Logika Stosowana. Wykład 5 - Zbiory i logiki rozmyte Część 1. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana Wykład 5 - Zbiory i logiki rozmyte Część 1 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 36

Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 2 / 36

Źródła pojęć rozmytych W odróżnieniu od precyzyjnego ale ograniczonego języka, jakiego używaliśmy dotąd do opisywania pojęć wykorzystywanych do budowania systemów (logicznego) wnioskowania, pojęcia w świecie rzeczywistym są zwykle określone znacznie mniej dokładnie. Weżmy dla przykładu zdanie z języka naturalnego: Jaś jest wysoki Może ono wyrażać różne rzeczy zależnie od kontekstu czy perspektywy (np. pojęcie wysoki może byc inne w Japonii). Jednak jeśli chcemy wprowadzić dane Jasia do komputera, musimy podać jego wzrost dokładnie - powiedzmy 190 cm. A co jesli nie wiemy jak (dokładnie) wysoki jest Jaś? Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 3 / 36

Źródła pojęć rozmytych Na codzień doskonale radzimy sobie z rozumieniem zdań takich jak: Potrzeba około 40 minut, aby dojechać na lotnisko o ile ruch uliczny nie jest zbyt duży. Co jednak, gdybyśmy chcieli zmusić komputer, aby rozumiał i posługiwał się takimi pojęciami? Jak moglibyśmy przetwarzać w maszynie takie stwierdzenia? W jaki sposób reprezentować około czy zbyt duży? Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 4 / 36

Pojęcia i zbiory rozmyte W 1965 Lotfi Zadeh zaproponował nowe spojrzenie na pojęcie zbioru i należenia. Jego celem było umożliwienie wyrażania zależności, które są ze swojej natury niedokładne, żozmyte"(ang. fuzzy). Wróćmy do przykładu stwierdzenia w języku naturalnym: Jaś jest wysoki. Jeżeli wiemy, że Jaś ma 175 cm wzrostu, to możemy się zastanawiać nad prawdziwością powyższego stwierdzenia. W terminach klasycznej teorii mnogości, musielibyśmy twardo zdecydować, czy 175 cm kwalifikuje Jasia jako wysokiego czy nie. W teorii zbiorów rozmytych, możemy wyrazić to subtelniej, określając w jakim stopniu można uznać Jasia za osobę wysoką. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 5 / 36

Zbiory rozmyte W klasycznej teorii mnogości każdy podzbiór A w pewnej przestrzeni X można utożsamić z jego funkcją charakterystyczną określoną jako: { 1 gdy x A χ A (x) = 0 gdy x / A W przypadku teorii zbiorów rozmytych zastępujemy binarną funkcję charakterystyczną χ A przez funkcję przynależnoci µ A : X [0, 1]. Funkcję µ A nazywamy funkcją przynależności lub funkcją należenia. Jeżeli x X µ A (x) {0, 1} to zbiór A jest zbiorem w zwykłym sensie i jest nazywany zbiorem ostrym, definiowalnym lub dokładnym (ang. crisp). Jeżeli istnieje x X takie, że 0 < µ A (x) < 1 to zbiór A jest rozmyty. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 6 / 36

Zbiory rozmyte przykłady Klasycznym przykładem zbioru rozmytego jest zbiór prawie zero (near zero) przedstawiony przez Zadeha dla reprezentowania pojęcia liczby rzeczywistej bliskiej 0. Ten zbiór może być zadany na przykład następującą funkcją przynależności: Która wygląda tak: µ prawie zero = 1 1 + x 2 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 7 / 36

Zbiory rozmyte przykłady Wcześniej rozważane pojęcie wysoki, może być zadane dla wzrostu x w centymetrach funkcją przynależności: 0 if x 125 µ wysoki = 1 if x 185 x 185 2 + 1 if 125 < x < 185 Kóra wygląda tak: 1 µ wysoki 125 185 Wzrost w cm Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 8 / 36

Zbiory rozmyte przykłady Inny przykład to zbiory rozmyte reprezętujące trzy pojęcia zimny (cold), ciepły (warm) i gorący (hot), dla x będącego temperaturą w stopniach. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 9 / 36

Zbiory rozmyte definicje i własności Aby móc mówić o teorii zbiorów trzeba wprowadzić podstawowe pojęcia. Zbiór normalny Powiemy, że zbiór rozmyty A zadany przez funkcję przynależności µ A : X [0, 1] jest normalny jeśli x X µ A (x) = 1. Zawieranie romyte Niech A, B będą zbiorami rozmytymi w tej samej przestrzeni X. Zbiór rozmyty A jast zawarty zbiorze rozmytym B (A B) wtedy i tylko wtedy, gdy x X µ A (x) µ B (x). Charakterystyki zbioru rozmytego Dla danego zbioru rozmytego A określamy następujące wartości: Wysokość A: height(a) = h(a) = max x X µ A (x). Nośnik A: Supp(A) = {x X : µ A (x) > 0}. Jądro A: Core(A) = {x X : µ A (x) = 1}. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 11 / 36

Zbiory rozmyte definicje i własności Dla dobrego określenia własności zbiorów rozmytych musimy wprowadzić podstawowe pojęcia takie jak zawieranie czy zbiór pusty. Pusty zbiór rozmyty Powiemy że zbiór rozmyty jest pusty wtedy i tylko wtedy gdy x X µ (x) = 0 Normalnie moc zbioru mierzymy liczbą jego elementów. W przypadku zbiorów rozmytych posługujemy się funkcją przynależności. Moc zbioru rozmytego Dla danego zbioru rozmytego A określamy jego moc { n P ower(a) = A = i=1 µ A(x) gdy X = {x 1,..., x n } X µ A(x)dx w p.p. Wprowadzimy teraz operacje mnogościowe na zbiorach rozmytych. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 12 / 36

Zbiory rozmyte operacje W przypadku zbiorów rozmytych operacje takie jak suma, dopełnienie czy przecięcie możemy definiować na wiele sposobów. Jednakże w przeważającej większości (ponad 90%) zastosowań praktycznych wykorzystujemy minimum stopni przynależności (jako przecięcie) i maksimum stopni przynależności (jako sumę). Podstawowe operatory na zbiorach rozmytych Dla zbiorów rozmytych A i B o funkcjach przynależności (odpowiednio) µ A i µ B, mamy: Suma zbiorów rozmytych A B: µ A B = max(µ A, µ B ). Przecięcie zbiorów rozmytych A B: µ A B = min(µ A, µ B ). Dopełnienie zbioru rozmytego \A: µ \A = 1 µ A. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 14 / 36

Zbiory rozmyte operacje µ B (x) µ B (x) µ A (x) µ A (x) x x Alternatywą dla operatorów min i max są na przykład: µ A B = max(0, µ A + µ B 1), µ A B = min(1, µ A + µ B ) tak zwane operatory Łukasiewicza. µ A B = µ A + µ B µ A µ B, µ A B = µ A µ B tak zwane operatory produktowe. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 15 / 36

Ważna uwaga o zbiorach rozmytych Jest bardzo ważne, zby zdawać sobie sprawę, że: 1 Teoria zbiorów rozmytych NIE jest alternatywą dla klasycznej teorii mnogości. Jest ona rozszerzeniem klasycznej teorii mnogości, które nie może istnieć niezależnie od niej. Aparat klasycznej teorii mnogości jest niezbędny w definicji zbioru rozmytego. Zatem teoria zbiorów rozmytych nie jest niezależna od teorii mnogości. 2 Teoria zbiorów rozmytych, pomimo pozornych podobieństw, NIE jest w stanie zastąpić wnioskowań probabilistycznych. Fakt, że obie teorie są oparte o wartości w przedziale [0, 1] nie wystarcza. Może być tak, że nie istnieje rozkład prawdopodobieństwa, który opisuje zadaną rodzinę zbiorów rozmytych. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 16 / 36

Reguły lingwistyczne Reguły lingwistyczne (rozmyte) to wyrażenia postaci: IF A 1 AND A 2 AND... AND A k THEN D gdzie warunki A 1,..., A k i decyzja D odpowiadają zbiorom rozmytym. Na przykład: IF pogoda jest dobra AND ruch jest niewielki AND mamy dość paliwa THEN będziemy na lotnisku za około 30 minut. Takie reguły możemy otrzymywać od ekspertów lub wydobywać (uczyć się) z danych eksperymentalnych. Aby ich używać wykorzystująć zbiory rozmyte posłużymy się (logicznymi) operatorami rozmytymi. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 18 / 36

Operatory rozmyte W przypadku klasycznych zbiorów posługujemy się jednoznacznie określonymi operacjami takimi jak suma, dopełnienie, przecięcie czy różnica symetryczna. W przypadku zbiorów rozmytych możemy definiować takie operacje na (nieskończenie) wiele sposobów. Wynika to z faktu że istnieje wiele: 1 Funkcji spełniających warunki dla T-normy odpowiednik przecięcia. 2 Funkcji spełniających warunki dla T-konormy (S-normy), odpowiednik sumy. 3 Funkcji spełniających warunki dla dopełnienia (negacji). Dalej przedstawimy różne przykłady takich funkcji. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 21 / 36

Przecięcie rozmyte T-norma Każda sposród funkcji należących do klasy T-norm może byc wykorzystana jako przecięcie zbiorów rozmytych. Definicja T-norma T-normą nazwiemy każdą funkcję T : [0, 1] 2 [0, 1] spełniającą następujące warunki dla a, b, c, d [0, 1]: Przemienność: T (a, b) = T (b, a); Łączność: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c); Monotoniczność: T (a, b) T (c, d) gdy a c, b d; Tożsamość jedynki: T (a, 1) = a Jak łatwo zauważyć, funkcja T (a, b) = min(a, b) jest prawidłową T-normą. Co więcej, funkcja min(.,.) jest elementem maksymalnym (punktowo) w klasie T-norm. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 22 / 36

Rozmyta suma T-konorma (S-norma) Analogicznie, sumę zbiorów rozmytych będziemy definiowali używając pojęcia S-normy (zwanej też T-konormą). Definicja S-norma S-normą (T-konormą) nazwiemy każdą funkcję S : [0, 1] 2 [0, 1] spełniającą następujące warunki dla a, b, c, d [0, 1]: Przemienność: S(a, b) = S(b, a); Łączność: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c); Monotoniczność: S(a, b) S(c, d) gdy a c, b d; Tożsamość zera: S(a, 0) = a Widzieliśmy już przykłady T-norm i S-norm: T (a, b) = max(0, a + b 1), S(a, b) = min(1, a + b) operatory Łukasiewicza. T (a, b) = ab, S(a, b) = a + b ab operatory produktowe. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 23 / 36

Dopełnienie rozmyte Dopełnienie zbioru (negację rozmytą) możemy także zdefiniować dla zbiorów rozmytych na wiele sposobów. Definicja dopełnienie rozmyte (negacja) Operatorem neacji nazwiemy każdą funkcję N : [0, 1] [0, 1] spełniającą następujące warunki dla a, b [0, 1]: Zachowywanie stałych: N(0) = 1;N(1) = 0; Odwracanie porządku: N(a) N(b) gdy b a; Inwolucja: N(N(a)) = a. Jeżeli w powyższej definicji nie jest spełniony warunek inwolucji to mamy do czynienia z tak zwaną negacją intuicjonistyczną. Najcześciej (praktycznie zawsze) używanym przykładem operacji dopełnienia jest µ \A (x) = 1 µ A (x). W dalszej części wykładu będziemy zawsze przyjmować, że posługujemy się właśnie tą operacją negacji. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 24 / 36

Dualność T-norm i S-norm Posiadanie operatora negacji pozwala na definiowanie S-normy (T-konormy) dualnej do zadanej T-normy (i vice versa). Definicja S-norma dualna Dla T-normy T : [0, 1] 2 [0, 1] definiujemy S-normę (T-konormę) dualną S, jako: S(a, b) = N(T (N(a), N(b))) W większości przypadków będziemy się posługiwać: S(a, b) = 1 T (1 a, 1 b) W większości przypadków będziemy sie ograniczać do pary min/max. Ważną własnością tej pary operacji jest spełnianie praw rozdzielności: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Ponadto, min (max) są jedynymi idempotentnymi operacjami w klasie T-norm (T-konorm). Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 25 / 36

Relacje rozmyte W zwykłej teorii mnogości relację definiuje się jako podzbiór produktu kartezjańskiego. W przypadku zbiorów rozmytych ta definicja jest analogiczna. Dalej będziemy się zajmować tylko relacjami binarnymi. Ma to na celu uproszczenie notacji, bo wszystkie podane dalej pojęcia przenoszą się na przypadek relacji n-arnych. Definicja - relacja rozmyta Relacją rozmytą określoną na X Y nazwiemy każdy podzbiór rozmyty iloczynu katezjańskiego X Y. Tak określona relacja rozmyta ma wszystkie pożądane własności. Zauważmy jednak, że do jej wprowadzenia nie jest używane pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów rozmytych. Powstaje zatem pytanie czym jest taki iloczyn i jak ma się on do wprowadzonego właśnie pojęcia relacji rozmytej. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 27 / 36

Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych Wprowadzimy iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych i pokażemy jak ma się do pojęcia relacji rozmytej. Defincja iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych Niech A, B zbiory rozmyte w przestrzeniach (odpowiednio) X i Y. Iloczynem katezjańskim A B nazwiemy relację R (ozn. R = A B) określoną na X Y przez: W ogólnym (n-arnym) przypadku: µ R (x, y) = min(µ A (x), µ B (y)) µ R (x 1,..., x n ) = min i (µ Ai (x i )), gdzie R = A 1 A 2... A n dla zbiorów rozmytych A 1, A 2,..., A n. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 28 / 36

Rozszerzenie cylindryczne i projekcja W pewnych sytuacjach potrzebujemy rozważać własności realcji rozmytych ze względu na poszczególne współrzędne. Służą temu (między innymi) pojęcia rozszerzenia cylindrycznego i projekcji. Definicja Rozszerzenie cylindryczne i projekcja Niech A będzie zbiorem rozmytym w X. Rozszerzeniem cylindrycznym zbioru A na iloczyn kartezjański X Y nazywamy relację rozmytą Â = A Y zadaną przez funkcję przynależności: µâ(x, y) = T (µ A (x), µ Y (y)) = T (µ A (x), 1) = µ A (x), gdzie T jest T-normą. Niech R będzie relacją rozmytą określona na X Y. Projekcją R na X (analogicznie na inne współrzędne) nazywamy zbiór rozmyty A w X oznaczany A = P roj x (A) i zadany przez: µ A (x) = max (µ A(x, y)). y Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 29 / 36

Klasyczne vs. rozmyte W przypadku klasycznej teorii mnogości operacje na zbiorach są jednoznacznie związane z operacjami logicznymi na zdaniach. W przypadku zbiorów rozmytych sytuacja jest bardziej złożona choćby ze względu na wiele możliwych sposobów wprowadzenia operacji na zbiorach. Dlatego przy rozpatrywaniu operacji logicznych związanych z pojęciami zbiorów rozmytych przyjmuje się inny sposób określania wartości logicznej dla formuły. W klasycznej logice zdaniowej podstawienie było funkcją v : V AR {0, 1}. Zatem wartościowanie [φ] v dla każdej formuły φ zawsze było równe 0 (fałsz) albo 1 (prawda). W logice rozmytej będziemy przyjmować, że formuła może przyjmować wartość logiczną pomiędzy 0 a 1. Dokładniej, [φ] v [0, 1], czyli możemy mówić o stopniu prawdziwości formuły. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 31 / 36

Rozmyte operatory logiczne Operatory logiczne rozmyte nie mogą już być określane za pomocą tabelek (truth table). Są to bowiem funkcje [0, 1] 2 [0, 1] ([0, 1] [0, 1] w przypadku negacji). Używając T-norm i T-konorm możemy w naturalny sposób wprowadzić koniunkcję i alternatywę jako: [φ ψ ] v = T ([φ] v, [ψ ] v ), [φ ψ ] v = S([φ] v, [ψ ] v ) Zwykle będziemy przyjmować, że T-norma T i S-norma S w powyższej definicji są do siebie dualne. Podobnie dla negacji możemy się posłużyć funkcją spełniającą warunki z definicji dopełnienia (negacji). Najczęściej przyjmować będziemy, że: [ φ] v = 1 [φ] v Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 32 / 36

Rozmyte operatory logiczne Równoważność określamy za pomocą implikacji i koniunkcji jako: Przyjmując założenie, że [φ ψ ] v = [(φ ψ) (ψ φ)] v [φ] v [ψ ] v [φ ψ ] v = 1, otrzymujemy [φ ψ ] v = 1 lub [ψ φ] v = 1. Dla koniunkcji określonej za pomocą jakiejś T-normy otrzymujemy zatem [φ ψ ] v = min([φ ψ)] v, [ψ φ)] v ) i to niezależnie od wyboru operatora koniunkcji (T-normy). Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 33 / 36

Implikacje rozmyte Pozostaje nam zdefiniować operator implikacji, czyli określić znaczenie dla φ ψ (wartość [φ ψ ] v ) w przypadku rozmytym. Nie jest wielkim zaskoczeniem fakt, że można to zrobić na wiele sposobów. W tabeli poniżej zostały przedstawione najpowszechniej używane operatory implikacji rozmytej: nazwa implikacji [φ ψ ] v Łukasiewicza min(1 { [φ] v + [[ψ ] v, 1) 1 gdy [[φ]v [ψ ] Gödla v { [ψ ] v w p.p. 1 gdy [[φ]v = 0 Goguen a min(1, [[ψ]] v [[φ]] v ) w p.p. Kleene-Dienes a max(1 [φ] v, [ψ ] v ) Zadeha max(1 [φ] v, min([ψ ] v, [φ] v )) Reichenbacha 1 [φ] v + [[ψ ] v [φ] v Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 35 / 36

Operatory rozmyte rozmaitości W przypadku operacji rozmytych można, podobnie jak w przypadku klasycznych spójników logicznych, definiować jedne za pomocą innych korzystając z różnych tautologii. Trzeba jednak zachowac przy tym ostrożność, gdyż zależnie od używanej metody możemy uzyskać różne wyniki. I tak na przykład, używając implikacji Łukasiewicza możemy wprowadzić dwie różne operacje alternatywy wykorzystując dwie znane zależności między spójnikami logicznymi. [φ 1 ψ ] v = [ φ ψ ] v = min([φ] v + [[ψ ] v, 1) (1) [φ 2 ψ ] v = [ φ (ψ φ)] v = max([φ] v, [ψ ] v ) (2) W klasycznej logice obie formuły φ ψ i φ (ψ φ) są równoważne alternatywie. W zwykłej logice moglibyśmy wydefiniować implikację za pomocą dowolnej z nich. W przypadku logiki rozmytej i implikacji Łukasiewicza możemy się posłużyć tylko negacją i alternatywą, czyli (1). Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 36 / 36