Podróże po Imperium Liczb Część 14 Równanie Pella Andrzej Nowicki

Podróże po Imperium Liczb Część 14 Równanie Pella Andrzej Nowicki Wydanie drugie uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2013

PEL - 53(711) - 10.04.2013

Spis treści Wstęp 1 1 Równanie x 2 - dy 2 = 1 5 1.1 Informacje wstępne..................................... 5 1.2 Twierdzenie o istnieniu rozwiązań naturalnych...................... 10 1.3 Opis wszystkich rozwiązań................................. 13 1.4 Rozwiązania i ciągi rekurencyjne.............................. 15 1.5 Rozwiązania i wielomiany Czebyszewa........................... 16 1.6 Historia i uzupełniające informacje............................ 18 2 Najmniejsze rozwiązania równania x 2 - dy 2 = 1 19 2.1 Więcej niż 9 cyfr....................................... 23 2.2 Najmniejsze rozwiązania i ułamki łańcuchowe...................... 27 2.3 Najmniejsze rozwiązania dla pewnych liczb d....................... 29 2.4 Najmniejsze rozwiązania specjalnego typu......................... 31 3 Równanie x 2 - dy 2 = - 1 33 3.1 Opis wszystkich rozwiązań................................. 33 3.2 Rozwiązania i ciągi rekurencyjne.............................. 36 3.3 Tablice z liczbami d i najmniejszymi rozwiązaniami................... 37 3.4 Problem istnienia rozwiązań................................ 39 3.5 Równanie x 2 - dy 2 = ±1.................................. 41 4 Równanie x 2 - dy 2 = c 43 4.1 Klasy rozwiązań....................................... 44 4.2 Opis wszystkich rozwiązań równania x 2 - dy 2 = c.................... 49 4.3 Początkowe przykłady.................................... 50 4.4 Rozwiązania względnie pierwsze.............................. 52 4.5 Dodatkowe informacje o równaniu x 2 - dy 2 = c...................... 56 5 Przykłady równań postaci x 2 - dy 2 = c 61 5.1 Równanie x 2-2y 2 = ±1.................................. 61 5.2 Równanie x 2-2y 2 = c................................... 63 5.3 Równanie x 2-3y 2 = c................................... 68 5.4 Równanie x 2-5y 2 = c................................... 70 5.5 Równanie x 2-6y 2 = c................................... 71 5.6 Równanie x 2-7y 2 = c................................... 73 5.7 Równanie x 2-8y 2 = c................................... 74 5.8 Równanie x 2-10y 2 = c................................... 75 5.9 Równanie x 2-11y 2 = c................................... 77 5.10 Układy równań Pella.................................... 78 6 Równanie ax 2 - by 2 = 1 79 6.1 Początkowe obserwacje................................... 80 6.2 Funkcja F........................................... 81 6.3 Opis wszystkich rozwiązań równania ax 2 - by 2 = 1.................... 82 6.4 Przykłady.......................................... 84 i

7 Równanie ax 2 - by 2 = c 91 7.1 Informacje wstępne..................................... 91 7.2 Klasy rozwiązań naturalnych................................ 93 7.3 Opis wszystkich rozwiązań naturalnych.......................... 97 7.4 Przykłady.......................................... 97 7.5 Rozwiązania względnie pierwsze.............................. 103 7.6 Rozwiązania wymierne................................... 106 8 Równanie Pella nad pierścieniami skończonymi 107 8.1 Kongruencja x 2 - dy 2 c (mod m)............................ 107 8.2 Równanie Pella i pierścienie skończone.......................... 116 9 Zastosowania równania Pella 121 9.1 Liczby kwadratowe..................................... 121 9.2 Sumy kwadratów....................................... 123 9.3 Liczby postaci x 2 ±1.................................... 125 9.4 Trójki Pitagorasa...................................... 127 9.5 Liczby trójkątne....................................... 129 9.6 Równanie ax 2 +x = by 2 +y................................. 136 9.7 Równanie ax 2 +bx+c = py 2 +qy.............................. 140 9.8 Równanie ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0....................... 144 9.9 Liczby Fibonacciego..................................... 148 9.10 Sześciany........................................... 151 9.11 Trójkąty Herona....................................... 155 9.12 Silnie i symbole Newtona.................................. 156 9.13 Liczby z pierwiastkami................................... 158 9.14 Inne zastosowania...................................... 159 10 Pary liczb całkowitych i zastosowania równania Pella 161 10.1 Pary i wielomiany liniowe.................................. 161 10.2 Pary (a,b) takie, że a b 2 + 1 oraz b a 2 + 1....................... 162 10.3 Konsekwencja twierdzenia Gaussa............................. 166 10.4 Moniczne wielomiany z symetrycznymi współczynnikami................ 168 10.5 Moniczne trójmiany kwadratowe.............................. 172 10.6 Pary (a,b) takie, że a b 2 + m oraz b a 2 + m...................... 175 Spis cytowanej literatury 185 Skorowidz nazwisk 189 Skorowidz 191 ii

Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularnonaukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularnonaukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. 1

Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Mówimy, że n = p α 1 1 pα 2 2 pαs s jest rozkładem kanonicznym liczby naturalnej n 2, jeśli p 1,..., p s są parami różnymi liczbami pierwszymi oraz α 1,..., α s są liczbami naturalnymi. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www.mat.uni.torun.pl/~anow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach 2008 2011. Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych 2

zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. o o o o o W czternastej książce z serii Podróże po Imperium Liczb, zajmujemy się równaniami kwadratowymi postaci ax 2 by 2 = c, gdzie a i b są liczbami naturalnymi oraz c jest liczbą całkowitą. Są to równania o dwóch niewiadomych x i y. Mając dane tego rodzaju równanie, chcemy znaleźć lub jakoś opisać, wszystkie takie pary liczb naturalnych (u, v), dla których zachodzi równość au 2 bv 2 = c. Każdą taką parę (u, v) nazywamy rozwiązaniem naturalnym równania ax 2 by 2 = c. Istnieją tego typu równania, które nie posiadają żadnych rozwiązań naturalnych. Takim równaniem jest na przykład x 2 3y 2 = 1. Tutaj nie znajdziemy nawet żadnych rozwiązań (x, y) takich, że x i y są liczbami wymiernymi. Gdy zamiast równania x 2 3y 2 = 1 rozpatrzymy równanie x 2 3y 2 = 1, to sprawa wygląda już zupełnie inaczej. To nowe równanie ma rozwiązanie naturalne. Z oczywistej równości 2 2 3 1 2 = 1 wynika, że para (2, 1) jest rozwiązaniem naturalnym tego równania. Równanie to ma jeszcze inne naturalne rozwiązania: (7, 4), (26, 15), (97, 56). Można wykazać, że rozwiązań naturalnych jest w tym przypadku nieskończenie wiele. Co więcej, można podać odpowiednie wzory lub formuły opisujące wszystkie rozwiązania naturalne. Jeżeli para (x, y) jest rozwiązaniem naturalnym równania x 2 3y 2 = 1, to para (2x + 3y, x + 2y) też jest rozwiązaniem naturalnym i przy pomocy tej procedury, startując od rozwiązania (2, 1), otrzymujemy każde rozwiązanie naturalne tego równania. Wspomniane równanie x 2 3y 2 = 1 jest szczególnego typu. Jest to równanie postaci x 2 dy 2 = 1, gdzie d jest niekwadratową liczbą naturalną. Tego typu równanie jest często nazywane równaniem Pella. Okazuje się, że równanie Pella ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie naturalne. (jeden ze znanych dowodów tego faktu znajdziemy w rozdziale pierwszym). Mając jedno rozwiązanie naturalne można dość łatwo skonstruować następne rozwiązanie naturalne i dzięki temu wykazać, że każde równanie Pella ma nieskończenie wiele naturalnych rozwiązań. Problem jest tylko z tym, jak znaleźć chociaż jedno, takie najmniejsze, rozwiązanie naturalne danego równania Pella. Wiadomo, że takie rozwiązanie istnieje, ale chcąc je wskazać trzeba często trochę głębiej spojrzeć na dane równanie. W poszukiwaniach omawianych rozwiązań można wykorzystać komputery. Komputer jednak, nawet w dzisiejszych czasach, może nam tego nie znaleźć. Spójrzmy na przykład na równanie Pella x 2 661y 2 = 1. 3

Najmniejszym rozwiązaniem naturalnym tego równania jest para (x, y), gdzie x = 16421658242965910275055840472270471049, y = 638728478116949861246791167518480580. Liczby x, y mają odpowiednio 38 i 36 cyfr. Można podać inne takie przykłady równań Pella, w których liczba d nie jest zbyt wielka, a najmniejsze rozwiązanie naturalne stanowią przeogromne liczby x i y, znacznie dłuższe od powyższych. Różne tego rodzaju przykłady znajdziemy w rozdziale drugim. Prezentowane przykłady powstały oczywiście przy pomocy komputera (przy pomocy Maple), jednakże powstały dzięki starej dziewiętnastowiecznej teorii, którą również przedstawiamy w tej książce. Równanie Pella x 2 dy 2 = 1 (gdzie d jest liczbą niekwadratową) odgrywa bardzo ważną rolę we wszystkich innych równaniach prezentowanych w tej książce. Jak już wspomnieliśmy, w tej książce zajmujemy się równaniami kwadratowymi postaci ax 2 by 2 = c, gdzie a i b są liczbami naturalnymi oraz c jest liczbą całkowitą. Tego typu równania mogą nie posiadać rozwiązań naturalnych. Jednakże, jeśli posiadają co najmniej jedno takie rozwiązanie, to posiadają ich nieskończenie wiele i wszystkie rozwiązania można opisać za pomocą rozwiązań naturalnych stowarzyszonych z nimi odpowiednich równań Pella. Wjaśniamy to dokładnie w kolejnych rozdziałach. W rozdziale trzecim badamy równanie x 2 dy 2 = 1. Dwa następne rozdziały dotyczą równania postaci x 2 dy 2 = c. Potem (rozdział 6) mamy równanie ax 2 by 2 = 1 i w następnym rozdziale, siódmym, mówimy ogólnie o równaniu postaci ax 2 by 2 = c. Wszystkie istotne fakty przedstawiono wraz z dokładnymi dowodami i licznymi przykładami. Innej natury jest rozdział ósmy. Zajmujemy się w nim najpierw takimi równaniami postaci x 2 dy 2 = c, dla których każda kongruencja x 2 dy 2 c (mod m) posiada rozwiązanie. Podstawowe twierdzenia przedstawiamy wraz z dowodami. W drugim podrozdziale tego rozdziału przedstawiamy, bez dowodów, istotne informacje o rozwiązaniach równania Pella nad pewnymi skończonymi pierścieniami. Przedstawione fakty głównie dotyczą skończonych pierścieni liczb całkowitych modulo m i są w dużej części własnymi pomysłami autora, powstałymi podczas studiowania pięknej książki E.J. Barbeau [Barb] z 2003 roku. W rozdziale dziewiątym przedstawiamy pewne zastosowania omawianych równań w elementarnej teorii liczb. Ostatni rozdział, dziesiąty, również dotyczy pewnych zastosowań równania Pella. Badamy w nim szczegółowo pary niezerowych liczb całkowitych (a, b) takie, że f(a) jest podzielne przez b oraz f(b) jest podzielne przez a, gdzie f(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. 4

1 Równanie x 2 - dy 2 = 1 Równaniem Pella nazywamy każde równanie postaci x 2 dy 2 = 1, gdzie d jest niekwadratową liczbą naturalną. W tej książce zajmować się będziemy rozwiązaniami takich równań. W szczególny sposób interesować nas będą rozwiązania należące do zbioru liczb naturalnych. 1.1 Informacje wstępne Załóżmy, że dane jest równanie postaci F (x 1,..., x n ) = 0, gdzie F = F (x 1,..., x n ) jest wielomianem n zmiennych x 1,..., x n o pewnych wpółczynnikach liczbowych. Rozwiązaniem tego równania nazywamy każdy taki ciąg (a 1,..., a n ), dla którego zachodzi równość F (a 1,..., a n ) = 0. Mówić będziemy, że dane rozwiązanie (a 1,..., a n ) jest naturalne, jeśli wszystkie wyrazy a 1,..., a n są liczbami naturalnymi. Mówić będziemy, że rozwiązanie (a 1,..., a n ) jest całkowite, jeśli wszystkie wyrazy a 1,..., a n są liczbami całkowitymi. W ten sam sposób definiujemy rozwiązanie wymierne. Przypomnijmy jeszcze raz, że w tej książce (oraz we wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb ) najmniejszą liczbą naturalną jest jedynka. Zera nie zaliczamy do zbioru liczb naturalnych. W równaniu Pella x 2 dy 2 = 1 zakłada się, że d jest liczbą niekwadratową, tzn. d nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej. W przeciwnym przypadku mamy: 1.1.1. Jeśli d jest liczbą kwadratową, to równanie x 2 dy 2 = 1 nie ma rozwiązań naturalnych. Równanie to ma tylko trywialne rozwiązania całkowite: (1, 0) oraz ( 1, 0). D. Załóżmy, że d jest kwadratem liczby naturalnej n i x, y są liczbami całkowitymi spełniającymi równość x 2 dy 2 = 1. Wtedy 1 = x 2 n 2 y 2 = (x ny)(x + ny), więc x ny = x + ny = 1 lub x ny = x + ny = 1 i stąd (x, y) = (1, 0) lub (x, y) = ( 1, 0). 5

6 Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 Omawiane równanie ma zawsze nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych. Aby się o tym przekonać nie musimy zakładać, że d jest liczbą niekwadratową. Wystarczy, że d jest niezerową liczbą całkowitą, a nawet niezerową liczbą wymierną. 1.1.2. Jeśli d jest niezerową liczbą wymierną, to równanie x 2 dy 2 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych. ) Każde rozwiązanie wymierne tego równania, różne od pary (1, 0), jest postaci (x λ, y λ, x λ = dλ2 + 1 dλ 2 1, y λ = 2λ dλ 2 1, gdzie λ jest liczbą wymierną, której kwadrat jest różny od 1 d. Przy tym jeśli λ 1 λ 2, to ) ) (x λ1, y λ1 (x λ2, y λ2. D. Bez trudu sprawdzamy,że każda para powyższej postaci (x λ, y λ ) jest rozwiązaniem wymiernym, różnym od pary (1, 0). Załóżmy teraz, że (x, y) jest dowolnym rozwiązaniem wymiernym, różnym od pary (1, 0). Wtedy oczywiście x 1. Oznaczmy przez t różną od zera liczbę x 1 i niech λ = y t. Wtedy x = 1 + t, y = λt. Podstawiając to do równania x 2 dy 2 = 1 otrzymujemy równość 2 = (dλ 2 1)t, z której wynika, że liczba λ 2 jest różna od 1 d oraz t = 2 dλ 2. Stąd dalej mamy: 1 x = 1 + t = 1 + 2 dλ 2 1 = dλ2 + 1 dλ 2 1 = x λ, y = λt = 2λ dλ 2 1 = y λ, a zatem (x, y) = (x λ, y λ ). Niech teraz λ 1, λ 2 będą liczbami wymiernymi, których kwadraty są różne od 1 d i załóżmy, że (x λ1, y λ1) = (x λ2, y λ2). Wtedy dλ 2 1 + 1 dλ 2 1 = dλ2 2 + 1 dλ 2 1, 2λ 1 dλ 2 1 1 = 2λ 2 dλ 2 2 1. Z pierwszej z tych równości wynika, ze λ 2 1 = λ 2 2 i stąd, wykorzystując drugą równość, otrzymujemy, że λ 1 = λ 2. Z podobnym twierdzeniem spotkamy się w rozdziale siódmym, dotyczącym równania ax 2 by 2 = c (patrz 7.6.1). Szczególnym przypadkiem powyższego twierdzenia jest następujące twierdzenie, o którym wspominaliśmy w książce [N-3]. 1.1.3. Równanie x 2 + y 2 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań ) wymiernych. Każde rozwiązanie wymierne, różne od pary (1, 0), jest postaci (x λ, y λ, x λ = λ2 1 1 + λ 2, y λ = 2λ 1 + λ 2, ) gdzie λ jest liczbą wymierną. Przy tym jeśli λ 1 λ 2, to (x λ1, y λ1 (patrz 1.1.2 dla d = 1). (x λ2, y λ2 ).

Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 7 Teraz zakładać będziemy, że d jest niekwadratową liczbą naturalną. Z tego założenia wynika w szczególności, że d jest liczbą niewymierną. Istotną rolę w tej książce odgrywać będą dwa podzbiory zbioru liczb rzeczywistych, zawierające d. Pierwszy z tych podzbiorów, oznaczany przez Q( d), jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych postaci a + b d, gdzie a i b są liczbami wymiernymi. Drugi podzbiór, oznaczany przez Z[ d], jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych postaci a + b d, gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Zapamiętajmy: Q( { d) = a + b } d; a, b Q, Z[ { d] = a + b } d; a, b Z. Z oczywistych równości: ) ) (a 1 + b 1 d + (a 2 + b 2 d ) ) (a 1 + b 1 d (a 2 + b 2 d ) ) (a 1 + b 1 d (a 2 + b 2 d = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) d, = (a 1 a 2 ) + (b 1 b 2 ) d, = (a 1 a 2 + db 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) d wynika, że te dwa podzbiory są zamknięte ze względu na dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Jeśli dodatkowo założymy, że liczba a 2 + b 2 d jest różna od zera, to a 2 2 db 2 2 0 i wtedy a 1 + b 1 d a 2 + b 2 d = a 1a 2 db 1 b 2 a 2 2 db2 2 + a 2b 1 a 1 b 2 d. a 2 2 db2 2 Podzbiór Q( d) jest więc ciałem. Jest to najmniejsze podciało ciała R, zawierające liczbę d. Natomiast podzbiór Z[ d] jest pierścieniem przemiennym z jedynką. Jest to najmniejszy podpierścień(z jedynką) ciała R, zawierający liczbę d. Ciałem ułamków tego pierścienia jest Q( d). Przez N d oznaczać będziemy funkcję, działającą ze zbioru Q( d) do zbioru Q, określoną wzorem N d (a + b ) d = a 2 db 2. dla a+b d Q( d). Nazywać ją będziemy normą względem d. Norma ta posiada następującą istotną własność: 1.1.4. N d (uv) = N d (u)n d (v), dla wszystkich u, v Q( d). Wynika to z łatwej do sprawdzenia tożsamości 1.1.5. ( )( ) ) 2 ) 2 a 2 1 db2 1 a 2 2 db2 2 = (a 1 a 2 + db 1 b 2 d (a 1 b 2 + a 2 b 1 Mamy ponadto: 1.1.6. N d ( u v ) = N d(u) N d (v), dla u, v Q( d), v 0.

8 Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 Zauważmy, że x 2 dy 2 = 1 N d (x + y ) d = 1. Para (x, y), liczb całkowitych, spełnia więc równanie x 2 dy 2 = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy norma względem d liczby x + y d jest równa 1. Jeśli α = a + b d to przez ᾱ oznaczać będziemy liczbę a b d i tę liczbę nazywać będziemy sprzężeniem liczby α. Zapamiętajmy: a + b d = a b d. Operacja sprzężenia posiada następujące własności. 1.1.7. Jeśli, α, β Q( d), to: (1) α + β = α + β; (2) α β = α β; (3) α β = α β; (4) α : β = α : β, o ile β 0; (5) N d (α) = N d (α); (6) α α = N d (α). Wspomnieliśmy, że Z[ d] jest pierścieniem przemiennym z jedynką. Pierścień ten nie jest ciałem. Jeśli α jest niezerową liczbą należącą do Z[ d], to liczba α 1 nie musi należeć do pierścienia Z[ d]. Przykład: ( 1 + 3 ) 1 1 2 = 17 + 3 2 Z[ 2]. 17 1.1.8. Niech a, b Z. Liczba a + b d jest odwracalna w pierścieniu Z[ d] wtedy i tylko wtedy, gdy a 2 db 2 = ±1. D. Niech α = a + b d. Załóżmy, że αβ = 1 dla pewnej liczby β należącej do Z[ d]. Wtedy 1 = N d (1) = N d (αβ) = N d (α)n d (β). Mamy więc dwie liczby całkowite, N d (α) i N d (β), których iloczyn jest równy 1. Zatem N d (α) = ±1, tzn. a 2 db 2 = ±1. Załóżmy teraz, że N d (α) = ±1. Wtedy ±1 = αα i wobec tego α 1 = ±α Z[ d]. Zajmować się będziemy rozwiązaniami naturalnymi równania x 2 dy 2 = 1. Z każdym rozwiązaniem naturalnym (x, y) = (a, b) tego równania, stowarzyszone są cztery rozwiązania całkowite: (a, b), ( a, b), (a, b), ( a, b). Rozwiązania naturalne (x, y) tym wyróżniają się w zbiorze rozwiązań całkowitych, że dla nich liczba x + y d jest większa od 1. Wynika to z następującego stwierdzenia. 1.1.9. Jeśli x, y są takimi liczbami całkowitymi, że x 2 dy 2 = 1, to x + y d > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy x i y są liczbami naturalnymi.

Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 9 D. Jest oczywiste, że jeśli x, y N, to x + y d > 1. Załóżmy, że x + y d > 1. Ponieważ ( 1 = x 2 dy 2 = x + y ) ( d x y ) d, więc 0 < x y d < 1, czyli x y d > 0 oraz x + y d > 1. Dodając stronami nierówności x + y d > 1 i x y d > 0, otrzymujemy 2x > 1 i stąd x N. Dodając stronami nierówności otrzymujemy 2y d > 0 i stąd y N. x + y d > 1 i x + y d > 1, 1.1.10. Jeśli x 1, y 1, x 2, y 2 są takimi liczbami naturalnymi, że to następujące warunki są równoważne: x 2 1 dy 2 1 = x 2 2 dy 2 2, (1) x 1 < x 2 ; (2) y 1 < y 2 ; (3) x 1 < x 2 oraz y 1 < y 2 ; (4) x 1 + y 1 d < x2 + y 2 d. D. Oznaczmy: c = x 2 1 dy 2 1 = x 2 2 dy 2 2. (1) (2). Niech x 1 < x 2. Wtedy c + dy 2 1 = x 2 1 < x 2 2 = c + dy 2 2, więc y 1 < y 2. (2) (3). Niech y 1 < y 2. Wtedy x 2 1 = c + dy 2 1 < c + dy 2 2 = x 2 2, więc x 1 < x 2 i y 1 < y 2. (3) (4). Ta implikacja jest oczywista. (4) (1). Załóżmy, że x 1 + y 1 d < x2 + y 2 d i przypuśćmy, że x1 x 2. Wtedy c + dy 2 1 = x 2 1 x 2 2 = c + dy 2 2, więc y 1 y 2 i mamy sprzeczność: x 1 + y 1 d < x2 + y 2 d x1 + y 1 d. Spśród wszystkich rozwiązań naturalnych danego równania Pella wyróżniać będziemy tzw. najmniejsze rozwiązanie naturalne. Dotyczyć to będzie również równań postaci x 2 dy 2 = c, gdzie c jest daną liczbą całkowitą. Mówić będziemy, że para liczb naturalnych (x, y) jest najmniejszym rozwiązaniem naturalnym równania x 2 dy 2 = c, jeśli jest rozwiązaniem naturalnym tego równania i nie ma takiego rozwiązania naturalnego (x, y ), w którym x jest ostro mniejsze od x. Jest oczywiste, że jeśli równanie x 2 dy 2 = c ma co najmniej jedno rozwiązanie naturalne, to ma (dokładnie jedno) najmniejsze rozwiązanie naturalne. Najmniejsze rozwiązanie naturalne można definiować w inny równoważny sposób. Wyjaśnia to poniższe stwierdzenie, które wynika natychmiast ze stwierdzenia 1.1.10. 1.1.11. Dla danej liczby całkowitej c oznaczmy przez U zbiór wszystkich rozwiązań naturalnych równania x 2 dy 2 = c i załóżmy, że zbiór ten jest niepusty. Niech (x 1, y 1 ) U. Następujące warunki są równoważne:

10 Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 (1) para (x 1, y 1 ) jest najmniejszym rozwiązaniem naturalnym równania x 2 dy 2 = c, tzn. x 1 jest najmniejszą taką liczbą naturalną n, że (n, y) U dla pewnego y N; (2) y 1 jest najmniejszą taką liczbą naturalną n, że (x, n) U dla pewnego x N; (2 ) y 1 jest najmniejszą taką liczbą naturalną n, że liczba c + dn 2 jest kwadratowa; (3) dla każdej pary (x, y) U zachodzą nierówności x 1 x oraz y 1 y; (4) x 1 + y 1 d jest najmniejszą liczbą w zbiorze {x + y } d; (x, y) U. 1.2 Twierdzenie o istnieniu rozwiązań naturalnych Przedstawiamy klasyczny, najbardziej istotny, wynik dotyczący równania x 2 dy 2 = 1. 1.2.1. Jeśli d jest niekwadratową liczbą naturalną, to równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie naturalne. x 2 dy 2 = 1 Dowody tego twierdzenia można znaleźć w wielu książkach z elementarnej teorii liczb (na przykład: [S50] 249-259, [Grif] 172-176, [Buch] 305-307, [IrR] 276-278, [Nar00] 83-88, [Gio] 110-114). W czsopiśmie Kwant ([Kw] 6(2002) 10-15) podano cztery różne dowody. Podamy teraz jeden z takich klasycznych dowodów. W tym celu udowodnimy najpierw następujący Lemat Dirichleta. 1.2.2 (Dirichlet). Niech λ R, n N. Istnieją wtedy takie liczby całkowite a, b, że 1 b n oraz bλ a 1 n + 1. D. Rozpatrzmy części ułamkowe: {1λ}, {2λ}, [..., {nλ}. ] Jeśli co najmniej jedna z tych części 1 ułamkowych, powiedzmy {iλ}, należy do przedziału 0,, to przyjmujemy: a = [iλ], b = i. Jeśli n + 1 [ ] n co najmniej jedna z tych części ułamkowych, powiedzmy {iλ}, należy do przedziału n + 1, 1, to przyjmujemy: a = [iλ] + 1, b = i. Załóżmy teraz, że żaden z tych dwóch przypadków nie zachodzi. Wtedy każda część ułamkowa należy do jednego z przedziałów [ ) [ ) [ ) 1 n + 1, 2 2, n + 1 n + 1, 3 n 1,..., n + 1 n + 1, n. n + 1 Tych przedziałów jest n 1, a liczb jest n. Istnieją zatem (na mocy zasady szufladkowej Dirichleta) dwie różne liczby i, j {1,..., n} takie, że i < j oraz liczby {iλ} i {jλ} należą do tego samego przedziału. Wtedy {iλ} {jλ} 1 n + 1. Przyjmujemy b = j i, a = [jλ] [iλ] i mamy nierówność bλ a 1 n + 1.

Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 11 Dowód twierdzenia 1.2.1 Niech λ = d. Na mocy lematu 1.2.2, dla każdej liczby naturalnej n istnieją takie liczby a n, b n, że a n Z, b n N, 1 b n n oraz b n λ a n < 1 n. Mamy wtedy: a 2 n db 2 n = an 1 a n b n d + b n d < n 1 a n b n d + n 1 n ( 1 + 2 ) d. 2b n d 1 n 1 a n + b n d = ( 1 n + 2n d ) (a n b n d + 2b n d n ) = 1 n 2 + 2 d Wykazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej n, bezwzględna wartość liczby całkowitej a 2 n db 2 n jest mniejsza od 1 + 2 d. Każda więc taka liczba a n db 2 n jest jedną z liczb całkowitych: r, r + 1,..., r 2, r 1, r, gdzie r jest częścią całkowitą liczby 1 + 2 d. Różnych liczb całkowitych postaci a 2 n db 2 n może więc być tylko skończenie wiele. W zbiorze { r, r + 1,..., r 1, 1} istnieje zatem taka liczba całkowita c, że równość a 2 n db 2 n = c zachodzi dla nieskończenie wielu liczb naturalnych n. Oczywiście c > 0 (gdyż d jest liczbą niewymierną). Oznaczmy przez S zbiór tych wszystkich n N, dla których zachodzi równość a 2 n db 2 n = c i rozważmy zbiór B = {b n ; n S}. Mamy więc dwa zbiory: { } { } S = n N; a n db 2 n = c, B = b n ; n S i wiemy, że zbiór S jest nieskończony. Wykażemy teraz, że zbiór B jest nieograniczony. Przypuśćmy, że tak nie jest. Przypuśćmy, że istnieje liczba naturalna M taka, że b n M dla wszystkich n S. Ale każde b n jest liczbą naturalną, więc każde takie b n jest jedną z liczb 1, 2,..., M. Tych liczb jest skończenie wiele, a elementów zbioru S jest nieskończenie wiele. W zbiorze {1, 2,..., M} istnieje zatem taka liczba naturalna, oznaczmy ją przez p, że równość b n = p zachodzi dla nieskończenie wielu elementów n S. Zbiór tych wszystkich elementów n ze zbioru S, dla których zachodzi równość b n = p, oznaczmy przez T. Mamy więc nieskończony zbiór T = { } n S; b n = p. Dla każdego n należącego do zbioru T zachodzą dwie równości: b n = p oraz a 2 n db 2 n = c. Dla każdego takiego n mamy więc: a n = c + dp 2 lub a n = c + dp 2. Ponieważ zbiór T jest nieskończony, więc co najmniej jedna z dwóch liczb c + dp2, c + dp 2, oznaczmy tę liczbę przez q, jest taka, że równość a n = q zachodzi dla nieskończenie wielu n T. Oczywiście q jest liczbą całkowitą. Zbiór tych wszystkich elementów n ze zbioru T, dla których zachodzi równość a n = q, oznaczmy przez T 0. Mamy więc nieskończony zbiór T 0 i dla każdego n, należącego do tego zbioru, zachodzą równości: a n = q, b n = p, gdzie p i q są ustalonymi liczbami całkowitymi (i ponadto p jest liczbą naturalną). Przypomnijmy, że λ = d oraz b n λ a n < 1 n dla n N. Dla każdej więc liczby naturalnej n, należącej do zbioru T 0, zachodzi nierówność pλ q < 1 n. Ale zbiór T 0 jest nieskończony, więc stąd wynika, że pλ q = 0, czyli d = q p. Otrzymana równość przeczy temu,

12 Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 że d jest liczbą niewymierną. { } Przypuszczenie, że zbiór B jest ograniczony prowadzi do sprzeczności. Zatem zbiór B = b n ; n S jest nieograniczony. Z tego co do tej pory udowodniliśmy wynika w szczególności, że istnieje nieskończenie wiele par (a, b) takich, że a Z, b N, a 2 db 2 = c i przy tym występujące w tych parach liczby b są parami różne, tzn. jeśli (a, b) i (a, b ) są różnymi takimi parami, to b b. Przypomnijmy, że c jest ustaloną liczbą całkowitą, różną od zera. Ponieważ reszt z dzielenia przez c jest skończenie wiele, a par (a, b) jest nieskończenie wiele, istnieją dwie takie różne pary liczb całkowitych (a, b), (A, B), że b, B N, b B oraz Rozważmy liczbę rzeczywistą a 2 db 2 = c, A 2 db 2 = c, a A (mod c ), b B (mod c ). Zauważmy, że α = A + B d a + b d = również, że α = A + B d a + b d. ( A + B ) ( d a b ) d a 2 b 2 = d aa bbd c + ab ba d. Zauważmy c aa bbd a 2 b 2 d = c 0 (mod c ) oraz ab ba ab ba = 0 (mod c ). Widzimy więc, że α jest liczbą postaci u + v d, gdzie u = 1 c (aa bbd) i v = 1 (ab ba) są liczbami c całkowitymi. Zachodzi ponadto równość u 2 dv 2 = 1. Istotnie, wynika to z następujących równości: u 2 v 2 d = N d (u + v ) d = N d (α) = N d (A + B ) d N d (a + b ) = c d c = 1. Para (u, v) jest więc rozwiązaniem całkowitym równania x 2 dy 2 = 1. Wykażemy teraz, że liczby u, v są niezerowe. Jeśli u = 0, to mamy sprzeczność: 1 = dv 2 < 0. Przypuśćmy, że v = 0. Wtedy ab = ba, więc a = b A (oczywiście B 0, gdyż B N) i wtedy B ( ) 2 b c = a 2 db 2 = A 2 db 2 = b2 B B 2 (A2 B 2 d) = b2 B 2 c. Stąd wynika, że b2 = 1 i stąd b = B wbrew temu, że b B. B2 Zatem u 0 oraz v 0. Każda z par (u, v), ( u, v), (u, v) i ( u, v) jest rozwiązaniem równania x 2 dy 2 = 1. Jedna z tych par oczywiście należy do zbioru N N. Równanie x 2 dy 2 = 1 ma więc rozwiązanie naturalne. P. G. L. Dirichlet, Solution of the Pell equation..., [Diri] 139-144. P. G. L. Dirichlet, The smallest solution of the Pell equation, [Diri] 144-147. A. O. Gelfond, Równania Pella, [Gelf]. K. Y. Li, Pell s equation I, [ME] 6(3)(2001), II [ME] 7(1)(2002). E. Landau, Pell s equation, [Land] 76-84. T. Nagell, The diophantine equation x 2 Dy 2 = 1, [Nagl] 195-201. W. Senderov, A. Spivak, Równania Pella. (po rosyjsku), [Kw] 3/2002 3-9. W. Sierpiński, The equation x 2 Dy 2 = 1, [S88] 88-100. J. H. Silverman, Pell s equation, [Sil1] 203-207; patrz również strony 208-224. A. Spivak, Równania Pella (po rosyjsku), [Kw] 6(2002) 10-15. J. Stillwell, The Pell equation, [Stil] 76-100. H. Wada, A note on the Pell equation, Tokyo J. Math. 2(1)(1979) 133-136.

Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 13 1.3 Opis wszystkich rozwiązań Rozpatrzmy równanie x 2 dy 2 = 1, w którym d jest niekwadratową liczbą naturalną. Już wiemy, że równanie to ma co najmniej jedno rozwiązanie naturalne. Najmniejsze rozwiązanie naturalne tego równania (patrz strona 9) oznaczać będziemy przez (x 1, y 1 ). 1.3.1. Powyższe równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. Każde rozwiązanie naturalne tego równania jest postaci (x n, y n ), gdzie n N, oraz x n, y n są takimi liczbami naturalnymi, że x n + y n d = (x 1 + y 1 d ) n. D. Oznaczmy: γ = x 1 + y 1 d. Ponieważ N d (x n + y n d) = Nd (γ n ) = N d (γ) n = 1 n = 1, więc każda para (x n, y n ) jest rozwiązaniem naturalnym rozpatrywanego równania. Przypuśćmy, że istnieje takie rozwiązanie naturalne (a, b), że liczba β = a + b d nie jest postaci γ n, gdzie n N. Ponieważ ciąg (γ n ) jest rozbieżny do nieskończoności, więc istnieje taka liczba naturalna n, że γ n < β < γ n+1. Rozpatrzmy liczbę η = β γ n. Niech η = u + v d, gdzie u, v Q. Zauważmy, że u 2 dv 2 = 1: Zauważmy również, że u 2 dv 2 = N d (η) = N d ( β γ n ) u + v d = η = = N d(β) N d (γ) n = 1 1 = 1. a + b d ( = a + b ) d )(x n y n d, x n + y n d więc u, v są liczbami całkowitymi. Ponadto, 1 < η = u + v d < γ. Z nierówności 1 < u + v d wynika (na mocy 1.1.9), że u, v są liczbami naturalnymi. Zatem para (u, v) jest rozwiązaniem naturalnym równania x 2 dy 2 = 1 i przy tym takim, że u + v d < γ = x 1 + y 1 d. Jest to sprzeczne z tym, że para (x 1, y 1 ) jest najmniejszym rozwiązaniem naturalnym badanego równania. 1.3.2. Niech d będzie niekwadratową liczbą naturalną i niech (x n, y n ) będzie ciągiem wszystkich rozwiązań naturalnych równania Pella x 2 dy 2 = 1 (patrz 1.3.1). Wtedy: x n = 1 2 ) n ) n ) ((x 1 + y 1 d + (x 1 y 1 d, y n = 1 2 ) n ( ((x 1 + y 1 d 3 2 ) n ) 2. d

14 Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 D. Działając operacją sprzężenia na równość x n + y n d = (x 1 + y 1 d ) n, otrzymujemy nową równość x n y n d = (x 1 y 1 d ) n i stąd mamy x n = (x n + y n d) + (xn y n d) 2 y n = (x n + y n d) (xn y n d) 2 d = 1 ) n ) n ) ((x 1 + y 1 d + (x 1 y 1 d, 2 = 1 2 ) n ) n ) ((x 1 + y 1 d (x 1 y 1 d. d W języku macierzowym twierdzenie 1.3.1 można sformułować w następujący sposób. 1.3.3. Każde rozwiązanie naturalne równania x 2 dy 2 = 1 jest postaci (x n, y n ), gdzie n N oraz [ ] [ ] [ ] xn 1 = M n u dv, gdzie M =, 0 v u y n przy czym (u, v) = (x 1, y 1 ) jest najmniejszym rozwiązaniem. Wyznacznik macierzy M jest równy 1. 1.3.4. Niech d = m 2 + 1. Rozpatrzmy równanie x 2 dy 2 = 1. Para (2m 2 + 1, 2m) jest rozwiązaniem tego równania. Jeśli para (a, b) jest rozwiązaniem, to para (a 2 + db 2, 2ab) również. ([S64] 133). 1.3.5. Niech d będzie niekwadratową liczbą naturalną i niech m 2 będzie dowolną liczbą naturalną. Istnieje wtedy nieskończenie wiele takich rozwiązań naturalnych (u, v) równania Pella x 2 dy 2 = 1, że liczba v jest podzielna przez m. D. Z twierdzeń 1.2.1 i 1.3.1 wynika, że równanie x 2 m 2 dy 2 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. Jeśli para (a, b) jest rozwiązaniem naturalnym tego równania, to para (a, mb) jest rozwiązaniem naturalnym równania x 2 dy 2 = 1. 1.3.6. Niech d będzie niekwadratową liczbą naturalną. Jeśli (u, v) jest rozwiązaniem naturalnym równania Pella x 2 dy 2 = 1, to istnieje nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych (x, y) takich, że liczba x jest podzielna przez u. D. Każde rozwiązanie naturalne równania x 2 dy 2 = 1 jest postaci oraz (x 1, y 1 ) jest najmniejszym rozwiązaniem naturalnym. W szczególności u + v ) n d = (x 1 + y 1 d ( x 1 + y 1 d ) n, gdzie n N dla pewnego n N. Niech u s + v s d = (u + v ) 2s+1 ( ) (2s+1)n d = x 1 + y 1 d, gdzie s N. Każda taka para (u s, v s ) jest rozwiązaniem naturalnym omawianego równania i przy tym ( ) ( ) ( ) 2s + 1 2s + 1 2s + 1 u s = u 2s+1 + u 2s 1 v 2 d + u 2s 3 v 4 d 2 + + u 1 v 2s d s, 2 4 2s a zatem u u s.

Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 15 1.3.7 (Hipoteza, Mordell 1960). Jeśli p jest liczbą pierwszą postaci 4k + 3 i (u, v) jest najmniejszym rozwiązaniem naturalnym równania x 2 py 2 = 1, to liczba v nie jest podzielna przez p. Istnieje podobna hipoteza dla pozostałych liczb pierwszych. ([Morl] 56). T. Andreescu, D. Andrica, Pell s type equations, [AnAn] 103-120, 183-189. L. J. Mordell, On a Pellian equation conjecture, [ActA] 6(1960) 137-144. L. J. Mordell, On a Pellian equation conjecture, [Jlms] 36(1961) 282-288. J. J. Tattersall, Pell s equation, [Tatt] 274-280. 1.4 Rozwiązania i ciągi rekurencyjne 1.4.1. Rozwiązania (x n, y n ), zdefiniowane w 1.3.1, spełniają zależność rekurencyjną: x n+1 = ux n + dvy n, y n+1 = vx n + uy n, dla n 0, gdzie (x 0, y 0 ) = (1, 0) oraz (u, v) = (x 1, y 1 ) jest najmniejszym rozwiązaniem. D. x n+1 + y n+1 d = (u + v ) n+1 ( d = u + v ) n ( d u + v ) d ) ( = (x n + y n d u + v ) d = (ux n + dvy n ) + (vx n + uy n ) d. 1.4.2. Niech d będzie niekwadratową liczbą naturalną i niech (x n, y n ) będzie ciągiem wszystkich rozwiązań naturalnych równania Pella x 2 dy 2 = 1 (patrz 1.3.1). Wtedy: x n+2 = 2ux n+1 x n, y n+2 = 2uy n+1 y n, dla n 0, gdzie u = x 1. ([Nar00] 84, [ME] 6(3)(2001)). D. Wiemy (patrz 1.4.1), że: x n+1 = ux n + dvy n, y n+1 = vx n + uy n, x n+2 = ux n+1 + dvy n+1, y n+2 = vx n+1 + uy n+1, gdzie (u, v) = (x 1, y 1 ). Stąd wynika, że: dvy n+1 = x n+2 ux n+1, vx n+1 = y n+2 uy n+1. Mamy więc: ux n+1 = u 2 x n + duvy n, dvy n+1 = dv 2 x n + duvy n, ux n+1 dvy n+1 = (u 2 dv 2 )x n = x n, ux n+1 (x n+2 ux n+1 ) = x n, czyli x n+2 = 2ux n+1 x n. Podobnie: vx n+1 = uvx n + dv 2 y n, uy n+1 = uvx n + u 2 y n, uy n+1 vx n+1 = (u 2 dv 2 )y n = y n, uy n+1 (y n+2 uy n+1 ) = y n, czyli y n+2 = 2uy n+1 y n.

16 Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 1.4.3. Niech d będzie niekwadratową liczbą naturalną i niech (x n, y n ) będzie ciągiem wszystkich rozwiązań naturalnych równania Pella x 2 dy 2 = 1 (patrz 1.3.1). Wtedy: x n+m = x n x m + dy n y m, y n+m = x n y m + x m y n, dla n, m N. W szczególności: x 2n = 2x 2 n 1, y 2n = 2x n y n, x 3n = 4x 3 n 3x n, y 3n = (4x 2 n 1)y n. ([Mon] 66(4)(4)(1959) 288-290). 1.4.4. Dla danego równania Pella x 2 dy 2 = 1 definiujemy rekurencyjnie ciąg (y n ) w następujący sposób: y 0 = 0, y 1 = v, y n+2 = 2uy n+1 y n, gdzie (u, v) jest najmniejszym rozwiązaniem naturalnym. Każda liczba postaci uy n + 1 jest wtedy liczbą kwadratową. Ponadto, jeśli uy + 1 (gdzie y N 0 ) jest liczbą kwadratową, to y = y n dla pewnego n N 0. ([Djuk]). G. N. Copley, Recurrence relations for solutions of Pell s equation, [Mon] 66(4)(1959) 288-290. 1.5 Rozwiązania i wielomiany Czebyszewa Przypomnijmy (patrz ( ) [N12]), że wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju nazywamy każdy wyraz ciągu T n (t) wielomianów z Z[t] zdefiniowanych następująco: T 0 (t) = 1, T 1 (t) = t, T n+2 (t) = 2tT n+1 T n (t). Natomiast wielomianem Czebyszewa drugiego rodzaju nazywamy każdy wyraz ciągu wielomianów z Z[t] zdefiniowanych następująco: U 0 (t) = 0, U 1 (t) = 1, U n+2 (t) = 2tU n+1 U n (t). ( ) U n (t) Podstawowe własności wielomianów T n (t) i U n (t) podane są w [N12]. Przypomnijmy, że deg T n (t) = n oraz deg U n (t) = n 1. 1.5.1. Niech d będzie niekwadratową liczbą naturalną i niech (u, v) będzie rozwiązaniem całkowitym równania Pella x 2 dy 2 = 1. Niech u n + v n d = (u + v ) n d ) dla n N 0. Wtedy każda para (u n, v n jest też rozwiązaniem całkowitym tego równania i zachodzi równość ) ( ) (u n, v n = T n (u), vu n (u), dla wszystkich n N 0. ([Barb] 37).

Równanie Pella 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 17 D. Ciągi (u n ) i (v n ) są takie, że u 0 = 1, v 0 = 0 oraz u n+1 = uu n + dvv n, v n+1 = vu n + uv n dla n 0. Stąd w szczególności wynika, że uu n = dvv n + u n 1, uv n = vu n + v n 1, dla n 1. Mamy zatem (T 0 (u), vu 0 (u)) = (1, 0) = (u 0, v 0 ) oraz (T 1 (u), vu 1 (u)) = (u, v) = (u 1, v 1 ). Krok indukcyjny: T n+1 (u) = 2uT n (u) T n 1 (u) = 2uu n u n 1 = (uu n + dvv n ) + (uu n dvv n u n 1 ) = u n+1 + 0 = u n+1, vu n+1 (u) = v (2uU n (u) U n 1 (u)) = 2uv n v n 1 = (uv n + u n v) + (uv n u n v v n 1 ) = v n+1 + 0 = v n+1. Zatem (u n+1, v n+1 ) = (T n+1 (u), vu n+1 (u)). Z powyższego twierdzenia wynikają następujące dwa stwierdzenia. 1.5.2. Niech d będzie niekwadratową liczbą naturalną i niech (u, v) będzie rozwiązaniem naturalnym równania Pella x 2 dy 2 = 1. Wtedy każda para ( ) T n (u), vu n (u), gdzie n N, również jest rozwiązaniem naturalnym tego równania. 1.5.3. Niech d będzie niekwadratową liczbą naturalną i niech (x 1, y 1 ) będzie najmniejszym rozwiązaniem naturalnym równania ( Pella x 2 ) dy 2 = 1. Wtedy każde rozwiązanie naturalne tego równania jest postaci T n (x 1 ), y 1 U n (x 1 ), gdzie n N. Z opisu 1.5.3 wynika interesująca własność dotycząca rozwiązań naturalnych równania Pella. 1.5.4. Niech d będzie niekwadratową liczbą naturalną i niech m 2 będzie dowolną liczbą naturalną. Istnieje wtedy nieskończenie wiele takich rozwiązań naturalnych (x, y) równania Pella x 2 dy 2 = 1, w których liczba y jest podzielna przez m. Co więcej, istnieje nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych (x, y) równania Pella x 2 dy 2 = 1 takich, że x 1 (mod m) oraz y 0 (mod m). ([Barb]). D. Istnienie rozwiązania (x, y), z liczbą y podzielną przez m, wykazaliśmy już w 1.3.5. Wiadomo (patrz [N12]), że dla każdej liczby całkowitej a istnieje liczba naturalna n taka, że T n (a) 1 (mod m) oraz U n (a) 0 (mod m). W szczególności takie n istnieje dla a = x 1, gdzie (x 1, y 1 ) jest najmniejszym rozwiązaniem naturalnym równania x 2 dy 2 = 1. Teraz teza wynika z 1.5.3. Omawianych rozwiązań istnieje oczywiście nieskończenie wiele.

18 Równanie Pella. 1. Równanie x 2 - dy 2 = 1 1.6 Historia i uzupełniające informacje W pewnych książkach i opracowaniach można znaleźć informację o tym, że Pell nie miał nic wspólnego z omawianym równaniem. Przeczytajmy na przykład zdania z artykułu [Len2]: The English mathematician John Pell (1610 1685) has nothing to do with the equation. Euler (1707 1783) mistakenly attributed to Pell a solution method that had in fact been found by another English mathematician, William Brouncker (1620 1684), in response to a challenge by Fermat (1601 1665), but attempts to change the terminology introduced by Euler have always proved futile. Historia dotycząca równania Pella jest szczegółowo przedstawiona w książce Whitforda [Whit] z 1912 roku. Istnieją również inne książki i artykuły, w których ta historia jest opisana. W książce Nagella [Nagl] z 1964 roku na stronie 197 jest informacja, że twierdzenie 1.2.1 (o istnieniu rozwiązań) sformułował bez dowodu Fermat w 1657 roku. Pierwszy kompletny dowód podał w 1768 roku Lagrange. Dowód, który tutaj przedstawiliśmy podał Dirichlet. Równanie Pella x 2 dy 2 = 1 nazywane jest również równaniem Fermata ([Buch] 305-307, [Shan] 171-193, [Coh1] 354) lub równaniem Bhaskara ([Whit], [Gy04]). H. Davenport, Pell s equation, [Dave] 107-111. L. E. Dickson, Pell equation, [Dic2] 341-400. M. J. Jacobson Jr., H. C. Williams, Early history of the Pell equation, [JacH] 16-41. W podanym tutaj dowodzie twierdzenia 1.2.1, o istnieniu rozwiązań naturalnych, istotną rolę odgrywał lemat Dirichleta 1.2.2, mówiący o tym, że jeśli λ R i n N, to istnieją takie liczby całkowite a, b, że 1 b n oraz bλ a 1 n+1. Istnieją pewne uogólnienia tego lematu. 1.6.1. Niech λ 1,..., λ k będą liczbami rzeczywistymi i niech n będzie liczbą naturalną. Istnieją wtedy liczby całkowite a, b 1,..., b k takie, że: (1) co najmniej jedna z liczb a, b 1,..., b k jest różna od zera, (2) b i n dla i = 1,..., k, (3) b 1 λ 1 + b 2 λ 2 + + b k λ k a 1. ([Kw] 6(2002) 13). 1 + nk 1.6.2. Niech λ 1,..., λ k będą liczbami rzeczywistymi i niech n będzie liczbą naturalną. Istnieje wtedy taka liczba naturalna b, że dla wszystkich i = 1,..., k. ([Kw] 6(2002) 13). b n k oraz {bλ i } 1 n

2 Najmniejsze rozwiązania równania x 2 - dy 2 = 1 Najmniejsze rozwiązania naturalne, mające mniej niż 10 cyfr, równań x 2 dy 2 = 1 dla niekwadratowych d 1000. d (x, y) 2 (3, 2) 3 (2, 1) 5 (9, 4) 6 (5, 2) 7 (8, 3) 8 (3, 1) 10 (19, 6) 11 (10, 3) 12 (7, 2) 13 (649, 180) 14 (15, 4) 15 (4, 1) 17 (33, 8) 18 (17, 4) 19 (170, 39) 20 (9, 2) 21 (55, 12) 22 (197, 42) 23 (24, 5) 24 (5, 1) 26 (51, 10) 27 (26, 5) 28 (127, 24) 29 (9801, 1820) 30 (11, 2) 31 (1520, 273) 32 (17, 3) 33 (23, 4) 34 (35, 6) 35 (6, 1) 37 (73, 12) 38 (37, 6) 39 (25, 4) 40 (19, 3) 41 (2049, 320) 42 (13, 2) 43 (3482, 531) 44 (199, 30) 45 (161, 24) 46 (24335, 3588) 47 (48, 7) 48 (7, 1) 50 (99, 14) 51 (50, 7) 52 (649, 90) 53 (66249, 9100) 54 (485, 66) 55 (89, 12) 56 (15, 2) 57 (151, 20) 58 (19603, 2574) 59 (530, 69) 60 (31, 4) 62 (63, 8) 63 (8, 1) 65 (129, 16) 66 (65, 8) 67 (48842, 5967) 68 (33, 4) 69 (7775, 936) 70 (251, 30) 71 (3480, 413) 72 (17, 2) 73 (2281249, 267000) 74 (3699, 430) 75 (26, 3) 76 (57799, 6630) 77 (351, 40) 78 (53, 6) 79 (80, 9) 80 (9, 1) 82 (163, 18) 83 (82, 9) 84 (55, 6) 85 (285769, 30996) 86 (10405, 1122) 87 (28, 3) 88 (197, 21) 89 (500001, 53000) 90 (19, 2) 91 (1574, 165) 92 (1151, 120) 93 (12151, 1260) 94 (2143295, 221064) 95 (39, 4) 96 (49, 5) 97 (62809633, 6377352) 98 (99, 10) 99 (10, 1) 101 (201, 20) 102 (101, 10) 103 (227528, 22419) 104 (51, 5) 105 (41, 4) 106 (32080051, 3115890) 107 (962, 93) 108 (1351, 130) 110 (21, 2) 111 (295, 28) 112 (127, 12) 113 (1204353, 113296) 114 (1025, 96) 115 (1126, 105) 116 (9801, 910) 117 (649, 60) 118 (306917, 28254) 119 (120, 11) 120 (11, 1) 122 (243, 22) 123 (122, 11) 124 (4620799, 414960) 125 (930249, 83204) 126 (449, 40) 127 (4730624, 419775) 128 (577, 51) 129 (16855, 1484) 130 (6499, 570) 131 (10610, 927) 132 (23, 2) 133 (2588599, 224460) 134 (145925, 12606) 135 (244, 21) 136 (35, 3) 137 (6083073, 519712) 138 (47, 4) 139 (77563250, 6578829) 140 (71, 6) 141 (95, 8) 142 (143, 12) 143 (12, 1) 145 (289, 24) 146 (145, 12) 147 (97, 8) 148 (73, 6) 150 (49, 4) 152 (37, 3) 153 (2177, 176) 154 (21295, 1716) 155 (249, 20) 156 (25, 2) 158 (7743, 616) 159 (1324, 105) 160 (721, 57) 161 (11775, 928) 162 (19601, 1540) 163 (64080026, 5019135) 164 (2049, 160) 165 (1079, 84) 167 (168, 13) 168 (13, 1) 170 (339, 26) 171 (170, 13) 172 (24248647, 1848942) 173 (2499849, 190060) 174 (1451, 110) 175 (2024, 153) 176 (199, 15) 177 (62423, 4692) 178 (1601, 120) 179 (4190210, 313191) 180 (161, 12) 19

20 Równanie Pella 2. Najmniejsze rozwiązania równania x 2 - dy 2 = 1 182 (27, 2) 183 (487, 36) 184 (24335, 1794) 185 (9249, 680) 186 (7501, 550) 187 (1682, 123) 188 (4607, 336) 189 (55, 4) 190 (52021, 3774) 191 (8994000, 650783) 192 (97, 7) 194 (195, 14) 195 (14, 1) 197 (393, 28) 198 (197, 14) 200 (99, 7) 201 (515095, 36332) 202 (19731763, 1388322) 203 (57, 4) 204 (4999, 350) 205 (39689, 2772) 206 (59535, 4148) 207 (1151, 80) 208 (649, 45) 209 (46551, 3220) 210 (29, 2) 212 (66249, 4550) 213 (194399, 13320) 215 (44, 3) 216 (485, 33) 217 (3844063, 260952) 218 (126003, 8534) 219 (74, 5) 220 (89, 6) 221 (1665, 112) 222 (149, 10) 223 (224, 15) 224 (15, 1) 226 (451, 30) 227 (226, 15) 228 (151, 10) 229 (5848201, 386460) 230 (91, 6) 231 (76, 5) 232 (19603, 1287) 234 (5201, 340) 235 (46, 3) 236 (561799, 36570) 237 (228151, 14820) 238 (11663, 756) 239 (6195120, 400729) 240 (31, 2) 242 (19601, 1260) 243 (70226, 4505) 245 (51841, 3312) 246 (88805, 5662) 247 (85292, 5427) 248 (63, 4) 249 (8553815, 542076) 250 (39480499, 2496966) 251 (3674890, 231957) 252 (127, 8) 254 (255, 16) 255 (16, 1) 257 (513, 32) 258 (257, 16) 259 (847225, 52644) 260 (129, 8) 261 (192119201, 11891880) 262 (104980517, 6485718) 263 (139128, 8579) 264 (65, 4) 265 (73738369, 4529712) 266 (685, 42) 267 (2402, 147) 269 (13449, 820) 270 (5291, 322) 272 (33, 2) 273 (727, 44) 274 (3959299, 239190) 275 (199, 12) 276 (7775, 468) 278 (2501, 150) 279 (1520, 91) 280 (251, 15) 282 (2351, 140) 283 (138274082, 8219541) 284 (24220799, 1437240) 285 (2431, 144) 286 (561835, 33222) 287 (288, 17) 288 (17, 1) 290 (579, 34) 291 (290, 17) 292 (2281249, 133500) 293 (12320649, 719780) 294 (4801, 280) 295 (2024999, 117900) 296 (3699, 215) 297 (48599, 2820) 299 (415, 24) 300 (1351, 78) 302 (4276623, 246092) 303 (2524, 145) 304 (57799, 3315) 305 (489, 28) 306 (35, 2) 307 (88529282, 5052633) 308 (351, 20) 310 (848719, 48204) 311 (16883880, 957397) 312 (53, 3) 314 (392499, 22150) 315 (71, 4) 316 (12799, 720) 318 (107, 6) 319 (12901780, 722361) 320 (161, 9) 321 (215, 12) 322 (323, 18) 323 (18, 1) 325 (649, 36) 326 (325, 18) 327 (217, 12) 328 (163, 9) 329 (2376415, 131016) 330 (109, 6) 332 (13447, 738) 333 (73, 4) 335 (604, 33) 336 (55, 3) 338 (114243, 6214) 339 (97970, 5321) 340 (285769, 15498) 341 (10626551, 575460) 342 (37, 2) 343 (130576328, 7050459) 344 (10405, 561) 345 (6761, 364) 346 (17299, 930) 347 (641602, 34443) 348 (1567, 84) 349 (169648201, 9081060) 350 (449, 24) 351 (62425, 3332) 352 (77617, 4137) 354 (258065, 13716) 355 (954809, 50676) 356 (500001, 26500) 357 (3401, 180) 359 (360, 19) 360 (19, 1) 362 (723, 38) 363 (362, 19) 364 (4954951, 259710) 365 (23915529, 1251796) 366 (907925, 47458) 368 (1151, 60) 369 (8396801, 437120) 370 (213859, 11118) 371 (1695, 88) 372 (12151, 630) 373 (52387849, 2712540) 374 (3365, 174) 375 (15124, 781) 376 (2143295, 110532) 377 (233, 12) 378 (8749, 450) 380 (39, 2) 381 (1015, 52) 383 (18768, 959) 384 (4801, 245) 385 (95831, 4884) 386 (111555, 5678) 387 (3482, 177) 388 (62809633, 3188676) 389 (3287049, 166660) 390 (79, 4) 391 (7338680, 371133) 392 (99, 5) 393 (46437143, 2342444) 395 (159, 8) 396 (199, 10) 398 (399, 20) 399 (20, 1) 401 (801, 40) 402 (401, 20) 403 (669878, 33369) 404 (201, 10) 405 (161, 8) 406 (59468095, 2951352) 407 (2663, 132) 408 (101, 5) 410 (81, 4) 411 (49730, 2453) 413 (113399, 5580) 414 (24335, 1196) 415 (18412804, 903849)