STATYKA I DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO I BRYŁY SZTYWNEJ, WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ ZAGADNIENIA DO ĆWICZEŃ 1. Warunki równowagi ciał. 2. Praktyczne wykorzystanie warunków równowagi w tzw. maszynach prostych. 3. Prawa dynamiki Newtona dla ruchu prostoliniowego prostoliniowego obrotowego. 4. Ruch ciała na równi pochyłej: a. bez tarcia b. z tarciem statycznym c. z tarciem tocznym. 5. Prawa zachowania pędu i momentu pędu. 6. Sprężystość ciał. PODSTAWY TEORETYCZNE Moment siły
Warunki równowagi ciał Ciało jest w równowadze, gdy algebraiczna suma momentów sił, n M i i= 1 = 0, względem dowolnego punktu leżącego na linii zrównoważonej siły wypadkowej jest równa zero. Jednocześnie musi być spełniony warunek zerowania sumy geometrycznej wszystkich sił, n F i i= 1 = 0. Praktycznie powyższe warunki równowagi stosuje się w tzw. maszynach prostych takich jak: dźwignia jednostronna (np. taczka, nóż do cięcia blach, belka do podnoszenia ciężarów) i dwustronna (np. waga, dźwignia pompy studziennej), kołowrót, wielokrążek. Rodzaje tarcia a. tarcie statyczne
Wiemy, że w przypadku granicznej siły tarcia statycznego: T g = f N = f F g cos α m. Skoro ciało się jeszcze nie zsuwa, to siła zsuwająca musi być równoważona przez siłę tarcia granicznego. A więc: T g = F z f F g cos α m = F g sin α m f cos α m = sin α m f = tg α m Widzimy zatem, że współczynnik tarcia statycznego f równy jest tangensowi maksymalnego kąta nachylenia równi, przy którym ciało się jeszcze z niej nie zsuwa. Oczywiście, współczynnik ten będzie różny, w zależności od materiałów, z jakich zrobione są ciało i równia oraz od stanu ich powierzchni. b. tarcie kinetyczne toczne Z równowagi momentów sił względem środka osi walca wynika zależność: T = f R N
Zasady dynamiki Newtona Ruch obrotowy bryły sztywnej
Prędkość kątowa wyraża ilościowo kąt zakreślony przez ciało poruszające się ruchem obrotowym w jednostce czasu. Wartość wektora prędkości kątowej równa jest pochodnej przemieszczenia kątowego względem czasu, zaś jego kierunek pokrywa się z osią obrotu. Zwrot wektora zgodny jest z regułą śruby prawoskrętnej. Przy zmianie kierunku ruchu obrotowego zwrot tego wektora zmieni się na przeciwny. Prędkość liniowa punktu poruszającego się ruchem obrotowym równa jest iloczynowi jego prędkości kątowej i odległości od osi obrotu. Moment bezwładności bryły
Przykładowe momenty bezwładności. W przypadku, kiedy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy ciała, moment bezwładności może być wyrażony z pomocą tzw. twierdzenia Steinera.
Moment pędu Zasada zachowania pędu Jeżeli w inercjalnym układnie odniesienia na układ ciał nie działają siły zewnętrzne lub działające siły się równoważą, to całkowity pęd układu nie ulega zmianie.
Zasada zachowania momentu pędu Własności sprężyste ciał Prawo Hooke a Prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości. Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Względne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E
więc:, gdzie: F siła rozciągająca, S pole przekroju, l wydłużenie pręta, l długość początkowa. W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły. Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać: gdzie: odkształcenie względne, naprężenie. Współczynnik Poissona (ν) jest stosunkiem odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie naprężenia. Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową i nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób w jaki się on odkształca. Jeżeli w przypadku materiału izotropowego w rozpatrywanym punkcie ciała wyróżnimy kierunek m i jeżeli w tym punkcie jedynie naprężenie σ m 0 (zaś pozostałe składowe naprężenia są równe zero), to współczynnik Poissona: gdzie: ε odkształcenie, n dowolny kierunek prostopadły do m.
Jeżeli pręt o średnicy d (lub dowolnym innym charakterystycznym wymiarze, np. szerokości) i długości L zostanie poddany rozciąganiu tak, że wydłuży się o L, to jego średnica zmieni się (zmniejszy się, stąd dla uniknięcia wartości ujemnych współczynnika znak minus we wzorze) o: Wzór ten jest słuszny w przypadku małych odkształceń. Jeżeli odkształcenia są znaczne, to dokładniejsze wyniki daje wzór (w założeniu ν=const): Powyższe wzory są jednym ze sposobów bezpośredniego wyznaczenia współczynnika Poissona w statycznej próbie rozciągania, chociaż ze względu na niewielkie odkształcenia jest to metoda niedokładna. ZADANIA 1. Do gładkiej ściany przystawiono drabinę o długości l, której współczynnik tarcia o podłogę wynosi f=0,4. Jak wysoko może człowiek o ciężarze 3-krotnie większym od ciężaru drabiny wspiąć się na nią zanim się ona obsunie? Kąt jaki tworzy drabina z podłogą wynosi 60 0. Odp. s=0,76 l. 2. Cienkościenny cylinder cylinder promieniu R stoi na poziomej płaszczyźnie. Do jego
środka włożono dwie jednakowe kule, każda o ciężarze P i promieniu r>r/2. Znaleźć najmniejszy ciężar cylindra Q, aby się nie przewrócił. Odp. Q=2P(1-r/R). 3. Na poziomej płaszczyźnie znajduje się równia pochyła o masie M i kącie nachylenia α. Na równi umieszczono klocek o masie m. Pomijając tarcie między wszystkimi stykającymi się powierzchniami obliczyć przyspieszenie równi. Odp. 1 sin 2α a = g. 2 2 M + sin α m 4. Rozpędzony wagon wjeżdża na tor nachylony pod pewnym kątem i po przebyciu drogi s=50m zatrzymuje się po t 1 =20s i zaczyna zjeżdżać ze zbocza. Czas zjeżdżania wynosi t=50s. Obliczyć współczynnik tarcia. Odp. f=0,011. 5. Na równi pochyłej o kącie nachylenia 40 0 leżą dwa klocki o masach m 1 =1kg i m 2 =0,5kg jeden na drugim. Współczynnik tarcia między klockami f 1 =0,3, między dolnym klockiem a równią f 2 =0,15. Do dolnego klocka przyłożono siłę F skierowaną do góry wzdłuż równi. Przy jakiej wartości siły F górny klocek zacznie poruszać się względem dolnego? Odp. F=5,1N. 6. Po równi pochyłej nachylonej pod kątem 30 0 zsuwa się bez tarcia klocek o masie M=1kg. Po upływie czasu t=2s od rozpoczęcia ruchu uderzył w niego pocisk o masie m=200g lecący poziomo i utkwił w nim. Klocek przesunął się w górę wzdłuż równi przebywając drogę s=80cm od miejsca zderzenia. Oblicz prędkość pocisku. Odp. v=86m/s. 7. Z rufy łodzi o masie M=200kg skacze z prędkością v=4m/s względem łodzi dwóch nurków o masach m 1 =60kg i m 2 =90kg. Oblicz prędkość łodzi, jeśli: a. obaj skaczą jednocześnie, b. najpierw skacze nurek 1, c. najpierw skacze nurek 2. Odp. v a =3m/s, v b =2,6m/s, v c =2,4m/s. 8. Na nieważkiej nici zawieszona jest metalowa kulka. Druga taka sama kulka spadająca swobodnie wzdłuż nici w momencie zderzenia ma prędkość v=10m/s. Obliczyć prędkości kul bezpośrednio po ich sprężystym zderzeniu. Odp. v 1 =6,9m/s, v 2 =7,2 m/s. 9. Kulkę z plasteliny wyrzucono pionowo do góry z prędkością v=12m/s. Równocześnie taka sama kulka zaczęła spadać swobodnie z wysokości h=6m. Kulki zderzają się centralnie i niesprężyście. Jaka jest prędkość kulek po zderzeniu? Odp. u= 2,2m/s. 10. Kula o promieniu r=20cm obraca się wokół poziomej osi z częstością n=600obr./min. Kulę opuszczono na płaszczyznę poziomą. Po jakim czasie kula zacznie się toczyć bez
poślizgu? Oblicz prędkość toczenia. Współczynnik tarcia między walcem i płaszczyzną f=0,1. Odp. t=4,3s, ω=10/7πn. 11. Przez bloczek o masie m=0,5kg przerzucono nierozciągliwą nić, na której końcach wiszą odważniki o masach m 1 =1,5kg i m 2 =2,5kg. Obliczyć przyspieszenie odważników oraz naciągi nici. Odp. a=2,3m/s 2, N 1 =18,2N, N 2 =18,8N. 12. Na równi pochyłej o kącie nachylenia α znajduje się walec o masie m 1. Do jego ramy o masie m 2 doczepiono linkę, na końcu której znajduje się klocek o masie m 3. Walec toczy się bez poślizgu, natomiast pomiędzy klockiem i równią jest tarcie o współczynniku f. Obliczyć przyspieszenie układu oraz siłę napinającą. Odp. ( m a = 2 1 + m2 + m3 )sinα fm 3m + 2m + 2m 1 2 3 3 cosα g, m1 sinα f (3m1 + 2m2 )cosα N = m3g. 3m + 2m + 2m 13. Pręt o masie m=2kg i długości l=1m obraca się wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek. W koniec pręta trafia kula o masie M=10g mająca prędkość v=200m/s prostopadłą do osi pręta. Wyznaczyć prędkość kątową pręta, jeśli kula w nim utkwi. Odp. ω=4 1/s. 14. Pręt miedziany o długości l=3m jest rozciągany siłą F=20kN. Obliczyć zmianę objętości pręta. Odp. V=1,6*10-7 m 3. 15. Wyznaczyć minimalną długość, przy której zostanie zerwany pod własnym ciężarem pręt wykonany ze stali i zwisający pionowo. Gęstość stali ρ=7,7*10 3 kg/m 3, granica wytrzymałości na zerwanie W=7*10 8 N/m 2. Odp. l=9270m. 1 2 3 LITERATURA 1. A. Piekara. Mechanika ogólna. 2. B. Jaworski i in. Kurs fizyki. t.1. 3. J. Gmyrek. Zbiór zadań z fizyki. 4. R. Respondowski. Zadania z fizyki.