Zagadnienia AI wykład 1

Transkrypt

1 Zagadnienia AI wykład

2 Podręcznik do wykładu: Leszek Rutkowski Metody i techniki sztucznej inteligencji Wydawnictwo Naukowe PWN Prezentacje do wykładu będą sukcesywnie umieszczane na stronie: For students Zaliczenie wykładu: Egzamin pisemny w formie testu Zaliczenie laboratorium: Kolokwium + projekty

3 Co to jest inteligencja? Inteligencja to ogólna zdolność adaptacji do nowych warunków i wykonywania nowych zadań (W.Stern) Inteligencja to zdolność rozwiązywania problemów (J.Piaget) Inteligencja to zdolność do aktywnego przetwarzania informacji, przekształcania ich z jednej formy w inną poprzez operacje logiczne. Inteligencja to zdolność uczenia się (G.Ferguson).

4 Co to jest sztuczna inteligencja (AI)? Sztuczna inteligencja jest nauką o maszynach realizujących zadania, które wymagają inteligencji, gdy są wykonywane przez człowieka (M. Minsky) Sztuczna inteligencja stanowi dziedzinę informatyki dotyczącą metod i technik wnioskowania symbolicznego przez komputer oraz symbolicznej reprezentacji wiedzy stosowanej podczas takiego wnioskowania (E. Feigenbaum) Sztuczna inteligencja obejmuje rozwiązywanie problemów sposobami wzorowanymi na naturalnych działaniach i procesach poznawczych człowieka za pomocą symulujących je programów komputerowych (R.J. Schalkoff)

5 Jaka sztuczna inteligencja? Silna Słaba

6 Kiedy możemy uznać, że program lub maszyna jest inteligentna? W roku 960 Alan Turing zaproponował następujący test. Test Turinga Za pomocą klawiatury i monitora zadajemy te pytania maszynie. Czas trwania testu 5 minut. Jeżeli maszyna przekona 33% sędziów, że jest człowiekiem wówczas test jest zaliczony. Można wówczas stwierdzić ze maszyna (program) jest inteligentna. Czy taki test jest wystarczający?

7 Główne zastrzeżenia do testu Turinga Maszyna, która przejdzie test Turinga może być w stanie symulować ludzkie zachowanie konwersacyjne, lecz może to być znacznie mniej niż prawdziwa inteligencja. Maszyna może zwyczajnie używać sprytnie wymyślonych reguł. Maszyna może być inteligentna nie posiadając ludzkiej umiejętności prowadzenia rozmowy. Wielu ludzi mogłoby nie być w stanie zaliczyć takiego testu.

8 Czy istnieje maszyna (program), która zaliczyła test Turinga? Nie istnieje!* Proste programy konwersacyjne są w stanie sprawić, że ludzie wierzą, że rozmawiają z żywym człowiekiem. Program ten wybierał pewne kluczowe słowa z wypowiedzi ludzi, a następnie tworzył odpowiedź łącząc słowo kluczowe ze zwrotami z wcześniej wprowadzonej bazy danych otwartych zwrotów, takich jak co to dla Ciebie znaczy, zawsze ma sens, nie znam itp, co dawało czasami efekt głębokiego znaczenia odpowiedzi.

9 Czy istnieje maszyna (program), która zaliczyła test Turinga?

10 Czy istnieje maszyna (program), która zaliczyła test Turinga?

11 Eugene Goostman? W sobotę 7 czerwca 204 Eugene Goostman podawał się za 3- letniego chłopca i przekonał 33 proc. sędziów, że jest człowiekiem. Jako pierwszy w historii przeszedł test Turinga!?

12 Eugene Goostman?

13 Chiński pokój (John Searle) Załóżmy, że skonstruowaliśmy komputer, który zachowuje się, jakby rozumiał język chiński. Innymi słowy, komputer bierze chińskie znaki jako podstawę wejściową i śledzi zbiór reguł nimi rządzący (jak wszystkie komputery), koreluje je z innymi chińskimi znakami, które prezentuje jako informację wyjściową. Załóżmy, że komputer ten łatwo przechodzi test Turinga, tzn. przekonuje Chińczyka, że jest Chińczykiem. Searle proponuje, żeby założyć, iż to on sam siedzi wewnątrz komputera. Innymi słowy, on sam znajduje się w małym pokoju, w którym dostaje chińskie znaki, konstruuje książkę reguł, a następnie zwraca inne chińskie znaki, ułożone zgodnie z tymi regułami. Searle zauważa, że oczywiście nie rozumie ani słowa po chińsku, mimo iż wykonuje powierzone mu zadanie.

14 Jakie są praktyczne zastosowania sztucznej inteligencji?. Technologie i systemy oparte na logice rozmytej 2. Systemy ekspertowe 3. Sieci neuronowe 4. Robotyka 5. Przetwarzanie mowy i języka naturalnego W czasie naszego wykładu ograniczymy się do punktów i 3.

15 Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie takiego modelu jest nieopłacalne lub nawet niemożliwe. Technologie oparte na logice rozmytej znajdują zastosowanie m.in. w bazach danych, sterowaniu, modelowaniu i przetwarzaniu języka naturalnego.

16 Na czym polega różnica między logiką tradycyjną i logiką rozmytą? Paweł zarabia 5 tys. złotych. Paweł kupił 2 kg jabłek. Paweł ma 25 lat. Paweł w ciągu wakacji 3 dni spędził nad morzem. Określenia precyzyjne. Przypisanie 0 lub jest jednoznaczne. Logika tradycyjna Paweł zarabia dużo. Paweł kupił trochę jabłek. Paweł jest młody. Paweł w ciągu wakacji był krótko nad morzem. Określenia nieprecyzyjne. Przypisanie 0 lub nie jest jednoznaczne. Logika rozmyta

17 Rozmyty świat Czy to jest pudełko zawierające niebieskie kulki? Czy to jest pudełko zawierające czerwone kulki? Czy to jest pudełko zawierające niebieskie/czerwone kulki?

18 Bez rozmycia Brak czerwonych kulek 0 Tylko czerwone kulki Między stanami 0 i możliwe są stany pośrednie.

19 Rozmycie Pudełko nie zawiera czerwonych kulek (0). Pudełko zawiera sporo czerwonych kulek. Pudełko zawiera znikomą ilość czerwonych kulek. Pudełko zawiera przeważnie czerwone kulki. Pudełko zawiera trochę czerwonych kulek. Tak, pudełko zawiera tylko czerwone kulki ().

20 Logika klasyczna 0 Logika rozmyta Tylko dwie wartości: prawda i fałsz 0 Wartości z przedziału [0,] Zanim poznamy logikę rozmytą musimy poznać teorię zbiorów rozmytych

21 Zbiory - powtórzenie Zbiór to kolekcja, wielość obiektów. Pojęcie zbioru jest podstawowe i niedefiniowalne. Określenie zbioru musi być jednoznaczne w tym sensie, że musi być jasne czy dany konkretny obiekt należy do tego zbioru. Obiekt który należy do zbioru jest nazywany elementem zbioru. Zbiór definiujemy przez podanie jego elementów.

22 Przykład A = {0, 0, -5, 7} B = ø C = {{},,{{},{3}}} D = {xr: x>4} E = zbiór zielonych samochodów F = zbiór latających słoni W przypadku każdego z tych zbiorów łatwo określić czy dany obiekt należy do zbioru czy nie należy. 7A 3D

23 Zbiory rozmyte Istnieją zbiory w przypadku których określenie przynależności danego konkretnego obiektu nie jest jednoznaczne. Przykład A = zbiór młodych ludzi B = zbiór szybkich samochodów C = zbiór wysokich drzew W przypadku takich zbiorów możemy mówić o stopniu przynależności. Przykład Można powiedzieć, że osoba w wieku 35 lat należy do zbioru A w większym stopniu niż osoba w wieku 80 lat.

24 Dla ustalenia uwagi określmy tzw. obszar rozważań (ang. the universe of the discourse). Nazywać go będziemy przestrzenią lub zbiorem i oznaczymy przez X. Definicja Zbiorem rozmytym A w pewnej (niepustej) przestrzeni X, co zapisujemy jako AX nazywamy zbiór par A={(x, A (x)): xx} gdzie A : X [0,] jest funkcją przynależności zbioru rozmytego A. Funkcja ta każdemu elementowi xx przypisuje jego stopień przynależności do zbioru rozmytego A.

25 Możemy wyróżnić 3 przypadki: ) A (x)= oznacza pełną przynależność elementu x do zbioru rozmytego A, tzn. xa. 2) A (x)=0 oznacza brak przynależność elementu x do zbioru rozmytego A, tzn. xa. 3) 0< A (x)<0 oznacza częściową przynależność elementu x do zbioru rozmytego A. Jeżeli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów X={x,x 2,,x 3 } To zbiór rozmyty A oznaczamy następująco A A( x) A( x2) A( x x x x 2 n n )

26 Jeżeli X zawiera nieskończoną liczbę elementów to zbiór rozmyty AX symbolicznie zapisujemy jako A X ( x) A x Przykład Niech X=N (zbiór liczb naturalnych) Zbiór liczb naturalnych bliskich liczbie 2 określamy następująco: A 0, 9 0,4 0 0,7 2 0,7 3 0,4 4 0, 5

27 Przykład Niech X=R (zbiór liczb rzeczywistych) Zbiór liczb rzeczywistych bliskich liczbie 2 (oznaczmy go przez A) określamy wykorzystując następującą funkcję przynależności: A ( x) ( x 2) 2 Zatem 0,5 A X [ ( x 2) 2 ] x x

28 Przykład Niech X=R (zbiór liczb rzeczywistych) Zbiory rozmyte liczb rzeczywistych bliskich liczbie 2 można też określić inaczej wykorzystując inną funkcję przynależności: ( x) A 0, x 2, 9 x 5 3 w przeciwnym razie 0, x

29 Przykład Sformalizujmy teraz określenie temperatura wody odpowiednia do kąpieli. Zbiór rozważań: Zbiór rozmyty: X=[5, 6,, 24, 25] A 0, 6 0,3 7 0,5 8 0,8 9 0, ,9 22 0,8 23 0, ,7 25 Inna możliwość: 0, A 5 0,2 6 0,4 7 0,7 8 0, ,9 2 0, ,8 23 0, ,7 25

30 Przykłady funkcji przynależności Funkcja Gaussowska gdzie x x x A( x) exp 2 jest środkiem, a określa szerokość krzywej Funkcja typu dzwonowego ( A x; a, b, c) 2b x c a gdzie parametr a określa szerokość, b określa nachylenie, natomiast c określa środek.

31 Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy t t( x; a, b, c) 0 x a b a c x c b 0 dla dla dla dla a b x x x x a c b c Funkcja klasy L L( x; a, b) b b x a 0 dla dla dla a x x x a b b

32 Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy s s( x; a, b, c) 0 2 x a 2 c a x c 2 c a dla dla dla dla a b x x x x a c b c Funkcja radialna ( x) A exp x x

33 Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy ( x; a, b) 0 x a b a dla dla dla a x x x a b b Funkcja singleton ( x) A 0 dla dla x x x x Do zbioru rozmytego A należy tylko x.

34 Przykład Niech X= [0, zł] Funkcję przynależności zbioru rozmytego dużo pieniędzy określamy jako funkcję klasy s. 0,

35 Możliwość vs prawdopodobieństwo Za pomocą rachunku prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć np. prawdopodobieństwo tego, że w wyniku rzutu kostką dostaniemy 4 oczka. Za pomocą zbiorów rozmytych możemy opisać nieprecyzyjne stwierdzenie wyrzucenie dużej liczby oczek. Jedyne podobieństwo między teorią zbiorów rozmytych i teorią rachunku prawdopodobieństwa to fakt, że funkcja przynależności i prawdopodobieństwo przyjmują wartości z przedziału [0, ].

36 Definicja Zbiór elementów przestrzeni X dla których A (x)>0 nazywamy nośnikiem zbioru rozmytego A. Wprowadzamy oznaczenie: supp A:={ xx: A (x)>0 } Przykład Jeżeli X={,2,3,4,5,6,7,8} oraz wówczas A 0,2 0,4 2 0,6 5 0,3 7 supp A={, 2, 5, 7}

37 Definicja Wysokość zbioru rozmytego A oznaczamy przez h(a) i określamy jako: Przykład h( A) sup ( x) xx Jeżeli X={,2,3,4,5,6,7,8,9,0} oraz A wówczas A 0,2 0,4 2 0,6 5 0,3 7 h(a) = 0,6

38 Definicja Zbiór rozmyty A nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy gdy h(a)=. Zbiór, który nie jest normalny można znormalizować rozważając funkcję przynależności: Przykład A zn ( x) Jeżeli X={,2,3,4,5,6,7,8,9,0} oraz wówczas oraz A A zn 0,2 0,4 2 h(a) = 0,5 0,4 A( x) h( A) 0,8 2 0, , 7 0,2 7

39 Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty A jest pusty (ozn. A=ø) wtedy i tylko wtedy supp A:= ø Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty A zawiera się w zbiorze B (ozn. AB) wtedy i tylko wtedy ( x) ( x) dla każdego x X A B Przykład 0,5 A B

40 Definicja -Przekrojem zbioru rozmytego AX oznaczanym A nazywamy następujący zbiór nierozmyty A { x X : ( x) }, [0,] A Innymi słowy jest to zbiór określony przez funkcję charakterystyczną dla A( x) A ( x) 0 dla ( x ) A Z powyższej definicji widać, że zachodzi następująca implikacja: A 2 2 A 2

41 Przykład Jeżeli X={,2,3,4,5,6,7,8,9,0} oraz A 0,2 0,4 2 0,6 5 0,3 7 0,7 8 Wówczas: A {, 0 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0} A 0, {, 2, 5, 7, 8} A 0 {, 2, 5, 7, 8},2 A 0,4 A 0,5 {5, 8} A {2, 5, 8}

42 Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty AR jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x 2 R i [0,] zachodzi Przykład A[ x ( ) x2] min A( x), A( x2 Poniższy zbiór nie jest wypukły ) 0,

43 Operacje na zbiorach rozmytych Definicja Przecięciem zbiorów rozmytych A,BX jest zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności AB ( x) min{ ( x), ( x)} W przypadku wielu zbiorów A, A 2,,A n przecięcie określone jest następującą funkcją przynależności A ( x) min{ A B ( x),..., A... A A x n n ( )} A B 0,5 AB

44 Definicja Sumą zbiorów rozmytych A,BX jest zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności ( x) max{ ( x), ( x)} AB W przypadku wielu zbiorów A, A 2,,A n przecięcie określone jest następującą funkcją przynależności A ( x) max{ A B ( x),..., A... A A x n n ( )} 0,5 A AB B

45 Definicja Iloczynem algebraicznym zbiorów rozmytych A,BX jest zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności Przykład AB Jeżeli X={,2,3,4,5,6,7,8} oraz ( x) ( x) ( x) A B A wówczas 0,2 0,4 2 A B A B 0,6 5 0,2 0,4 0,3 2 0,4 2 0,3 7 0,6 3 B A B 0,3 4 0,4 0,08 0,3 2 0,6 5 0,2 2 0,6 3 0,3 7 0,3 4

46 Definicja Dopełnieniem zbioru rozmytego AX jest zbiór rozmyty o funkcji A przynależności gdzie xx. Przykład 0,5 Jeżeli X={,2,3,4} A oraz wówczas A ( x) ( x) A ,8 A 0,6 2 A 0,2 0,4 4 3 A 0,4 2 A 0,6 4

47 Można łatwo pokazać (ćwiczenia!), że przypadku zbiorów rozmytych nie są spełnione prawa dopełnienia tzn: A A A A X Zachodzą natomiast prawa de Morgana oraz absorbcji (ćwiczenia!). Ponadto w przypadku operacji na zbiorach rozmytych zachodzą własności przemienności, łączności oraz rozdzielności. Przykład Jeżeli X={,2,3} oraz wówczas A A A A A 0,8 0,2 0,2 0,4 2 0, ,4 2 X A 0,8 0,6 2 3

48 Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów rozmytych AX i BY nazywamy zbiór rozmyty AB funkcji przynależności gdzie xx i yy. AB ( x, y) min{ ( x), ( y)} A B Przykład Jeżeli X={,2,3,4,5} oraz wówczas A AB 0,2 0,2 (,) 0,4 2 0,2 (,2) 0,6 5 0,4 (2,) B 0,3 (2,2) 0,4 0,4 (5,) 0,3 2 0,3 (5,2)

49 Definicja Koncentrację zbioru rozmytego AX oznaczamy przez CON(A) i definiujemy jako gdzie xx. Definicja CON ( ( x) ( ( x)) A) Rozcieńczenie zbioru rozmytego AX oznaczamy przez DIL(A) i definiujemy jako gdzie xx. Przykład DIL Jeżeli X={,2,3,4,5} oraz Wówczas A) A ( ( x) ( ( x)) A 0,04 CON( A) A 0,2 0, ,4 2 0,44 DIL( A) 0,63 2

50 Zmienna lingwistyczna Zmienną lingwistyczną nazywamy zmienną, której wartościami są słowa lub zdania w języku naturalnym lub sztucznym. Powyższe słowa lub zdania nazywamy wartościami lingwistycznymi zmiennej lingwistycznej. Przykład Niech x będzie zmienną lingwistyczną oznaczającą wiek. Wartości zmiennej lingwistycznej x należą do zbioru T={ stary, bardzo stary, nie tak stary, zupełnie młody, młody, bardzo młody } Do każdego z elementów zbioru T można przyporządkować odpowiedni zbiór rozmyty.

51 Przykład Niech X={0, 20, 40, 60, 80} oraz A 0 0,6 20 0, 40 Zbiór rozmyty A odpowiada określeniu młody. Wówczas 0,36 CON( A) 0 20 możemy interpretować jako bardzo młody. Natomiast CON( CON( A)) 0 0,0 40 0,3 20 możemy interpretować jako bardzo, bardzo młody.

52 Przykład 4-osobowa rodzina chce kupić mieszkanie. Komfort mieszkania związany jest z ilością sypialni. Opisujemy go zbiorem rozmytym C 0,2 0,5 2 0, ,7 5 0,3 6 Wielkość mieszkania opisujemy zbiorem rozmytym W 0,2 3 0,4 4 0,6 5 0, Mieszkanie komfortowe i jednocześnie duże opisywane jest zbiorem rozmytym C W 0,2 3 0,4 4 0,6 5 0,3 6

53 t -normy Przecięcie zbiorów rozmytych A,BX określiliśmy jako zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności AB ( x) min{ ( x), ( x)} Zamiast funkcji min możemy użyć dowolnej t-normy, tzn. funkcji T takiej, że: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)) (łączność) T(a, b) = T(b, a) (przemienność) T(a, b) T(d, c) dla a d, b c (monotoniczność) T(a, ) = a (warunek brzegowy) A B Wprowadźmy oznaczenie T ( a, b ) a T b

54 Operatory t -normy

55 s -normy Sumę zbiorów rozmytych A,BX określiliśmy jako zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności AB ( x) max{ ( x), ( x)} Zamiast funkcji max można wziąć dowolna s-normę, tzn. dowolna funkcje spełniająca warunki: S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) (łaczność) S(a, b) = S(b, a) (przemienność) S(a, b) S(d, c) dla a d, b c (monotoniczność) S(a, 0) = a (warunek brzegowy) A B Wprowadźmy oznaczenie S( a, b) S ab

56 Operatory s -normy

57 Relacje rozmyte Zbiory rozmyte pozwalają nam operować nieprecyzyjnym sformułowaniami temperatura wody odpowiednia do kąpieli szybki samochód Zajmiemy się teraz relacjami rozmytymi. Relacje takie pozwalają sprecyzować nieprecyzyjne sformułowania np. x jest znacznie mniejsze od y zdarzenie x miało miejsce dużo wcześniej niż zdarzenie y

58 Definicja Relacją rozmytą R między dwoma niepustymi zbiorami (nierozmytymi) X i Y nazywamy zbiór rozmyty określony na iloczynie kartezjańskim X Y tzn: gdzie x, y, ( x, y x X y Y R R ) R : X Y [0,] jest funkcją przynależności. Oznaczenia R XY R( x, y) ( x, y) R XY R( x, y) ( x, y)

59 Przykład Niech X={3,4,5} i Y={4,5}. Zdefiniujmy następującą relację R 0,8 (3,4) 0,3 (3,5) (4,4) 0,8 (4,5) 0,8 (5,4) (5,5) Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania x jest mniej więcej równe y. Funkcja przynależności dla tej relacji R ( x, y) 0,8 0,3 dla dla dla x x y x y y 2

60 Przykład (cd) Relację R 0,8 (3,4) 0,3 (3,5) (4,4) 0,8 (4,5) 0,8 (5,4) (5,5) możemy zapisać za pomocą macierzy y y 2 x x x 2 3 0,8 0,8 0,3 0,8 gdzie x =3, x 2 =4, x 3 =5 oraz y =4, y 2 =5.

61 Przykład Przyjmijmy, że X=Y=[40,300] będzie przedziałem prędkości osiąganych przez samochody. Rozważmy relację R o następującej funkcji przynależności R ( x, y) 0 x y 70 dla dla dla 0 x y 0 x y 70 x y 70 Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania samochód osiągający prędkość maksymalną x jest dużo szybszy od samochodu osiągającego prędkość maksymalną y.

62 Złożenie relacji Niech X, Y i Z będą zbiorami nierozmytymi. Rozważmy dwie relacje rozmyte RX Y z funkcją przynależności SY Z z funkcją przynależności R S ( x, y) ( y, z) Definicja Złożeniem typu sup-t relacji rozmytych R i S nazywamy relację rozmytą RSX Z określoną następującą funkcją przynależności RS ( x, z) sup{ ( x, y) ( y, z)} yy gdzie T jest operatorem t normy. R T S

63 Przykład Jeżeli T(a, b)=min{a, b} wówczas otrzymujemy RS ( x, z) sup{min{ ( x, y), ( y, z)}} yy (tzw. złożenie typu sup-min) R S Jeżeli zbiór Y ma skończoną liczbę elementów wówczas RS ( x, z) max{min{ ( x, y), ( y, z)}} yy (tzw. złożenie typu max-min) R S

64 Przykład Rozważmy dwie relacje rozmyte R 0,3 0,6 0,7 S 0,4 0,3 0,8 0,4 gdzie X={x, x 2 }, Y={y, y 2 }, Z={z, z 2, z 3 } Złożenie typu max-min relacji R i S ma postać R S 0,3 0,6 0,7 0,4 0,3 0,8 0,4 a a 2 a a 2 22 a a 3 23

65 Przykład (cd) Korzystając ze wzoru RS Znajdujemy wartości a ij ( x, z) max{min{ ( x, y), ( y, z)}} yy a max{min{0,3;0,4};min{ ;0,3}} 0,3 a max{min{0,3;};min{ ;0,8}} 0,8 a 2 max{min{0,3;0,4};min{ ;}} 3 a2 max{min{0,6;0,4};min{0,7;0,3}} 0,4 a max{min{0,6;};min{0,7;0,8}} 0,7 22 a23 max{min{0,6;0,4};min{0,7;}} R S 0,7

66 Przykład (cd) Ostatecznie R S 0,3 0,4 0,8 0,7 0,7

67 Złożenie relacji - własności R R I I R O R O O R T S R T S R n m n m R R R mn n m R R ) ( ) ( ) ( T R S R T S R ) ( ) ( ) ( T R S R T S R T R S R T S

68 Przykład Rozważmy relacje rozmyte RX Y, IY Z, OY Z R r r 2 r r 2 22 I 0 0 O gdzie X={x, x 2 }, Y={y, y 2 }, Z={z, z 2 } Złożenie typu max-min relacji R i I ma postać max{min{ r max{min{ r 2 R I,},min{ r,},min{ r r r ,0}},0}} r r max{min{ r max{min{ r 2,0},min{ r,0},min{ r 2 22,}},}}

69 Przykład (cd) czyli R I r r 2 r r r r 2 r r 2 22 R Złożenie typu max-min relacji R i O ma postać max{min{ r max{min{ r 2 R O,0},min{ r,0},min{ r r r ,0}},0}} 0 0 r r max{min{ r max{min{ r 0 O 0 2,0},min{ r,0},min{ r 2 22,0}},0}}

70 Koniec wykładu