Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej
Zmienna losowa to funkcja, która przyjmuje różne wartości liczbowe wyznaczone przez los (przypadek). Zmienne losowe oznaczamy symbolem: X :! R
Zmienna losowa X, której wartości reprezentują liczbę dziewczynek wśród czworaczków (B - chłopiec, G - dziewczynka). Zmienna losowa X BBBB } X 0 GBBB BGBB BBGB BBBG GGBB GBGB GBBG BGGB BGBG BBGG t v X 1 X 2 BGGG GBGG GGBG GGGB t X 3 GGGG} X 4
Zmienna losowa może być funkcją, której wartości reprezentują wartość wygranej w ruletkę.
Zmienna losowa może reprezentować cenę fantazyjnej koszulki albo jej rozmiar.
Dyskretna zmienna losowa Zmienna losowa jest skokowa (dyskretna), gdy może przyjmować wartości ze zbioru co najwyżej przeliczalnego (tzn. skończonego lub nieskończonego ale takiego, który można ustawić w ciąg).
Ciągła zmienna losowa Zmienna losowa ciągła może przyjmować wartości z dowolnego przedziału liczbowego. Możliwe wartości takiej zmiennej tworzą zbiór nieskończony i nieprzeliczalny (nie dający ustawić się w ciąg).
Discrete Continuous
Pewne oznaczenia upraszczające zapis: P (X = x) =P ({! 2 : X(!) =x}) P (a 6 X 6 b) =P ({! 2 : a 6 X(!) 6 b}) P (X 2 E) =P ({! 2 : X(!) 2 E})
Zmienna losowa dyskretna
Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej jest tablica, wzór lub wykres, który porządkuje prawdopodobieństwa każdej możliwej wartości zmiennej Zmienna losowa X BBBB } X 0 GBBB BGBB t BBGB BBBG X 1 P(X 0) 1 16 0.0625 P(X 1) 4 16 0.2500 P(X 2) 6 16 0.3750 P(X 3) 4 16 0.2500 P(X 4) 1 16 0.0625 Ran GGBB GBGB GBBG v BGGB BGBG BBGG BGGG GBGG t GGBG GGGB X 2 X 3 GGGG} X 4 Probability 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1/16 0 4/16 1 6/16 4/16 2 3 Number of girls, x 1/16 4
Niech P będzie prawdopodobieństwem na przestrzeni Ω i niech xi będą wartościami zmiennej losowej skokowej X. p i = P (X = x i ) xi x1 x2 x3 xn-1 xn pi p1 p2 p3 pn-1 pn p i > 0, p 1 + p 2 +...+ p n =1, P (a 6 X 6 b) = X a6x i 6b p i
Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej (skumulowana funkcja rozkładu) F (x) =P (X 6 x) = X x i 6x p i Dystrybuanta liczby ogłoszeń zamieszczanych dziennie w pewnej gazecie x P(X=x) F(x) 0 0,1 0,1 1 0,2 0,3 2 0,3 0,6 3 0,2 0,8 4 0,1 0,9 5 0,1 1 1.00 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 F(x) 0 P(3) = 0.2 1 2 3 4 5 x
P (X >a)=1 P (x 6 a) =1 F (a) P (a 6 X 6 b) =F (b) F (a)
Wartość oczekiwana skokowej zmiennej losowej µ = E(X) = nx i=1 x i P (X = x i )= nx i=1 x i p i 0.3 P(x) E(X) = =0 0, 1+1 0, 2+2 0, 3+3 0, 2+3 0, 2+4 0, 1+5 0, 1= =2, 3 0.2 0.1 012 345 Mean = 2.3 x
Dla każdej funkcji h funkcja Y=h(X) jest zmienną losową Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X xi x1 x2 x3 xn-1 xn pi p1 p2 p3 pn-1 pn Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y yi y1=h(x1) y2=h(x2) y3=h(x3) yn-1 =h(xn-1) yn=h(xn) pi p1 p2 p3 pn-1 pn E(h(X)) = nx i=1 h(x i ) p i
Wariancja skokowej zmiennej losowej 2 = V (X) =E (X µ) 2 = nx (x i µ) 2 p i i=1 P(x) 0.3 0.2 0.1 012 345 Mean = 2.3 x E(X) = =0 0, 1+1 0, 2+2 0, 3+3 0, 2+3 0, 2+4 0, 1+5 0, 1= =2, 3 V (X) = =(0 2, 3) 2 0, 1+(1 2, 3) 2 0, 2+(2 2, 3) 2 0, 3+... =2, 01
Wariancja skokowej zmiennej losowej Wygodny do stosowania wzór obliczania wariancji zmiennej losowej: 2 = V (X) =E(X 2 ) E(X) 2
Odchylenie standardowe skokowej zmiennej losowej = SD(X) = p V (X) P(x) 0.3 0.2 0.1 E(X) = =0 0, 1+1 0, 2+2 0, 3+3 0, 2+3 0, 2+4 0, 1+5 0, 1= =2, 3 SD(X) =1, 1418 012 345 Mean = 2.3 x
Twierdzenie Czebyszewa P X µ <k > 1 1 k 2 Prawdopodobieństwo, że wartości zmiennej losowej X odchylą się od średniej o k sigm jest niemniejsze niż 1 pomniejszone o kwadrat 1/k. Dla k=2, 1-1/k 2 = 0,75. Dla k=3, 1-1/k 2 = 0,89, czyli z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,89 wartość X znajdzie się w odległości od swojej wartości oczekiwanej mniejszej niż 3 sigma (odchylenia standardowe).
Pewne ważne rozkłady zmiennej losowej skokowej
Rozkład dwumianowy (Bernoullego) Rozkład dwumianowy ma zmienna losowa X, której wartościami są liczby sukcesów w ciągu n doświadczeń Bernoullego (w schemacie Bernoullego), w każdym z których p jest prawdopodobieństwem sukcesu, q=1-p jest prawdopodobieństwem porażki. n P (X = k) = p k q n k k Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład Bernoullego z parametrami n i p zapisujemy skrótowo X B(n, p)
X B(4; 0, 1) X B(4; 0, 5) X B(10; 0, 1) X B(20; 0, 3)
Dla zmiennej losowej X B(n, p) : µ = E(X) =np, 2 = V (X) =npq, = SD(X) = p npq.
Rozkład Poissona Rozkład Poissona ma zmienna losowa X, której wartości podają liczbę zajść pewnego zdarzenia w określonym przedziale czasu (np. liczę awarii urządzenia w ciągu tygodnia). P (X = k) = µk e µ k!, k =0, 1, 2,...
Rozkład Poissona Rozkład Poissona jest dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego, gdy liczba doświadczeń n jest duża (większa od 20), a prawdopodobieństwo sukcesu p niewielkie (mniejsze od 0,05). Przyjmujemy wtedy μ = np i korzystamy z poniższego wzoru: P (X = k) = µk e µ k!, k =0, 1, 2,... E(X) =µ, V (x) =µ
1000 aparatów 200 pracowników Jakie jest prawdopodobieństwo, że określona odmiana aparatu telefonicznego zostanie zamówiona przez: żadnego pracownika, jednego pracownika, dwóch pracowników, trzech pracowników, przy założeniu niezależności wyborów i tego, że zamówienie któregokolwiek telefonu z 1000 odmian jest równie prawdopodobne?
1000 marek aparatów 200 pracowników n=200, p=0,001, μ=np=0,2 P (X =0)= 0, 20 e 0,2 0! P (X =1)= 0, 21 e 0,2 1! P (X =2)= 0, 22 e 0,2 2! P (X =3)= 0, 23 e 0,2 3! =0, 8187 =0, 1637 =0, 0164 =0, 0011
Rozkład hypergeometryczny Jeśli pobieramy próbę z populacji N-elementowej, jak w doświadczeniach Bernoullego, ale bez zwracania, to zmienna losowa X będąca liczbą sukcesów w ciągu n takich doświadczeń ma rozkład hypergeometryczny. Niech S oznacza liczbę elementów populacji, której wylosowanie stanowi sukces. Wtedy prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w opisanym doświadczeniu jest równe: P (X = k) = S k N n N n S k
Zmienna losowa ciągła
Zmienna losowa ciągła to taka zmienna losowa, która może przyjmować dowolne wartości z pewnego przedziału liczbowego. Prawdopodobieństwa związane z ciągłą zmienną losową X są wyznaczane przez tak zwaną funkcję gęstości f(x), która ma następujące własności: f(x) 0 dla wszystkich x, prawdopodobieństwo, że zmienna X przyjmie wartość między a i b jest równe polu pod wykresem funkcji f między punktami x=a i x=b, całe pole pod wykresem funkcji f ma miarę równą 1.
P (a 6 X 6 b) =pole pod krzywπ = Z b a f(x)dx
Dla zmiennej losowej ciągłej X: P (X = x) =0 P (a 6 X 6 b) =P (a <X<b) P (a 6 X<b)=P (a <X<b) P (a <X6 b) =P (a <X<b)
Skumulowana funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (dystrybuanta) zmiennej losowej ciągłej jest miarą pola pod wykresem funkcji f(x) między najmniejszą możliwą wartością X (często utożsamianą z - ) a punktem x. Z a F (a) =P (X 6 a) = f(x)dx 1
F(x) 1.00 F(b) F(a) 0 f(x) a b x P(a X b) = Area under f(x) between a and b = F(b) F(a) Area = F(a) a b x
Pewne ważne rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Rozkład normalny Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym o wartości oczekiwanej μ i odchyleniu standardowym σ jest: f(x) = 1 p 2 e 1 2( x µ ) 2, x 2 ( 1, +1) zmienna X ma rozk ad normalny ze úredniπ µ i wariancjπ 2 X N(µ, 2 )
0.2 X ~ N(50,2 2 ) W ~ N(60,2 2 ) 0.15 0.1 Y ~ N(50,5 2 ) 0.05 40 45 50 55 60 65
Standaryzowaną normalną zmienną losową Z jest normalna zmienna losowa o średniej μ = 0 i odchyleniu standardowym σ = 1. Z N(0, 1) f(z) 1 0 z
Wykres gęstości jest symetryczny. Pole pod całym wykresem jest równe 1. Pole pod prawą częścią wykresu od 0 jest równe 0,5. Pole pod lewą częścią wykresu do 0 jest również równe 0,5. f(z) 1 0 z
Znajdowanie prawdopodobieństwa w tablicach TABLE 2 standaryzowanego rozkładu normalnego Areas of the Standard Normal Distribution Table area for z 0 z The table areas are probabilities that the standard normal random variable is between 0 and z. Second Decimal Place in z z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 TA(z) to podawana w tablicy miara pola (pod krzywą standardowej gęstości normalnej) wyznaczonego przez punkt z leżący na prawo od 0 taki, że TA(z) = F(z) - 0,5 gdzie F(z) jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego. 3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.5 0.4998 4.0 0.49997 4.5 0.499997 5.0 0.4999997 6.0 0.49999999
Table area for z 0 z The table areas are probabilities that the standard normal random variable is between 0 and z. Second Decimal Place in z z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 P (0 <Z<1, 56) = TA(1, 56) = 0, 04406 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 Table area for 2.47 Area to the left of 2.47 z 2.47 0 2.47 P (Z < 2, 47) = P (Z >2, 47) = =0, 5 TA(2, 47) = =0, 5 0, 4932 = 0, 0068 3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.5 0.4998 4.0 0.49997 4.5 0.499997 5.0 0.4999997 6.0 0.49999999
Rozkład t Studenta Na poniższym rysunku przedstawiono wykresy funkcji gęstości rozkładu t z różnymi stopniami swobody df (degrees of freedom).
Degrees of Freedom t.100 t.050 t.025 t.010 t.005 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 t W dalszym ciągu nie będzie nam potrzebna znajomość wzoru na funkcję gęstości. Dla naszych zastosowań wystarczy wiedzieć jak wygląda w przybliżeniu wykres i jak korzystać z tablic tego rozkładu. 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 Source: M. Merrington, Table of Percentage Points of the t-distribution, Biometrika 32 (1941), p. 300.
Rozkład chi-kwadrat Na poniższym rysunku przedstawiono wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat z różnymi stopniami swobody df.
Przekształcenia normalnej zmiennej losowej
Niech X bídzie zmiennπ losowπ o rozk adzie normalnym o wartoúci oczekiwanej µ i odchyleniu standardowym X N(µ, 2 ) Wtedy zmienna losowa Z dana wzorem Z = X µ ma rozk ad normalny standardowy, tzn. Z N(0, 1)
Z = X µ, X = Z + µ P (X <b)=p P (a <X)=P P (a <X<b)=P Z < b µ a µ <Z a µ b <Z< µ
Przykład 1. X N(50, 10 2 ), µ =50, =10 P (X <60) =? P (X >55) =? P (X <60) = P X µ < 60 µ = = P Z< 60 50 10 = P (Z <1) = = F (1) = 0, 84134 P (X >55) = P X µ > 55 µ = = P Z> 55 50 10 = P (Z >0, 5) =
= P Z> 55 50 10 = P (Z >0, 5) = =1 P (Z 6 0, 5) = 1 F (0, 5) = =1 0, 69146 = 0, 30854 P (X <45) =? P (X <45) = P Z< 45 50 10 = P (Z < 0, 5) = = F ( 0, 5)
Zauwaømy, øe F ( a) =P (Z 6 a) = = P (Z > a) =1 P (Z <a)= czyli =1 F (a) F ( a) =1 F (a)
Zatem wracajπc do przyk adu P (X <45) = P Z< 45 50 10 = P (Z < 0, 5) = = F ( 0, 5) = 1 F (0, 5) = =1 0, 69146 = 0, 30854
Przykład 2. Przebieg silnika: úrednio 160000 km z odchyleniem 30000 km Jakie jest prawdopodobieòstwo, øe silnik wytrzyma przebieg miídzy 100000 a 180000 km? X N(160000, 30000 2 ), µ =160000, =30000 P (100000 <X<180000) = P 100000 160000 30000 <Z< 180000 160000 30000 = P ( 2 <Z<0, 66) = F (0, 66) F ( 2) = F (0, 66) (1 F (2)) = = F (0, 66) + F (2) 1=0, 74537 + 0, 97725 1=0, 72262 =
Znajdowanie wartoúci z takiej, øe P (Z 6 z) =
Przykład 3. Z N(0, 1) P (Z 6 z) =F (z) P (Z 6 z) =0, 9, z =? Szukamy rozwiπzania równania F (z) =0, 9 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91308 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 z =1, 28