowy uogólnionych sił tłumienia danego układu mechanicznego, gdzie Ri wartość wektora siły tłumienia R t w ruchu postę powym, R wartość wektora momentu siły tłumienia R w ruchu obrotowym, jako uogólnionej siły tłumienia 3 '; cią g jednowskaź nż kowy uogólnionych sił wymuszają cych danego układu mechanicznego, gdzie / i(/ ) wartość wektora siły wymuszają cej f Ł w ruchu postę powym, f {t) wartość wektora momentu sił wymuszają cych f w ruchu obrotowym jako uogólnionej siły wymuszają cej 4). Przyjmujemy, ż e: 1 wartość Xi przemieszczenia x t oscylatora postę powego jest proporcjonalna do wartoś ci Xx jego przyspieszenia liniowego Xj oraz wartoś ci x przyspieszenia ką towego 3t oscylatora obrotowego, czyli x ± ~ x\, x x ~ x, przy czym x ~ x ; wartość x ką ta obrotu x oscylatora obrotowego jest proporcjonalna do wartoś ci x t przyspieszenia liniowego x t oscylatora postę powego oraz wartoś ci x swojego przyspieszenia ką towego ~x, czyli x ~ x x, x ~ x, przy czym Xi ~ x x. Wynikają stą d nastę pują ce zwią zki liniowe: s x, które jeś li są spełnione przez funkcje Xi(t), x (t), róż niczkowe stanowią ce ukł ad ^11 - ^1 <~'^1"^* = = to wtedy moż na otrzymać dwa równania v^ll x l "r^lz- ^J) czyli x = 0, które są także spełnione przez te funkcje. Otrzymany ukł ad liniowy równań róż niczkowych jednorodnych o stałych współczynnikach moż emy zapisać w postaci to jest L^1 '^j L^j l_^1 *^j L*^j L J m- x + s- x 0. Wykorzystaliś my tutaj definicję mnoż enia cią gu dwuwskaź nikowego przez cią g jednowskaź nikowy podaną w pracach [1, ]. Iloczyn ten jest w przypadku szczególnym identyczny z mnoż eniem macierzy. 3) 4) Patrz notka poprzednia dotyczą ca sił y sprę ż ystej. Patrz obie'notki poprzednie.

4 44 R. KRZYWIEC Jeś li wię c na punkt materialny x o własnoś ciach m działa uogólniona siła sprę ż yst a S, to zachodzi proporcja x ~ x, czyli zgodnie z uogólnionym prawem Hooke'a [5] 5) m 'X = ś x. Taki układ mechaniczny [4] bę dziemy ilustrowali za pomocą masy na jednej sprę - ż ynce postę powo- obrotowej podatnej na odkształcenia liniowe wzglę dem współrzę dnej uogólnionej x, to znaczy w kierunku x x i wokół osi prostopadł ej do ką ta pł askiego x, który jest wartoś cią ką ta obrotu x jako wektora równoległ ego do tej osi. Przyję ty schemat rysunkowy ukł adu mechanicznego pokazano na rys. 1. Rys. 1 Definicja 1.0. Układ mechaniczny opisany równaniem róż niczkowym P{t, x{t), x(t), m, s) - Ó jednorodnym liniowym o współczynnikach stałych nazywamy bioscylatorem harmonicznym swobodnym 6 ' o dwóch stopniach swobody. Czę sto identyfikujemy równanie opisują ce zjawisko z samym zjawiskiem nazywają c je krótko bioscylatorem swobodnym. Interpretację mechaniczną bioscylatora o dwóch stopniach swobody przedstawiamy za pomocą jednej sprę ż ynk i pł askiej postę powo- obrotowej nazwanej bisprę ż ynk ą o dwóch stopniach swobody. Definicja l.l. Układ mechaniczny opisany równaniem róż niczkowym P(t, x{t), x(t) } m, niejednorodnym liniowym o współczynnikach stałych nazywamy bioscylatorem wymuszonym o dwóch stopniach swobody. 5) W pracy tej sformułowano uogólnione prawo Hooke'a układów wielokrotnych jako wielkich systemów stereomechanicznych. 0) Swobodny ze wzglę du na brak wymuszeń oraz oś rodek bez oporów. '

5 O MODELOWANIU WAŁU WIELOPODPOROWEGO 45 Model mechaniczny takiego układu jest punktem o współrzę dnej uogólnionej x posiadają cym własnoś ci m, na który dział a uogólniona siła sprę ż yst a S i wymuszają ca /, to znaczy zgodnie z prawem Newtona dla wielkich systemów [9] 7) mamy m x + x = f(t). Układ ten ilustrujemy za pomocą masy na bisprę ż ynce płaskiej obcią ż one j uogólnioną siłą wymuszają cą f. Przedstawiono go na rys.. Rys. Definicja 1.. Układ mechaniczny opisany równaniem róż niczkowym P[(t, x{t), x(t), x{t), m, 7, s, f{t)] = 0 niejednorodnym liniowym, zawierają cym x, o współ czynnikach stał ych nazywamy bioscylatorem wymuszonym tłumionym 8) o dwóch stopniach swobody. W modelu mechanicznym takiego układu należy dodatkowo uwzglę dnić tłumik postę powo- obrotowy dwuwymiarowy nazywany bitł umikiem. Pokazano go na rys. 3. W/ / / / / / / A Rys. 3 7) Jest to uogólnienie prawa Newtona dla ukł adów mechanicznych wielokrotnych, jako systemów wielkich, opisanych za pomocą cią gów wielowskaź nikowych. 81 Tłumienie może być tak zewnę trzne, jak i wewnę trzne.

6 46 R. KRZYWIEC Bitłumik uwzglę dnia tłumienie proporcjonalne do wartoś ci x prę dkoś i cuogólnionej JC, wywołane uogólnioną siłą tłumią cą R, to znaczy tak od siły tł umią cej R ± w ruchu postę - powym, jak i od momentu tłumią cego R w ruchu obrotowym punktu. W ten sposób równanie bioscylatora wymuszonego tł umionego dwuwymiarowego o dwóch stopniach swobody ma postać m x F x +,y x = f(t). Jest rzeczą zrozumiał ą, że moż na rozważ ać róż ne przypadki szczególne takiego równania róż niczkowego cią gów jednowskaź nikowych, którego współczynniki są cią gami dwuwskaź nikowymi. W szczególnoś ci ukł ad- ciąg równań rozważ anych uprzednio, mianowicie m x + r x + s x = f (t), jako cią g jednowskaź nikowy oscylatorów: 1) postę powego, ) obrotowego, w postaci r*ii 4Ą wynika z równania bioscylatora wymuszonego tłumionego. r*i. Bioscylator jednowskaź nikowy o 6 stopniach swobody Wprowadzamy oznaczenia: X Xl - x n Xl X1 X X31 X3 = ~x n x 1.- ^31 X1 X' x 3 h = 1,,3; h= 1, cią g dwuwskaź nikowy iloś ci stopni swobody (współrzę dnych niezależ nych) układu mechanicznego, gdzie j\ wskaź nik iloś ci stopni swobody okreś lonego rodzaju i wymiaru przestrzeni ortokartezjań skiej, j wskaź nik iloś ci rodzajów stopni swobody [1) przemieszczenia, ) obrotu], x ± cią g jednowskaź nikowy jako wektor przemieszczenia podczas ruchu postę powego punktu w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, x cią g jednowskaź nikowy jako wektor swobodny obrotu podczas ruchu obrotowego punktu w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej; Xl, X1 X31 = Xli X'1 x 1 X = [Xj lj ] T ; A- 1.,3; h = 1, Xl X X 3 X31 X3_ cią g dwuwskaź nikowy prę dkoś i c układu mechanicznego, gdzie j\ wskaź nik iloś ci współ rzę dnych wektora prę dkoś i c okreś lonego rodzaju, j wskaź nik iloś ci rodzajów prę dkoś i c [1) w ruchu postę powym, ) w ruchu obrotowym], x cią g jednowskaź niko-

7 O MODELOWANIU WAŁU WIELOPODPOROWEGO 47 wy jako wektor prę dkoś i c(liniowej) w ruchu postę powym punktu, x cią g jednowskaź nikowy jako wektor swobodny prę dkoś i c (ką towej) w ruchu obrotowym punktu; X = Xt x =.*1 ^1 X X _ X 3 J "x'il x 1 X31 - \T x\ x X3 A = 1,,3; cią g dwuwskaź nikowy przyspieszeń ukł adu mechanicznego, gdzie j l wskaź nik iloś ci współ rzę dnych wektora przyspieszeń okreś lonego rodzaju, j wskaź nik iloś ci rodzajów przyspieszeń [1) w ruchu postę powym, ) w ruchu obrotowym], x t cią g jednowskaź nikowy jako wektor przyspieszenia (liniowego) w ruchu postę powym punktu, x cią g jednowskaź nikowy jako wektor przyspieszenia (ką towego) w ruchu obrotowym punktu. Mamy również ki /M1] r^n '"1I p«n w 1 i [m i m ji 1 Lm i m \ l [m 1 m \ 13 p T r T r n [ m ii rn i\ \ m ti m \\ r^n r >i 1 \ [m i W.I1 [m 1 m \ [m 1 m Z \ 3 i m \ 31 [m 1 m \ 3 [m 1 m \ Z cią g czterowskaź nikowy współczynników bezwładnoś ci, jako mas uogólnionych danego układu mechanicznego, gdzie y Ł wskaź nik iloś ci rodzajów ruchu [1) postę powego, )'obrotowego], j wskaź nik iloś ci ruchów w danym rodzaju ruchu 9), j 3 wskaź nik ogólnej iloś ci 6 stopni swobody w obu ruchach: postę powym i obrotowym (trzy pierwsze wyrazy dotyczą równań sił, trzy dalsze wyrazy uwzglę dniają równania momentów sił),./4 wskaź nik trzykrotnego wystą pienia dwóch ruchów: postę powego i obrotowego ze wzglę du na dwa razy po trzy stopnie swobody układu w ruchu postę powym i obrotowym. Definiujemy także przez: S = Su S1 s l " Sil S 3 _ = Su S 1 1 C C O3J "3 A = 1,,3; h = 1, cią g dwuwskaź nikowy uogólnionych sił sprę ż ystych, gdzie j t, j wskaź niki, jak w x, cią g jednowskaź nikowy jako wektor sił sprę ż ystych lo) podczas ruchu postę - powego punktu w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, S cią g jednowskaź nikowy jako wektor swobodny momentów sił sprę ż ystych 11 ' podczas ruchu obrotowego 9) 10) 11} Patrz rozdział poprzedni. Patrz rozdział poprzedni. Patrz rozdział poprzedni.

8 48 R. KRZYWIEC punktu w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej; i ^1] r^ii s 1 1? _Ill L^1 s 11 1 I I 11 1 I I ' J1 y j1 L^l S j L 1 ^11 *1 ^11 '1 I l^ll "^1 ^1 i 'j31 1*1 y j3 L J 1 S j cią g czterowskaź nikowy współczynników sprę ż ystośi cdanego układu mechanicznego 15, gdzie 7J, j, j s, j 4 wskaź niki jak w 4 m;?u r 1 ] pn / - 1 "j I", ru J- aajuui ''J1L ''1 ''n ''1I pn ' 1I pn ' / "ll '"1 'J13 '1 ' JI L'1 /"J L'1 rj pil ' 1I pil ''lal pll _l/ 1 ''J3I L r 1 ''J3 I/ I cią g czterowskaź nikowy współczynników tł umienia danego układu mechanicznego 13 ', gdzie A, A > Ai.U wskaź niki, jak w 4 m; ^ R 1 R R 3. T 1 = [R hh Y, A = 1,,3; A- 1, cią g dwuwskaź nikowy uogólnionych sił tłumienia danego układu mechanicznego, gdzie j t,j wskaź niki, jak w x, R x cią g jednowskaź nikowy jako wektor uogólniony sił tł umienia 14 ' podczas ruchu postę powego punktu w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, R cią g jednowskaź nikowy jako wektor swobodny uogólnionych 15 ' sił (momentów sił) tł umienia podczas ruchu obrotowego punktu w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej; f(t) = Ua(O / l(0 / 3l(0 A 1 J, 3; 7 1, / n(0 /1O) A\ i(0 / (0 / ai(0 / 3 a(0j T = Ł/ WOF. cią g dwuwskaź nikowy uogólnionych sił wymuszają cych danego ukł adu mechanicznego, gdzie A,A wskaź niki, jak w x, / i(0 cią g jednowskaź nikowy, jako wektor sił wymuszają cych podczas ruchu postę powego punktu w przestrzeni euklidesowej trójwy- 1) 13) 14) 15) Patrz rozdział poprzedni. Patrz rozdział poprzedni. Patrz rozdział poprzedni. Jak wyż ej.

9 O MODELOWANIU WAŁU WIELOPODPOROWEGO 49 miarowej, f (t) cią g jednowskaź nikowy, jako wektor swobodny uogólnionych sił (momentów sił) wymuszają cych ruchu obrotowego punktu w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Zauważ my, że wprowadzone cią gi dwuwskaź nikowe, jako dwuelementowe cią gi jednowskaź nikowe mogą mieć interpretację podwójną : 1) jako cią gi dwuwskaź nikowe współrzę dnych dwóch wektorów, z których drugi jest zawsze swobodny, ) jako dwuelementowe cią gi jednowskaź nikowe wektory, z których drugi jest zawsze swobodny. Postę pując podobnie, jak w rozdziale poprzednim, formuł ujemy nastę pują ce definicje. Definicja.0. Układ mechaniczny opisany równaniem róż niczkowym P[(t), x(t), x(t), x\t), m 4 r, *s, f(t)] - 0 niejednorodnym liniowym, zawierają cym x, o współ czynnikach stałych [1, ] nazywamy bioscylatorem wymuszonym tł umionym 16 ' o sześ ciu stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Zgodnie z przyję tymi oznaczeniami mamy: Ii m i ' 1 p L'' pil W /"il 1 pul JiiL^J 'JI L * j ^11 pul [>n I'"li '"J1 L* 5J1 ' 1 m l m \ x 31 [x 31 ] U3J U3 1 [!"1 J3 L ;C 3j r 1l r^zll [''li ''1I I - ^31 1 r r i- *31 L^1 S J1 1. L r 1 'J L^- J L'1 '.I3 L- V 3j " 11 pil ^lzj pll pil?] + r, U r/n(01 ~ L/1 (Oj fn(f) / 1WJ' III le) / MJ 3I J3I ^1.1 1^1 S 'j L"^j L^l S : ^1] [wn m Tłumienie może być zewnę trzne, jak i wewnę trzne. ^ J L'"1 W; >Ć l l [''li '' ^ J L^l '': p 31 f:i - L 3J 4 Mechanika Teoretyczna

10 50 R. KRZYWIEC czyli Izie ' ryi m l3 m '/w 33. ~ r r '11 '1 '13 x, x]+\ 3 'r t 7j, fj 3 i«_. k x = kx = kx U, x, 3 x] + * 1 3 J(t) s 3 / (0 3/ (0 A;«1,,3 oraz /3l(01 3 / (0 = / 3(O przy czym mnoż enie cią gów dwuwskaź nikowych przez cią gi jednowskaznikowe jest zgodne z reguł ą mnoż enia macierzy, co wyjaś nia schemat przyję tego mnoż enia cią gów czterowskaź nikowych przez cią gi dwuwskaź nikowe 17), w którym obowią zuje mnoż enie wierszy 4 m przez wiersz \jx, x, 3 x\. Modelem mechanicznym takiego układu jest punkt o współrzę dnej uogólnionej x posiadają cy własnoś ci bezwładnoś ciowe 4 / n, na który dział a uogólniona siła sprę ż yst a S oporu (tłumienia) R i wymuszają ca f. Przedstawimy go w postaci masy skupionej na bisprę ż ynce postę powo- obrotowej, przedstawiają cej sześć stopni swobody układu w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej z dołą czonym bitłumikiem postę powo- obrotowym. Bisprę ż ynka obrazuje uogólnione siły sprę ż yst e S proporcjonalne do sił bezwł adnoś ci (o czterowskaź nikowych współczynnikach proporcjonalnoś ci). Bitłumik uwzglę dnia tłumienie proporcjonalnie do prę dkoś ic uogólnionej x, wywołane uogólnioną siłą tł umienia R, to znaczy pochodzą ce od siły tłumią cej R x w ruchu postę powym układu, jak i od siły uogólnionej (momentu siły) R w jego ruchu obrotowym. Definicja.1. Układ mechaniczny opisany równaniem róż niczkowym P[t, x{t) H(t), *in, 4 s, / (0] = 0 niejednorodnym liniowym o współczynnikach stałych nazywamy bioscylatorem wymuszonym o sześ ciu stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Zgodnie z przyję tymi oznaczeniami mamy m lx m 1 m l3 m 1 m m 3 m 3l m 3 m 33 X, 3 X] + S \ x, 3 x\ /(0 17) Kilka reguł mnoż enia cią gów wielowskaź nikowych przez cią gi wielowskaź nikowe sformuł owano w pracach [1, ]. '...' «t-

11 O MODELOWANIU WAŁU WIELOPODPOROWEGO 51 czyli W modelu mechanicznym takiego ukł adu nie wystę puje bitł umik, ponieważ oś rodek, w którym odbywa się ruch, jest idealny, bezoporowy i nie istnieją siły tłumią ce. Zauważ my, że bioscylator dwuwskaź nikowy o sześ ciu stopniach swobody skonstruowany jest z trójelementowego cią gu (wymiar przestrzeni euklidesowej) cią gów jednowskaź nikowych bioscylatorów o dwóch stopniach swobody. W przypadku szczególnym [m 1X m 1 j Lm 1 m r 11l] [''li '"1I r \ = \r r V r 1J L'1 'J li ~ X ~, oraz przy pozostałych współczynnikach równych zeru, otrzymujemy równanie bioscylatora wymuszonego tł umionego o dwóch stopniach swobody: wyprowadzone w rozdziale poprzednim. W szczególnoś ci wynika stą d równanie oraz równanie m x + r x + s x x x = f (t) oscylatora obrotowego, które wprowadziliś my w rozważ aniach poprzednich. W ten sposób pokazaliś my, że oba odrę bne równania dwóch niezależ nych ruchów moż na uogólnić w podanym wyż ej sensie bioscylatora dwuwskaź nikowego o sześ ciu stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Pokaż emy jeszcze dalsze uogólnienia tego problemu, mianowicie rozszerzają c rozważ ania na przestrzeń w- wymiarową. 3. Bioscylator dwuwskaź nikowy o «stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej «- wymiarowej Zauważ my, że równanie bioscylatora o n stopniach swobody w przestrzeni n- wymiarowej ma postać wielowskaź nikową analogiczną do równania bioscylatora o 3 stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, które rozpatrywaliś my wyż ej 18). 18> Rozdział poprzedni. 4*

12 5 R. KRZYWIEC Wynika to stą d, że walencje zewnę trzne (wskaź niki po stronie lewej u góry) cią gów dwuwskaź nikowych zmiennych niezależ nych x, x, x pozostają niezmienione. Powię ksza się jedynie wymiar ich walencji wewnę trznych oraz wymiar tych walencji wewnę trznych cią gów współczynników, które wskazują na wymiar przestrzeni ortokartezjań skiej. Obecnie przestrzeń ta jest H- wymiarowa. Wobec tego mamy Xi\... X [ n i I r IT '"' xfl... x$\ = L L = {XjiJl] ' h - 1,, k = 0, 1, 19 >; 4 m = \ m hh \ = [m hhhi4 ], j, = j - 1, ; 7; = y 4 = 1,...,«; R = - r = [ O3J4J = [O1JJ3J4J' _Rnl s = L S J3W = ni A-i»; h = 1.; U] 1 Ul *nl "Jn / ii(0.-./ - 0i( / l(0 Uwzglę dniając dotychczasowe rozważ ania, układ równań nazywamy równaniem wielocią gowym [1, ] bioscylatora wymuszonego tłumionego o n stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej ^- wymiarowej. Wystę pują tu dwucią gi funkcji i pochodnych oraz czterocią gi współczynników stałych. 4. Cią g w- wskaź nikowy bioscylatorów o n sztopniach swobody w przestrzeni euklidesowej n- wymiarowej Przyjmijmy, że w przestrzeni euklidesowej ^- wymiarowej mamy w rodzin, czyli cią g w- wskaź nikowy bioscylatorów, przy czym każ da z nich zawiera n q, q = 1,...,w bioscylatorów wymuszonych tłumionych o n stopniach swobody. Wtedy j ą q = 3,..., gdzie wskaź nik k = 0 dotyczy funkcji czasu, wskaź nik k = 1 dotyczy pierwszej pochodnej, wskaź nik k dotyczy drugiej pochodnej funkcji czasu. 19) Wskaź nik k = 0 dotyczy funkcji, k = 1 pierwszej pochodnej, k = drugiej pochodnej wzglę dem czasu.

13 O MODELOWANIU WAŁU WIELOPODPOROWEGO 53 Jest rzeczą zrozumiał ą, że Siły wymuszają ce (strony prawe równań ), jak i wszystkie siły są również cią gami (+ w)- wskaź nikowymi. Współ czynniki przy funkcji +w x, pochodnej pierwszej + w +w x, pochodnej drugiej x są [1, ] ( + H')- wskaź nikowe, to znaczy mają postać (+ w) w, < + w >7, < + w >j. Wskaź niki nieparzyste przedstawiają «wiersze», wskaź niki parzyste natomiast «kolumny» układu wielocią gowego równań róż niczkowych: dla te</ i, ty, wypisanego na podobień stwo ukł adu «macierzowego» równań. Jest to równanie róż niczkowe wielocią gowe w- wskaź nikoweg o bioscylatora wymuszonego tł umionego o «stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej n- wymiarowej. Wystę pują tu (+ w)- cią gi funkcji i pochodnych oraz ( + w)- cią i gwspół czynników stał ych. Zauważ my, że w przypadku w = 0, mamy równanie bioscylatora dwuwskaź nikowego o «stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej «- wymiarowej, które był o tematem rozważ ań rozdział u poprzedniego. 5. Cią g trójwskaź nikowy bioscylatorów o 3 stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej Przyjmijmy obecnie n = 3 i w = 3, to znaczy rozważ my w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej trzy rodziny, czyli cią g trójwskaź nikowy bioscylatorów przyjmują c, że każ da z nich zawiera n ą, q = 1,, 3 bioscylatorów wymuszonych tł umionych o 3 stopniach swobody. Mamy teraz a+»x» - ftj5w«ij.. A- 1..3; 7,- 1,; j q = 1,...,«,; ^ = 3,4,5, gdzie j\ jest wskaź nikiem wymiaru przestrzeni euklidesowej, j wskaź nikiem iloś ci ruchów (rodzajów stopni swobody), J a wskaź nikiem iloś ci bioscylatorów pierwszej rodziny (rodzaju), j 4 wskaź nikiem iloś ci bioscylatorów drugiej rodziny (rodzaju), j s wskaź nikiem iloś ci bioscylatorów trzeciej rodziny (rodzaju) k = 0 wskaź nikiem funkcji czasu +3 x i k = 1 wskaź nikiem pierwszej pochodnej +3 x, k = wskaź nikiem drugiej pochodnej +3 x funkcji czasu. Stą d wynika, że Siły wymuszają ce (prawe strony równań ), jak i wszystkie siły są również cią gami (+ 3)- wskaź nikowymi. Współ czynniki przy funkcji +w x, pochodnej pierwszej +w x, pochodnej drugiej +w x są [1,] (+ 3)- wskaź nikowe, to znaczy mają postać <+ 3) m, ( + 3 )r, ( + 3 >S.

14 54 R. KRZYWIEC Wskaź niki nieparzyste przedstawiają «wiersze», wskaź niki parzyste natomiast «kolumny» układu pię ciowskaź nikowego 0 ' równań róż niczkowych o współczynnikach dziesię ciowskaź nikowych : 10 m- IX+ 10 } ft+ 10 s {x = ff(t), dla te(t u t\ wypisanego na podobień stwo ukł adu «macierzowego». Jest to równanie róż niczkowe pię ciocią gowe (pię ciowskaź nikowe ) bioscylatora wymuszonego tł umionego o 3 stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Gdy walencja zewnę trzna (wskaź nik po lewej stronie u góry) w, to mamy równanie bioscylatora dwuwskaź nikowego o 6 stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, które było tematem rozważ ań rozdziału. 6. Modelowanie wału waż kiego z wieloma tarczami na wielu podporach za pomocą bioscylatora pię ciowskaź ni - kowego o sześ ciu stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej Widzimy, że rozpatrywane oscylatory i bioscylatory moż na było uogólnić na przestrzenie wielowymiarowe. Obecnie pokaż emy, że moż na je, mię dzy innymi, zastosować do modelowania omówionej na począ tku trójelementowej konstrukcji k złoż onej z waż kiego wał u sprę ż ystego obcią ż onego dowolną, skoń czoną liczbą waż kich tarcz, podpartego w dowolnej, skoń czonej iloś ci łoż ysk zwanych podporami. Zakł adamy przy tym, że nie uwzglę - dniamy współdziałania innych elementów maszyny, urzą dzenia, zespoł u maszyn, w skł ad których wchodzi omawiana konstrukcja k, sama traktowana jako element cią gu wielowskaź nikowego podzespołów pewnego układu mechanicznego nazwanego systemem maszynowym. Inaczej mówią c, wał z tarczami i ł oż yskami rozpatrujemy jako izolowany układ mechaniczny, chociaż jest on podsystemem złoż onego systemu maszynowego. W rozdziałach poprzednich pokazaliś my, że konstrukcja k: 1) istnieje w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, w której ) pewne przekroje wału jako elementarne twory trójwymiarowe posiadają dwa rodzaje ruchów, mianowicie postę powe wzdł uż trzech osi ortokartezjań skiego ukł adu odniesienia oraz obrotowe dookoła tych trzech osi; 3) została sprowadzona do trzech rodzajów przekrojów wał u, mianowicie podporowych, obcią ż onych tarczami, obcią ż onych masami zredukowanymi. Te pię ć zasadniczych elementów dotychczasowych rozważ ań, czyli: wymiar przestrzeni, ilość rodzajów ruchów przekrojów wał u, przekroje podporowe, przekroje obcią ż one tarczami, przekroje obcią ż one masami zredukowanymi, wprowadziliś my do modelu matematycznego układu mechanicznego nazwanego cią giem trójwskaź nikowym bioscylatorów, czyli bioscylatorem pię ciowskaź nikowym o 3 stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Wobec tego moż emy przyją ć, ż e: a) pierwszą rodzinę rozważ anych w rozdziale poprzednim bioscylatorów stanowi n 3 podpór konstrukcji k z przekrojami podporowymi, 0) To znaczy pię ciocią gów funkcji, pochodnych pierwszych i pochodnych drugich.

15 O MODELOWANIU WAŁU WIELOPODPORQWEGO. 55 b) drugą rodzinę bioscylatorow stanowi n 4 tarcz z przekrojami wał u, na których są one osadzone, c) trzecią rodzinę bioscylatorow stanowi «5 mas zredukowanych wału z tymi jego przekrojami, do których przeprowadzono redukcję jego masy cał kowitej. Reasumują c stwierdzamy, że jeś li: 1)^ = 1,..., n ls «i = 3 jest wskaź nikiem wymiaru przestrzeni euklidesowej, ) j = 1,...,n, n = jest wskaź nikiem rodzajów ruchu postę powego lub obrotowego, 3) j a 1,..., n 3 jest wskaź nikiem iloś ci łoż ysk (podpór) z przekrojami podporowymi, 4)./ 4 = 1 «4 jest wskaź nikiem iloś ci tarcz z przekrojami wał u oraz 5) j s = 1,...,«5 jest wskaź nikiem iloś ci mas zredukowanych z odpowiednimi przekrojami wał u, to ruch sprę ż yste j konstrukcji k, jako układu pię ciocią gowego (pię ciowskaź nikowego) bę dą cego wielkim " systemem dynamicznym [4], zgodnie z drugim prawem Newtona [9] oraz przy uwzglę dnieniu prawa Hooke'a [5] w oś rodku z oporami i przy istnieniu sił wymuszają cych, jest opisany za pomocą systemu wielkiego bioscylatorow, mianowicie równaniem bioscylatora pię ciowskaź nikowego o sześ ciu stopniach swobody w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej: gdzie stałe współczynniki są cią gami dziesię ciowskaź nikowymi [1, ]. W literaturze znane są tylko niektóre przypadki szczególne [10, 11] rozwią zań ukł a- dów równań róż niczkowych nazwanych tutaj bioscylatorem pię ciowskaź nikowym. Być może warto zają ć się nimi korzystają c z elektronicznej techniki obliczeniowej lub konstruują c odpowiednie analogi elektryczne, za pomocą których rozwią zanie danych wielocią gowych ukł adów równań przedstawionych algorytmami macierzowymi nie był oby zbyt trudne. Literatura cytowana w tekś cie 1. R. KRZYWIEC, Wielocią gi, Praca doktorska, nie publikowana.. R. KRZYWIEC, Cią giwielowskaż nikowe,zagadnienia Drgań Nieliniowych, 11 (1971). 3. M. T. HUBER, Stereomechanika Techniczna, Warszawa R. KRZYWIEC, O formalizowaniu poję cia układu, Arch, Bud. Masz., (1971). 5. R. KRZYWIEC, O wielowskaź nikowymuogólnieniu prawa Hooke'a ukł adów stereomechanicznych wielokrotnych jako systemów wielkich, Zagadnienia Drgań Nieliniowych, 11 (1971). 6. L. S. PONTRIAGIN, Równania róż niczkowezwyczajne, Warszawa W. W. STIEPANOW, Równania róż niczkowe,warszawa R. KRZYWIEC, Wielowskaż nikowerównania Lagrange'a drugiego rodzaju ukł adów mechanicznych wielokrotnych jako systemów wielkich, Zagadnienia Drgań Nieliniowych, 11 (1971). 9. R. KRZYWIEC, Wielowskaż nikoweuogólnienie prawa dynamiki ukł adów wielokrotnych wielkich systemów mechanicznych, Zesz. Nauk. Politechniki Czę stochowskiej, 1971, nr 7, Mechanika, z B. A. FPOBOBJ AcuMnmomunecKue Memodu pacnema U3IHBHUX KOjieóamu eaaoe myp6omatuun, MocKBa <E>. M. JtHMEHTEEPr, HseuSnue Kone6aHUH epaufawufuxch ea/ ioe, MocKBa > Wielkim nazywamy system, który jest opisany zmiennymi wielocią gowymi, gdzie cią g wielowskaź nikowy moż na nazywać wielkim systemem cią gów, zgodnie z pracami autora [1,, 1, 13].

16 56 R. KRZYWIEC 1. R. KRZYWIEC, Organizacja wielocią gowa systemów wielkich {Wstę pdo teorii systemów wielkich), Praca habilitacyjna (w druku). 13. R. KRZYWIEC, Materiał y Seminarium na temat: «Modelowanie matematyczne systemów wielkich». prowadzonego przez autora w ZUM IPPT PAN (przygotowane do druku). P e 3 io M e O MOJIEJIHPOBAHHH MHOronOJIIIIHnHHKOBOrO BAJIA CO M H OrH M H flhckamh C nomoujłk) EOJIŁIIIOfł CHCTEMBI EHOCUHJIWrOPOB ^lactb II. EHOCIJHJIJIflTOPBI CO MHOEHMH HHWEKCAMH. MOflEJIHPOBAHHE BAJIA B pa6ote noctpoeha npocran, HO ophrhhanbhaa fthckpe- rhah moflenh ynpyroro BecOMOro Bana Ha MHorHX ynpyrhx onopax Harpy>i<eHHOro MHOrHMH #nci<amh. Moflextwo HBJiaeTCH 6HOCL(H.JDI5ITOP co MHO- THMH HHfleKcaniH c mectłio CTeneHłiMH cbosoflti (TPH fljw nocrynatejibhoro, H Tpn p,na HBH>KeHHH), MOflejiHpyioiHHH: n 3 naonophtix cetieimii Sana, n 4 cetjehhh HarpyweHHbix c flhckob, n 5 ceiehhh nphbeflehhh Mace B iii - MepHOM npocrpanctbe, npa yqete n BH^OB PaccywfleHHii BeflyTCH Ha srabike MHoroKpaTHŁK nocjieflobaiejibhocteft, ajire6pa H snemehtbi ahajih3a KOTopbix cijiopmyjihpobahbi abtopom B OTflejibHOH pa6ote. nonyqehhbie flhdpcjjepehqhajibhbie ypabhe- HHH coflep>i<at nhthkpathłie nocjieflobatejibhocth, c KO3<J>4pHn;HeHTaMH BtipamaioiUHMHCH ^epe3 flecath- KpaTHbie nocneflobatejibhocth. Summary ON MODELLING THE MULTI- SPAN SHAFTS WITH SEVERAL DISCS BY MEANS OF A GREAT SYSTEM OF BI- OSCILLATORS. PART II. MULTI- INDICIAL BI- OSCILLATORS. MODELLING OF A SHAFT A simple, original discrete elastic model is constructed of a ponderable elastic shaft, resting on several elastic supports and loaded by many discs. It is a multi- indicial bi- oscillator with six degrees of freedom (three translations, three rotations), which is used to model: n 3 cross- sections at the supports, n 4 crosssections loaded by discs, n 5 cross- sections of mass reduction in rti dimensional space, at «kinds of motion. The terminology of "multiseries" is used in the paper, their algebra and foundations of analysis being presented by the author in a separate paper. The differential equations derived are «five- series» with coefficients being expressed by «ten- series» sequences. UNIWERSYTET WARSZAWSKI, FILIA W BIAŁYMSTOKU Praca została złoż onaw Redakcji dnia 9 lipca 197; w wersji ostatecznej dnia 9 maja 1974 r.