ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

Podobne dokumenty
Matematyka ETId Elementy logiki

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki matematycznej

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Logika pragmatyczna dla inżynierów

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Adam Meissner.

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Konsekwencja logiczna

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Z funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób:

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Kultura logicznego myślenia

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

Lista 1 (elementy logiki)

4 Klasyczny rachunek zdań

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Wyra»enia logicznie równowa»ne

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

1 Podstawowe oznaczenia

Wstęp do matematyki listy zadań

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Układy równań liniowych

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

Zestaw 1. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycję) dla każdego z następujących

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań (kpn) Zadania...

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań Zadania... 4

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011

LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Internet Semantyczny i Logika II

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Logika intuicjonistyczna

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

1 Funktory i kwantyfikatory

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Semantyka rachunku predykatów

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Twierdzenie Łosia o ultraprodukcie

Trzy razy o indukcji

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

Schematy Piramid Logicznych

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3.

III rok kognitywistyki UAM,

Klasyczny rachunek predykatów

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Transkrypt:

ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast każdej ze zmiennej x 1,..., x n podstawimy nazwę dowolnego elementu odpowiednio ze zbiorów X 1,..., X n, nazywamy funkcją (formą) zdaniową n zmiennych, których zakresem zmienności są odpowiednio zbiory X 1,..., X n. Symbolicznie ϕ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n. Mówimy również, że zakresem zmienności funkcji zdaniowej ϕ(x 1,..., x n ) jest X 1... X n. Niech a 1 X 1,..., a n X n będą dowolnie ustalonymi elementami. Zapis ϕ(a 1,..., a n ) oznacza zdanie logiczne, otrzymane przez podstawienie nazw elementów a 1,..., a n w miejsce zmiennych odpowiednio x 1,... x n w funkcji zdaniowej ϕ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n. Mówimy, że n-ka uporządkowana (a 1,..., a n ) (X 1... X n spełnia funkcję zdaniową ϕ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n, jeżeli zdanie ϕ(a 1,..., a n ) jest prawdziwe. Zbiór S(ϕ) : = {(a 1,..., a n ) X 1... X n : υ(ϕ(a 1,..., a n )) = 1} = {(a 1,..., a n ) X 1... X n : υ(ϕ(a 1,..., a n ))}. nazywamy zbiorem spełniania funkcji zdaniowej ϕ(x 1,..., x n ). Niech ϕ(x 1,..., x n ) i ψ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n będą funkcjami zdaniowymi. Funkcję 1

1. RACHUNEK FUNKCYJNY 2 (i) ϕ(x 1,..., x n ) ψ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n nazywamy alternatywą funkcji zdaniowych ϕ(x 1,..., x n ) i ψ(x 1,..., x n ), (ii) ϕ(x 1,..., x n ) ψ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n nazywamy koniunkcją funkcji zdaniowych ϕ(x 1,..., x n ) i ψ(x 1,..., x n ), (iii) ϕ(x 1,..., x n ) ψ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n nazywamy implikacją funkcji zdaniowych ϕ(x 1,..., x n ) i ψ(x 1,..., x n ), (iv) ϕ(x 1,..., x n ) ψ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n nazywamy równoważnością funkcji zdaniowych ϕ(x 1,..., x n ) i ψ(x 1,..., x n ), (v) ϕ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n nazywamy negacją funkcji zdaniowej ϕ(x 1,..., x n ). Twierdzenie 1. Niech ϕ(x 1,..., x n ) i ψ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n będą funkcjami zdaniowymi. Wtedy (i) S(ϕ ψ) = S(ϕ) S(ψ), (ii) S(ϕ ψ) = S(ϕ) S(ψ), (iii) S( ϕ) = S(ϕ), (iv) S(ϕ ψ) = S(ϕ) S(ψ), (v) S(ϕ ψ) = (S(ϕ) S(ψ)) ( S(ϕ) S(ψ)), gdzie S(ϕ) = (X 1... X n ) \ S(ϕ). Definicja 2. Funkcje zdaniowe ϕ(x 1,..., x n ) i ψ(x 1,..., x n ) dla x 1 X 1,..., x n X n nazywamy równoważnymi, jeżeli S(ϕ) = S(ψ), co zapisujemy symbolicznie ϕ(x 1,..., x n ) ψ(x 1,..., x n ). Kwantyfikatory, - kwantyfikator ogólny, uniwersalny, - kwantyfikator szczegółowy, egzystencjalny Niech ϕ(x) dla x X będzie funkcją zdaniową. Zdanie logiczne: Zbiorem spełniania funkcji zdaniowej ϕ(x) jest zbiór X zapisujemy symbolicznie x [ϕ(x)]. Wobec tego υ( x [ϕ(x)]) = 1 S(ϕ) = X. Zdanie logiczne: Zbiór spełniania funkcji zdaniowej ϕ(x) jest niepusty zapisujemy symbolicznie x [ϕ(x)]. Wobec tego υ( x [ϕ(x)]) = 1 S(ϕ). Symbolicznie przyjmujemy zapis x X [ϕ(x)] x [x X ϕ(x)],

1. RACHUNEK FUNKCYJNY 3 oraz x X [ϕ(x)] x [x X ϕ(x)]. Mówimy wtedy, że kwantyfikatory są ograniczone przez zbiór X. Niech ϕ(x) i ψ(x) dla x X będą funkcjami zdaniowymi. Symbolicznie przyjmujemy zapis oraz ψ(x) [ϕ(x)] x [ψ(x) ϕ(x)], ψ(x) [ϕ(x)] x [ψ(x) ϕ(x)]. Mówimy wtedy, że kwantyfikatory są ograniczone przez funkcję zdaniową ψ(x). Mówimy, że w wyrażeniu x [ϕ(x)] i x [ϕ(x)] zmienna x jest związana odpowiednio kwantyfikatorem lub. Jeżeli zmienna x występująca w funkcji zdaniowej nie jest związana żadnym kwantyfikatorem, to x nazywamy zmienną wolną. Definicja 3. Prawem rachunku funkcyjnego nazywamy wyrażenie α zbudowane ze zdań logicznych lub funkcji zdaniowych spełniające następujące warunki (i) jeżeli α jest zdaniem, to α jest zdaniem prawdziwym, (ii) jeżeli α jest funkcją zdaniową o zmiennych wolnych x 1,..., x n dla x 1 X 1,..., x n X n, to α jest funkcją zdaniową prawdziwą w zbiorze X 1... X n. Twierdzenie 4. Jeżeli α jest prawem rachunku zdań, to podstawiając w wyrażeniu α za zmienne zdaniowe dowolne zdanie rachunku funkcyjnego lub dowolne funkcje zdaniowe o zmiennych wybranych spośród x 1,..., x n, których zakresami zmienności są odpowiednio zbiory X 1,..., X n, otrzymujemy prawo rachunku funkcyjnego. Przykład 5. Najważniejsze prawa rachunku funkcyjnego. Niech X i Y będą zbiorami niepustymi. (1) prawa de Morgana (2) prawo egzemplifikacji x X [ϕ(x)] x X [ ϕ(x)], x X [ϕ(x)] x X [ ϕ(x)], x X [ϕ(x)] = x X [ϕ(x)],

1. RACHUNEK FUNKCYJNY 4 (3) prawa przestawiania kwantyfikatorów x X y Y [ϕ(x, y)] y Y x X [ϕ(x, y)], x X y Y [ϕ(x, y)] y Y x X [ϕ(x, y)], x X y Y [ϕ(x, y)] = y Y x X [ϕ(x, y)], (4) prawa włączania i wyłączania kwantyfikatorów (ϕ(x) jest funkcją zdaniową o zmiennej wolnej x, ψ jest zdaniem lub funkcją zdaniową nie zawierającą zmiennej wolnej x) x X [ϕ(x) ψ] (( x X [ϕ(x)] ψ), x X [ϕ(x) ψ] (( x X [ϕ(x)] ψ), x X [ϕ(x) ψ] (( x X [ϕ(x)] ψ), x X [ϕ(x) ψ] (( x X [ϕ(x)] ψ), x X [ϕ(x) ψ] (( x X [ϕ(x)] ψ), x X [ϕ(x) ψ] (( x X [ϕ(x)] ψ), x X [ψ ϕ(x)] (ψ ( x X [ϕ(x)])), x X [ψ ϕ(x)] (ψ ( x X [ϕ(x)])), (5) prawo rozdzielności kwantyfikatora ogólnego względem koniunkcji x X [ϕ(x) ψ(x)] (( x X [ϕ(x)]) ( x X [ψ(x)])), (6) prawo rozdzielności kwantyfikatora ogólnego względem alternatywy (( x X [ϕ(x)]) ( x X [ψ(x)])) = x X [ϕ(x) ψ(x)], (7) prawo rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego względem alternatywy x X [ϕ(x) ψ(x)] (( x X [ϕ(x)]) ( x X [ψ(x)])), (8) prawo rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego względem koniunkcji x X [ϕ(x) ψ(x)] = (( x X [ϕ(x)]) ( x X [ψ(x)])), (9) prawa rozdzielności kwantyfikatora ogólnego względem implikacji x X [ϕ(x) ψ(x)] = (( x X [ϕ(x)]) ( x X [ψ(x)])), x X [ϕ(x) ψ(x)] = (( x X [ϕ(x)]) ( x X [ψ(x)])),

1. RACHUNEK FUNKCYJNY 5 (10) prawo rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego względem implikacji (( x X [ϕ(x)]) ( x X [ψ(x)]) = x X [ϕ(x) ψ(x)].