Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Modelowanie matematyczne elementów systemu sterowania (obwody elektryczne, mechaniczne i płynowe) Zadania do ćwiczeń termin T1 i T2 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Michał Grochowski, dr inż. Robert Piotrowski, dr inż. Tomasz Rutkowski, dr inż. 1
Zadanie 1 Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy siłą F 1 (t) a siłą F 2 (t) działającymi na dźwignię dwuramienną przedstawioną na Rysunku 1. r 2 r 1 F 2 (t) F 1 (t) Rysunek 1. Dźwignia dwuramienna Podpowiedź: Skorzystaj z zasady zachowania momentu siły. Zadanie 2 Na podstawie prawa Ohma, I i II prawa Kirchoff a oraz zależności między napięciami i prądami zbudować model matematyczny wiążący prąd wyjściowy i wy (t) z prądem wejściowym i we (t) nieobciążonego prądowo obwodu przedstawionego na Rysunku 2. i we (t) i 2 (t)=i wy (t) i 1 (t) u we (t) u 1 (t) R 1 u 2 (t) R 2 Rysunek 2. Obwód elektryczny RR (dzielnik prądu) Zadanie 3 Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem wejściowym u we (t) a napięciem wyjściowym u wy (t) nieobciążonego prądowo czwórnika RC (kondensator ładowany przez rezystor) przedstawionego na Rysunku 3. R i R (t) i obc (t) u R (t) i C (t) u we (t) u C (t) C u wy (t) Rysunek 3. Obwód elektryczny RC 2
Zadanie 4 Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem wejściowym u we (t) a prądem płynącym przez układ i RL (t) czwórnika RL przedstawionego na Rysunku 4. R i RL (t) u R (t) u we (t) u L (t) L Rysunek 4. Obwód elektryczny RL Zadanie 5 Rozpatrzmy system mechaniczny amortyzatora samochodowego, przedstawiony na Rysunku 5. badanie zależności pomiędzy siłą f(t) działającą na masę m a jej przesunięciem wzdłuż osi y oraz pomiędzy siła f(t) a prędkością masy m wzdłuż osi y. a) b) f(t) m y k B 3 gdzie: m masa nadwozia samochodu k współczynnik sprężystości amortyzatora B współczynnik tłumienia amortyzatora Rysunek 5. Amortyzator samochodowy: a) rzeczywisty amortyzator samochodowy (foto: http://www.autoklimatyzacja.com.pl) b) prosty model ideowy amortyzatora samochodowego
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 5, zgodnie z wymogami zadania przyjmujemy następujące założenia: - ruch odbywa się w płaszczyźnie w kierunku zaznaczonej osi y, - na system nie oddziaływają żadne zewnętrzne siły poza siłami przedstawionymi na Rysunku 5. Z założeń wynikają następujące fakty: - system nie będzie się nam bujał na boki, porusza się na płaszczyźnie wzdłuż tylko jednej osi y, - nie uwzględniamy żadnej z sił, która nie jest zaznaczona na Rysunku 5 jako siła zewnętrzna, - nie uwzględniamy siły ciążenia, w zadaniu się o niej nie wspomina (jej uwzględnienie wprowadza jedynie drobne modyfikacje do modelu wynikowego), - uwzględniamy siłę bezwładności (II zasad dynamiki Newtona), - dodatkowo uwzględniamy następujące siły: zewnętrznego wymuszenia f(t), siłę sprężystości i tłumienia amortyzatora. Zadanie 6 Rozpatrzmy system mechaniczny połączenie sprężyste pomiędzy lokomotywą a wagonikiem przedstawiony na Rysunku 6. analizę zachowania systemu (położenie i prędkości lokomotywy i wagonika) ze względu na parametry połączenia sprężystego pomiędzy lokomotywą a wagonikiem. a) b) x f ( t) k m 1 m 2 Rysunek 6. System mechaniczny lokomotywa-wagonik : a) układ rzeczywisty (foto: http://www.ptkigk.com) b) prosty model ideowy składu lokomotywa-wagonik 4
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 6, zgodnie z wymogami zadania przyjmujemy następujące założenia: - kolejka porusza się na płaszczyźnie, w jednym kierunku wzdłuż zaznaczonej osi x ze stałą prędkością, - na układ działa siła ciążenia, kolejka może się poruszać z dużymi prędkościami względnymi w wyniku czego należy uwzględnić siłę tarcia tocznego w odpowiedniej postaci (siła tarcia tocznego zależna od prędkości). Z założeń wynikają następujące fakty: - system nie będzie się nam bujał na boki, porusza się na płaszczyźnie wzdłuż jednej osi, - uwzględniamy siłę bezwładności (II zasad dynamiki Newtona), - uwzględniamy siłę ciążenia, - dodatkowo uwzględniamy siły: zewnętrznego wymuszenia f(t) (napęd lokomotywy), siłę sprężystości połączenia lokomotywa-wagonik (masa m1 masa m2), siła tarcia tocznego na styku kółka kolejki a tory (zależną od prędkości po ponieważ kolejka porusza się z dużymi prędkościami względnymi co wynika z założenia zadania). W przypadku małych prędkości względnych, siła tarcia nie zależałaby od prędkości. Uwzględnienie jej w takiej postaci nieznacznie zmodyfikuje dalsze równania. Zadanie 7 Rozpatrzmy system płynowy ( zbiornik ze swobodnym wypływem ) przedstawiony na Rysunku 7. analizę zależności pomiędzy poziomem wody w zbiorniku h a natężeniem dopływu wody Q we do zbiornika. Natężenie dopływu wody Q we Powierzchnia lustra wody A Poziom wody w zbiorniku h Objętość wody w zbiorniku V Zawór Natężenie wypływu wody Q wy Rysunek 7. System płynowy zbiornik ze swobodnym wypływem 5