Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Podobne dokumenty
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

III. Funkcje rzeczywiste

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

Plan wynikowy z matematyki kl.i LO

Zajęcia nr. 3 notatki

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Zbiory, relacje i funkcje

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 2016/2017r.

Wymagania edukacyjne z matematyki

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

Rozkład materiału nauczania

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I PODSTAWA Z ROZSZERZENIEM (90 godz.)

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna.

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

K P K P R K P R D K P R D W

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/ ZAKRES PODSTAWOWY

FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II Ti ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY

Transkrypt:

Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością funkcji. Zbiór nazywamy dziedziną funkcji. Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Uwaga Do definicji funkcji trzeba podać trzy rzeczy:,,. Dwie funkcje: oraz, dla których sposób przyporządkowania jest taki sam, ale lub, uważamy za różne! Np. oraz, uważamy za różne, mimo iż recepta przyporządkowania jest ta sama! Injekcja Injekcją nazywamy odwzorowanie o własności: (innymi słowy, jest to odwzorowanie różnowartościowe) Surjekcja Surjekcją nazywamy takie odwzorowanie, że każdy jest obrazem pewnego. Zapiszmy to używając kwantyfikatorów:. W tym przypadku mówimy też, że jest odwzorowaniem "na". Bijekcja Bijekcją nazywamy odwzorowanie, które jest jednocześnie injekcją i surjekcją. Rozważmy trzy funkcje : ; ;. nie jest iniekcją ani surjekcją;

nie jest injekcją, ale jest surjekcją; wreszcie jest zarówno injekcją jak i surjekcją. ten pokazuje, w jak dużym (decydującym!) stopniu własności funkcji (injektywność, surjektywność itp.) zależą od zbioru, na którym są określone. Odwzorowanie odwrotne Bijekcje są ważną klasą odwzorowań, gdyż można dla nich określić odwzorowanie odwrotne: Jeśli jest bijekcją, to odwzorowaniem odwrotnym do (oznaczanym jako jest odwzorowanie, definiowane tak: Jeśli, to. Weźmy z powyższego przykładu. Mamy tu, więc. Obraz Obrazem zbioru przy odwzorowaniu nazywamy zbiór oznaczany jako i określony jako Przeciwobraz Przeciwobrazem zbioru przy odwzorowaniu nazywamy zbiór, oznaczany jako i określony jako Rozważmy funkcję z powyższego przykładu:. Mamy:, zaś. Poziomica Poziomicą punktu nazywamy przeciwobraz punktu. Rozważmy funkcję, określoną jako:. Wtedy, dla, poziomica to zbiór punktów płaszczyzny spełniających równanie:, w czym rozpoznajemy równanie

okręgu o promieniu. Dla poziomicą jest punkt, a dla zbiór pusty. Wykres funkcji Jako że zmysłem człowieka, odbierającym zdecydowaną większość bodźców jest wzrok, nic dziwnego, że łatwiej dostrzeżemy różne aspekty funkcji patrząc na jej wykres. Def. Wykresem funkcji nazywamy następujący podzbiór iloczynu kartezjańskiego :. W sytuacjach, z którymi teraz będziemy mieć do czynienia (tzn. wykresami funkcji rzeczywistych o argumentach rzeczywistych), wykres jest podzbiorem płaszczyzny, tzn. zbiorem par poziomej zaznaczamy argumenty, a na osi pionowej wartości funkcji. Miejsce zerowe. Na osi Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument taki, że =0. Używając dopiero co wprowadzonej terminologii mówimy, że zbiorem miejsc zerowych funkcji poziomica:. jest Własności funkcji Następujące właściwości funkcji rzeczywistych (tzn., gdzie są podzbiorami ) są często ważne w zastosowaniach. Monotoniczność funkcji nazywamy rosnącą na zbiorze nazywamy malejącą na zbiorze nazywamy stałą na zbiorze Parzystość nazywamy parzystą. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi. Funkcja jest parzysta na

Nieparzystość nazywamy nieparzystą. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem punktu. Funkcja jest nie parzysta na Ograniczenie z dołu nazywamy ograniczoną z dołu Ograniczenie z góry nazywamy ograniczoną z góry

Ograniczenie nazywamy ograniczoną jeśli jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu. Funkcja jest ograniczona z dołu; jest ograniczona z góry; Największa wartość jest ograniczona. nie jest ograniczona; a funkcja Funkcja przyjmuje największą wartość dla oraz. Najmniejsza wartość Analogicznie: Def. Funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla oraz. Przekształcenia wykresu funkcji Symetria względem osi : Przekształcając wykres funkcji przez symetrię względem osi, otrzymamy wykres funkcji. Symetria względem osi : Przekształcając wykres funkcji przez symetrię względem osi, otrzymamy wykres funkcji. Symetria względem punktu : Przekształcając wykres funkcji przez symetrię względem punktu, otrzymamy wykres funkcji. Wykres funkcji i Wykres funkcji i Przesunięcie równoległe wykresu o wektor : W wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji o wektor otrzymujemy wykres funkcji. Skalowanie wykresu funkcji: wykresy oraz.

Symetria względem prostej otrzymamy wykres funkcji odwrotnej. : Przekształcając w ten sposób wykres funkcji Skalowanie wykresu funkcji postaci do Wykres funkcji odwrotnej. i funkcji do niej y funkcji Funkcja liniowa Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem, gdzie. Wykres Wykresem funkcji liniowej jest prosta o równaniu, nachylona do osi pod kątem takim, że. Prosta o równaniu nachylona do osi OX pod kątem takim, że. Monotoniczność Funkcja liniowa jest: rosnąca, malejąca, stała.

Jak uwzględnić proste pionowe Jak powiedziano, wykresem funkcji liniowej jest prosta. Patrząc na wszystkie możliwe proste na płaszczyźnie, widzimy, że postać obejmuje prawie wszystkie przypadki, z wyjątkiem jednej klasy prostych pionowych. Aby uwzględnić także tę sytuację, dogodnie jest przyjąć ogólniejszą postać równań prostej, a mianowicie: Warunki równoległości wykresów funkcji liniowych Proste zadane jako wykresy funkcji: oraz są równoległe. Proste zadane w postaci ogólnej oraz są równoległe. Równanie liniowe z jedną niewiadomą Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie postaci, gdzie. Mogą zachodzić następujące sytuacje dotyczące rozwiązalności takiego równania: Jeśli, to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli i, to rozwiązaniem równania jest dowolna liczba rzeczywista. Jeśli i, to równanie nie posiada rozwiązań Układ dwu równań liniowych z dwiema niewiadomymi Niech będzie dany układ dwu równań liniowych z dwiema niewiadomymi : Zdefiniujmy jako: ; ; ; Mogą zachodzić następujące sytuacje dotyczące rozwiązalności układu (1):

Jeśli, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie:,. Układ taki nazywamy układem oznaczonym. Jeśli, to układ (1) posiada nieskończenie wiele rozwiązań; rozwiązaniem jest każda para liczb spełniająca dowolne równanie danego układu. Układ taki nazywamy układem nieoznaczonym. Jeśli i co najmniej jeden z wyznaczników jest różny od zera, to układ nie posiada rozwiązań. Układ taki nazywamy układem sprzecznym. Funkcja kwadratowa Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję:,,. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o, gdzie wierzchołku w punkcie, gdzie nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa : ma dwa różne miejsca zerowe (pierwiastki):,, gdy ; ma jedno miejsce zerowe, gdy

; nie ma miejsc zerowych, gdy. rzut pionowy Z miejsca znajdującego się 2 m nad podłogą rzucamy w górę piłkę z prędkością początkową 3 m s. Po jakim czasie piłka upadnie na podłogę? Założyć wartość przyspieszenia ziemskiego 10 m. Rozwiązanie Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym określona jest wzorem: s(t)= a 2 +, gdzie przyspieszenie, prędkość początkowa, droga w chwili. Pytamy zatem, jakiej chwili czasu będzie odpowiadała wysokość. Mamy więc równanie: skąd:. Piłka upadnie na podłogę po upływie 1 sekundy.

(Czemu odpowiada drugi pierwiastek?) Pożyteczne są: Postaci funkcji kwadratowej Postać kanoniczna:, gdzie,. Postać iloczynowa: Istnieje. Jeśli tak jest, to: Wzory Viète'a gdy, gdy. Gdy równanie kwadratowe ma pierwiastki, to zachodzą wzory Viète'a Funkcje wymierne homografie postaci:, gdzie oraz, nazywamy homografią. Dziedziną homografii jest Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola: wykres funkcji Napiszmy równanie funkcji homograficznej: odpowiednio poprzesuwany: Widać, iż ogólną homografię powstaje ze "standardowej" przez: 1. 2. 3. przesunięcie poziome o ; przeskalowanie o czynnik ; przesunięcie pionowe o. Asymptoty Prostą (poziomą) o równaniu nazywamy asymptotą poziomą; prostą (pionową) o równaniu

nazywamy asymptotą pionową.