WPROWADZENIE OPTYKA FALOWA prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Światło propaguje się w postaci fal. W próżni prędkość światła wynosi około 3.0 x 10 8 m/s (co odpowiada 30 cm/ns lub 0.3 mm/ps). Wyróżnia się trzy główne zakresy promieniowania: Ultrafiolet: 10 nm 390 nm 3 x 10 16 Hz Prom. widzialne: 390 nm 760 nm Podczerwień: 760 nm 1 mm 3 x 10 11 Hz W niniejszym wykładzie światło będzie opisane funkcją skalarną, nazywaną funkcją falową, spełniającą równanie falowe (funkcja falowa może, przykładowo, opisywać każdą składową pola elektrycznego lub elektromagnetycznego). Funkcja falowa i związek między gęstością mocy i funkcją falową to postulaty skalarnego modelu falowego światła. Optyka falowa umożliwia zrozumienie i opis wielu zjawisk optycznych wykraczających poza optykę geometryczną, w tym zjawiska interferencji i dyfrakcji. Optyka falowa ma swoje ograniczenia. Nie daje ona możliwości pełnego opisu zjawiska odbicia i załamania światła na granicy między dwoma ośrodkami dielektrycznymi, ani też wytłumaczenia efektów polaryzacyjnych wymagających zastosowania opisu wektorowego (tu wymagana jest elektromagnetyczna teoria promieniowania świetlnego patrz wykład z Fotoniki).
POSTULATY OPTYKI FALOWEJ Równanie falowe Prędkość propagacji światła w ośrodku o współczynniku załamania n (n 1) wynosi c = c 0 / n, gdzie c 0 oznacza prędkość propagacji w próżni. Falę optyczną opisuje rzeczywista funkcja położenia r = (x,y.z) i czasu t, którą zapisuje się jako u(r,t) jest to tzw. funkcja falowa. Spełnia ona równanie falowe 2 u (1/c 2 ) ( 2 u/ t 2 ) = 0 gdzie 2 to operator Laplace a, 2 = 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2. Każda funkcja spełniająca równanie falowe reprezentuje możliwą falę optyczną. Ponieważ funkcja falowa jest liniowa, można stosować zasadę superpozycji, tzn. jeśli u 1 (r,t) i u 2 (r,t) reprezentują fale optyczne, wtedy u(r,t) = u 1 (r,t) + u 2 (r,t) także reprezentuje możliwą falę. Równanie falowe można w przybliżeniu stosować do ośrodków, których współczynnik załamania zależy od położenia, ale przy założeniu wolnych zmian w odniesieniu do długości fali. Ośrodek nazywa się wtedy ośrodkiem lokalnie jednorodnym: n i c reprezentują wtedy funkcje n(r) i c(r).
Intensywność, moc i energia Intensywność I(r,t) jest definiowana jako moc optyczna na jednostkową powierzchnię (jednostka: W/cm 2 ) i jest proporcjonalna do uśrednionej wartości kwadratu funkcji falowej I(r,t) = 2 < u 2 (r,t) > Operator < >oznacza uśrednianie w przedziale czasu znacznie dłuższym od okresu drgań fali, ale znacznie krótszym od przedziału czasowego z którym jesteśmy związani, np. czasu trwania impulsu świetlnego. Okres drgania fali optycznej jest niezwykle krótki: Przykładowo wynosi on 2 x 10-15 s = 2 fs dla promieniowania o długości fali 600 nm. Spotyka się pewną dowolność w definiowaniu funkcji falowej i jej związku z intensywnością. W ostatnim wzorze można było pominąć 2 i przeskalować funkcję falową przez 2, w ten sposób intensywność pozostałaby bez zmiany. Jednakże wybór 2 okaże się bardzo wygodny w dalszej części wykładu. Moc optyczną P (t) (mierzoną w Watach) definiuje się jako całkę z intensywności po powierzchni A prostopadłej do kierunku propagacji światła P(t) = A I(r,t) da. Energia promieniowania optycznego (jednostka dżul) odebrana w określonym przedziale czasu wyrażona jest przez całkę z mocy promieniowania w tymże przedziale czasowym.
FALE MONOCHROMATYCZNE Falę monochromatyczną można zapisać w postaci u(r,t) = a(r) cos [2πνt + ϕ(r)], gdzie a(r) amplituda, ϕ(r) faza, ν -częstotliwość (jednostka: cykle/s lub Hz), ω = 2πν -częstotliwość kołowa (rad/s). Zarówno amplituda jak i faza zależą, w przypadku ogólnym, od położenia w przestrzeni. Jednakże funkcja falowa jest harmoniczną funkcją czasu o częstotliwości ν we wszystkich punktach patrz rysunek poniżej. a) b) c) Reprezentacja fali monochromatycznej dla zdefiniowanego położenia r: (a) funkcja falowa u(t) jest harmoniczną funkcją czasu; (b) zespolona amplituda U = a exp(iϕ) jest stałym fazorem; (c) zespolona funkcja falowa U(t) = U exp(i2πνt) jest fazorem obracającym się z częstotliwością kołową ω = 2πν.
Zespolona funkcja falowa Rzeczywistą funkcję u(r,t) można wygodnie zapisać jako funkcję zespoloną w postaci a więc U(r,t) = a(r) exp[iϕ(r)] exp(i2πνt), u(r,t) = Re{U(r,t)} = (1/2) [U(r,t) + U * (r,t)]. Funkcja U(r,t) nosi nazwę zespolonej funkcji falowej i w pełni opisuje falę; funkcja falowa u(r,t) stanowi po prostu jej część rzeczywistą. Podobnie jak funkcja falowa u(r,t), funkcja zespolona U(r,t) musi również spełniać równanie falowe. Obydwie funkcje spełniają te same warunki brzegowe.
Amplituda zespolona Funkcję falową zespoloną U(r,t) można zapisać w postaci U(r,t) = U(r) exp (i2πνt), gdzie składnik niezależny od czasu U(r) = a(r) exp [iϕ(r)] nazywany jest amplitudą zespoloną. Tak więc związek między funkcją falową u(r,t) a amplitudą zespoloną można zapisać w postaci u(r,t) = Re{U(r) exp(i2πνt)} = (1/2) [U(r) exp(i2πνt) + U * (r)exp(-i2πνt)]. Dla danego położenia r zespolona amplituda U(r) jest zmienną zespoloną (patrz rysunek (b) powyżej), której wielkość U(r) = a(r) odpowiada amplitudzie fali i której argument arg{u(r)} = ϕ(r) odpowiada fazie. Jak pokazano na rys. (c) powyżej, zespoloną funkcję falową U(r,t) reprezentuje graficznie fazor obracający się z częstotliwością kołową ω = 2πν rad/s. Jego początkowa wartość dla t = 0 jest równa amplitudzie zespolonej U(r).
Równanie Helmholtza Podstawiając U(r,t) = U(r) exp(i2πνt) do równania falowego 2 u (1/c 2 ) ( 2 u/ t 2 ) = 0 otrzymuje się równanie różniczkowe ( 2 + k 2 ) U(r) = 0, nazywane równaniem Helmholtza, gdzie k = 2πν/c = ω/c jest tzw. liczbą falową. Intensywność Posługując się poprzednio podanym wzorem I(r,t) = 2<u 2 (r,t)> i wyznaczając 2u 2 (r,t) = 2 a 2 (r) cos 2 [2πνt + ϕ(r)] = U(r) 2 {1 + cos(2[2πνt + ϕ(r)])}, a następnie uśredniając w przedziale czasowym dłuższym od okresu, tzn. 1/ν, otrzymuje się (znika drugi wyraz ostatniego wzoru) I(r) = U(r) 2. Tak więc intensywność fali monochromatycznej jest równa kwadratowi absolutnej wartości amplitudy zespolonej. Intensywność fali monochromatycznej nie zmienia się w czasie.
Czoła falowe Czoła falowe to powierzchnie stałej (równej) fazy, ϕ(r) = const. Stałe są często wielokrotnościami 2π, ϕ(r) = 2πq, gdzie q jest liczbą całkowitą. Normalna do czoła falowego w położeniu r jest równoległa do wektora gradientu ϕ(r) (wektora o składowych ϕ/ x, ϕ/ y i ϕ/ z we współrzędnych kartezjańskich). Odpowiada ona kierunkowi najszybszej zmiany fazy. Podsumowanie Falę monochromatyczną o częstotliwości ν opisuje zespolona funkcja falowa U(r,t) = U(r) exp(i2πνt), która spełnia równanie falowe. Moduł U(r) i argument arg{u(r)} amplitudy zespolonej U(r) opisują, odpowiednio, amplitudę i fazę fali. Intensywność jest równa I(r) = U(r) 2. Czoła falowe są powierzchniami stałej fazy, ϕ(r) = arg{u(r)} = 2πq (q = liczba całkowita). Funkcja falowa u(r,t) stanowi część rzeczywistą zespolonej funkcji falowej, tzn. u(r,t) = Re{U(r,t)}. Funkcja falowa spełnia również równanie falowe.
Fale elementarne Najprostsze rozwiązania równania Helmholtza w ośrodku jednorodnym to fale o płaskim i sferycznym czole falowym. Fala o płaskim czole falowym (fala płaska) Fala płaska ma amplitudę zespoloną o postaci U(r) = A exp(-ikr) = A exp[-i(k x x+ k y y+ k z z)], gdzie A jest stałą zespoloną nazywaną zespoloną obwiednią a k = (k x, k y, k z ) nosi nazwę wektora falowego. Aby ostatnie równanie spełniało równanie Helmholtza musi być spełniony warunek k x2 + k y2 + k z2 = k 2, a więc wielkość wektora k odpowiada liczbie falowej k. Ponieważ faza jest równa arg{u(r)} = arg{a} kr dla czół falowych mamy kr = k x x+ k y y+ k z z= 2πq + arg{a} ( q = liczba całkowita). Jest to równanie opisujące równoległe płaszczyzny prostopadłe do wektora falowego k (stąd nazwa fali płaskiej). Odległość między tymi płaszczyznami wynosi λ = 2π/k, a więc λ = c/ν, gdzie λ nosi nazwę długości fali. Fala płaska ma stałą intensywność I(r) = A 2 w całej przestrzeni, a więc niesie nieskończenie dużą moc. Jest to oczywiście wyidealizowany przypadek, gdyż istnieje ona wszędzie i w każdej chwili.
Jeśli oś z wybierze się w kierunku wektora falowego k, wtedy U(r) = A exp(-ikz) i funkcja falowa przybiera postać u(r,t) = A cos[2πνt kz +arg{a}] = A cos[2πν(t z/c) + arg{a}]. Funkcja falowa jest więc okresową funkcją czasu o okresie 1/ν, oraz funkcją okresową w przestrzeni z okresem 2π/k. Wartość ta jest równa λ (długości fali) patrz rysunek. Fala płaska propagująca się w kierunku z jest okresową funkcją z o okresie λ i okresową funkcją czasu t o okresie 1/ν.
Faza zespolonej funkcji falowej, arg{u(r,t)} = 2πν(t z/c) + arg{a} zmienia się w czasie i w przestrzeni w funkcji zmiennej t z/c, c nosi nazwę prędkości fazowej fali. Gdy fala monochromatyczna propaguje się w ośrodkach o różnych współczynnikach załamania, jej częstotliwość pozostaje bez zmiany, ale zmianie ulegają: prędkość fazowa, długość fali i liczba falowa. c = c 0 /n; λ = λ 0 /n; k = n k 0
Fala o sferycznym czole falowym (fala sferyczna) Innym prostym rozwiązaniem równania Helmholtza jest fala sferyczna U(r) = (A/r) exp(-ikr), gdzie r oznacza odległość od początku układu współrzędnych, k = 2πν/c = ω/c jest liczbą falową. Intensywność I(r) = A 2 /r 2 jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r. Przyjmując, dla uproszczenia, arg{a} = 0, czoła falowe są powierzchniami kr = 2πq lub r = qλ, gdzie q oznacza liczbę całkowitą. Są to współśrodkowe sfery, odległość między nimi wzdłuż promienia wynosi λ = 2π/k. Powierzchnie sferyczne propagują się wzdłuż promienia z prędkością fazową c, patrz rysunek. Przekrój poprzeczny przez czoła falowe fali sferycznej. Fala sferyczna wychodząca z punktu o współrzędnych r 0 ma amplitudę zespoloną opisaną wzorem U(r) = (A/ r r 0 ) exp(-ik r r 0 ). Fala o amplitudzie zespolonej zapisanej w postaci U(r) = (A/r) exp (+ikr) jest falą sferyczną propagującą się do wewnątrz, w kierunku środka, zamiast na zewnątrz.
Przybliżenie Fresnela dla fali sferycznej fala paraboloidalna Rozważmy falę sferyczną wychodzącą z r = 0 i propagująca się w pobliżu osi z, ale daleko od źródła tej fali. Zakładamy więc że (x 2 + y 2 ) 1/2 << z. Oznaczając lewą stronę tej nierówności przez θ można zastosować przybliżenie bazujące na rozwinięciu w szereg Taylora R = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = z (1 + θ 2 ) 1/2 = z (1 + θ 2 /2 + θ 4 /8 +...) z (1 + θ 2 /2) = z + (x 2 + y 2 )/2z. Podstawiając r = z + (x 2 + y 2 )/2z do wyrażenia opisującego fazę oraz r = z do wyrażenia opisującego amplitudę funkcji U(r) otrzymuje się U(r) (A/z) exp(-ikz) exp [-ik(x 2 + y 2 )/2z]. Otrzymany wynik nosi nazwę przybliżenia Fresnela. Odgrywa ono ważną rolę przy opisie zjawisk dyfrakcyjnych patrz późniejsza część wykładu. Ostatnie równanie można rozpatrywać jako równanie reprezentujące falę płaską A exp(-ikz) modulowaną przez czynnik (1/z) exp[-ik(x 2 + y 2 )/2z]. Czynnik fazowy k(x 2 + y 2 )/z = const. opisuje zaginanie płaskiego czoła falowego do czoła paraboloidalnego, ponieważ równanie paraboloidy obrotowej ma postać (x 2 + y 2 )/z. Tak więc fala sferyczna jest przybliżana falą paraboloidalną. Ze wzrostem odległości propagacji z czynnik fazowy przyjmuje postać kz przy małych zmianach amplitudy z odległością z. Ostatecznie mamy więc falę płaską exp(-ikz), patrz rysunek poniżej.
Sferyczne czoło falowe można aproksymować falą paraboloidalną w pobliżu osi z i na wystarczająco dalekiej odległości od źródła fali sferycznej. Dla bardzo dużych odległości otrzymuje się falę płaską. Dla spełnienia przybliżenia Fresnela nie wystarcza spełnienie warunku θ 2 << 1. Mimo że trzeci wyraz rozwinięcia w szereg Taylora, θ 4 /8 może być bardzo mały w porównaniu do pierwszego i drugiego wyrazu, po przemnożeniu przez kz jego wartość może stać się porównywalna do π. Tak więc przybliżenie jest ważne gdy kzθ 4 /8 << π, lub (x 2 + y 2 ) 2 << 4z 3 λ. Dla punktów (x,y) leżących wewnątrz okręgu o promieniu a o środku na osi z, warunek spełnienia przybliżenia Fresnela to a 2 << 4z 3 λ lub N F θ m2 << 1, gdzie θ m = a/z oznacza maksymalny kąt oraz N F = a 2 /λz. Parametr N F nosi nazwę liczby Fresnela.
Fale przyosiowe Falę nazywa się falą przyosiową, jeśli normalne do czoła falowego są promieniami przyosiowymi. Jednym ze sposobów konstrukcji fali przyosiowej jest wystartowanie z fali płaskiej A exp(-ikz), przyjęcie tej fali płaskiej za falę nośną, i dalej modyfikowanie (modulowanie) zespolonej obwiedni A tej fali. Modulacja prowadzi do wolnozmiennej funkcji A(r), tak że zespolona amplituda zmodulowanej fali jest równa U(r) = A(r) exp(-ikz). Zmiany A(r) z położeniem w przestrzeni muszą być wolne w zakresie odległości równej λ = 2π/k, tak aby zachować podstawowy charakter modulowanej fali płaskiej. Funkcję u(r,t) = A(r) cos[2πνt kz + arg{a(r)}] dla fali przyosiowej naszkicowano na rys. (a) poniżej jako funkcję z dla t = 0 i x = y = 0. Jest to funkcja sinusoidalna o amplitudzie A(0,0,z) i fazie arg{a(0,0,z)} zmieniających się wolno z z. Ponieważ zmiana fazy na odległości długości fali jest mała, płaskie czoła falowe fali nośnej zaginają się tylko nieznacznie, tak że normalne do tych czół falowych pozostają promieniami przyosiowymi, patrz rys. (b) poniżej.
a) b) (a) Amplituda A fali przyosiowej w funkcji odległości propagacji z. (b) Czoła falowe i normalne do czół - przypadek wiązki przyosiowej.
PROSTE ELEMENTY OPTYCZNE Odbicie i załamanie Odbicie od zwierciadła płaskiego Fala płaska o wektorze falowym k 1 pada na zwierciadło płaskie umieszczone w próżni w płaszczyźnie z = 0. Fala odbita ma wektor falowy k 2. Kąty padania i odbicia wynoszą, odpowiednio, θ 1 i θ 2, patrz rysunek poniżej. Suma dwóch fal spełnia równanie Helmholtza jeśli k 1 = k 2 = k 0. Warunek ten wymusza dopasowanie fazowe obydwu fal, tzn. równość faz k 1 r = k 2 r dla wszystkich r = (x,y,0) lub ich różnicę równą pewnej stałej. Podstawiając do ostatniego wzoru r = (x,y,0), k 1 = (k 0 sinθ 1, 0, k 0 cosθ 1 ) i k 2 = (k 0 sinθ, 0, -k 0 cosθ 2 ) otrzymuje się k 0 sin(θ 1 )x = k 0 sin(θ 2 )x, skąd mamy θ 1 = θ 2, a więc kąty padania i odbicia muszą być sobie równe. Odbicie fali płaskiej od płaskiego zwierciadła. Dopasowanie fazowe w płaszczyźnie zwierciadła wymaga równości kątów padania i odbicia.
Odbicie i załamanie na płaszczyźnie rozgraniczającej dwa ośrodki dielektryczne Rozważamy teraz falę płaską o wektorze falowym k 1 padającą na płaską powierzchnię graniczną między dwoma jednorodnymi ośrodkami o współczynnikach załamania n 1 i n 2. Powierzchnia graniczna leży w płaszczyźnie z = 0. Tworzone są fala załamana i odbita o wektorach falowych k 2 i k 3. Kombinacja tych trzech fal spełnia równanie Helmholtza jeśli każda z fal ma odpowiedni wektor falowy w ośrodku, w którym się propaguje. Dochodzimy do warunku dopasowania faz (ich równości) mającego postać k 1 r = k 2 r = k 3 r dla wszystkich r = (x,y,0). (a) Odbicie i załamanie fali płaskiej na płaszczyźnie rozgraniczającej dwa ośrodki dielektryczne. (b) Dopasowanie fazowe czół falowych w płaszczyźnie; odległość P 1 P 2 dla fali padającej wynosząca λ 1 /sin θ 1 = λ 0 /n 1 sin θ 1 jest równa odległości dla fali załamanej, tzn. λ 2 /sinθ 2 = λ 0 /n 2 sin θ 2, skąd otrzymujemy prawo Snella. a) b)
Ponieważ k 1 = (n 1 k 0 sinθ 1, 0, n 1 k 0 cosθ 1 ), k 3 = (n 1 k 0 sinθ 3, 0, -n 1 k 0 cos 3 ), oraz k 2 = (n 2 k 0 sinθ 2, 0, n 2 k 0 cosθ 2 ), gdzie kąty padania, załamania i odbicia są oznaczone na rysunku, z ostatniego wzoru otrzymuje się θ 1 = θ 3 oraz n 1 sinθ 1 = n 2 sinθ 2. Są to zależności odpowiadające prawom odbicia i załamania w optyce geometrycznej, teraz stosowalne do optyki falowej. Teoria skalarna nie daje możliwości wyznaczenia amplitud wiązek odbitej i załamanej, gdyż w tej teorii nie są zdefiniowane warunki brzegowe. Umożliwia to elektromagnetyczna teoria światła.
Przejście promieniowania przez elementy optyczne Omówimy teraz przejście fali świetlnej przez elementy transmisyjne, tzn. płytki szklane, pryzmaty i soczewki. Zjawiska odbicia i absorpcji nie będą brane pod uwagę główny nacisk położony zostanie na przesunięcia fazowe wprowadzane przez te elementy. Przejście promieniowania przez płytkę szklaną Rozważmy płytkę o współczynniku załamania n i grubości d umieszczoną w próżni. Pierwsza powierzchnia płytki leży w płaszczyźnie z = 0, fala propaguje się wzdłuż osi z. Przejście fali płaskiej przez przeźroczystą płytkę.
Zakłada się ciągłość amplitudy zespolonej U(x,y,z) na granicach rozdziału ośrodków. Stosunek t(x,y) = U(x,y,d)/U(x,y,0) opisuje amplitudową transmitancję zespoloną płytki. Mamy t(x,y) = exp(-ink 0 d), tzn. płytka wprowadza przesunięcie fazowe nk 0 d = 2π(d/λ). Jeśli padająca fala płaska tworzy kąt θ z osią z i jej kierunek propagacji opisuje wektor falowy k, patrz rysunek poniżej, to fale załamana i przepuszczona są również falami płaskimi o wektorach falowych k 1 i k i kątach θ 1 i θ, odpowiednio, gdzie θ 1 i θ są powiązane prawem Snella sinθ = n sinθ 1. Amplituda zespolona U(x,y,z) w płytce jest teraz proporcjonalna do exp(-ik 1 r) = exp[-ink 0 (zcosθ 1 + xsinθ 1 )], tak że zespolona transmitancja amplitudowa płytki U(x,y,d)/U(x,y,0) wynosi t(x,y) = exp[-ink 0 (dcosθ 1 + xsinθ 1 )]. Przejście ukośnie padającej fali płaskiej przez płytkę przepuszczającą (np. szklaną).
Cienka płytka o zmiennej grubości Niech grubość d(x,y) cienkiej przepuszczalnej płytki zmienia się ze współrzędnymi (x,y). Cienka przepuszczalna płytka o zmiennej grubości. W pobliżu (x,y,0) padająca fala przyosiowa może być rozważana jako fala płaska propagująca się wzdłuż kierunku tworzącego mały kąt z osią z. Przechodzi ona teraz przez cienką płytkę o grubości d(x,y) otoczoną powietrzem o całkowitej grubości d 0 d(x,y). Lokalna transmitancja będzie iloczynem transmitancji cienkiej warstwy powietrza o grubości d 0 d(x,y) i cienkiej warstwy materiału optycznego o grubości d(x,y), tak że t(x,y) = exp[-ink 0 d(x,y)]exp{-ik 0 [d 0 d(x,y)]}, skąd otrzymuje się t(x,y) h 0 exp[-i(n-1) k 0 d(x,y)], gdzie h 0 = exp(-ik 0 d 0 ) opisuje stały czynnik fazowy. Powyższe równanie jest ważne przy spełnieniu przybliżenia przyosiowego (wszystkie kąty θ są małe) i dla małej grubości d 0 dla wszystkich punktów (x,y).
Cienka soczewka Schemat cienkiej soczewki płasko-wypukłej pokazano niżej na rysunku wraz z oznaczeniami. Grubość soczewki w punkcie (x,y) wynosi d(x,y) = d 0 PQ = d 0 (R QC), lub Soczewka płasko-wypukła. d(x,y) = d 0 {R [R 2 (x 2 + y 2 )] 1/2 }. Dla punktów (x,y) spełniających warunek x 2 + y 2 << R 2 mamy [R 2 (x 2 + y 2 )] 1/2 = R[1 (x 2 + y 2 )/R 2 ] 1/2 R[1 (x 2 + y 2 )/2R 2 ], a więc d(x,y ) d 0 (x 2 + y 2 )/2R. Po podstawieniu otrzymujemy t(x,y) h 0 exp{ik 0 (x 2 + y 2 )/2f}, gdzie f = R / (n-1) oznacza lokalną wartość ogniskowej soczewki, a h 0 = exp (-ink 0 d 0 ) jest stałym czynnikiem fazowym nie odgrywającym zazwyczaj istotnej roli. Zmiana fazy wprowadzana przez soczewkę jest do x 2 + y 2, a więc soczewka transformuje padającą falę płaską na falę paraboloidalną o środku położonym w odległości f od soczewki.
Transformacja fali płaskiej na falę paraboloidalną przez soczewkę cienką Transformacja fali paraboloidalnej na inną falę paraboloidalną przez soczewkę cienką. Środki obydwu al leżą w punktach spełniających warunek (równanie) obrazowania.
Siatka dyfrakcyjna Siatka dyfrakcyjna jest elementem optycznym stosowanym do okresowej modulacji fazy lub amplitudy fali padającej. Może być ona wykonana w postaci przeźroczystej płytki o okresowo zmieniającej się grubości lub współczynniku załamania (siatki fazowe). Można użyć również matryce wypełnione, okresowo, małymi otworkami czy elementami absorbującymi światło (siatki amplitudowe). Rozważmy tutaj siatkę fazową w postaci cienkiej płytki o okresowo zmieniającej się grubości, umieszczoną w płaszczyźnie z = 0, patrz rysunek poniżej. Ugięcie fali płaskiej na cienkiej siatce fazowej o okresie Λ. Siatka transformuje falę płaską o długości fali λ << Λ, padającą pod małym kątem θ i względem normalnej do siatki, na szereg fal płaskich propagujących się pod kątami θ q względem osi z θ q = θ i + qλ/λ, gdzie q = 0, +/-1, +/-2,..., nosi nazwę numeru rzędu ugięcia. Odległość kątowa między sąsiednimi rzędami ugięcia wynosi θ = λ/λ. Ostatni wzór jest słuszny tylko w przybliżeniu przyosiowym (małe kąty), które wymaga aby okres siatki Λ był znacznie większy od długości fali promieniowania λ. Bardziej ogólna analiza dyfrakcyjna prowadzi do wzoru sinθ q = sinθ i + qλ/λ. Zastosowania siatek dyfrakcyjnych.
Optyczny element gradientowy Rozważmy teraz element optyczny w postaci cienkiej płytki o stałej grubości, ale przestrzennie zmiennym rozkładzie współczynnika załamania. Zespoloną transmitancję amplitudową takiego elementu można przedstawić w postaci t(x,y) = exp [-i n(x,y) k 0 d 0 ]. Wybierając odpowiednią funkcję rozkładu n(x,y) można uzyskać efekt soczewki cienkiej, tzn. n(x,y) = n 0 [1 (1/2)α 2 (x 2 +y 2 )], gdzie αd 0 <<1. Ogniskowa takiej soczewki wynosi f = 1/n 0 α 2 d 0. Płytka z odpowiednim przestrzennym rozkładem współczynnika załamania działa jak soczewka skupiająca.