0 Renty W kolejnych rozdzałach zajmemy sę cągam płatnośc dokonywanych w równych odstępach czasu, zwanym rentam annuty Rentę annuty defnujemy jako cąg płatnośc dokonywanych w równych odstępach czasu Przykładam rent sa: comesęczne wypłaty wynagrodzena, okresowe spłaty długu, regularne wpłaty na rachunek oszczędnoścowy Płatnośc, które składają sę na rentę nazywamy ratam Okres mędzy dwema kolejnym ratam nazywamy okresem bazowym Momentem początkowym renty jest t = 0, zaś momentem końcowym renty jest konec okresu, za który płacona jest ostatna rata Elementam składowym renty są następujące welkośc: lczba rat, długośc okresu bazowego, wysokość rat, moment perwszej płatnośc, stopa procentowa okresu bazowego Wyróżnamy - rentę prostą okres kaptalzacj pokrywa sę z okresem bazowym rentą uogólnoną okres kaptalzacj ne pokrywa sę z okresem bazowym, - rentę czasową o skończonej lczbe rat rentę weczystą o neskończonej lczbe rat, - rentę płatną z dołu, krótko rentę gdy raty są płacone pod konec okresu bazowego rentę płatną z góry gdy raty płacone są na początku okresu bazowego 0 Wkłady oszczędnoścowe Wkłady oszczędnoścowe są to regularne płatnośc dokonywane w celu zgromadzena odpowednego kaptału w ustalonym czase Płatnośc te mogą być dokonywane zarówno na początku okresu płatnośc z góry jak na końcu okresu płatnośc z dołu oraz kaptalzowane według różnych model kaptalzacj Najczęścej stosuje sę model oprocentowana prostego dla wkładów krótkotermnowych oraz model oprocentowana składanego dla wkładów długotermnowych W zależnośc od stosowanego modelu wkłady dzelmy na proste złożne Okres, co jak następuje kaptalzowane odsetek jest zgodny z okresem płatnośc 0 Wkłady proste Wkłady proste płatne z dołu
Nech będze stopą procentową dostosowaną do okresu bazowego Rozważmy skończony cąg wpłat C j n j= dokonywanych z dołu Wartość przyszła cągu wkładów po n płatnoścach wynos F = C + n + C + n + + Cn + + Cn, W przypadku, gdy płatnośc są jednakowej wysokośc, tj C j = C, j =,, n, wówczas w myśl wzoru, mamy czyl F = C + n + C + n + + C + + C = C n + n + n + + nn = C n +, F = Cn + n Aktualzując wartość F na moment wcześnejszy 0 n 0 < n mamy + n 0 F n0 = F n + n = Cn + n + n0 + n Oczywśce aktualzując F na moment n = 0 otrzymujemy wartość początkową wkładów oszczędnoścowych P = F n + n Wkłady proste płatne z góry Jeżel wpłaty C j, j =,, n, są dokonywane z góry, wówczas wartość przyszła będze postac F + = C + n + C + n + + Cn + + Cn + Stąd, przyjmując C j = C, j =,, n, otrzymujemy czyl F + = C + n + C + n + + C + + C + = C n + n + n + + = C F + = Cn + n + n + nn +, Analogczne otrzymujemy wartość przyszłą wkładów zaktualzowaną na moment wcześnejszy oraz wartość początkową wkładów
0 Wkłady złożone Wkłady złożone płatne z dołu zgodne z okresem kaptalzacj Załóżmy, że okres bazowy wkładów pokrywa sę z okresem kaptalzacj Rozważmy skończony cąg płatnośc C j n j= dokonywanych z dołu Nech będze stopą procentową o okrese pokrywającym sę z okresem bazowym Wartość przyszła wkładów wynos 3 F = C + n + C + n + + C n + + C n n = C j + n j j= Jeżel wkłady C j, j =, n, są jednakowej welkośc C, to powyższy wzór prowadz do postac n 4 F = C + n j j= Stosując wzór na sumę n perwszych wyrazów cągu geometrycznego otrzymujemy 5 F = C + n Czynnk s n = + n nazywamy czynnkem wartośc przyszłej dla wkładów Stosując ten czynnk wzór 5 możemy zapsać 6 F = C s n Czynnk ten defnuje wartość przyszłą wkładów jednostkowych Aktualzując wartość F na moment wcześnejszy 0 n 0 < n mamy 7 F n0 = F + n 0 n W szczególnośc, kładąc n 0 = 0, dostajemy wzór na wartość początkową n wkładów oszczędnoścowych o stałych płatnoścach C 8 P = C Czynnk a + aq + aq + + aq n = a qn q a n = + n + n 3
nazywamy czynnkem wartośc początkowej dla wkładów Stosując ten czynnk wzór 8 przyjme postać 9 P = C a n Czynnk ten defnuje wartość początkową wkładów jednostkowych Wkłady złożone płatne z góry zgodne z okresem kaptalzacj Nech teraz cąg C j n j= będze cągem płatnośc dokonywanych z góry, tzn na początku każdego okresu płatnośc Wówczas po n płatnoścach wartość przyszła wkładów wyraz sę wzorem F + = C + n + C + n + + C n + + C n + Jeżel płatnośc C j, j =, n, są jednakowej welkośc C, to, w myśl powyższego, otrzymujemy F + =C + n + + n + + + + + =C + + n + + n + + + + =C + + n Zauważmy, że wartość przyszła wkładów wnoszonych z góry różn sę od wartośc przyszłej wkładów wnoszonych z dołu jedyne współczynnkem + Zatem, stosując wzór 6, dostajemy Czynnk F + = C + s n s n = + s n = + + n defnuje wartość końcową wkładów jednostkowych płatnych z góry W myśl wzorów 7 9, F + n 0 = F n0 + P + = C + a n Czynnk + n ä n = + a n = + defnuje wartość początkową wkładów jednostkowych płatnych z góry 4
Wkłady złożone płatne w nadokresach okresu kaptalzacj W przypadku, gdy okres bazowy jest całkowtą welokrotnoścą okresu kaptalzacj Aby wyznaczyć wartość przyszłą wkładów należy najperw skorzystać z zasady równoważnośc warunków oprocentowana rozważaną kaptalzację zastąpć kaptalzacją, której okres pokrywałby sę z okresem bazowym a następne, mając zgodność okresu kaptalzacj okresu bazowego, zastosować analogczne rozumowane jak powyżej Zastąpene jednego modelu kaptalzacj nnym jest równoznaczne z wyznaczenem równoważnej stopy procentowej o okrese dostosowanym do modelu nowej kaptalzacj tzn o okrese dostosowanym do okresu wkładów Nech k, k Q będą take, że k będze loścą okresów kaptalzacj w cągu roku, k będze loścą okresów bazowych w cągu roku Nech będze stopą okresu bazowego równoważną stope k, tj stope okresu kaptalzacj Z zasady równoważnośc stóp procentowych = + k k k Wkłady złożone płatne w podokresach okresu kaptalzacj W przypadku, gdy okres bazowy jest w podokresach okresu kaptalzacj, tzn wpłaty są dokonywane częścej nż są generowane odsetk, stneją dwe metody wyznaczana wartośc przyszłej wkładów Perwsza metoda oparta jest na zasadze równoważnośc warunków oprocentowana zasadze rónoważnośc stóp procentowych Wyznaczene wartośc przyszłej, aktualnej początkowej przebega analogczne jak powyżej Druga metoda łączy ze sobą model oprocentowana prostego składanego Nech C j n =j będze skończonym cągem płatnośc, przy czym zakładamy, że jest to cąg stały, tzn C j = C dla j =,, n Przyjmmy, że w jednym okrese kaptalzacj mamy m płatnośc z dołu, czyl, że okres kaptalzacj jest podzelony na m równych okresów bazowych, oraz lm = n, gdze l jest loścą okresów kaptalzacj w czase nwestycj Wyznaczene wartośc przyszłej składa sę z dwóch etapów W perwszym etape należy wyznaczyć wartość przyszłą F m m wkładów, płatnych w jednym okrese kaptalzacj, stosując model oprocentowana prostego Nech k, k Q będą take, że k będze loścą okresów kaptalzacj w cągu roku, k będze loścą okresów bazowych w cągu roku Nech będze stopą okresu bazowego, zaś k będze stopą procentową okresu kaptalzacj Dla wkładów płatnych z dołu, w myśl wzoru, mamy 0 F m = Cm + m, 5
gdze = r k, k Q Przyjmując C j = F m dla j =,, l, otrzymalśmy nowy cąg C j l j= płatnośc o stałych wyrazach okresach pokrywających sę z okresem kaptalzacj W drugm etape, mając cąg wkładów C j l j=, wyznaczamy wartość przyszłą F tego cągu Poneważ okres wkładów jest tak sam jak okres kaptalzacj oraz C j = F m dla j =,, l, to stosując wzór 6, F = F ms l k, gdze k = r Dla wkładów płatnych z góry wzór przyjme postać k gdze F + m F + = F + m s l k, = Cm + m + Chcąc wyznaczyć wartość aktualną na dowolny moment wcześnejszy l 0, w szczególnośc na moment l 0 = 0, wystarczy zastosować wzory 7, odpowedno 8 03 Zasada równoważnośc kaptałów Zasada różwnoważnośc kaptałów jest jedną z ważnejszych zasad w matematyce fnansowej jest nezbędna w analze planu spłaty długu Zasada ta mów, że dwa kaptały są równoważne, jeśl wartośc tych kaptałów zaktualzowane na dowolny moment t 0 są równe Punktem wyjśca dla tej zasady jest pojęce równoważnośc kaptałów w ustalonym momence t 0 0 Powemy, że dwa kaptały, są równoważne w pewnym momence t 0 0, jeśl ch wartośc zaktualzowane na ten moment są równe Pokażemy, że zasada równowaznośc kaptałów zachodz w modelu oprocentowana składanego Nech K t K t będą dwoma kaptałam danym w czase odpowedno t t równoważnym w momence t 0, czyl K t 0 = K t 0 W myśl aktualzacj otrzymujemy: K t 0 = K t + r ef t 0 t, K t 0 = K t + r ef t 0 t Stąd K t + r ef t 0 t = K t + r ef t 0 t, czyl K t + r ef t = K t + r ef t 6
a to mplkuje K t + r ef t t = K t + r ef t t dla dowolnego t 0, co należało pokazać Pokażemy, że w modelu oprocentowana prostego zasada ta ne zachodz Nech podobne jak poprzedno będą dane dwa kaptały K t K t w czase odpowedno t t równoważne w momence t 0 Wówczas mamy do rozważena następujące przypadk: t < t 0 < t, t < t < t 0, t 0 < t < t W perwszym przypadku otzymujemy K t 0 = K t + t t 0 r, t > t 0 oraz K t 0 = K t + t 0 t r, t 0 > t Zatem K t + t t 0 r = K t + t 0 t r Poneważ przyrównujemy do sebe wyrażena lnowe hperbolczne dla pewnego t 0, to powyższa równość ne zajdze dla dowolnego t 0 04 Spłata długów krótkotermnowych z uwzględnenem dyskonta matematycznego prostego j S + j = R n + j n + R n n=j+ + n j gdze = r k, k Q+, jest stopą procentową okresu bazowego Powyższe równane możemy zapsać równoważne S = j R n + j n + j + n=j+ R n + j + n j Po spłacenu n rat wartość aktualna długu zaktualzowana na moment t = 0 jest postac: oraz n + j l Sn 0 = S R l, dla n j, l= + j j + j l n Sn 0 = S R l R l l= + j l=j+ + j + l j, dla n > j 7
Dług beżący S n po spłacenu n rat defnujemy 3 S n = S 0 n + n Oczywśce S N = 0 Dla rat stałych W przypadku, gdy cąg R n N jest stały, tj R n = R, n =,, N, wzór przyjme postać j N 4 S + j = R + j n + n=j+ Stąd, po przekształcenach, wysokość raty R wyraża sę wzorem + n j + j 5 R = S j + j n + Nn=j+ +n j Dług beżący S n po spłacenu n rat dany jest wzorem S + n S n = S + n j l= j l= j l= n +j l l= N +j l + n +j l + l=j+ N +j l + l=j+ l=j+ +l j +l j +l j dla n j, dla n > j Rozkład raty R na ratę kaptałową B odsetkową C przedstawamy następująco R = B + C N B + N n + N C = S + N W konsekwencj C = R B N B + BN n + NC = S + N C = R B N B + N BN n + NC = S + N C = R B BN + B N N + NC = S + N C = R B BN + B N N + NR B = S + N B = S+N RN N N C = R B gdze rata R dana jest wzorem 5 Plan spłaty długu defnuje tutaj układ S n, R, B, C 8
05 Spłata długów krótkotermnowych z uwzględnenem dyskonta handlowego S + j = R + j + R + j + + Rj + R j+ + + RN N j j = R n + j n + N R n n j n=j+ j = R n + j n + N R n + j n n=j+ Dług S cąg spłat R n N umarzających ten dług spełnają 6 S + j = R l + j n przy aktualzacj względem t = j Przeprowadzając analogczne rozumowane jak dla długów krótkotermnowych z uwzględnenem dyskonta matematycznego otrzymujemy, że dług beżący S n po spłacenu n rat jest postac gdze 7 S 0 n = S S n = S 0 n + n, n l= Przyjmując R n = R, n =,, N otrzymujemy Stąd + j l R l + j S + j = R n + j n = R N + Nj n = R N + Nj + N N = RN + j N + 8 R = N + S + j j N+ 9
Wartość długu beżącego po spłacenu n rat wynos n + j l S n = + n S R l= + j = + n S + j Rn + j n + Rozkład raty na ratę kaptałową odsetkową przebega analogczne jak dla rat z uwzględnenem dyskonta matematycznego W konsekwencj B = S+N RN N N C = R B przy czym rata R dana jest tutaj wzorem 8 06 Raty kupecke Szczególnym przypadkem rat umarzających dług krótkotermnowy są raty kupecke, które zdefnowane są przy aktualzacj na moment t = N Wyrażają sę one wzorem 9 R = S + N N + N Rozkład raty R na ratę kaptałową odsetkową wygląda następująco B = R C = 0 Odsetk są umarzane za pomocą odsetek od rat kaptałowych 07 Spłata długów średn- długotermnowych Zajmemy sę teraz spłatą długów o okrese zwrotu powyżej jednego roku Do rozlczena będzemy stosować model oprocentowana składanego Analza ratalnej spłaty długu opera sę zasadze, która mów, że dług zostaje spłacony, gdy zaktualzowana na moment t = j wartość długu jest równa sume rat zaktualzowanych na ten moment Nech R n N będze cągem płatnośc dokonywanych z dołu w równych odstępach czasu umarzającym dług S S + j = R + j + R + j + + R j + R j+ + + + R N + N j, 0
czyl 0 S + j = R n + j n W mysl zasady równoważnośc kaptałów zależność 0 jest równoważna następującej S + N = R n + N n, gdy za moment aktualzacj przyjmemy t = N, oraz następującej S = R n + n, gdy za moment aktualzacj przyjmemy t = 0 Po spłacenu n rat wartość długu beżacego możemy wyrazć ratam spłaconym jak nespłaconym W perwszym przypadku mówmy o zależnośc retrospektywnej n 3 S n = S + n R l + n l, l= w drugm przypadku mówmy o zależnośc prospektywnej 4 S n = R l + n l l=n+ Oczywśce w jednym drugm przypadku S N = 0 Wartość długu beżącego stanow dla dłużnka werzycela ważna nformację o tym, jake jest saldo zadłużena po wpłacenu określonej lczby rat Jest ona równeż podstawą do skorygowana przyszłych rat, np z powodu zmany stopy procetnowej, albo do restrukturyzacj zadłużena, gdy z pewnych powodów trzeba smenć wysokość przyszłych rat, ch lczbę lub termn płatnośc Przekształcając 3 5 S n = S n + R n otrzymujemy zwązek długu beżącego z końca okresu bazowego z długem beżącym z początku okresu bazowego Przejdzemy do razkładu raty na ratę kaptałową odsetkową Na początek zauważmy, że 5 mplkuje 6 S n S n = R n S n, gdze S n jest wartoścą odsetek należnych za n-ty okres, tzn 7 I n = S n
Zatem rata R n jest postac 8 R n = T n + I n, gdze T n jest ratą kaptałową a I n ratą odsetkową Zauważmy, że wzory 6-8 mplkują 9 T n = S n S n Rozkład raty na część kaptałową odsetkową daje możlwość prześledzena jak kolejne wpłaty umarzają beżace odsetk dług kaptałowy Łatwo wdać, że T n = S Do pełnego opsu tego procesu tworzy sę tzw plan spłaty długu, czyl układ S n N n=0, R n N, T n N n= który najczęścej przedstawa se w postac tabel 08 Spłata długu w równych ratach Zajmemy sę teraz wyznaczanem welkośc raty planu spłaty długu w sytuacj, gdy spłaty są jednakowej welkośc Mówmy wtedy o ratach annutetowych Są one standardowo stosowane przy udzelanu bankowych pożyczek kredytów konsumpcyjnych, a spłata długu w takch ratach jest wygodna zarówno dla werzycela, jak dla dłużnka Nech dany będze cąg N stałych płatnośc wysokośc R dokonywanych z dołu w równych odstępach czasu umarzających dług S jak powstał w momence t = 0 przy ustalonej stope okresu bazowego Ze wzoru mamy S + N = R + N = Rs N lub równoważne Zatem rata R wynos S = + R + N N = Ra N 30 R = S + N s N lub równoważne 3 R = S a N Ratę R dana powyższym wzorem nazywa sę ratą stała lub annutetową
Z3 oraz powyższych n S n = S + n R + n l l= = S + n Rs n = S + n S a N a n + n po przekształcenach otrzymujemy, że dla raty annutetowej retrospektywna zależność długu beżącego po spłacenu n rat ma postać 3 S n = S + n a n a N Przeprowadzając analogczne rozumowane do zrobena na ćwczenach otrzymujemy prospektywną zależność długu beżącego od rat 33 S n = S a N n a N Rozkład raty na ratę kaptałową odsetkową przebega analogczne jak dla rat dowolnej welkośc stąd Na uwagę zasługuje postać raty kaptałowej Otóż w myśl wzorów 9 3 T n = S + + N n 34 T n = S s N + n, co dowodz, że cąg T n N jest cągem geometrycznym o loraze + perwszym wyraze T = S Oczywśce T s określone tym wzorem spełna T = R I Istotne na N początek zauważmy, że Zatem a N = = T = + N = + N + N + N = s N S s N = S a N S = R I Powyższe wzory dotyczyły sytuacj, gdy okres bazowy pokrywa sę z okresem kaptalzacj Jeżel ten warunek ne jest spełnony należy stopę zastąpć stopą o okrese zgodnym z okresem bazowym, równoważną stope okresu kaptalzacj 3
Spłata długu w ratach o zadanych częścach kaptałowych Zajmemy sę teraz wyznaczanem cągu rat R n N dokonywanych z dołu o okrese bazowym zgodnym z okresem kaptalzacj, umarzających dług S jak powstał w momence t = 0, znając ch częśc kaptałowe, tj cąg T n N Rozważymy tutaj dwe sytuacje: cąg T n N jest cągem arytmetyczny rosnącym, cąg T n N jest cągem stałym Nech będze stopą okresu bazowego Ad Załóżmy, że T n = nt Korzystając z faktu, że suma rat kaptałowych daje dług S otrzymujemy nt = T Stąd możemy wyznaczyć wysokość raty T NN + 35 T = S NN + oraz postać ogólną cągu T n N, n 36 T n = S NN + W myśl wzoru 9 dla n =,,, N = S T + T + + T n = S 0 S + S S + + S n S n co, w myśl 35 mplkuje, że dług beżący po spłacenu n rat spełna n S n = S T l = S S l= NN + Z 7 rata odsetkowa jest postac I n = S nn + n n, NN + zaś postać ogólna cągu R n N dana jest wzorem R n = = S S n + NN + n n NN + nn + NN + Ad Raty o stałej częśc kaptałowej są podobne jak raty annutetowe najczęścej stosowanym model w praktyce bankowych kredytów pożyczek konsumpcyjnych 4
Nech T n = T dla n =,,, N Poneważ S + T = NT, to raty o stałej częsc kaptałowej spełnają 37 T n = T = S N oczywśce 38 R n = T + I n Wdzmy, że powyższe wzór 9 mplkują S n = S n T, n =,,, N, tj że po spłacenu kolejnych rat dług beżący pomnejsza sę o stałą kwotę, czyl S n N n=0 tworzy cąg arytmetyczny malejący o perwszym wyraze S różncy T To dowodz, że po spłacenu n rat dług beżący dany jest wzorem 39 S n = S nt Ponadto S n = S n T, n =,,, N, co mplkuje w myśl 7 I n = I n T, n =,,, N, że cąg rat odsetkowych I n N tworzy cąg arytmetyczny malejący o perwszym wyraze S różncy T Stąd z faktu, że raty kaptałowe są stałe otrzymujemy, że cąg rat R n N równeż tworzy cąg arytmetyczny malejący o perwszym wyraze S + T różncy T Poneważ cąg rat jest malejący, to w praktyce przyjęło sę mówć o spłace długu ratam malejącym częścej nż ratam o stałych częścach kaptałowych Powyższe wzory mają charakter rekurencyjny zależny od welkośc T Innym równoważnym postacam są S n = S N n, N I n = S N n +, N R n = S N + N n + 5
Spłata długu przy jednorazowej spłace odsetek Zakładamy, że w każdej z N rat umarzającej dług S, dłużnk zwraca werzycelow odpowedną część kaptału a odsetk od długu są spłącone jednorazowo w j-tej race W myśl zasady równoważnośc długu cągu rat S + N = T + N + + T j + Ĩj + N j + + T N = T n + N n + Ĩj + N j Stąd Ĩ j = S + j T n + j n Gdy raty kaptałowe są stałe, to po przekształcenach mamy Ĩ j = S S N a N + j Jednorazowa spłata długu ratalna spłata odsetek Zakładamy, że długa S jest spłacony jednorazowo w ostatnej race, zaś odsetk ratalne, czyl R = I, R = I, R N = I N, R N = S + I N Wdzmy, że S n = S dla n =,,, N Stąd raty są postac R n = S, n =,,, N, R N = S + Rozlczene długów z dodatkową opłatą W dotychczasowych rozważanach dotyczących spłaty zakładalśmy, że jedynym kosztam są odsetk Tymczasem bardzo często przy pożyczkach czy kredytach bank poberają tzw prowzje marże Prowzją nazywamy opłatę za usługę czynnośc fnansowe werzycela Jest ona nalczana od wysokośc długu potrącana z góry Zdarza sę jednak, że prowzja poberana jest ratalne od raty długu Marżą nazywamy zysk na usługach podany w procentach przelczony na skalę roczną Marża mów o opłacalnośc usług Wysokość marży ustala sę najczęścej w zależnośc od długu beżącego Plan spłaty długu z opłatą nalczoną od wysokośc długu S 6
Nech P będze dodatkowa opłatą nalczoną według stopy p od długu S, zaś P n N cągem płatnośc poberanych łączne z ratą R n takm, że P = N P n - Dla długu S spłacanego stałym ratam R połóżmy Wówczas z 34 P n = T n p, n =,,, N P = P n = S + N + n p N = S + N p + n = S + N p + N = Sp, co dowodz, że cąg P n N jest dobrze zdefnowany Plan spłaty długu jest to układ S n N n=0, R n N, T n N, I n N, gdze R n = R n + P n, zaś elementy R n, S n, T n, I n są take jak w podrozdzale Spłata długu w równych ratach patrz mn wzory 30-34 - Dla długu S spłacanego ratam malejącym tzn ratam o stałych częścach kaptałowych, kładąc otrzymujemy, w myśl 37 P n = T n p, n =,,, N, S P = P n = T n p = N p = Sp, Plan spłaty długu jest tutaj układem S n N n=0, R n N, T n N, I n N, gdze R n = R n + P n, zaś elementy R n, S n, T n, I n są take jak w podrozdzale Spłata długu w równych ratach patrz mn wzory37-39 Plan spłaty długu z opłatą nalczoną od wysokośc długu beżacego S n Poneważ opłata dodatkowa jest nalczana od długu beżacego, to cąg P n N zdefnowany jest tutaj wzorem P n = S n p, n =,,, N 7
- Dla długu S spłacanego stałym ratam R otrzymujemy, że łączną opłata dodatkowa w myśl 3 spełna P = P n = S n p = Sp = N + N + N w konsekwencj S + N + n p + N + n = P = Sp N + N + N Poneważ z 7 R = S n + S n, to n-ta płatność wynos Sp N + N + N, + N 40 Rn = P n + R = S n + + p S n, n =,,, N Układ S n N n=0, R n N, T n N, I n N stanow plan spłaty długu, gdze Rn dane jest wzorem 40 - Dla długu S spłacanego ratam malejącym, poneważ S n = S N n, to N łączna opłata wynos S P = P n = S n p = N n p N = S N N p n = S N + p Zauważmy, że n-ta płatność wynos R n = R n + P n = T n + I n + P n = T n + S n + S n p = T n + S n + p co daje, że dodatkowa opłata zwększa stopę do stopy + p, czyl R n = S N + N n + + p Układ S n N n=0, R n N, T n N, I n N stanow plan spłaty długu 8