Podróże po Imperium Liczb Część 4 Liczby pierwsze Andrzej Nowicki

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część 4 Liczby pierwsze Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012

2 PRI - 45(762)

3 Spis treści Wstęp 1 1 Cyfry liczb pierwszych Początkowe liczby pierwsze Liczby pierwsze postaci aa...ab Liczby pierwsze postaci abb...b Liczby pierwsze postaci abb...bc Liczby pierwsze postaci baa...ab Palindromiczne liczby pierwsze Absolutne liczby pierwsze Cyfry potęg liczb pierwszych Liczby pierwsze utworzone z kolejnych liczb naturalnych Liczby pierwsze utworzone z kolejnych liczb nieparzystych Jednolite liczby pierwsze Początkowe i koṅcowe cyfry liczb pierwszych Informacje i ciekawostki o liczbach pierwszych Równoważne warunki na pierwszość Przykłady i własności Rozkłady na iloczyn liczb pierwszych Liczby pierwsze i podzielność Sumy i różnice liczb pierwszych Hipoteza Goldbacha Najmniejsze i największe dzielniki pierwsze Liczby pierwsze i liczby względnie pierwsze Funkcja π Różne fakty i zadania o liczbach pierwszych Liczby pierwsze szczególnej postaci Liczby pierwsze Germain Liczby postaci p ± n Pary liczb pierwszych bliźniaczych Czworaczki, pięcioraczki, itp Liczby pierwsze postaci n Liczby złożone Przykłady liczb złożonych Liczby złożone i bazowe systemy kongruencji Własności liczb złożonych Ciągi liczb złożonych Istnienie pewnych liczb złożonych Liczby złożone i kwadraty Liczby drugie, trzecie, czwarte, Różne fakty i zadania o liczbach złożonych Ciąg kolejnych liczb pierwszych Twierdzenie Czebyszewa (Postulat Bertranda) Ciąg (p n ) Różnice p n+1 - p n Liczby pierwsze postaci p# ± Sumy algebraiczne liczb postaci p n i

4 6 Liczby pierwsze w postępach arytmetycznych Twierdzenie Dirichleta Liczby pierwsze postaci ak + b Skończone ciągi kolejnych liczb naturalnych i liczby pierwsze Kolejne wyrazy skończonych ciągów arytmetycznych Skończone postępy arytmetyczne liczb pierwszych Uogólnione postępy arytmetyczne liczb pierwszych Twierdzenie Baloga i jego uogólnienia Nieskończone postępy arytmetyczne i liczby pierwsze Szczególne przypadki twierdzenia Dirichleta Nieskończoność zbioru liczb pierwszych Liczby postaci pk+1, gdzie p jest liczbą pierwszą Liczby postaci ak+1, gdzie a jest liczbą naturalną Liczby postaci 2 m k k + r k + r ak + r, dla a= 5, 6, k + r ak + r, dla a > Małe Twierdzenie Fermata i Twierdzenie Eulera Małe twierdzenie Fermata Twierdzenie Eulera Wzmocniona wersja twierdzenia Eulera Zastosowania Rzędy (wykładniki) liczb modulo m Zadania różne Liczby S-pierwsze Ogólne fakty o liczbach S-pierwszych Podzbiory multyplikatywne M n Przykłady dla podzbiorów M n Przykłady dla innych podzbiorów multyplikatywnych Liczby pierwsze i nierozkładalne wielomiany Liczba liczb pierwszych w obrazie i nierozkładalność Przykłady wielomianów nierozkładalnych z liczbami pierwszymi Pierwiastki zespolone wielomianów o współczynnikach całkowitych Kryterium nierozkładalności z liczbami pierwszymi Liczby pierwsze i wartości wielomianów Liczby złożone jako wartości wielomianów Liczby pierwsze jako wartości wielomianów Podzielniki pierwsze wartości wielomianu Trójmiany kwadratowe i liczby pierwsze Spis cytowanej literatury 117 Skorowidz nazwisk 123 Skorowidz 127 ii

5 Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. 1

6 Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

7 o o o o o W czwartej książce z serii Podróże po Imperium Liczb zajmujemy się liczbami pierwszymi, czyli liczbami naturalnymi takimi jak 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,. Są to takie liczby naturalne większe od jedynki, które nie dzielą się przez żadną mniejszą od nich liczbę naturalną większą od jedynki. Książka ta składa się z jedenastu rozdziałów. W rozdziale pierwszym patrzymy na cyfry liczb pierwszych zapisanych w dziesiętnym systemie numeracji. Podajemy różne przykłady liczb pierwszych o szczególnym rozmieszczeniu cyfr. Spotkamy się w tym rozdziale, na przykład, z liczbami pierwszymi i , powstałymi przez sklejenie cyfr kolejnych liczb naturalnych odpowiednio od 2008 do 2023 i od 2009 do Pierwsza z tych liczb ma 64 cyfry, a druga 164. W rozdziale drugim podajemy pewne informacje, fakty i ciekawostki o liczbach pierwszych. Mówimy tu, między innymi, o hipotezie Goldbacha z 1742 roku, o największych i najmniejszych dzielnikach pierwszych oraz o pewnych twierdzeniach stowarzyszonych z funkcją π. W rozdziale trzecim zajmujemy się liczbami pierwszymi szczególnej postaci. Rozpoczynamy ten rozdział od omówienia liczb pierwszych Germain, czyli takich liczb pierwszych p, dla których 2p + 1 też jest liczbą pierwszą. Następnie zajmujemy się liczbami pierwszymi postaci p ± n 2 oraz postaci n Mówimy tu również o parach liczb pierwszych bliźniaczych oraz o czworaczkach, pięcioraczkach, itp. Skoro są liczby pierwsze, to możnaby się spytać czy są liczby drugie, trzecie itp. W jednym z podrozdziałów rozdziału czwartego mówimy, że liczba naturalna jest druga, jeśli jest iloczynem dokładnie dwóch (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych. Dla przykładu liczby 4 = 2 2, 6 = 2 3, 9 = 3 2, 10 = 2 5, 14 = 2 7 i 15 = 3 5 są drugie. Mówimy, że dana liczba naturalna jest trzecia, jeśli jest iloczynem dokładnie trzech (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych. Dla przykładu liczby 8 = 2 3, 12 = 2 2 3, 18 = 2 3 2, 20 = i 27 = 3 3 są trzecie. Analogicznie wprowadzamy liczby czwarte, piąte, itd. Wszystkie tego rodzaju liczby naturalne są większe od jedynki i nie są liczbami pierwszymi, czyli są to tzw. liczby złożone, którym poświęcony jest cały rozdział czwarty. Istnieją pewne klasyczne twierdzenia o liczbach pierwszych. Do takich twierdzeń zaliczamy: twierdzenie Czebyszewa o istnieniu liczb pierwszych w przedziałach (n, 2n), twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w postępie arytmetycznym, małe twierdzenie Fermata wraz z jego uogólnieniem czyli twierdzeniem Eulera. W rozdziałach 5, 6, 7 i 8 zajmujemy się tymi czterema klasycznymi twierdzeniami i ich różnymi zastosowaniami. Pokazujemy, że twierdzenie Czebyszewa wynika szybko z hipotezy Goldbacha i wykazujemy, że twierdzenie Eulera jest konsekwencją małego twierdzenia Fermata. W rozdziale 7 przedstawiamy dowody szczególnych przypadków twierdzenia Dirichleta. Podajemy tu również pewne znane dowody na to, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Jednym z klasycznych twierdzeń o liczbach pierwszych jest twierdzenie Wilsona (jeśli p jest liczbą pierwszą, to liczba (p 1)! + 1 jest podzielna przez p). Tym twierdzeniem się tutaj nie zajmujemy. Mówić o nim będziemy w jednej z następnych książek z serii Podróże po Imperium Liczb, poświęconej symbolom Newtona. 3

8 W 2005 roku B.Green i T.Tao udowodnili, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje nieskończenie wiele n-wyrazowych postępów arytmetycznych utworzonych z parami różnych liczb pierwszych. Z twierdzenia tego wynika, na przykład, twierdzenie A. Baloga, z 1990, że dla każdej liczby naturalnej n 2 istnieją liczby pierwsze p 1 < p 2 < < p n takie, że każda średnia arytmetyczna postaci p i+p j 2 też jest liczbą pierwszą. W 2008 roku pojawił się piękny artykuł A. Granville a ([Gr08]), w którym przedstawiono różne zaskakujące zastosowania twierdzenia Greena i Tao. Tego typu zagadnieniniami zajmujemy się, między innymi, w rozdziale szóstym. Mówimy, że podzbiór S zbioru wszystkich liczb naturalnych jest multyplikatywny, jeśli do niego należy jedynka i jest zamknięty ze względu na mnożenie (tzn. jeśli a, b S, to ab S). Załóżmy, że S jest takim multyplikatywnym podzbiorem. Mówimy wtedy, że liczba naturalna p 2 jest S-pierwsza jeśli należy do S i nie jest iloczynem dwóch liczb ze zbioru S mniejszych od niej. Łatwo wykazać, że każda, różna od jedynki, liczba należąca do zbioru S jest iloczynem liczb S-pierwszych. Nie jest na ogół jednak prawdą, że taki rozkład na iloczyn liczb S-pierwszych jest jednoznaczny. Różnymi problemami, związanymi z tym zagadnieniem, zajmujemy się w rozdziale dziewiątym. W dwóch ostatnich rozdziałach oprócz liczb pierwszych pojawiają się wielomiany jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych. Badamy tu, między innymi, liczby pierwsze należące do zbioru wartości danego wielomianu oraz podajemy, wraz z dokładnymi dowodami, pewne znane fakty o liczbach pierwszych i wielomianach nierozkładalnych. 4

9 1 Cyfry liczb pierwszych 1.1 Początkowe liczby pierwsze L. Caners, On tables of factors and primes, [Mon] 63(7)(1956) Tablica liczb pierwszych do , [Dlt] 12/88, okładka. 5

10 6 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Tablica wszystkich liczb pierwszych mniejszych od znajduje się na internetowej stronie autora Mówi się (patrz [Yat4], [Yat5]), że liczba pierwsza jest tytaniczna (ang. titanic prime) jeśli w zapisie dziesiętnym ma co najmniej tysiąc cyfr. Mówi się również liczba pierwsza jest gigantyczna (ang. gigantic prime) jeśli w zapisie dziesiętnym ma co najmniej 10 tysięcy cyfr ([Yat2b], [Ca06], [Ca07], [Ca08]). Pewne fakty przedstawione w tym rozdziale, pochodzą z artykułu autora [No-0]. 1.2 Liczby pierwsze postaci aa...ab Liczby 2221, , , mające odpowiednio 3, 17, 99 dwójek, są jedynymi liczbami pierwszymi, których wszystkie cyfry, oprócz ostatniej, są dwójkami, do 100 dwójek włącznie, a ostatnią cyfrą jest jedynka. (Maple) Liczby 31, 331, 3331, 33331, , , są pierwsze. Następna liczba już nie jest pierwsza, dzieli się przez 17. ([Ca06]) Wszystkimi liczbami pierwszymi postaci a n = } 33 {{... 3} 1, dla n 100, są liczby a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 17, a 39, a 49, a 59, a 77, a 100. (Maple) Liczby 41, 441, 44 }{{... 4} 1, 44 }{{... 4} 1, 44 }{{... 4} 1, 44 }{{... 4} 1 są pierwsze. Są to wszystkie 10 liczby pierwsze tego rodzaju do 100 czwórek włącznie. (Maple) n Następująca tabelka przedstawia wszystkie liczby pierwsze postaci aa }{{... a} 1, gdzie a = 2, 3,..., 9, n 100. n a n 2 3, 17, , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 17, 39, 49, 59, 77, , 2, 10, 27, 54, , , 2, 3, 9, 17, 20, 21, 27, 42, , 12, 19, 22, 30, , 18, , 4, 6, 32, 44 Z tabelki tej odczytujemy, dla przykładu, że liczby 991, 99991, , 99 }{{... 9} 1, } 99 {{... 9} 1, są pierwsze. Są to jedyne liczby pierwsze tego rodzaju do 60 dziewiątek włącznie. (Maple) Tabelki dla liczb postaci xx }{{... x} 3, yy... y 7, zz }{{}}{{... z} 9, n 101. (Maple). n n n x n 1 1, 2, 4, 8, 10, 23, , 2, 7, 10, 35, 94, , 2, 5, 8, 11, 29, , 7, 25, 65, , 2, 4, 8, 11, 14, , 2, 4, 7, 8, 14, 50, 70, 76 9 y n 1 1, 3, 4, 7, 22, 28, , 8, 14, 27, , 2, 5, , 3, 9, 19, , 3, 5, 9, 14, 21, , 5, 7, 8, 10, 19, 22, 40, 62, , 3, 5, 8, 11, , 2, 16 z n 1 1, 4, 5, 7, 16, , 2, 4, , 4, 5, , 7, 11, 17, 25, , 65, 85, 89, , 13, 16, 34 9

11 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych 7 Widzimy, w szczególności, że liczby 13, 113, 11113, } 11 {{... 1 } 3, 11 }{{... 1 } 3, 11 }{{... 1 } 3, 11 }{{... 1 } 3, są pierwsze. Są to jedyne liczby pierwsze tego rodzaju do 101 jedynek włącznie. Z tabelek tych odczytujemy podobną informację o liczbach: 67, , } 66 {{... 6 } 7, } 66 {{... 6 } 7, 66 }{{... 6 } 7, 66 }{{... 6 } 7, 66 }{{... 6 } 7, 66 }{{... 6 } 7, 66 }{{... 6 } 7, 66 }{{... 6 } Liczby pierwsze postaci abb...b Liczby 211, , , , mające odpowiednio 2, 5, 10, 11 jedynek, są liczbami pierwszymi. (Maple) Następujące tabelki przedstawiają wszystkie liczby pierwsze postaci t 11 }{{... 1}, x 33 }{{... 3}, y 77 }{{... 7}, z 99 }{{... 9}, dla n 100. n n n n t n 1 1, 18, , 3, 12, 18, 23, , 5, 10, 11, 13, 34, 47, 52, 77, , 13, 25, , 12, 15, , 7, 25, , , 3, , 5, 20, 41, 47, 92 x n 1 15, 41, 83, , 3, 4, 10, 16, 22, 53, 91, , 16, 31, 37, 55, , 13, 25, , 3, 5, 53, , 23, 29 9 y n 1 3, 9, 13, 42, 51, 54, , 3, 9, 15, 18, 36, , , 13, 25, , 8, 14, 17, 18, 33, , 4, 10, 13, , 9, 15, 32, 38, , 4, 19, 28, 73 z n 1 2, 3, 5, 7, 26, 27, , 6, 7, 19, 27, 43, , 3, 4, 6, 14, , 4, 5, 7, 10, 13, 22, 23, 28, 34, 40, 61, , 5, 8, 10, 25, 49, , 7, 19, 29, 37, Liczby pierwsze postaci abb...bc Liczby 3001, , , , mające odpowiednio 2, 6, 9, 27 zer, są liczbami pierwszymi. (Maple) Następujące tabelki przedstawiają wszystkie liczby pierwsze postaci a 00 }{{... 0} b, dla n 100. n

12 8 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych (a, b) n (1, 1) 0, 1 (2, 1) (3, 1) 2, 6, 9, 27, 35, 66, 80 (4, 1) 1, 2, 12 (5, 1) (6, 1) 1, 7, 8, 14, 19, 25, 37, 44, 64 (7, 1) 1, 2, 3, 4, 7, 8, 44 (8, 1) (9, 1) 2, 3, 4, 8, 21, 26, 35, 56, 61, 77 x n (1, 3) 1, 4, 5, 10, 16, 17, 38, 55, 100 (2, 3) 2, 4, 5, 6, 11, 15, 16, 21, 23, 34 (3, 3) (4, 3) 2, 6, 9, 39 (5, 3) 2, 4, 5, 6, 11, 15, 16, 21, 23, 34 (6, 3) (7, 3) 3, 5, 15, 21, 38 (8, 3) 30 (9, 3) z n (1, 9) 1, 2, 3, 8, 17, 21, 44, 48, 55, 68 (2, 9) 4, 24 (3, 9) (4, 9) 1, 3, 4, 7, 8, 27 (5, 9) 1, 2, 4, 7, 19, 28, 85 (6, 9) (7, 9) 1, 3, 5, 10, 11, 12, 34, 45, 56 (8, 9) 1, 2, 5, 11, 19, 20, 36, 41, 59, 97, 99 (9, 9) y n (1, 7) 1, 3, 7, 8, 23, 59 (2, 7) (3, 7) 1, 4, 7, 23, 28, 83 (4, 7) 1, 8, 38 (5, 7) (6, 7) 1, 2, 7, 8, 18, 57 (7, 7) (8, 7) (9, 7) 1, 2, 3, 4, 14, 18, 19, 45, 51, Pewne liczby pierwsze postaci abb... bc , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} , }{{} (Maple). }{{}

13 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Liczby pierwsze postaci baa...ab Nie istnieje żadna liczba pierwsza postaci Każda bowiem taka liczba jest podzielna przez Liczby 131, 13331, , , mające odpowiednio 1, 3, 5, 93 trójek, są jedynymi liczbami pierwszymi, których wszystkie cyfry, oprócz pierwszej i ostatniej, są trójkami, do 100 trójek włącznie, a pierwszą i ostatnią cyfrą jest jedynka. (Maple) Następujące tabelki przedstawiają wszystkie liczby pierwsze postaci 1 tt }{{... } t 1, 3 xx }{{... x} 3, 7 yy... y 7, 9 zz }{{}}{{... z} 9, dla n 100. n n n n t n 1 0, 17, , 3, 5, , , 3, 19, , 11, 15, 17, 35, 51, 71, , , 7, 13, 39, , 3, 7, 39, 85 x n 1 1, 11, 13, , , , , 13, 53, 67, 83, , 11, 29, 59 9 y n 1 2 1, 3, 7, 27, , , 3, 9, 19, 21, 57, 73, , 5, 53, , 3, , 3, 27 z n , 5, , 71, Nie ma liczb pierwszych postaci i nie ma liczb pierwszych postaci D. Każda liczba takiej postaci jest podzielna przez 11. W rozdziale o liczbach żłożonych (patrz i 4.2.2) udowodnimy: Nie ma liczb pierwszych postaci oraz Niech d n = 7 11 }.{{.. 11} 7. Nie znam odpowiedzi na następujące pytanie. n Czy istnieją liczby pierwsze postaci d n? Łatwo sprawdzić, że jeśli n jest parzyste, to liczba d n jest podzielna przez 11. Jeśli n 1 (mod 3), to 3 d n. Jeśli n 5 (mod 6), to 13 d n. Kłopoty są w przypadku gdy n jest nieparzystą liczbą podzielną przez 3. Przykłady: d 9 = , d 33 = Sprawdzono, za pomocą Maple, że d n nie jest liczbą pierwszą gdy n 134. Tablica liczb pierwszych zbudowanych z dwóch cyfr znajduje się na internetowej stronie autora

14 10 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych 1.6 Palindromiczne liczby pierwsze Mówimy, że dana liczba naturalna n jest palindromiczna (patrz [Ri97], [Rabc], [N-2]) jeśli pokrywa się z liczbą mającą cyfry liczby n zapisane w odwrotnym kierunku. Przykłady: 676, , W poprzednim rozdziale zajmowaliśmy się palindromicznymi liczbami pierwszymi postaci baa... aab. Teraz podamy inne przykłady palindromicznych liczb pierwszych. Do powstania tych przykładów przyczyniły się komputery i Maple Każda liczba palindromiczna o parzystej liczbie cyfr jest podzielna przez 11. Palindromiczne liczby pierwsze (oprócz 11) mają więc nieparzystą liczbę cyfr Wszystkie trzycyfrowe palindromiczne liczby pierwsze (jest ich 15) : 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, Wszystkie pięciocyfrowe palindromiczne liczby pierwsze (jest ich 93) : 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, 19991, 30103, 30203, 30403, 30703, 30803, 31013, 31513, 32323, 32423, 33533, 34543, 34843, 35053, 35153, 35353, 35753, 36263, 36563, 37273, 37573, 38083, 38183, 38783, 39293, 70207, 70507, 70607, 71317, 71917, 72227, 72727, 73037, 73237, 73637, 74047, 74747, 75557, 76367, 76667, 77377, 77477, 77977, 78487, 78787, 78887, 79397, 79697, 79997, 90709, 91019, 93139, 93239, 93739, 94049, 94349, 94649, 94849, 94949, 95959, 96269, 96469, 96769, 97379, 97579, 97879, 98389, Przykłady czterech palindromicznych liczb pierwszych tworzących ciąg arytmetyczny: ([MM] 29(2)(1955) s.110) , 13331, 16361, 19391; 13931, 14741, 15551, 16361; 70607, 73637, 76667, 79697; 94049, 94349, 94649, Palindromiczne liczby i są pierwsze Palindromiczne liczby pierwsze: , , , , , , , , , Przykłady palindromicznych liczb pierwszych:

15 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Następne przykłady palindromicznych liczb pierwszych: Kolejne przykłady palindromicznych liczb pierwszych: Wszystkie palindromiczne liczby pierwsze, odpowiednio 7, 9 i 11-to cyfrowe, zbudowane tylko z cyfr 1 i Nie ma tego rodzaju liczb pierwszych 13-to cyfrowych. Jest natomiast 10 takich liczb 15-to cyfrowych i tyleż samo 17-to cyfrowych. Oto one: Każda liczba ciągu 121, 11211, ,... jest złożona. ([PaT2]).

16 12 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Palindromiczne liczby pierwsze zbudowane z zer i jedynek Wśród liczb postaci tylko 101 jest liczbą pierwszą. ([Putn] 1990). D. 101 jest oczywiście liczbą pierwszą. Jeśli n jest nieparzyste, to liczba postaci 100 n n jest podzielna przez 101. Jeśli natomiast n jest parzyste, to liczba taka jest podzielna przez 10 n + 10 n Każda liczba postaci 10001, , ,... jest złożona. ([Mat] 1/51 42, 59). U = , = , = Każda liczba postaci , , ,... jest złożona. ([Mat] 1/54 57, [Mat] 1/51 44) Przykłady palindromicznych liczb pierwszych zbudowanych z dwóch cyfr: , , , 131, , , 151, , , , , , , 181, 18181, , 191, , 19991, H. Gabai, D. Coogan, On palindromes and palindromic primes, [MM] 42(5)(1969) Tablica palindromicznych liczb pierwszych (do 9-cyfrowych włącznie) znajduje się na internetowej stronie autora

17 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Absolutne liczby pierwsze Mówimy, że liczba pierwsza jest absolutna jeśli pozostaje pierwsza przy każdej permutacji cyfr ([Sli]). Angielskie nazwy: absolute primes lub permutable primes. Absolutnymi liczbami pierwszymi są liczby pierwsze postaci e n = (n jedynek). Znamy 5 takich liczb: e 2, e 19, e 23, e 317 i e Absolutnymi liczbami pierwszymi są oczywiście wszystkie liczby pierwsze jednocyfrowe: 3, 5, Wszystkie absolutne liczby pierwsze dwucyfrowe: 13, 31, 17, 71, 37, 73, 79, Wszystkie absolutne liczby pierwsze trzycyfrowe: 113, 131, 311, 337, 373, 733, 199, 919, Jeśli p jest absolutną liczbą pierwszą większą od 10, to wszystkie cyfry liczby p należą do zbioru {1, 3, 7, 9}. D. Nie może pojawić się żadna z cyfr 2, 4, 6, 8, 0, gdyż po przestawieniu takiej cyfry na koniec, otrzymujemy liczbę parzystą. Nie może też być żadnej piątki. Po przestawieniu piątki na koniec otrzymujemy liczbę podzielną przez Nie ma takiej absolutnej liczby pierwszej, w której zapisie dziesiętnym występują cztery różne cyfry. ([MM] 47(4)(1974) 233, [OM] ZSRR 1984, [Sli]). D. Mogą być tylko cyfry 1, 3, 7, 9. Przypuśćmy, że te wszystkie cyfry występują. Przenieśmy je na koniec. Mamy wówczas liczbę pierwszą postaci a , gdzie a = 0 lub a > Wówczas każda z liczb a , a , a , a , a , a , a jest pierwsza. Mamy 7 liczb. Ich reszty z dzielenia przez 7 są różne (co łatwo sprawdzić). Jedna z nich musi się więc dzielić przez 7; sprzeczność Nie ma takiej absolutnej liczby pierwszej, w której zapisie dziesiętnym występują trzy różne cyfry. ([MM] 50(2)(1977) ). D. ([MM] 50(2)(1977))(Szkic). Przypuśćmy, że istnieje taka absolutna liczba pierwsza p, w której występują trzy parami różne cyfry. Musi ona wtedy mieć co najmniej cztery cyfry (bo znamy wszystkie trzycyfrowe absolutne liczby pierwsze) i wszystkie jej cyfry należą do zbioru {1, 3, 7, 9}. Analizujemy wszystkie przypadki. Przypadek {1, 3, 7}. Załóżmy, że w liczbie p występują cyfry 1, 3, 7. Wtedy nie występuje cyfra 9 (na mocy 1.7.4). Musi więc występować jeszcze raz co najmniej jedna z cyfr 1, 3, 7. Załóżmy, że jest to cyfra 1. Przenosimy rozważane cyfry na koniec. Czterocyfrowe liczby 3171, 1317, 1731, 1137, 1173, 1713, 1371 mają reszty z dzielenia przez 7 odpowiednio równe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Po odpowiedniej permutacji cyfr liczby p otrzymamy więc zawsze liczbę podzielną przez 7. To jest sprzeczne z tym, że p jest absolutną liczbą pierwszą. Załóżmy, że oprócz cyfr 1, 3, 7 występuje drugi raz cyfra 3. W podobny sposób podzielność przez 7 prowadzi do sprzeczności. Załóżmy, że oprócz cyfr 1, 3, 7 występuje drugi raz cyfra 7. Tutaj również podzielność przez 7 prowadzi do sprzeczności. Przypadek {1, 3, 7} nie jest więc możliwy. W ten sam sposób sprawdzamy przypadki {1, 3, 9}, {1, 7, 9} oraz {3, 7, 9}. Zawsze podzielonść przez 7 doprowadzi nas do sprzeczności.

18 14 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Nie istnieje żadna 4-cyfrowa absolutna liczba pierwsza. D. Przypuśćmy, że p jest czterocyfrową absolutną liczbą pierwszą. Ponieważ liczba 1111 jest podzielna przez 11, więc - na mocy w liczbie p występują dokładnie dwie różne cyfry a i b, należące oczywiście do zbioru {1, 3, 7, 9}. Jeśli każda z tych cyfr występuje dokładnie dwa razy, to mamy sprzeczność, gdyż liczba postaci aabb jest podzielna przez 11. Zatem jedna z tych cyfr, powiedzmy cyfra b, występuje dokładnie jeden raz. Ponieważ żadna z liczb 1333, 7771, 9991 nie jest liczbą pierwszą, więc b 1. Ponieważ żadna z liczb 1113, 7773, 9993 nie jest liczbą pierwszą, więc b 3. Analogicznie b 7, gdyż liczby 7111, 3337, 9997 są złożone. Pozostaje jedynie przypadek b = 9, który też jest niemożliwy, gdyż wszystkie liczby 1119, 3339, 7779 są podzielne przez Jeśli absolutna liczba pierwsza jest zbudowana z dokładnie dwóch różnych cyfr (oczywiście należących do zbioru {1, 3, 7, 9}), to jedna z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. ([MM] 50(2)(1977) 102). D. ([MM] 50(2)(1977)).(Szkic). Z powyższych faktów wynika, że możemy założyć iż rozpatrywana absolutna liczba pierwsza ma co najmniej 5 cyfr. Przypuśćmy, że jest ona zbudowana z cyfr a i b, gdzie a b i każda z tych dwóch cyfr występuje co najmniej dwa razy. Rozpatrujemy wszystkie możliwe przypadki. Rozpatrzmy przykładowo przypadek (a, b) = (1, 3). W tym przypadku piąta istniejąca cyfra musi (na mocy 1.7.5) być równa 1 lub 3. Załóżmy, że jest równa 1. Permutując cyfry liczby można otrzymać wszystkie reszty z podzielności przez 7. Dokładniej, reszty z dzielenia przez 7 liczb 31311, 11313, 13113, 11133, 13311, 11331, są odpowiednio równe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Istnieje więc taka permutacja cyfr rozpatrywanej liczby, że otrzymamy liczbę podzielną przez 7. Zatem rozpatrywana liczba nie jest absolutną liczbą pierwszą. Podobnie postępujemy w przypadku, gdy piąta istniejąca cyfra jest równa 3. Tak samo postępujemy w przypadku (a, b) = (1, 7) i we wszystkich pozostałych przypadkach. Zawsze podzielność przez 7 prowadzi do sprzeczności Każda wielocyfrowa absolutna liczba pierwsza jest postaci e n lub postaci B n (a, b) = aa }{{... a} b, n 1 gdzie a, b są różnymi cyframi ze zbioru {1, 3, 7, 9}. (Wynika z 1.7.7, [Sli]) Niech B n (a, b) będzie takie, jak w Jeśli dla n > 3 liczba B n (a, b) jest absolutną liczbą pierwszą, to (a, b) (9, 7), (9, 1), (1, 7), (7, 1), (3, 9), (9, 3). ([Sli]) Jeśli p jest absolutną liczbą pierwszą n-cyfrową, różną od e n, to n jest podzielne przez ([Sli]). Oprócz pewnych liczb postaci e n, nie są znane żadne absolutne liczby pierwsze posiadające co najmniej 4 cyfry Liczby pierwsze, które są liczbami pierwszymi przy każdym cyklicznym przestawieniu cyfr: dwucyfrowe : 13, 37, 17, 79; trzycyf rowe : 113, 197, 199, 337; czterocyf rowe : 1193, 3779; pięciocyfrowe : 11939, 19937; sześciocyfrowe : , Nie ma 7-mio i 8-mio cyfrowych takich liczb. (K. Brown, Reflective and cyclic sets of primes).

19 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych 15 T. N. Bhargava, P. H. Doyle, [MM] 47(4)(1974) 233. J. L. Boal, J. H. Bevis, Permutable primes, [MM] 55(1)(1982) A. Lada, Liczby naturalne o szczególnym rozmieszczeniu cyfr, [Pmgr] D. Mavlo, Absolute prime numbers, [MG] 79(485)(1995) Cyfry potęg liczb pierwszych Największą liczbą pierwszą p taką, że p 2 nie ma podwójnych cyfr jet p = Wtedy p 2 = ([Mon] 47(4)(1940) E385) Niech p > 3 będzie liczbą pierwszą. Wiadomo, że liczba p n jest 20-cyfrowa. Wykazać, że co najmniej trzy cyfry są jednakowe. ([WyKM] 809). D. Gdyby tak nie było, to każda z cyfr 0, 1,..., 9 występowałaby dokładnie dwa razy. Suma cyfr podzielna byłaby przez 3, a więc liczba p n byłaby podzielna przez Liczby pierwsze utworzone z kolejnych liczb naturalnych Wszystkie liczby naturalne wypisano kolejno bez odstępów i otrzymano nieskończony ciąg cyfr Niech a n oznacza n-cyfrową liczbę naturalną otrzymaną z n początkowych cyfr tego ciągu. Przykłady: a 1 = 1, a 2 = 12, a 3 = 123,..., a 9 = , a 10 = , a 20 = Liczbami pierwszymi postaci a n (dla n 500) są: a 10 = , a 14 = , a 24 = , a 235 = (Maple) Wykazać, że istnieje n N takie, że 2003 a n. ([Kw] 5/2003 s.25, patrz 1.9.4). O. (Maple). Najmniejszym takim n jest 440. Liczba a 440 = jest podzielna przez Liczby a 1437 = i a 1607 = również są podzielne przez Są to jedyne tego typu liczby dla n Dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych a i b istnieje liczba naturalna n taka, że liczba a n jest podzielna przez 2 a 5 b. D. Niech m = max(a, b). W ciągu (a n ) występują oczywiście liczby zakończone m zerami. Te liczby spełniają tezę Niech m będzie liczbą naturalną względnie pierwszą z 10. Istnieje wtedy nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że m a n.

20 16 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych D. Niech q = 10 ϕ(m). Wiemy (twierdzenie Eulera), że q 1 (mod m). Dana liczba naturalna n dzieli się zatem przez m wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr liczby n w zapisie numeracji o podstawie q dzieli się przez m. Wybierzmy z ciągu (a n ) liczbę b postaci b = }. {{ } 00 }. {{ } }. {{ } q q q przy czym układów } 00. {{ } jest m. q Część początkową tej liczby oznaczmy przez c, tzn. c = Oczywiście c jest wyrazem ciągu (a n ). Niech r będzie resztą z dzielenia liczby c przez m. Jeśli r = 0, to liczba c jest podzielna przez m. Jeśli r 0, to dopisujemy do liczby c układy } 00. {{ } ; dopisujemy m r takich układów. q Otrzymana liczba jest wyrazem ciągu (a n ) i (na mocy wspomnianej cechy podzielności przez m) jest ona podzielna przez m. W ten sposób wykazujemy istnienie liczby postaci a n podzielnej przez m. Ponieważ liczb typu b jest nieskończenie wiele, więc istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że m a n Dla danej liczby naturalnej m (względnie pierwszej z 10) oznaczmy przez A(m) najmniejszą liczbę naturalną n taką, że m a n. Istnienie liczby A(m) wynika z Przykłady: A(3) = 2, A(7) = 13, A(9) = 8, A(11) = 66, A(13) = 13, A(15) = 5, A(17) = 16, A(19) = 20, A(23) = 57, A(27) = 43, A(29) = 18, A(31) = 42, A(33) = 156, A(37) = 33, A(41) = 3, A(43) = 29, A(47) = 8, A(53) = 157, A(59) = 116, A(61) = 94, A(67) = 13, A(71) = 65, A(73) = 82, A(79) = 29, A(83) = 133, A(89) = 174, A(97) = 27, A(101) = 150. (Maple). Liczba 1901 jest pierwsza. Dwudziesty wiek rozpoczął się więc rokiem przedstawiającym liczbę pierwszą. W dwudziestym wieku mieliśmy jeszcze takie liczby pierwsze: 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997 oraz Najmniejszą tego rodzaju liczbą pierwszą w dwudziestym pierwszym wieku była liczba W tym wieku spotkamy się jeszcze z następującymi liczbami pierwszymi: 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089 oraz Przykłady liczb pierwszych powstałych przez sklejenie cyfr kolejnych liczb naturalnych z przedziału (1900, 2100). (Maple) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

21 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Przykłady liczb pierwszych utworzonych z kolejnych liczb naturalnych. (Maple) Przykłady liczb pierwszych utworzonych z kolejnych liczb naturalnych. (Maple) Wszystkie liczby naturalne, począwszy od danej liczby naturalnej s, wypisano kolejno bez odstępów i otrzymano nieskończony ciąg cyfr. Niech x[s] n oznacza n-cyfrową liczbę naturalną otrzymaną z n początkowych cyfr tego ciągu Niech m będzie liczbą naturalną względnie pierwszą z 10. Istnieje wtedy nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że m dzieli x[s] n. (Dowodzimy to tak samo jak 1.9.4) Wszystkie liczby pierwsze postaci x[s] n dla s = 2, 3, 4, 5 oraz n 500. (Maple). x[2] 2 = 23, x[2] 8 = , x[2] 44 = ; x[3] 27 = , x[3] 58 = ; x[4] 4 = 4567, x[4] 7 = , x[4] 11 = , x[4] 14 = , x[4] 208 = , x[4] 427 = ; x[5] 8 = , x[5] 21 = , x[5] 129 = , x[5] 185 = x[5] 257 =

22 18 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Wszystkie liczby pierwsze postaci x[s] n dla s = 6, 7, 8, 9 oraz n 500. (Maple). x[6] 2 = 67, x[6] 5 = 67891, x[6] 12 = ; x[7] 6 = , x[7] 11 = , x[7] 267 = ; x[8] 2 = 89, x[8] 5 = 89101, x[8] 51 = , x[8] 332 = ; x[9] 10 = , x[9] 14 = , x[9] 18 = , x[9] 410 = , x[9] 445 = Wszystkie liczby pierwsze postaci x[s] n dla s = 10 i 11 oraz n 500. (Maple). x[10] 3 = 101, x[10] 5 = 10111; x[11] 7 = , x[11] 57 = Czy liczba dzieli się przez 1980? Odp. Tak. ([WaJ] 284(80)) Wszystkie liczby pierwsze postaci x[s] n dla s = 100, 101, i 1000 oraz n 500. x[100] 52 = , x[100] 142 = , x[100] 145 = , x[100] 275 = ; x[101] 3 = 101, x[101] 53 = ; x[1000] 13 = , x[1000] 93 = , x[1000] 293 = (Maple). Spójrzmy na liczby naturalne powstałe przez sklejenie wszystkich wyrazów ciągu n, n 1, n 2,..., m + 2, m + 1, m, gdzie n > m są liczbami naturalnymi. Oznaczmy tego rodzaju liczby przez y(n, m). Mamy na przykład: y(12, 3) = , y(100, 97) = , y(5, 1) = Liczby pierwsze postaci y(n, n 1): 43, 109, 2221, 2423, 3433, 4241, 5857.

23 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Pewne liczby pierwsze postaci y(n, m). W nawiasach kwadratowych podano liczby cyfr. (Maple). y(82, 1) = , [155]; y(7, 3) = 76543, [5]; y(46, 3) = , [81]; y(10, 7) = 10987, [5]; y(68, 11) = , [116]; y(25, 13) = , [26]; y(48, 17) = , [64]; y(22, 19) = , [8]; y(73, 21) = , [106]; y(79, 21) = , [118]; y(27, 23) = , [10]; y(140, 23) = , [277] Wszystkie liczby naturalne począwszy od 32 do 75 wypisano w dowolnej kolejności otrzymując liczbę 88-cyfrową. Czy tak otrzymana liczba może być pierwsza? Odp. Nie. Taka liczba dzieli się przez Wszystkie liczby naturalne począwszy od 111 do 999 wypisano w dowolnej kolejności otrzymując liczbę 888-cyfrową. Czy tak otrzymana liczba może być pierwsza? Odp. Nie. Taka liczba dzieli się przez 37. ([MaS] 5/1985 z.2891). Inne informacje o liczbach utworzonych z cyfr kolejnych liczb naturalnych znajdują się w [N-2] Liczby pierwsze utworzone z kolejnych liczb nieparzystych Przykłady liczb pierwszych powstałych z cyfr kolejnych liczb nieparzystych od 1 do n. W nawiasach kwadratowych podano liczby cyfr. (n = 3) 13, [2]; (n = 19) , [15]; (n = 31) , [27]; (n = 67) , [63]; (n = 97) , [93]. (Maple) Przykłady liczb pierwszych powstałych z cyfr kolejnych liczb nieparzystych. W nawiasach kwadratowych podano liczby cyfr , [24]; , [72]; , [376]; , [11]; , [35]. (Maple).