Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta Ćwczee r 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta (wersja z da 8 X 06) A. Majhofer R. Nowak WYMAGANIA TEORETYCZNE Sformułowae metody ajmejszych kwadratów wyzaczae oce parametrów odchyleń stadardowych tych oce w przypadku zależośc w postac l prostej. Defcja kowaracj współczyka korelacj. Ogóle wyrażee a warację kombacj lowej zmeych losowych (ekoecze statystycze ezależych). Prawa Ohma Krchhoffa dzelk apęca. WSTĘP Celem ćwczea jest szczegółowe prześledzee stadardowej procedury budowy kalbracj przyrządu pomarowego. Zbudujemy termometr wykorzystujący zależość oporu elektryczego od temperatury. Wykorzystamy tzw. termstor, czyl opork z materału półprzewodkowego, którego opór zacze slej zależy od temperatury ż w klasyczych przewodkach. Zakładamy, że postać fukcj opsującej zależość oporu termstora od temperatury jest zaa, atomast dla każdego termstora wartośc występujących w tej fukcj parametrów wyzaczae są a podstawe pomarów. Wykoae tego zadaa wymagać będze: a) wyzaczea charakterystyk temperaturowo-oporowej termstora, czyl zależośc jego oporu r(t) od temperatury absolutej T; b) zbudowaa dzelka apęca dobraa odpowedch waruków pracy termstora, aby możlwe ajdokładej merzyć temperaturę w zadaym przedzale; c) kalbracj przyrządu, czyl wyzaczea fukcyjej zależośc określającej odpowedź układu, tj. apęca a termstorze, a dobrze zdefoway sygał, tj. temperaturę termstora, aby zależość tę odwrócć, co pozwol wyzaczać temperaturę a podstawe pomaru apęca; d) określea dokładośc wskazań przyrządu w zadaym zakrese temperatur. Powyższa procedura jest typowym sposobem postępowaa przy budowe czujków temperatury. OBJAŚNIENIA WYKORZYSTANIE TERMISTORA DO BUDOWY TERMOMETRU a) Zależość oporośc r(t) typowego termstora od temperatury absolutej T, z dobrym przyblżeem, opsuje zależość: r( T) r exp B = T gdze welkość B zwaa jest stałą materałową termstora. Dla termstorów stosowaych w ćwczeu, typowa wartość parametru r ma wartość około Ω, a wartość parametru B zawera sę w gracach od 3500 K do 4000 K. Przykład zależośc () dla termstora opsaego parametram r = 0,8 Ω B = 3800 K, ukazuje Rysuek. Celem perwszej częśc pomarów jest wyzaczee oce parametrów r B otrzymaego termstora. b) W typowych czujkach temperatury, termstor wykorzystay jest jako elemet dzelka apęć. Dzelk apęć to układ dwóch szeregowo połączoych oporków, a przykład takego dzelka, złożoego z oporka, () oporość r (t ) [kω] 000 800 600 400 00 0 0 5 50 75 00 temperatura t [ C] Rys.. Przykładowy kształt zależośc oporośc termstora od temperatury
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta wzorcowego o oporze R oraz termstora o oporze r(t) przedstawa Rysuek. Na podstawe drugego prawa Krchhoffa zajdujemy apęce V(T) a termstorze: r( T) V ( T) = E. () R+ r( T) Pomar apęca V w zadaej temperaturze T przy zadaym apęcu E zaslaa, pozwala wyzaczyć opór r, a astępe, wykorzystując wzór (), oblczyć R temperaturę T. W zastosowaach techczych jesteśmy zwykle zateresowa zmaam temperatury E V w ewelkm przedzale (T 0 Δ, T 0 + Δ) wokół wybraej I r(t) V(T) V wartośc T 0, dlatego zależość () moża przyblżyć w tym przedzale zależoścą lową: V( T) U( T) = h( T T0) + U0, Rys.. Schemat dzelka apęć przy czym wygode jest używać temperatury t merzoej w stopach Celsjusza: U t = h t t + U = ht+ g, (3) () ( ) 0 0 gdze t 0 jest temperaturą T 0 wyrażoą w skal Celsjusza. Obok symbolu V opsującego faktycze apęce a termstorze dae wzorem (), do rozważań wprowadzlśmy dodatkowy symbol U ozaczający przyblżoą wartość apęca a termstorze. Symbol U zamerzamy stosować dla welkośc wyzaczoej ze zwązku (3). Zależość apęca V(t) (wzór ()) od temperatury ma przebeg zlustroway a Rysuku 3 dla r = 0,8 Ω, B = 3800 K, R = 5 kω apęca zaslaa E = V. Wdać a m pukt przegęca w okolcy temperatury t 0 = 60 C. Użyteczość puktu przegęca polega a tym, że możemy go wykorzystać do poprawy jakośc przyblżea (3) w rozwęcu zależośc (). Otóż, jak wemy, pukt przegęca charakteryzuje sę tym, że w pukce tym zka druga pochoda, a węc rozwjając zależość V(T) wokół tego puktu pozbywamy sę wyrazu kwadratowego perwszy zaedbay wyraz to dopero wyraz sześcey. Waruek zkaa drugej pochodej V(T) względem T (przy ustaloym E R) dla ustaloego termstora (a węc zadaej także wartośc B) pozwala wyzaczyć oporość R oporka wzorcowego: B T 0 exp B R= r (4) B + T0 T0 w dzelku w zależośc od temperatury T 0, przy której chcemy obserwować pukt przegęca. Na podstawe tego właśe zwązku oblczoo cytowaą wcześej wartość R = 5 kω oporu referecyjego dla temperatury t 0 = 60 C. Pukt przegęca ma jeszcze tę zaletę, że w jego okolcy zmeość badaej fukcj jest ajwększa, a węc ajwększa jest też czułość przyrządu. c) Kalbracja przyrządu polega a wyzaczeu oce wartośc parametrów h g we wzorze (3) a podstawe pomarów apęca V dla szeregu dokładych wartośc temperatury t w układze dzelka apęć z wyzaczoym oporem R. Za dokłade wartośc temperatury uzajemy wskazaa wzorcowego termometru. d) Termstor zamemy w termometr, jeśl zmerzymy apęce V a termstorze temperaturę wyzaczymy z odwrócoej zależośc (3): apęce V a termstorze [V],0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0 0 40 60 80 00 0 temperatura t [ C] Rys. 3. Przykładowy przebeg apęca a termstorze w układze dzelka
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta g t = HV + G, H =, G =. (5) h h Nepewość tak uzyskaej wartośc temperatury wyka z epewośc wartośc apęca V oraz oce parametrów h g ch kowaracj. Zadae (obowązkowe, do domu do wykoau przed przystąpeem do pomarów) Wykorzystując uwag zawarte w ejszej strukcj w częśc ANALIZA DANYCH, zapropouj postać trasformacj zmeych zależej r (oporu) ezależej T (temperatury) sprowadzającej wyrażee () do postac lowej η = ax + b pomocczych parametrów a b, w której η jest ową zmeą zależą, a x ową zmeą ezależą. Podaj zwązek mędzy parametram a oraz b parametram B r termstora. Zadae (obowązkowe, do domu do wykoau przed przystąpeem do pomarów) Wyprowadź zwązek (4). Wyzacz współczyk prostej, styczej do krzywej V(T) przechodzącej przez pukt przegęca tej krzywej. Zdecydowae sugerujemy, aby przed przybycem a Pracowę a pomary, przetreować rozwązaa Zadań 3 oraz 4. Zawarte w ch poleceń trzeba będze wykoać sprawe w trakce częśc pomarowej po wykoau pomarów charakterystyk temperatura-opór, a przed kalbracją termstora. Jeśl e przygotujesz sę do ch dostatecze dobrze, możesz stracć czas, którego C potem zabrake a wykoae kolejych pomarów. POMIARY Pomary w tym dośwadczeu odbywają są w dwóch częścach. Zaczyamy od wykoaa pomaru charakterystyk temperatura-opór termstora w obszarze od około 5 C do około 80 C. Dae te służą wyzaczeu parametrów termstora, a te pozwalają dobrać stosowaa wartość oporu R (wzór (4)) referecyjego w dzelku apęca. W drugej częśc budoway jest dzelk apęca wykoywae są pomary charakterystyk apęcowo-temperaturowej w obszarze temperatur od około 50 C do około 80 C, służące kalbracj przyrządu. Masz do dyspozycj aczye o pojemośc około 00 ml; wzorcowy termometr elektroczy z podzałką co 0, C; jego wskazaa uzajemy za (wystarczająco) dokłade; termstor w alumowej rurce z wyprowadzoym przewodam; termstor to obekt o rozmarze klku mlmetrów umeszczoy zalay żywcą a końcu rurk; płytkę drukowaą służącą do budowy dzelka apęć; zaslacz stałoapęcowy jako źródło apęca a wejścu dzelka; merk uwersaly Bryme 805; parametry tego merka jako omomerza woltomerza apęca stałego podaje Tabela ; dodatkowy merk uwersaly dowolego typu do motorowaa apęca a zaslaczu; zestaw oporków; przewody; gorącą wodę lód. Uwag: Podczas wykoywaa pomarów pamętaj o szczegółowej dokumetacj, tj. o otowau wszystkch formacj mogących meć zaczee podczas aalzowaa uzyskaych wyków. Poeważ przy wysokch temperaturach woda styge stosukowo szybko trudy jest jedoczesy odczyt temperatury oporośc, skocetruj sę a obserwacj termometru. W momece, gdy temperatura osąge wyzaczoą przez Cebe wartość, zablokuj merk oporu przycskem HOLD. Po zapsau temperatury, zapsz oporość odblokuj merk. W trakce pomarów obchodź sę bardzo ostroże z aczyem z wodą woda o temperaturze 80 C jest gorąca. Naczye ustaw z dala od Cebe, aby echcący go e potrącć, staraj sę m 3
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta Tabela. Parametry merka Bryme 805 jako omomerza woltomerza apęca stałego Zakres oporośc Parametry dopuszczalego błędu wskazaa od do w c 000,0 Ω 399,9 Ω 0,008 6c = 0,6 Ω = 0,0006 kω 0,400 kω 3,999 kω 0,006 4c = 0,004 kω 04,00kΩ 39,99 kω 0,006 4c = 0,04 kω 040,0 kω 399,9 kω 0,006 4c = 0,4 kω 0,400 MΩ 3,999 MΩ 0,0 4c = 0,004 MΩ = 4 kω 04,00 MΩ 39,99 MΩ 0,0 4c = 0,04 MΩ = 40 kω Zakres apęca stałego (DC) Parametry dopuszczalego błędu wskazaa od do w c 000,0 mv 399,9 mv 0,003 4c = 0,4 mv = 0,0004 V 0,400 V 3,999 V 0,005 3c = 0,003 V 04,00 V 39,99 V 0,005 3c = 0,03 V e poruszać, a gdy woda styge, e okładaj go lodem lub ręczkam asączoym zmą wodą pozwól, aby proces stygęca przebegał autoomcze bez Twej terwecj jakkolwek zakłóceń. Wyjaśea do tabel: welkość Δ dopuszczaly błąd graczy wskazaa merka a daym zakrese pomarowym wyzacza sę a podstawe wzoru (patrz strukcja do Ćwczea 3): Δ= wx + c, gdze poszczególe welkośc to: w dokładość wskazaej wartośc x wyrażającą ułamek wartośc zmerzoej; c dokładość cyfrową określaą jako welokrotość ajmej zaczącej jedostk c odczytu. Wykoae pomarów część I - wyzaczae charakterystyk temperaturowej termstora Zaotuj umer termstora, który otrzymałeś (umer te podaj w opse ćwczea). W drugej częśc pomarowej z dzelkem będzesz wykorzystywać zaslacz. W celu uzyskaa stablych waruków pracy wymaga o, jak każde urządzee elektrocze, wygrzaa, dlatego już teraz włącz go, podłącz do jego wyjśca dodatkowy merk astaw jakeś apęce, p. w okolcy 0 V, a w trakce pomarów w całej perwszej częśc obserwuj, od czasu do czasu, jego wskazaa. Odotuj charakter rozmar obserwowaych zma apęca. Merk uwersaly Bryme ustaw do pomaru oporośc podłącz do termstora. Poproś prowadzącego zajęca o apełee aczya gorącą wodą. Umeść termstor termometr w wodze. Zadbaj, aby termstor czujk termometru zalazły sę możlwe blsko sebe oba elemety były zaurzoe w wodze wypełee aczya do /4 /5 wysokośc powo to zapewć zbyt duża lość wody jest ewygoda, bo aczye będze wolej stygło, a to, przy skończoym czase pomaru, zawęz baday obszar temperatur. Nm rozpoczesz pomary, poczekaj aż termometr zacze deftywe wskazywać malejącą wartość temperatury. Wygode może tu być obserwowae wskazań oporu termstora. Notuj wartośc temperatury stygącej wody oporość termstora. Prowadź pomary przez 30 mut. Napełj aczye zmą wodą z krau dodaj pewą lość lodu. Tak doberz proporcje wody lodu, aby po wymeszau całkowtym stopeu lodu, woda mała około 5 C. I tu, jak poprzedo, byt duża lość wody jest ewygoda, bo aczye będze wolej sę ogrzewało, a to, przy skończoym czase pomaru, zawęz baday obszar temperatur. Nm rozpoczesz pomary, poczekaj aż temperatura zacze deftywe rosąć. Notuj wartośc temperatury wody ogrzewającej sę od otoczea oporośc termstora. Zakończ, gdy czas wykoywaa pomarów przekroczy 30 mut. 4
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta Wyzaczae optymalych parametrów układu do kalbracj termstora Zadae 3 (a ćwczeach do wykoaa po perwszej częśc pomarów) Wykorzystując wyk Zadaa oraz zameszczoy a Rysuku 4 (a końcu strukcj) specjaly paper grafczy, wyzacz szacukowe ocey parametrów r B termstora. W tym celu aeś a rysuek ektóre ze zmerzoych wartośc temperatury oporośc termstora (po klka z obszaru wyższych ższych temperatur), dopasuj a oko za pomocą ljk lę prostą do daych, wyzacz parametry tej l prostej a tej podstawe wyzacz ocey parametrów termstora. Ocey te wy wyjść, w przyblżeu, medzy 3500 K a 4000 K dla parametru B oraz około Ω dla parametru r. Zadae 4 (a ćwczeach do wykoaa po perwszej częśc pomarów) Wykorzystując zalezoe szacukowe ocey parametrów r B termstora, wyzacz oceę wartośc R oporu dzelka (wzór (4)) dla temperatury t 0 = 65 C. Skorzystaj z wykresu a Rysuku 5 (a końcu strukcj) lub kalkulatora. Wartość oporośc referecyjej dzelka powa zawerać sę, w przyblżeu, mędzy 0 kω a 50 kω. Wykoae pomarów część II budowa kalbracja termometru W drugej częśc pomarów wykorzystyway jest zaslacz. Do dobrej praktyk ależy brak ufośc w stable poprawe dzałae każdego z urządzeń użytych w dośwadczeu dlatego w zestawe przyrządów zajduje sę drug merk. Merk te ma C posłużyć do motorowaa apęca zaslaa. Z otrzymaego zestawu oporków wyberz te, który ajlepej odpowada wartośc oblczoej wg wzoru (4) (patrz Zadae 4) dla t 0 = 65 C. Wykorzystując płytkę, zbuduj dzelk apęca, którego elemetam są opork termstor oraz merk Bryme pozwalający merzyć apęce a termstorze. Ne podłączaj zaslacza do układu do zaslacza podłącz jedye dodatkowy merk, pozwalający kotrolować apęce a wyjścu zaslacza. Poproś prowadzącego zajęca o apełe aczya gorącą wodą wstaw do aczya termstor termometr. Po sprawdzeu przez prowadzącego zajęca poprawośc połączeń elektryczych układu, podłącz zaslacz do układu dzelka astaw a m apęce około 8 V e przekraczaj apęca zaslaa 0 V, zaotuj wartość tego apęca; keruj sę wskazaam merka a e wyśwetlacza zaslacza. Wykoaj pomary z gorącą wodą jak przy zdejmowau charakterystyk temperaturowej. Notuj wartośc: temperatury, apęca a termstorze apęca zaslaa e dłużej ż przez 30 mut. ANALIZA DANYCH Część I wyzaczae parametrów zależośc elowej Metoda ajmejszych kwadratów w zastosowau do l prostej Na wykładze została wprowadzoa metoda ajmejszych kwadratów służąca do wyzaczea oce parametrów zależośc η = ax + b, którą praktycze wykorzystao w Ćwczeu 4. Przypomjmy zasady, a których sę oa opera: dla ser zaych dokłade wartośc x, =,,...,, merzymy odpowadające m ocey y welkośc η = ax + b mmalzujemy, względem parametrów a oraz b, ważoą sumę kwadratów reszt y ax b = = σ R( a, b), gdze welkośc σ to odchylea stadardowe zmeej y. W praktyce odchylea te są, zazwyczaj, ezae dlatego zastępujemy je epewoścam stadardowym u, a wówczas ocey ezaych parametrów a b oraz ch epewośc wyrażają sę zwązkam: 5
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta gdze ( ) ˆ ( ) Δ Δ Δ Δ aˆ = SS,,, xy SxSy ua = S b = SySxx SxySx ub = Sxx, x x y x y S = S = S = S = S = Δ= SS S,,,, x xx y xy, xx x = u = u = u = u = u. Tak wyzaczoe ocey e są statystycze ezależe, a ocea c ab ch kowaracj C ab wyos: c = S. (7) Δ ab Często, obok ocey c ab kowaracj, podawaa jest ocea: cab ˆ ρ ab = uu a b tzw. współczyka korelacj ρ ab. Współczyk te jest bezwymarowy, ma wartość ograczoą do przedzału [,] wskazuje a słę zwązku mędzy oceam parametrów a oraz b: m jest blższy jedośc, co do wartośc bezwzględej, tym slejsza relacja łączy obe ocey. Jego wartość ± ozacza ścsłą, matematycza zależość lową: malejącą dla wartośc rosącą dla. Sprowadzee do zależośc lowej Zastosowae metody ajmejszych kwadratów do zależośc η(x;a,b) lowej, względem ezaych parametrów a b, pozwala otrzymać aaltycze wzory zarówo dla oce tych parametrów, jak ch odchyleń stadardowych. W ogólym przypadku elowej zależośc od szukaych parametrów, metoda ajmejszych kwadratów prowadz do układu elowych rówań, których rozwązań zazwyczaj e potrafmy przedstawć za pomocą fukcj elemetarych. Isteje jedak szereg przykładów fukcj, w których parametry pojawają sę w forme elowej, ale po wykoau zamay zmeych, zależośc te moża przekształcć do postac lowej fukcj szukaych parametrów być może kosztem przedefowaa ektórych z ch. Dla przykładu zależość A ϕ = B + x merzoej welkośc ϕ zaej dokłade welkośc x, po podstaweu η = /ϕ przyjmuje postać B+ x B B η = = = + x = ax + b, gdze a, b ϕ A A A = A = A, a węc zależy lowo od dwóch owych parametrów: a b. Możemy teraz do zależośc η = ax + b zastosować stadardowe wzory (6) (7). Musmy jedak pamętać o wyzaczeu, za pomocą wzoru a przeoszee epewośc (o le ma zastosowae) epewośc welkośc /y a podstawe zaych wartośc y u. Po wyzaczeu oce parametrów a b oraz ch epewośc u a, u b ocey c ab kowaracj C ab, odwracamy trasformację uzyskujemy ocey parametrów A B, a epewośc u A, u B oceę c AB kowaracj C AB wyzaczamy a podstawe wzoru a propagację małych błędów. Stosowe oblczea staową treść zadań rachukowych pożej. W podoby sposób postępujemy z przykładowym zależoścam wymeoym w Tabel. Tabela. Przykłady learyzowaa zależośc ([x] ozacza wymar lub jedostkę welkośc x) Badaa zależość Nowa zmea zależa η = l ϕ ϕ ϕ = Bx a [ ] ϕ = Be ax [ ϕ] ϕ = A(x + B) k Nowa zmea ezależa t = l x x η = l ϕ x η [ ] x Przekształcee parametrów b l B B [ ] Otrzymaa zależość = η = at + b b = l B η = ax + b [ B] k k k = ϕ x a A, b B A = = η = ax + b (6) 6
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta Uwaga. Tak jak e potrafmy oblczyć wartośc fukcj wykładczej w pukce p. 5 cm lub wartośc fukcj trygoometryczych od argumetu p. 3 godz., tak też e potrafmy oblczyć wartośc logarytmu welkośc maowaej. Dlatego do dobrej praktyk ależy jawe usuęce maa we wzorach metodą dzelea przez jedostkę, p. l (t/ C), w której merzoa jest rozważaa welkość, co w Tabel symbolzują ozaczea [ϕ], [x] oraz [B]. Przykład sprowadzea do zależośc lowej ( learyzacj ) spotkalśmy już w Ćwczeu 4, gdze aalzowaa była zależość 4π 4π H T = h+ g g kwadratu okresu T drgań wahadła, jako fukcj wysokośc h ad podłogą, a welkość H określała wysokość puktu zaczepea wahadła ad podłogą. W relacj tej kwadrat okresu odgrywa rolę welkośc η, atomast zmeą ezależą x jest wysokość h. Jeśl epewośc zmeej zależej są a tyle małe, że przyblżee propagacj małych błędów jest wystarczająco dokłade, to ocey wartośc parametrów uzyskae a podstawe zlearyzowaej zależośc są bardzo blske wartoścom wykającym z metody ajmejszych kwadratów zastosowaej do orygalego problemu. Przeoszee epewośc Uzupełjmy te rozważaa o jeszcze jede elemet: ogóly wzór a przeoszee epewośc, który wykorzystamy welokrote w dalszej częśc ćwczea. W Ćwczeu pokazalśmy, że epewość u z kombacj lowej z = ax + by + c zmeych x oraz y, gdze a, b oraz c to zadae stałe, wyos: uz = a ux + b uy + abcxy. (8) Współczyk c xy przy podwojoym loczye to ocea tzw. kowaracj zmeych x y w zależośc od relacj mędzy zmeym, welkość ta, w przypadku korelacj dodatej, powększa epewość, a przypadku korelacj ujemej pomejsza. W szczególym przypadku, gdy zmee są statystycze ezależe, oceę ch kowaracj moża przyjąć rówą zeru powracamy do dobrze zaego wzoru a propagację epewość, wykorzystywaego we wszystkch dotychczasowych aalzach. Zadae 5 (a ćwczeach) ogóla postać wzoru a przeoszee epewośc Wzorując sę a wyprowadzee wzoru (8) w Ćwczeu pokaż, że w przypadku kombacj lowej welu zmeych x, =,,,, ze współczykam α : wzór (8) przyjmuje ogólejszą postać: gdze z = α + α x, 0 7 = z = α + αα j j = =, j, u u c u to ocea waracj welkośc x, a c j kowaracj C j zmeych x oraz x j. Pokaż, że dla fukcją f(x,x,,x ) zmeych x, której rozwęce: f f ( x, x,..., x) f ( μ, μ,..., μ) + ( x μ) x do wyrazów lowych wokół puktu (μ,μ,,μ ) dostarcza jej akceptowalej aproksymacj w przestrze zmeych x w hperkostce o rozmarach klku epewośc u, wzór a epewość wartośc tej fukcj przyjmuje postać: = f f f f = + j = x =, j x xj. u u c Wemy, że w przypadku welokrotych pomarów, potrafmy wyzaczyć epewośc welkośc merzoych. Wyprowadzając wzór (8) w Ćwczeu pokazalśmy, jak welokrote
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta pomary pozwalają także wyzaczyć oceę c xy kowaracj. Gdy wykoujemy jedokrote pomary, zarówo epewośc jak oceę kowaracj musmy zać skądąd. Zadae 6 (a ćwczeach rachukowych) korelacja mędzy fukcjam zmeych Daa jest sera zmeych x, =,,,, o epewoścach u oceach kowaracj c j. Ze zmeych x tworzymy dwe kombacje lowe: z = α + α x, z = β + β x α, 0 β 0 = = o stałych współczykach α oraz β, = 0,,,,. Pokaż, że ocea kowaracj C αβ mędzy zmeym z α oraz z β wyos: j j = =, j. cαβ = αβu + αβc Wskazówka. Wzorując sę a wyprowadzeu wzoru (8), utwórz zmeą z = αz α + βz β, gdze α oraz β to stałe współczyk wyzacz jej epewość współczyk przy podwojoym loczye lczb α oraz β to poszukwaa kowaracja. Pokaż, że w przypadku dwóch fukcj f(x,x,,x ) oraz g(x,x,,x ) zmeych x o epewoścach u, do których to fukcj mają zastosowae założea dotyczące wyzaczae epewośc welkośc pośredo merzoej (przeoszea epewośc), ocea c fg kowaracj mędzy tym fukcjam przyjmuje postać: f g f g cfg = u + cj. = x x =, j x xj Należy zwrócć uwagę a fakt, że awet gdy zmee x są statystycze ezależe, fukcje f g pozostają skorelowae: fluktuacje wartośc zmeych wymuszają odpowedą współzmeość wartośc tych fukcj. Kowaracja zmeych, w szczególośc kowaracja oce parametrów l prostej, odgrywa w aalze daych w ejszym ćwczeu zasadczą rolę. Zadae 7 (do domu dla tregu) Daa jest sera zmeych x, =,,,, o epewoścach u oraz sera zmeych y j, j =,,, m, o epewoścach v j. Ze zmeych tych utworzoo dwe kombacje lowe: z = α + α x, z = β + β y α, 0 β 0 j j = j= o stałych współczykach α, = 0,,,,, oraz β j, j =,,, m. Wyzacz kowaracje mędzy zmeym z α oraz z β. Zadae 8 (a ćwczeach rachukowych) przykład sprowadzaa do zależośc lowej Zgode z prawem Newtoa, temperatura T stygącego cała, z dobrym przyblżeem, opsywaa jest zależoścą: T() t = T0 + ( Tp T0) exp( At), (9) gdze T 0 jest temperaturą otoczea, T p temperaturą początkową cała, atomast t czasem obserwacj merzoym od chwl, kedy to cało mało temperaturę T p. Współczyk A charakteryzuje waruk stygęca zależy od stygącego cała otoczea. Dla cągu dokłade zaych chwl czasu t, =,,..,, zmerzoo wartośc T ± u temperatury wody stygącej w aczyu. Zaprojektuj koleje krok oblczeń pozwalające wyzaczyć ocey ezaych wartośc parametrów A T p, a także epewośc tych oce. Sprowadź zagadee do wyzaczaa parametrów zależośc lowej wyprowadź ezbęde wzory. W celu uproszczea zadaa przyjmj, że temperatura otoczea T 0 jest zaa dokłade (została zmerzoa termometrem o stote wększej precyzj, ż termometr, który posłużył do wyzaczaa temperatury stygącej wody) e ulega zmae w trakce trwaa pomarów. Wskazówka: a) Zapropouj postać trasformacj sprawdzające wyrażee (9) do lowej fukcj η = ax + b 8 m
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta pomocczych parametrów a b, w której η jest ową zmeą zależą, a x ową zmeą ezależą. b) Podaj zwązk łączące parametry A T p z parametram a b. c) Przetłumacz epewośc u a epewośc w owej zmeej zależej. d) Sformułuj problem wyzaczaa oce ezaych parametrów a b l prostej metodą ajmejszych kwadratów. e) Wyprowadź wyrażea a ocey parametrów a b, ch epewośc u a u b oraz oceę c ab kowaracj C ab (wzory (6) oraz (7)) wykające z metody ajmejszych kwadratów. f) Przypuśćmy, że odchylee stadardowe σ T pomaru temperatury e jest zae, a jedye wadomo, że jest oo take samo dla wszystkch wartośc temperatury. Na podstawe welu wcześejszych dośwadczeń wadomo, że wyrażee (9) poprawe opsuje stygęce wody w warukach tego kokretego eksperymetu. Podaj wyrażea a oceę u odchylea stadardowego σ T oraz epewośc u a u b oraz oceę c ab kowaracj C ab., Część II kalbracja odwrócee rol zmeych Doberając odpowedą wartość oporośc R dzelka (wzór (4)) oczekujemy, że w otoczeu puktu przegęca wyzaczoego temperaturą t 0, apęce V a termstorze z dobrym przyblżeem speła zależość U = ht+ g (wzór (3)). Celem drugej częśc pomarów jest wyzaczee oce parametrów h g, które pozwolą określć temperaturę a podstawe zmerzoego apęca V a termstorze, zgode ze wzorem (5): g t = HV + G, H =, G =. h h Opsaa powyżej procedura azywaa jest kalbrowaem przyrządu. Używając termstora jako termometru chcemy dodatkowo pozać dokładośc pomaru temperatury przy zadaej dokładośc apęca V w badaym przedzale temperatur. Zlustrujemy to rozwązując poższe zadaa. Zadae 9 (a ćwczeach rachukowych) kalbracja: epewośc kowaracje oce Pokaż, że dla dopasowaej zależość lowej U = ht + g mędzy apęcem a temperaturą, a astępe jej odwrócoej formy: g g t = V = HV + G, H =, G =, h h h h epewośc u H u G welkośc Ĥ Ĝ oraz ocea c HG ch kowaracj wyoszą: u ˆ ˆ ˆ h g g g uh =, u, ˆ4 G = u ˆ4 h + u ˆ g c ˆ3 hg chg = u ˆ4 h + c ˆ3 hg, h h h h h h gdze u h u g to epewośc oce ĥ oraz ĝ parametrów h oraz g, a welkość c hg to ocea kowaracj welkośc ĥ oraz ĝ. Zadae 0 (a ćwczeach rachukowych) kalbracja: epewość welkośc wyzaczaej Dla ustalea uwag rozważmy relację U = ht + g mędzy apęcem a termstorze a temperaturą. Dla ser zaych dokłade wartośc temperatur t, =,,..,, zmerzoo wartośc V ± u apęca V. Na podstawe tych daych wyzaczoo, metodą ajmejszych kwadratów, ocey ĥ ĝ parametrów h, g oraz ocey u h, u g c hg odchyleń stadardowych σ h, σ g kowaracj C hg. W dalszej pracy zamerzamy skorzystać z tych wyków w celu wyzaczea ocey ˆt temperatury a podstawe pojedyczej wartośc V ˆ uzyskaej jako wyk pomaru apęca V, przy czym zakładamy, że wartość V ˆ uzyskao a drodze pomaru ezależego od pomarów, które doprowadzły do wyzaczea oce parametrów h oraz g. Przyjmujemy też, że ocea odchylea stadardowego σ V wartośc V ˆ, czyl epewość ocey V ˆ wyos u V. Dla zależośc U = ht + g mamy relacje odwrotą: t = HV + G, gdze H = /h oraz G = g/h 9
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta oceę ˆt temperatury wyzaczymy ze zwązku ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ g t = HV + G, H =, G =. hˆ hˆ Pokaż, że epewość u t tak wyzaczoej ocey temperatury wyos: ˆ ˆ u ˆ t = H uv + V uh + ug + VcHG. (0) Jeśl wrócmy do perwotych parametrów h oraz g, to zwązek te przyberze kształt: ( V gˆ ) V gˆ u ( ˆ ˆ t = u ˆ ) V + u ˆ4 h + u ˆ g + c ˆ3 hg = u ˆ V + t uh + ug + tchg. () h h h h h Zadae (a ćwczeach rachukowych) terpolacja Dla ustaloej wartośc apęca V otrzymujemy ajlepszą oceę ˆt = HV ˆ + Gˆ temperatury wraz z dwema ograczającym ją wartoścam: tˆ HV ˆ Gˆ ± = + ± u t wyzaczającym tzw. przedzał ufośc a pozome jedej epewośc stadardowej. Gdy będzemy zmeać wartość apęca V, wartośc gracze wyzaczą dwe hperbole o rówaach tˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ± V = HV + G± H uv + V uh + ug + VcHG () okalające prostą tv ˆ( ) = HV ˆ + Gˆ a wykrese ^ zależośc temperatury od apęca. Hperbole te t t (as) + (V) ^ określają tzw. pasmo ufośc odpowadający jedej t(v) ^ epewośc stadardowej temperatury t(v), t + (V) ^ t (as) (V) w wybraym zakrese wartośc argumetu V, jak t lustruje to, w sposób przesady, Rysuek 4. ^ a) Po wyzaczeu oce parametrów H oraz G, do t (V) dobrej praktyk ależy przedstawee wzualej ocey zgodośc dopasowaej prostej z daym. Dokoujemy tego a wykrese reszt ε = t t(v ), V czyl różc mędzy zmerzoym temperaturam V t wyzaczoym z zależośc tv ( ) ˆ ˆ = HV + G, Rys. 4. Pasmo ufośc wokół prostej jako fukcj apęca, a którym pukty daych powy być rozrzucoe losowo wokół zera. Wszelk regulary wzór tych puktów może sugerować ewłaścwy wybór dopasowywaej zależośc. b) Wykres reszt jest także dobrym mejscem do ukazaa hperbol wyzaczających pasmo ufośc. Wyka to z faktu, ż, z reguły, pasmo to wąsko otacza dopasowaą lę prostą zacze lepej wdoczy jest jego przebeg właśe a wykrese reszt. Pokaż, że pasmo take wyzaczoe jest przez krzywe () odpowadające jedej epewośc stadardowej u t zadaej wzorem (0), w górę w dół od zera. Zazwyczaj wygodej jest przedstawć zarówo reszty jak pasmo ufośc a wykrese, a którym a os odcętych odkładamy orygalą zmea ezależą, w tym przypadku temperaturę, a węc wykorzystujemy wzór (). Pozwala to łatwo zobaczyć jakość pomaru (temperatury) w pukce, w którym tę jakość chcemy oceć, bez potrzeby przechodzea przez wyzaczae wartośc welkośc merzoej (apęca). c) Dla kompletu formacj ukazaej a rysuku pokaż, że asymptoty hperbol mają rówaa: ˆ( as ) ( ) ( ˆ ) ˆ chg t± V = H ± uh V + G± u H przecają sę pukce o współrzędych c c HG hg V = = V, t t = =, uh uh gdze V t to średe arytmetycze, a pukt te leży a prostej ˆt = HV ˆ + Gˆ. 0
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta Zadae (a ćwczeach, jeśl wystarczy czasu) wpływ establośc zaslacza Rozważmy wpływ braku stablośc dzałaa zaslacza a dokładość pomarów temperatury za pomocą termstora w układze dzelka apęca. W tym celu przyjmjmy, że zamy dokłade parametry B oraz r termstora, oporość R oporka wzorcowego w dzelku apęca, a jedyym źródłem błędu w pomarze jest brak stablośc zaslacza. Jak duża musałaby być względa zmaa ΔE/E apęca a zaslaczu, aby zazaczyła sę oa odchyleem wartośc temperatury od jej wartośc dokładej o 0, C? Aby abrać oretacj co do rozmaru tego efektu, skorzystaj z szacukowych oce parametrów termstora zmerzoej wartośc R referecyjego oporka, wyzacz wartość ΔE/E dla temperatury t 0 porówaj ją z aalogcza wartoścą wykającą z procetowej dokładośc merka Bryme (Tabela ) a wybraym zakrese pomarowym. Gdyby establość zaslacza była etolerowale duża e było możlwośc powtórzea pomarów ze sprawym zaslaczem, to w jak sposób ależałoby uwzględć te efekt? Zadae 3 (do domu dla tregu) Pokaż, że obe krzywe wyrażoe zwązkem () to stote są hperbole. Zadae 4 (do domu dla tregu) Wskazae jest aby zawsze, po wykoau dopasowaa zależośc η(x) = ax + b, przedstawć reszty ε ˆ ˆ = y ax b, gdze welkośc y to uzyskae wartośc welkośc η w pukce x. Pokaż, że epewość takej reszty wyos: u = u + y x u + a u + ε b xc. ab W szczególośc, w przypadku reszt V U ( t ) V ht ˆ gˆ termstorze, epewość ta to: ε = = z dopasowaa apęca a u = u + t u + ε u + tc. V h g hg Zadae 5 (do domu dla tregu) Jeśl do terpolacj wykorzystujemy prostą dopasowaą metodą ajmejszych kwadratów, to dla jakej wartośc zmeej zaej dokłade (kotrolowaej) otrzymujemy ajmejszą epewość welkośc terpolowaej? Zadae 6 (do domu dla tregu) Dwaj studec otrzymal zadae pomaru masy dwóch cał za pomocą szalkowej wag laboratoryjej, wyposażoej w komplet odważków, z których ajmejszy mał masę Δ = g. Studet A zmerzył masę każdego z cał bezpośredo tj. kładąc każde z ch oddzele a jedą szalkę, a odważk a drugą. Studet B atomast, ajperw zmerzył sumę mas obu cał łącze, a astępe położył jedo cało a jedej szalce, a druge a drugej szalce wyrówał wagę dokładając odpowede odważk a tej szalce, a której leżało cało o mejszej mase. Układając stosowe rówaa, studet B mógł oblczyć masę każdego z cał. Jaką dokładość pomaru masy każdego z cał uzyskal studec? Ile wyos współczyk korelacj mędzy wartoścam mas uzyskaym przez każdego studeta w ch własym pomarze? Zadae 7 (do domu dla tregu) Wykorzystaj swoje dae dotyczące pomaru okresu drgań wahadła w zależośc od wysokośc kul wahadła a podłogą uzyskae przy wykoywau pomarów w Ćwczeu wyzacz ocey, wraz z ch epewoścam współczykem korelacj, przyspeszea zemskego oraz wysokośc pomeszczea, w którym wykoywae były pomary. Zadae 8 (do domu dla tregu) Dla wartoścach zmeej kotrolowaej x, dyspoujemy serą wartośc y, z odchyleam stadardowym σ, pomarów welkośc η, przy czym wemy, że η x zwązae są zależoścą proporcjoalą η = θ x. Dla każdej pary (x, y ) możemy utworzyć oceę parametru θ w forme: θ = y /x, a z tych oce zbudować średą arytmetyczą θ. Zajdź warację takej ocey.
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta Wyzacz epewośc welkoścθ oblcz ch średa ważoą θ w jej epewość wewetrzą. Porówaj uzyskae wzory z wyrażeam wykającym z metody ajmejszych kwadratów. Którą z oce: θ czy θ w wyberzesz? Zadae 9 (do domu dla tregu) Wadomo, że zależość mędzy welkoścam η x jest lowa. Dla cągu zaych dokłade wartośc x, =,,..,, z pomaru uzyskao wartośc y welkośc η, przy czym odchylee stadardowe wyku pomaru o umerze wyos σ.pokaż bezpośredm rachukem, że jeśl relację mędzy welkoścam η oraz x przedstawć w postac η = a( x xw ) + b, gdze x xw =, = σ = σ to kowaracja C ab = 0 (mówmy wtedy, że ocey parametrów a oraz b są eskorelowae). Zadae 0 (do domu dla tregu) Daa jest próbka lcząca par (x,y ) kotrolowaych wartośc x zaych ścśle oraz zmerzoych wartośc y, o zaych dyspersjach σ, będących eobcążoym oceam welkośc η = ax. Nech lowy, w zmeych y, estymator â parametru a ma postać aˆ = α y, = gdze α to ezae, stałe współczyk. Doberz te współczyk tak, aby estymator te mał mmalą warację był eobcążoy. Pokaż, że tak otrzymay estymator jest tożsamy z estymatorem metody ajmejszych kwadratów. Przyjmj, że zmee y są statystycze ezależe. RAPORT KOŃCOWY Wyk pomarów, w postac plku tekstowego, plku do programu Excel paketu MS Offce lub plku do programu Calc paketu Lbre/Ope Offce ależy przesłać e-malem prowadzącemu zajęca ezwłocze po złożeu raportu. Raport będze czekał a sprawdzee, aż to uczysz. Raport, apsay zgode z ogólym zasadam wyszczególoym w strukcj do Ćwczea, powe zawerać:. Defcję trasformacj zmeych, w których zmerzoa zależość oporośc od temperatury przyjmuje postać lowej fukcj poszukwaych parametrów.. Przy wyzaczeu metodą ajmejszych kwadratów oce wartośc parametrów otrzymaej zależośc lowej przyjmj, że temperatura merzoa wzorcowym termometrem zaa jest dokłade, a wszystke pomary oporu mają tę samą, ezaą, wartość u r epewośc wyzacz ją z rozrzutu puktów wokół otrzymaej prostej (patrz Wykład Ćwczee 4). Podaj wartość u r, a stąd wartośc oce parametrów r B termstora (wzór ()) oraz ch epewośc wraz z oceą ch kowaracją. Alteratywe, przy dopasowywau parametrów l prostej skorzystaj z formacj zawartej w Tabel o dokładośc merka Bryme jako omomerza. 3. Wykres zmerzoej zależośc oporu termstora od temperatury (Wykoae pomarów część I) wraz z krzywą daą wzorem () wyzaczoą a podstawe oce wartośc parametrów uzyskaych w pukce ejszego wylczea. Na wykrese temperaturę przedstaw w skal Celsjusza tylko tą skalą posługuj sę w całej dalszej prezetacj dyskusj wyków. 4. Optymalą dla temperatury t 0 = 65 C oceę oporu referecyjego R (wzór (4)) w dzelku apęca, wraz z epewoścą tej ocey. 5. Zmerzoą wartość R oporka wybraego z dostępego zestawu zastosowaego jako opór referecyjy w dzelku apęca oraz odpowadającą temu oporkow temperaturę t 0. 6. Wykres zmerzoej zależośc apęca V a termstorze od temperatury t wyrażoej w stopach Celsjusza (Wykoae pomarów część II). 7. Uzyskae metodą ajmejszych kwadratów ocey parametrów h g zależośc U = ht + g
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta (zwązek (3)), a także epewośc oce tych parametrów oceę ch kowarację. W oblczeach przyjmj, że temperatura jest zaa dokłade, a wszystke epewośc pomaru apęca mają tę samą wartość u V. Wyzacz ją z rozrzutu puktów wokół otrzymaej prostej podaj jej wartość. Alteratywe, przy dopasowywau parametrów l prostej skorzystaj z formacj zawartej w Tabel o dokładośc merka Bryme jako woltomerza. 8. Dopasowaą prostą aesoą a wykres z puktu 6 powyżej. 9. Wykres reszt ε ˆ = V U, tj. różc mędzy zmerzoą wartoścą V apęca a wartoścą Uˆ ˆ ˆ = ht + g uzyskaą z dopasowaej zależośc dla temperatury t, jako fukcję temperatury. 0. Ocey Ĥ Ĝ parametrów H G w zależość (5) wraz z ch epewoścam oceą kowaracj.. Wyzaczoą a podstawe zależośc (5) wartość temperatury (w stopach Celsjusza) wraz z jej epewoścą dla arbtrale wybraej przez Cebe, przykładowej wartośc apęca V różej od wartośc uzyskaych w procese kalbracj termstora. Przyjmj, że wartość epewośc merzoego apęca jest rówa epewośc u V uzyskaej w pukce 7 powyżej. Jeśl wykorzystywaa była Tabela do wyzaczaa epewośc apęca, skorzystaj z dopuszczalej wartośc błędu odczytu podaego w tej Tabel dla wybraego apęca.. Podsumowae formacj dla przyszłego użytkowka zbudowaego termometru (termstor w układze dzelka apęca z zadaym apęcem zaslającym) w postac: a) wykresu reszt δ = t t(v ) = t HV G jako fukcję temperatury t dla deksu =,,...,, umerującego pary wartośc (V, t ) zmerzoe jak opsao to w Wykoae pomarów część II; b) aesoych a tym wykrese hperbol () wyzaczających odchylea temperatury (w stopach Celsjusza) o jedą epewość u t od oblczoej temperatury t(v); c) dyskusj dokładośc wskazań przyrządu w zależośc od dopuszczalego przedzału zmeośc temperatury t. Raport końcowy powe zawerać wszystke surowe wyk pomarów, aby moża było, bez odwoływaa sę do orygalych zapsków sporządzoych w trakce wykoywa dośwadczea, powtórzyć wszystke oblczea sprawdzć ch poprawość. Raport ależy oddać, wraz z ostemplowaym arkuszem otrzymaym przy przystępowau do częśc pomarowej, w sekretarace Pracow w terme astępych zajęć, po zakończeu ćwczeń rachukowych do ejszego dośwadczea. W raporce możesz wykorzystać jedye włase dae. Raport e może uzyskać pozytywej ocey końcowej, jeśl choć jeda z wartośc lczbowych jest błęda z powodu błędów rachukowych bądź wyboru błędej metody aalzy! 3
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta Rys. 4. Zależość oporu r termstora od temperatury t 4
Ćwczee 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR Istrukcja dla studeta 5