7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym 7 PODSTAWOWY MODEL RUCHU W UJĘCIU KLASYCZNYM (wg Aho, 966) 7 Defcje merk paramerów ruchu Przed dykują różych eor pooków ruchu mumy zdefować pewe pojęca, kóre będą używae Badając ruch drogowy jako rumeń lub kouum mumy wprowadzć rzy charakeryyk: aężee ruchu q merzące lczbę pojazdów a jedokowy cza, gęość pooku k merzące lczbę jedoek a jedokę drog prędkość wyrażoą oukem drog do czau Zgode z ą deą zagęzczee lub gęość może być luką lub odępem pomędzy dwoma pojazdam Odęp może być wyrażoy w czae lub odległośc pomędzy czołem jedego drugego pojazdu Odęp czau je odpowedm problemem pojawającym ę przy przejścu dla pezych lub T-krzyżowau Należy zauważyć, że odęp drogowy je czaem w leraurze azyway jako odległość (pacg), a erm odęp rezerwoway je a l czau, aby ukąć dwuzaczośc, dodaje ę pomędzy ym cza odległość (dya), kedy rzeba Fakycze ruch drogowy e je cągły, a węc do opu używa ę meod oberwacj dykreej pojazdów Czaem jedak porzebe ą cągłe charakeryyk czau, odległośc prędkośc, co wymaga przedem przedefowaa charakeryyk Charakeryyk q, k mają e jako charakeryyk średe (lub jako rozkłady prawdopodobeńw), jako pewe róże średe będą oowae W pewych przypadkach właścwym je użyce średej arymeyczej, w ych - harmoczej średej, a jezcze w ych - średej w czae! Nezbęde je do właścwego użyca średch zależych od różych yuacj Dla akch rozważań wprowadzmy dwa ypy mar: jedą - w przekroju drog, a drugą - w przekroju czau Pook ruchu a drodze może być opay a dwa róże pooby Możemy ać przy drodze zlczać lczbę pojazdów przejeżdżających w jedoce czau (w muce, godze) To je aężee q Ogóle o je fukcja czau oraz położea, ak węc q = q(, ) Iaczej my możemy robć foografę ualoego odcka drog (p km) oblczać lczbę pojazdów a ym odcku To daje gęość k = k(, ) Dwe charakeryyk q k zależą wzajeme średa prędkość je = q/k, gdze jedoka drog zawera k pojazdów przejeżdżających w czae k/q Te zwązek aężea gęośc pooku ruchu je zwązkem dwuwymarowym: w czae w drodze Rozważmy ajperw rozkład prędkośc w czae Jeżel będze kładowych pooków z aężeam q,,q prędkoścam,,, o łącze aężee je dae przez: Q = = q Dla rozkładu prędkośc a drodze śred odęp czau mędzy pojazdam je /q droga przejechaa w ym czae je /q Tak węc, k = q / : K = = Wardrop (95) uzykał emprycze dae q, jako fukcje, dae e zawera ablca 7 k TPR7-07
Rząd prędkośc [km/h] 7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym Pośreda prędkość [km/h] Naężee [poj/h] Tab7 00q Q Gęość [poj/km] k 00k K 3-8 55 03 0 7 9-4 05 4 08 03 33 5-80 0 00 00 00-7 45 7 5 0 9 8-34 30 0 45 06 69 35-40 375 44 99 7 4-46 435 80 79 9 97 47-53 500 8 8 6 77 54-59 565 79 75 4 49 60-65 65 49 09 07 83 66-7 690 36 79 05 54 73-78 755 6 57 04 8 79-85 80 9 9 0 86-9 885 0 0 9-98 950 3 08 0 04 ogółem 450 000 93 000 Rząd prędkośc był zaokrągloy, ak węc, w rzeczywośc: ½ -7 ½, 8 ½ -9 ½ p Jeżel dla prędkośc je określoy proceowy udzał częośc przedzałów czau lub drog, jak o je a Ry 7a 7b o orzymujemy czaowy drogowe rozkłady prędkośc To ozacza, że reale prędkośc ą wękze dla czaowego rozkładu?? Jeżel rozważymy ab7, o wdzmy, że e ma jedej średej, a czaowa średa prędkość oraz drogowa Czaowa średa prędkość je zdefowaa jako arymeycza średa prędkość pojazdów przechodzących przez day puk w daym okree czau Drogowa średa je zdefowaa jako arymeycza średa prędkość pojazdów z całej długośc drog Tak węc: = = q Q, = = k K To daje: = q K =, = q k Z ego wyka, że : Q = K, co ozacza, że: Dla daych z Tab7 mamy: Q = = k = q = = 450, co daje: = Q K = 450 93 48 km/h TPR7-08
7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym q 439 = = 53 5 Q 450 = km/h ak węc: > 5 Zormalzowae aężee 00 q /Q 0 5 0 5 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 5 Zormalzowaa gęość 00k/K 0 5 0 5 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 Ry 7(a) (b) Wykre empryczych zwązków aężea gęośc dla różych prędkośc Wardrop pokazał, że: = + σ gdze waracja : σ = k ( ) = K W prakyce zwykle przewyżza o 6-% (z wyjąkem przypadku ałych prędkośc) Wzór Wardropa wyprowadza ę z defcj ; σ aępująco: TPR7-09
7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym q k = = = K Q Q = = = f Q, gdze: f k =, ąd: K f f = = = = = = = [ ( ) f f ] ( ) + + +, a węc: f( ) = 0 = = σ + Lghhll Whham (955) podal precyzyje defcje aężea q, gęośc k w pukce X w czae dając rukcję dla pomarów w krókch odckach δ dla długego okreu T zawerającego aępująco: δ k = = Tδ q = T δ / T, δ gdze: lczba pojazdów przejeżdżająca δ w czae T, δ - cza przejazdu -ego pojazd odcka δ umowae Σ przebegu od do Tak węc: reda lczba pojazdów a k = δ dlugoc δ = lczba pojazdow jedokowa dlugoc drog Prędkość pooku je defowaa jako: q δ = = k δ To je drogowa średa Wardropa, ważoa zgode z czaem przejazdu przez δ, z ego pochodu o może być pokazaa aępująco: ' = =, (7) co ozacza, że je harmoczą średą oberwowaych prędkośc, za pomocą a przykład radaru TPR7-0
7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym Wardrop jezcze pokazał jak a podawe foograf długego odcka X w krókch przedzałach czau δ uzykać charakeryyk: δ q = δ, k =, X δ = = δ, (7) gdze: lczba pojazdów a odcku w czae, δ - dya -ego pojazdu przejechay w czae δ W prakyce ą czery główe pooby pomaru prędkośc: () koleje pojazdy (lub pojazdów) ą badae w czae przejazdu odcka X, = X = lub = () radar daje pomary, kóre pozwalają jak wyżej wyzaczyć lub, () jak w (), ale = rzeba przedem wyzaczyć oraz z: X =, () dwe przerzee foografe zroboe w erwale δ dają dya δ przejechay przez każdy pojazd, a prędkość pozczególych pojazdów je daa przez: = δ δ ak węc: = W rozważaach ekoomczych, jak róweż w badaach wpływu a śred ruch zma ruchu zajomość średej prędkośc pooku je ajważejza Dla pozczególych yuacj ą możlwe warośc lub Zależośc pomędzy pojazdam w drodze w czae mają bardzo ważą rolę w prakyczych badaach Z ego względu merzee czau z użycem aśmy drogowej foograf ma a celu uławee dzałalośc żyerom ruchu Średe czay ą zwykle bardzej użyecze z czau podroży, bo ajważejzym czykem je średa prędkość Z drugej roy rozkład prędkośc w podróży je bardzej zwary ymeryczy ż rozkład w czae podróży, kóry je kośy w prawo (aymeryczy praworoe) TPR7-
7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym Możemy wyrazć rówaa (7) (7) razem z ch odpowedkam dla q k w ermach prędkośc odępów czau h lub odległośc dla każdego pojazdu zama w ermach δ δ w poób aępujący: Drogowe ujęce Czaowe ujęce q = q h k = h = = k = = Z ych rozważań je jae, że prędkość pooku je średą harmoczą prędkośc pojazdów merzoych w pukce (drog), a arymeyczą średą pojazdów merzoą w daej chwl Naężee q je odwrooścą średch odępów czau, a gęość k je odwrooścą średch odległośc Pojawają ę eraz dwa problemy Perwzy, jak k powo być uśredoe po czae w daym pukce lub po drodze w daej chwl Po druge, jeżel oblczoe ą średe q, k dla grup N ( =,,,) pojazdów przechodzących przez puk, jake średe powy być wyzaczoe dla kombacj dwu lub węcej grup Ede (963) wprowadzł owe defcje ezależe od meod pomaru, kóre ufkują defcje podae wyżej uuwają dwuzaczość zależą od użyej meody średowaa Najperw badający pow przeprowadzać wzyke oberwacje a krókm odcku drog krókm okree czau, ale ego e moża zbadać wpływu a e fragmey drog różych okreach czau Dlaego ezbęde je zdefowae rajekor pojazdów w każdym okree czao-przerze Jeżel = N q podcza rwaa -ego pozomu pooku N = N króke oberwacje drog kombowae w różych chwlach aępująco: q N T q = = T, = = =, (73) k = = T N = = q k k, (74) Rówaa (73) (74) dają średe aężee gęość ważoe po czae, a ch ouek daje średą prędkość Jeżel = N k je odległoścą merzącą gęość przez k, o krókookreowe oberwacje przewarzae ą dla różych fragmeów drog aępująco: q = = q (75) TPR7-
7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym N X k = = q k = = N k (76) Rówaa (75) (76) dają aężee gęość ważoe w przerze (po drodze), a ch ouek daje średą prędkość Możąc lczk maowk rówaa (73) przez δ mamy: Nδ q = = Tδ laczy dy a przejechay przez N pojazdow powerzcha rójkaa czao przerze T ( δ ) Rówae (74) daje: δ k = = Tδ laczy cza pedzoy a δ przez N pojazdów powerzcha czao przerze w zakree T ( δ ) Rówae (75) daje: δ laczy dy a przejechay przez N pojazdów po δ q = = Xδ powerzcha czao przerze w zakree X Rówae (76) pomożoe przez δ daje: ( δ ) Nδ k = = Xδ laczy cza pedzoy a δ przez N pojazdów powerzcha czao przerze w zakree X ( δ ) Sąd z orygalych zborów defcj możemy wyprowadzć jedą, kóra je ezależa δ T = δ X = A od meod pomarów Podawając za powerzche czao-przerze: ( ) ( ) a ąd: drog q = przejechaejwa czau pedzoego w A k =, A A drog przejechaej = czaupedzoego Na podawe warośc q, k, dla zakreów o powerzch a uzykujemy aępujące wzory: TPR7-3
7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym q = a q a, k = a k a, a q = a k Te defcje q, k, racą e dla błędów loowych, kóre zawze powają w merzeu w pukce lub daej chwl Dla oberwacj w pukce lub w daej chwl błędy mogą oągać 0% Wele z ch wyka ze złego oowaa arymeyczych średch dla q, k,, gdze ależy oować harmocze średe Zaoowae średch arymeyczych dla wzykch charakeryyk prowadz do przezacowaa, wedy, jeżel q je uzykwae jako produk k, o uzykujemy duże błędy ocey q W (96) Joe ad Po zapropoowal ą charakeryykę ruchu dla porówaa różych yuacj ruchowych: σ - dyperję przypezea Określa ę w aępujący poób Na owarej drodze kerowca zwykle dąży do urzymaa ałej prędkośc Poeważ waruk drogowe e czyk e pozwalają a uzykae akego dealego auu w rzeczywym ruchu pojazd poruza ę ze zmeym przypezeem, kóre je fukcją czau Te wzór może być opay fukcją rozkładu (prawdopodobeńwa) przypezea, kóry je z grubza ormaly Składk loowy je ak zwaym zumem przypezea ogóle je o zarówo kładk podłuży jak poprzeczy Te oa może być powedzmy, a kręcoej drodze, ale e je jezcze dobrze zbaday Rozważając ylko podłuży kładk, płyość lub aczej kerowca może być wyrażoa przez paramer σ - dyperję określoą jako: σ = d T 0 d T d, gdze: T cza jazdy, d - przypezee wzdłuż drog w chwl d Wymarowość σ je wyrażoa ak jak merzy ę przypezee, a węc m/ek lub jako część g Przykładowe warośc σ dla ypowych waruków drogowych wyozą: 05 m/ek Jeżel przypezee je oberwowae w przedzałach czau, o σ je dae przez: σ = d T, d może być zmerzoe za pomocą aprokymacj σ T = ( ) T gdze: je czaem wykającym ze zma (całkowe) w prędkośc je ały dla całej drog Apara dla auomayczego pomaru zumu przypezea przeworzea do formy odpowedej do wejśca do kompuera pował w USA Paramer σ je zwykle ooway do aalzy ablośc dla rurocągów lub dróg podmejkch Jedakże, o e zawze je eowe w warukach mejc załoczoych, gdze ruch odbywa ę z małą średą prędkoścą To puje wyróżee jaśej pomędzy TPR7-4
7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym podróżam z małą prędkoścą, w gęym ruchu, a zybkm podróżam z akm amym zumem przypezea prowadzoym przez emafory a krzyżowaach Dlaego zaępczo zoał zapropooway przez (Helly ad Bake 965) zmodyfkoway paramer G Je określoy jako: G = σ, gdze: je średą prędkoścą Dlaego G je marą zmeośc prędkośc a jedokę odległośc podróży Te paramer lepej przyblża pojedycze ewolucje ż σ Warośc G rzędu (0,0-0,0) odpowadają komforowej podróży, warośc rzędu (0,0-0,0) ą akcepowae, warośc rzędu (0,0-0,0) o fruracja a wękze ż 0, ą edopuzczale 7 Model podawowy Zależośc mędzy q, aężeem ruchu pojazdów w godze k, gęość pojazdów a km ą azywae podawowym modelem ruchu To je edo zaereowaa żyerów ruchu przez wele la eż waże je poób luracj prooa argumeów Gdy aężee je zero, o gęość róweż je zero, jeżel założymy, że aężee ruchu zmerza do zera, gdy zagęzczee je makymale k (korek) Pomędzy ym waroścam krajym gęośc muzą być warośc dające makymalą warość aężea, ak jak o mej węcej a ry7 Ekperymeale dae powerdzają ę argumeację pokazują, że w marę wzrou gęośc rośe aężee oąga makmum Naępe pada w marę wzrou koflków, ak jak a wykree Zauważmy, że ajwękze eoreycze makmum k odpowada zagęzczeu korkowym k j, ale q mają makma, o je eprakycze wyzaczee aboluej gracy aężea ruchu lub prędkośc Oczywśce q(k )= k (k) je zwązkem medzy rzeczywym fukcjam k W zczególych yuacjach moża zaoberwować makymalą warość q jako fukcję k To makmum je azywae przepuowoścą drog j q średa prędkość ruchu wobodego aężee ruchu q ma prędkość pojazdu q/k przepuowość Spadek prędkośc d c = dk gęość k k j k Ry7 Podawowy model ruchu lub krzywa aężee-gęość TPR7-5
7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym Przepuowość drog je welkoścą o ajwękzym zaereowau żyerów ruchu, zarówo podcza projekowaa drog jak podcza ekploaacj ejących dróg To je fakycze dea, kóra mu być rozwęa w dalzych rozważaach, ale bez ogólej zgody a dokładą defcję de jak meod merzea Jedakże jede z ajważejzych wyków, jake uzykal Lghhll- Whha z eor fal (kemayk)(przedawoe w rozdz 4) dają możlwośc merzea przepuowośc w prakyce Z przepuowoścą wążą ę rzy róże pojęca Możlwa przepuowość defowaa zwykle jako ajwękza lczba pojazdów, kóre mogą przejechać day puk w jedej godze przy ypowych warukach drogowych Prakycza przepuowość je zdefowaa jako ajwękza lczba pojazdów, kóre mogą przejść day puk w cągu godzy w ypowych warukach bez epodzewaego opóźea lub ograczeń w wobodze maewrowaa Projekowa przepuowość je podoba do prakyczej, gdy rozważamy umerycze warośc Zbadajmy kryycze propoowaą krzywą aężee-gęość Zwykle argumey przy wyprowadzau krzywej q - k zawerają dwa założea, że u je jeda zależość mędzy q a k dla wzykch możlwych k, że aężee zmerza do zera w korkowej gęośc k, o je pokazae jako wzro krzywej do makmum, a późej padek do zera Jeżel poparzymy kryycze a ę yuację o z perwzej zaady mogą być wyprowadzoe e wok Najperw, jeżel e ma erakcj w pooku f,, gdze f je średą prędkoścą wobodej prędkośc Rzeczywy pook z jakmś zagęzczeem prawdopodobe będze mejzy ż e, ak węc krzywa q - k będze zmerzać do zera wolej ż padek orygalej warośc f Po druge, jede paramer ak jak średa długość pojazdu (w WB zwykle około 45 m) może być rakowaa jako odwroość korkowej gęośc, ale dea, że aężee będze gładko zmerzać do zera może być kweoowae Pook ruchu, w kórym wzro gęośc daje padek aężea a perwzy rzu oka wygląda cekawe To e będze zakoczeem, gdy o będze eable Take rozważaa przeprowadz ę późej ( 84) W końcu je o eprawdopodobe, że w modelu q - k e am model je dla wzykch k W zczególośc model dla małych zagęzczeń może różć ę od modelu dla dużych gęośc Naępujące argumey ą za ym Ierakcje, kóre wyępują pomędzy pojazdam w pooku ruchu ą bardzo komplkowae Dla małych gęośc day kerowca prawdopodobe ylko drobe zakłócea, co może być ylko małym opóźeem Jeżel gęość wzraa o róże czyk zaczyają oddzaływać a ego Jego odległość maewrowa pada ak, że w końcu pojazdy przed m ograczają wdoczość drog, aż w końcu o zaczya obe uśwadamać grace dla jego pojazdu W pewych yuacjach o może jezcze meć śwadomość pojazdu przed m oraz za m Te wzyke czyk, kóre wpływają a zależość aężee-gęość dla uablzowaego pooku Ie efeky powają, gdy rozważamy e uablzoway pook W akm przypadku będze właścwe założee, że zachowae kerowcy będze róże, jeżel o wdz, że o wjeżdża w rejo cężkego ruchu od jego zachowaa, kedy o wdz, że ruch przed m je mej gęy ż przy m W końcu w eablym pooku kerowca prawdopodobe będze poddawał ę oddzaływau przez lokale flukuacje gęośc Rozważaa blke makmum były rozważae przez Ede, kóry propoował druge prawo dla rejoów wyokej gęośc Dalza dykuja podawowego modelu ruchu jej wok z różych eor pooków ruchu będą podae w rozdz0 Dzaj moża zaleźć w leraurze e, rówoważe formy modelu podawowego: zależość średej prędkośc od gęośc przedawoą a Ry 73 oraz zależość średego czau czekaa od gęośc przedawoą a Ry 74 Moża zauważyć, że wzyke rzy ryuk 7, 73 74 zawerają róże charakeryyk ego amego zjawka padku prędkośc ruchu w marę wzrou gęośc pooku k Ry 73 je owym, poprawoym modelem średej prędkośc, zgodym z modelem z Ry 7 oraz 74 TPR7-6
7 Podawowy model ruchu w ujęcu klayczym f - prędkość woboda średa prędkość gęość k k j k Ry73 Zależość średej prędkośc od gęośc w Śred cza czekaa gęość k k j k Ry74 Zależość średego czau czekaa od gęośc TPR7-7