Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t)

Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t)

Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) Figure 1: Aproksymacja drzewem dwumianowym

Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) K) + (ogólnie D f (T ) = f(s(t )) ) Pytanie o cenȩ C(0)

Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) K) + Pytanie o cenȩ C(0) C(t) = u(t, S(t)) Wzór Ito-Doeblina dc(t) = du(t, S(t)) = u u u dt + as(t)dt + t x x σs(t)dw (t) + 1 2 u S 2 (t)dt 2 x 2σ2

C(t) = u(t, S(t)) Wzór Ito-Doeblina dc(t) = du(t, S(t)) = u u u dt + as(t)dt + t x x σs(t)dw (t) + 1 2 u S 2 (t)dt 2 x 2σ2

C(t) = u(t, S(t)) Wzór Ito-Doeblina dc(t) = du(t, S(t)) = u u u dt + as(t)dt + t x x σs(t)dw (t) + 1 2 postać ca lkowa C(T ) = C(0) + + T 0 ( u 0 t + u x as(t) + 1 2 u σs(t)dw (t) x T 2 u S 2 (t)dt x 2σ2 2 ) u S 2 (t) dt x 2σ2

C(t) = u(t, S(t)) Wzór Ito-Doeblina dc(t) = du(t, S(t)) = u u u dt + as(t)dt + t x x σs(t)dw (t) + 1 2 postać ca lkowa EC(T ) = C(0) + E T 0 ( u t + u x as(t) + 1 2 2 u S 2 (t)dt x 2σ2 2 ) u S 2 (t) dt x 2σ2

C(t) = u(t, S(t)) Wzór Ito-Doeblina dc(t) = du(t, S(t)) = u u u dt + as(t)dt + t x x σs(t)dw (t) + 1 2 postać ca lkowa EC(T ) = C(0) + E T 0 ( u t + u x as(t) + 1 2 2 u S 2 (t)dt x 2σ2 2 ) u S 2 (t) dt x 2σ2 C(0) = u(0, x) gdzie x = S(0), a u jest rozwi azaniem równania u t + ax u x + 1 2 σ2 x 2 2 u x 2 = 0 w zbiorze (, T ) R z warunkiem końcowym: u(t, x) = (x K) +

Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) K) + Pytanie o cenȩ C(0) Oznaczamy x = S(0) C(0) = u(0, x) = E((S(T ) K) + ) (Wzór Feynmana-Kaca ) gdzie u jest rozwi azaniem równania u t + ax u x + 1 2 σ2 x 2 2 u x 2 = 0 w zbiorze (, T ) R z warunkiem końcowym: u(t, x) = (x K) +

Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = a(t, S(t))dt + σ(t, S(t))dW (t) W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) K) + Pytanie o cenȩ C(0) Oznaczamy x = S(0) C(0) = u(0, x) = E((S(T ) K) + ) (metody Monte-Carlo) gdzie u jest rozwi azaniem równania (metody numeryczne) u t + a(t, x) u x + 1 2 σ(t, x)2 2 u x 2 = 0 w zbiorze (, T ) R z warunkiem końcowym: u(t, x) = (x K) +

Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) K) + Pytanie o cenȩ C(0) Oznaczamy x = S(0) C(0) = u(0, x) = E((S(T ) K) + ) (Wzór Feynmana-Kaca ) gdzie u jest rozwi azaniem równania u t + ax u x + 1 2 σ2 x 2 2 u x 2 = 0 w zbiorze (, T ) R z warunkiem końcowym: u(t, x) = (x K) +

Wycena opcji - Twierdzenie Girsanowa Dynamika cen akcji: ds(t) = rs(t)dt + σs(t)dw (t) W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) K) + Pytanie o cenȩ C(0) Oznaczamy x = S(0) C(0) = u(0, x) = E(e rt (S(T ) K) + ) (Wzór Blacka-Scholesa) gdzie u jest rozwi azaniem równania u t + rx u x + 1 2 σ2 x 2 2 u x 2 ru = 0 w zbiorze (, T ) R z warunkiem końcowym: u(t, x) = (x K) +

Ryzyko kredytowe Model Mertona (strukturalny) Instrument bazowy: wartość firmy dv (t) = av (t)dt + σv (t)dw (t)

Ryzyko kredytowe Model Mertona (strukturalny) Instrument bazowy: wartość firmy dv (t) = av (t)dt + σv (t)dw (t) D lug w chwili T w wysokości D V (T ) > D sp lata, zostaje V (T ) D dla akcjonariuszy V (T ) D bankructwo, zostaje 0

Ryzyko kredytowe Model Mertona (strukturalny) Instrument bazowy: wartość firmy dv (t) = av (t)dt + σv (t)dw (t) D lug w chwili T w wysokości D V (T ) > D sp lata, zostaje V (T ) D dla akcjonariuszy V (T ) D bankructwo, zostaje 0 Wyp lata dla akcjonariuszy w chwili T : (V (T ) D) + Akcja - opcja kupna S(0) = C(0) - cena opcji kupna Prawdopodobieństwo bankructwa: P (V (T ) < D) = E(I (,D) (V (T )))

Sprzedaż - przep lywy gotówki poziom sprzedaży dx(t) = ax(t)dt + σ X X(t)dW X (t)

Sprzedaż - przep lywy gotówki poziom sprzedaży dx(t) = ax(t)dt + σ X X(t)dW X (t) ści aganie należności dy (t) = (b Y (t))dt + σ Y dw Y (t) F : (, ) [0, 1] F (Y (t)) procent sprzedaży w formie gotówki

Sprzedaż - przep lywy gotówki poziom sprzedaży dx(t) = ax(t)dt + σ X X(t)dW X (t) ści aganie należności dy (t) = (b Y (t))dt + σ Y dw Y (t) F : (, ) [0, 1] F (Y (t)) procent sprzedaży w formie gotówki dg(t) = X(t)F (Y (t))dt cx(t)dt rddt korekta dx(t) = a(x(t) + γg(t))dt + σ X X(t)dW X (t) = a(x(t), Y (t))dt + σ X X(t)dW X (t)

Ogólnie (X 1 = X, X 2 = Y ) dx 1 (t) = a(x 1 (t), X 2 (t))dt + σ 1 X 1 (t)dw 1 (t) dx 2 (t) = (b X 2 (t))dt + σ 2 dw 2 (t) u t + a(x 1, x 2 )u x1 + (b x 2 )u x2 + ρσ 1 σ 2 u x1 x 2 + 1 2 x2 1σ 2 1u x1 x 1 + 1 2 σ2 2u x2 x 2 = 0 Bankructwo: X 1 (t) < 0, opcja amerykańska Prawdopodobieństwo bankructwa, zależność od ρ.

Figure 2: Symulacja Monte-Carlo: histogram momentu bankructwa

Proces Poissona τ i niezależne zmienne losowe o tym samym rozk ladzie wyk ladniczym (gȩstość f(t) = λe λt dla t 0) N(0) = 0 N(t) = max{n : n τ i t} i=1 Przyrosty procesu Poissona s a niezależne, stacjonarne, P (N(t) N(s) = k) = λk (t s) k k! e λ(t s)

Z lożony proces Poissona Y n niezależne zmienne losowe o tym samym rozk ladzie Równanie na wartość firmy Q(t) = N(t) i=1 dv (t) = av (t)dt + σv (t)dw (t) + V (t )dq(t) Y i

Z lożony proces Poissona Y n niezależne zmienne losowe o tym samym rozk ladzie Równanie na wartość firmy Q(t) = N(t) i=1 dv (t) = av (t)dt + σv (t)dw (t) + V (t )dq(t) Y i Szczególny przypadek: Y n o tym samym rozk ladzie dyskretnym: wartości {y 1,..., y k }, prawdopodobieństwa p 1,..., p k Równanie cz astkowe u t + 1 2 σ2 x 2 2 u x + ax u 2 x + k p i (u(t, (y i + 1)x) u(t, x)) = 0 i=1