Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015
Jakość układu regulacji Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane są dodatkowe wymagania związane z zachowaniem się układu w stanach przejściowych (dynamicznych) i w stanach ustalonych, określane ogólnie jako wymagania dotyczące jakości układu regulacji. Wymagania odnoszące się do przebiegu procesów przejściowych w układach regulacji określane są za pomocą szeregu wskaźników, nazywanych ogólnie kryteriami (wskaźnikami) jakości dynamicznej układu regulacji. Wymagania dotyczące stanów ustalonych formułuje się przez określenie tzw. dokładności statycznej układu regulacji dopuszczalnych wartości odchyłek regulacji w stanach ustalonych.
Jakość układu regulacji Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji. e(t) = e z (t) + e w (t), (1) gdzie e z (t) - odchyłka wywołana zakłóceniem, e w (t) - odchyłka wywołana wymuszeniem. (zmianą wartości zadanej) e(t) = y m (t) w(t), (2)
Regulatory
Jakość układu regulacji Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwa składniki odchyłki regulacji.
Odchyłka zakłóceniowa Odchyłki statyczne spowodowane zakłóceniem Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia G z (s) = y m(s) z(s) = e z(s) z(s) = ±G z(s)g ob (s) 1 + G ob (s)g r (s) e z (s) = y m (s) = ±G z(s)g ob (s) z(s) (4) 1 + G ob (s)g r (s) Odchyłka statyczna względem zakłócenia: (3) e zst. = lim t e z(t) = lim s 0 s e z (s) (5) ±G z (s)g ob (s) e zst. = lim s z(s) (6) s 0 1 + G ob (s)g r (s)
Odchyłka nadążania
Odchyłka nadążania
Odchyłka nadążania Odchyłki statyczne spowodowane zmianą wartości zadanej Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej G ew (s) = e w (s) w(s) = 1 1 + G ob (s)g r (s) 1 e w (s) = w(s) (8) 1 + G ob (s)g r (s) Odchyłka statyczna względem wartości zadanej (7) e wst. = lim t e w (t) = lim s 0 s e w (s) (9) 1 e wst. = lim s w(s) (10) s 0 1 + G ob (s)g r (s)
Odchyłki - przykład Wyznaczyć odchyłki statyczne w układzie regulacji pokazanym na rysunku, wywołane zakłóceniem z(t) = 2 oraz zmianą wartości zadanej w(t) = 5, w przypadku zastosowania: regulatora P regulatora PD regulatora PI
Odchyłki - przykład Transmitancja Regulator P Regulator PD Regulator PI Zakłócenie Zmiana wartości zadanej G ob (s) = k ob (Ts + 1) 4 (11) G r (s) = k p (12) G r (s) = k p (1 + T d s) (13) ( G r (s) = k p 1 + T d s + 1 ) T i s z(t) = 2 z(s) = 2 s (14) (15) w(t) = 5 w(s) = 5 s (16)
Odchyłki - Przykład Odchyłki zakłóceniowe: Regulator P e zst. = lim t e z(t) = lim s 0 s G ob (s) 2 e zst.p = lim s 0 s 1 + G ob (s)g r (s) s = lim s 0 k ob (Ts + 1) 4 2 k ob 1 + (Ts + 1) 4 k p G ob (s) z(s) (17) 1 + G ob (s)g r (s) = lim s 0 k ob 2 (Ts + 1) 4 + k ob k p (18) Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora P e zst.p = k ob 2 1 + k ob k p (19)
Odchyłki - Przykład Odchyłki zakłóceniowe: Regulator PD e zst. = lim t e z(t) = lim s 0 s G ob (s) z(s) (20) 1 + G ob (s)g r (s) k ob (Ts + 1) e zst.pd = lim 4 2 s 0 = k ob 1 + (Ts + 1) 4 k p(1 + T d s) = lim s 0 k ob 2 (Ts + 1) 4 + k ob k p (1 + T d s) (21) Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PD e zst.pd = k ob 2 1 + k ob k p (22)
Odchyłki - Przykład Odchyłki zakłóceniowe: Regulator PI e zst. = lim t e z(t) = lim s 0 s G ob (s) z(s) (23) 1 + G ob (s)g r (s) k ob (Ts + 1) e zst.pi = lim 4 2 s 0 k ob 1 + (Ts + 1) 4 k p(1 + 1 = T i s ) k ob 2 = lim s 0 (Ts + 1) 4 + k ob k p (1 + 1 = 0 T i s ) (24) Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PI e zst.pi = 0 (25)
Odchyłki - Przykład Podsumowanie Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora P Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PD Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PI e zst.p = k ob 2 1 + k ob k p (26) e zst.pd = k ob 2 1 + k ob k p (27) e zst.pi = 0 (28)
Odchyłki - Przykład Odchyłki wymuszeniowe: Regulator P e wst.p = lim e wst. = lim t e z(t) = lim s 0 s s 0 s 1 w(s) (29) 1 + G ob (s)g r (s) 1 5 1 + G ob (s)k p s = lim 5 s 0 k ob 1 + (Ts + 1) 4 k p 5 = 1 + k ob k p (30) Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora P e wst.p = 5 1 + k ob k p (31)
Odchyłki - Przykład Odchyłki wymuszeniowe: Regulator PD e wst. = lim t e z(t) = lim s 0 s 1 w(s) (32) 1 + G ob (s)g r (s) 1 5 e wst.pd = lim s 0 s 1 + G ob (s)k p (1 + T d s) s 5 5 = lim s 0 = (33) k ob 1 + (Ts + 1) 4 k 1 + k p(1 + T d s) ob k p Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PD e wst.pd = 5 1 + k ob k p (34)
Odchyłki - Przykład Odchyłki wymuszeniowe: Regulator PI e wst. = lim t e z(t) = lim s 0 s 1 w(s) (35) 1 + G ob (s)g r (s) 1 e wst.pi = lim s 0 s ( 1 + G ob (s)k p 1 + 1 ) 5 s T i s 5 = lim s 0 ( k ob 1 + (Ts + 1) 4 k p 1 + 1 ) = 0 T i s (36) Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PI e wst.pi = 0 (37)
Odchyłki - Przykład Podsumowanie Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora P e wst.p = Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PD e wst.pd = Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PI 5 1 + k ob k p (38) 5 1 + k ob k p (39) e wst.pi = 0 (40)
Odchyłki - Przykład Wnioski: W układzie z obiektem statycznym i regulatorem o algorytmie P lub PD występują niezerowe odchyłki statyczne zarówno zakłóceniowe jak i nadążania proporcjonalne odpowiednio do wartości zakłócenia lub zmiany wartości zadanej. Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego regulatora P lub PD zmniejsza wartość odchyłek statycznych. Zmniejszenie odchyłki statycznej przez zwiększenie wzmocnienia jest zwykle ograniczone ze względu na warunki stabilności układu. (Układ z regulatorem PD osiąga granicę stabilności przy większym wzmocnieniu regulatora niż w przypadku układu z regulatorem P.) Akcja całkująca występująca w regulatorze zapewnia zerowe odchyłki statyczne przy stałych wartościach zakłócenia lub stałych zmianach wartości zadanej
Jakość dynamiczna W praktyce wykorzystuje się różne wskaźniki jakości dynamicznej: wskaźniki dotyczące parametrów odpowiedzi skokowych (wskaźniki przebiegu przejściowego), wskaźniki dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji - zapasy modułu i fazy, całkowe wskaźniki jakości.
Wskaźniki przebiegu przejściowego Do oceny przebiegów przebiegów przejściowych wykorzystywane są wskaźniki: statyczna odchyłka zakłóceniowa: e zst. statyczna odchyłka nadążania: e wst. maksymalna odchyłka dynamiczna: e m - maksymalna wartość odchyłki regulacji po wprowadzeniu zakłócenia skokowego lub skokowej zmiany wartości zadanej. czas regulacji: t r - czas od chwili wprowadzenia skokowego zakłócenia lub wymuszenia do chwili, od której odchyłka regulacji nie wykracza poza przedział wartości ± e. przeregulowanie: κ = e 2 e 1 100% - wyrażony w procentach stosunek amplitudy drugiego odchylenia e 2 od wartości ustalonej do amplitudy pierwszego odchylenia e 1.
Odpowiedzi oscylacyjne na zakłócenie skokowe Rysunek : Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną
Odpowiedzi aperiodyczne na zakłócenie skokowe Rysunek : Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną
Odpowiedzi oscylacyjne na wymuszenie skokowe Rysunek : Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartości zadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną
Odpowiedzi aperiodyczne na wymuszenie skokowe Rysunek : Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartości zadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną
Dobór regulatorów Podstawową przesłanką przy wyborze rodzaju regulatora są właściwości dynamiczne obiektu regulacji. Rysunek : Układ regulacji Podstawowe formy opisu właściwości obiektów regulacji G ob (s) = y m(s) u(s) = k ob T z s + 1 e T0s, G ob (s) = y m(s) u(s) = 1 T z s e T0s
Dobór regulatorów dla T 0 T z < 0, 1 0, 2 regulatory dwu- lub trój-stawne dla 0, 1 T 0 T z < 0, 7 1 0, 2 regulatory o działaniu ciągłym dla T 0 T z > 1 regulatory o działaniu impulsowym (generujące impulsowe sygnały wyjściowe) W przypadku obiektów przemysłowych najczęściej spotykane wartości stosunku T 0 T z mieszczą się w przedziale 0, 2 0, 7. Dlatego w przemysłowych układach regulacji najbardziej rozpowszechnione są regulatory o działaniu ciągłym, realizujące typowe algorytmy regulacji P, PI, PD i PID.
Dobór regulatorów Analiza współpracy regulatora z obiektem prowadzi do następujących wniosków odnośnie wyboru algorytmu regulatora: Regulator o algorytmie PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy zakłóceniach o niskich częstotliwościach. Akcja całkująca jest niezbędna dla uzyskania odchyłek statycznych równych zero. Regulator o algorytmie PD zapewnia szersze pasmo regulacji niż regulator o algorytmie PI, ale z gorszą jakością regulacji przy niskich częstotliwościach zakłóceń lub wymuszeń. Akcja różniczkująca jest zalecana w przypadku obiektów inercyjnych wyższych rzędów (np. takich jak procesy cieplne), gdyż pozwala na wytworzenie silnego oddziaływania sterującego już przy małych odchyłkach regulacji. Regulator PD nie zapewnia osiągania w stanach ustalonych zerowej odchyłki regulacji. Regulator o algorytmie PID łączy do pewnego stopnia zalety regulatorów PI i PD.
Dobór regulatorów Stosowane w praktyce, przemysłowe regulatory o działaniu ciągłym są urządzeniami uniwersalnymi. Ich parametry (nastawy) można zmieniać (nastawiać) w szerokich granicach, dzięki czemu mogą one współpracować poprawnie z obiektami o zróżnicowanej dynamice. Zależnie od stawianych wymagań dotyczących stabilności i jakości regulacji, należy wprowadzić odpowiednie nastawy regulatora dobierane wg procedur nazywanych doborem nastaw. Nastawy, są to następujące wielkości: wzmocnienie proporcjonalne k p = 0, 1 100 czas zdwojenia T i = 0, 1 3600s czas wyprzedzenia T d = 0 3600s
Dobór regulatorów Metody doboru nastaw regulatorów PID o działaniu ciągłym metody doświadczalne, nie zapewniające uzyskania określonych parametrów jakościowych układom regulacji, np. Zieglera Nicholsa, Pessena, Hassena i Offereissena, Cohena-Coona, Äströma Hagglunda tabelaryczne metody określania nastaw regulatorów na podstawie parametrów matematycznego modelu obiektu regulacji i wymaganego kryterium jakości układu regulacji samostrojenie np. metoda przekaźnikowa
Dobór regulatorów Metoda Zieglera-Nicholsa Wariant 1: nastawy regulatora dobierane są na podstawie parametrów zamkniętego układu regulacji, doprowadzonego do granicy stabilności (metoda wzbudzenia układu), Może być stosowana do doboru nastaw regulatorów w układach regulacji obiektów zarówno statycznych jak i astatycznych z inercją wyższego rzędu. Wariant 2: tylko dla układów ze statycznymi obiektami regulacji, nastawy regulatora dobierane są na podstawie parametrów charakterystyki skokowej obiektu regulacji.
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1 Rysunek : Schemat funkcjonalny rzeczywistego układu regulacji
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1 - krok 1-3 / 6 Krok 1: W trybie sterowania ręcznego (tryb M), zmieniając sygnał sterujący u (CV), doprowadzić wielkość regulowaną y m (PV) do stanu, w którym zrówna się ona z wymaganą wartością zadaną. Krok 2: Ustawić regulator zainstalowany na obiekcie na działanie proporcjonalne (wyłączyć akcję całkującą i różniczkującą), ustawić punkt pracy regulatora równy nastawionej w ramach Kroku 1 wartości u oraz nastawić początkową wartość wzmocnienia regulatora k p > 0. Krok 3: Przełączyć układ na sterowanie automatyczne (tryb A) i jeżeli układ zachowuje stan równowagi, zadajnikiem SP wytworzyć impulsową zmianę wartości zadanej o amplitudzie i czasie trwania impulsu zależnym od spodziewanej dynamiki procesu; obserwować lub rejestrować zmiany wielkości regulowanej. Praktycy zalecają amplitudę impulsu o wartości 10% zakresu zmian sygnału y m (PV) i czas trwania impulsu równy około 10% szacowanej wartości zastępczej stałej czasowej obiektu.
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1 - krok 4-6 / 6 Krok 4:Jeżeli zmiany są gasnące, ustawiać coraz to większe wartości aż do wystąpienia w układzie stałych niegasnących oscylacji. Krok 5: Z zarejestrowanego przebiegu o niegasnącej amplitudzie, odczytać k pkryt. okres oscylacji T osc. Krok 6: Wprowadzić nastawy zgodnie z tablicą nastaw w. Zieglera-Nicholsa.
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1 Rysunek : Przebiegi zmian wielkości regulowanej PV uzyskiwane w trakcie eksperymentu Zieglera Nicholsa (wariant 1)
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1 Tabela nastaw regulatora PID wg. Zieglera-Nicholsa Rodzaj regulatora k p T i T d P 0, 50k pkryt. - - PI 0, 45k pkryt. 0, 8T osc PID 0, 60k pkryt. 0, 5T osc 0, 12T osc
Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015