ALGORYTMY WSTAWIEŃ DLA ZAGADNIENIA HARMONOGRAMOWANIA PROJEKTU ZE ZDEFINIOWANYMI KAMIENIAMI MILOWYMI

ALGORYTMY WSTAWIEŃ DLA ZAGADNIENIA HARMONOGRAMOWANIA PROJEKTU ZE ZDEFINIOWANYMI KAMIENIAMI MILOWYMI Macn KLIMEK, Pot ŁEBKOWSKI Steszczene: W atykule opsano algoytm wstaweń dla poblemu hamonogamowana pojektu z oganczoną dostępnoścą zasobów RCPSP (ang. Resouce-Constaned Poject Schedulng Poblem) ze zdefnowanym temnam ealzacj umownych etapów pojektu tzw. kamen mlowych. Poównano efektywność poponowanych pocedu pzy zastosowanu zadań testowych z bblotek PSPLIB (ang. Poject Schedulng Poblem LIBay). Słowa kluczowe: algoytmy wstaweń, kamene mlowe, hamonogamowane pojektu z oganczonym zasobam. 1. Wpowadzene W ostatnch latach powstaje wele pac z hamonogamowana ealzacj pojektów (PSP Poject Schedulng Poblem). Wąże sę to z tym, że coaz powszechnej w planowanu podukcj stosowane są metody zwązane z obszaem zaządzana pzedsęwzęcam pojektam [1]. W nnejszej pacy ozważany jest poblem hamonogamowana pojektu z oganczoną dostępnoścą zasobów RCPSP. W opacowanu zapoponowany został matematyczny model poblemu RCPSP ze zdefnowanym, nepzekaczalnym temnam ealzacj etapów pojektu. Defnowana została funkcja celu uwzględnająca zabezpeczene temnowego wykonana wszystkch etapów pojektu (kamen mlowych) [2]. Następne dla tego modelu pzetestowano skuteczność dzałana algoytmów wstaweń opacowanych pzez autoów, dedykowanych dla zagadnena hamonogamowana pojektu z kamenam mlowym. 2. Sfomułowane poblemu Pojekt to unkalny zbó współzależnych czynnośc (zadań, opeacj) ealzowany dla osągnęca pzyjętych celów w amach okeślonych zasobów (pacownków, maszyn, mateałów) [1]. Zadana są nepodzelne ne można pzeywać ch ealzacj stneje tylko jeden sposób ch wykonana (ang. sngle-mode RCPSP) tzn. ne występują óżne waanty wykonana zadań pzy użycu nnych typów zasobów chaakteystyczne dla poblemu multmodalnego [3]. Pojekty pzedstawane są w epezentacj wezchołkowej (w sec czynnośc) jako acyklczny, spójny, posty gaf skeowany G(V, E), w któym V oznacza zbó węzłów odpowadający czynnoścom, a E to zbó łuków, któe opsują elacje kolejnoścowe mędzy zadanam. Zbó V składa sę z n zadań numeowanych od 1 do n w poządku topologcznym, tzn. popzednk ma zawsze nższy nume od następnka. Do gafu G(V, E) dodawane są dwe pozone czynnośc: czynność początkowa 0 czynność końcowa n+1, 676

o zeowych czasach twana zeowym zapotzebowanu na zasoby, epezentujące odpowedno wezchołek początkowy oaz wezchołek końcowy tego gafu [1]. Podczas wykonywana pojektu występują następujące oganczena [4]: kolejnoścowe zadana powązane są elacjam typu konec-początek bez zwłok: s + d s (, j) E (1) j zasobowe do zealzowana zadań nezbędne są zasoby odnawalne, któych lość jest oganczona stała w kolejnych okesach czasu: S t k a k t, k (2) gdze: s czas ozpoczęca zadana, d czas wykonywana zadana, a k lczba dostępnych zasobów typu k, S t zbó zadań wykonywanych w pzedzale czasu [t-1, t], k zapotzebowane czynnośc na zasób typu k. W zwązku z nepewnoścą występującą w takce ealzacj pojektu autozy poponują okeślć momenty kontol pzebegu pac tzw. kamene mlowe (mogą to być umowne etapy pojektu okeślone pzez zlecenodawcę wykonawcy pojektu), któe zmnejszą yzyko nepowodzena lub netemnowośc ealzacj pzedsęwzęca. Poszczególne zadana mają zdefnowane nepzekaczalne temny ch zakończena [2]: z < δ (3) gdze: z planowany czas zakończena zadana, δ nepzekaczalny czas zakończena zadana, a właścwe temn ealzacj tm j najblższego j-tego etapu pojektu, w któym zadane mus być już wykonane. Celem hamonogamowana jest znalezene czasów ozpoczęca poszczególnych zadań s 0, s 1, s n+1, pzy spełnenu oganczeń zasobowych kolejnoścowych opsanych wzoam (1, 2), dla odpowedno zdefnowanego kyteum optymalzacyjnego, któym najczęścej jest mnmalzacja czasu ealzacj całego pojektu. Dla modelu ze zdefnowanym kamenam mlowym funkcja celu pownna uwzględnać nepzekaczalne temny ealzacj poszczególnych etapów pzedsęwzęca. Z paktycznego punktu wdzena, w zwązku z nepewnoścą występującą pzy wykonywanu pojektu, wskazane jest znalezene takego uszeegowana zadań, któe posada zapasy czasowe maksymalne zabezpeczające temnową ealzację wszystkch etapów pojektu. Jako funkcja celu poponowana jest maksymalzacja F ważonej sumy ezew czasowych poszczególnych kamen mlowych [2]: 677

F m = =1 ez wm (4) gdze: m lczba umownych etapów pojektu, wm waga pzypsana -temu kamenow mlowemu, ez ezewa czasowa -tego kamena mlowego: óżnca mędzy temnem zakończena -tego etapu pojektu tm a temnem ealzacj wszystkch zadań zwązanych z tym etapem wyznaczona dla aktualnego hamonogamu. Pzy zastosowanu funkcj celu F pzy odpowedno zdefnowanych wagach wm osąga sę ównomene ozłożene zapasów czasowych dla poszczególnych etapów. Wag są okeślane zgodne z zasadą: wększa waga wm dla mnej zabezpeczonych temnów ealzacj etapu pojektu. Wylczany jest aktualny pozom zabezpeczena pb poszczególnych etapów pojektu według wzou (5): pb = m ez d 1 = j j KM (5) gdze: KM zbó wszystkch zadań wykonywanych podczas -tego etapu pojektu. W tej pacy ustalane wag wm wygląda następująco (dla upoządkowanych kamen mlowych malejąco według pb ): dla kamena mlowego o maksymalnym pb : wm = 1, dla kamena mlowego o k-tym pb : wm =( m k) 2, dla kamena mlowego o mnmalnym pozome pb : wm = m 2. Take zdefnowane wag powadz do ozłożena ezewy czasowej ez popocjonalne do wskaźnków pb wększego zabezpeczena etapów pojektu o wększej czasochłonnośc. 3. Algoytmy wstaweń dla poblemu hamonogamowana pojektu z oganczonym zasobam ze zdefnowanym kamenam mlowym Poblem hamonogamowana pojektu z oganczoną dostępnoścą zasobów RCPSP jest zadanem slne NP-tudnym [5]. Dla NP-tudnych poblemów optymalzacyjnych czas poszukwań ozwązana optymalnego dla wększych poblemów często jest neakceptowalny w paktyce. Z tego względu dla pojektów złożonych z dużej lczby zadań uzasadnone jest stosowane efektywnych algoytmów pzyblżonych, któe posadają najczęścej welomanową złożoność oblczenową ch czas wykonywana jest znaczne kótszy nż metod dokładnych o wykładnczej złożonośc oblczenowej. Do algoytmów pzyblżonych należą algoytmy konstukcyjne oaz algoytmy lokalnych poszukwań. Algoytmy konstukcyjne są wykozystywane do geneowana ozwązań początkowych dla badzej efektywnych algoytmów lokalnych poszukwań tj. algoytmy genetyczne, symulowanego wyżazana, pzeszukwana z zakazam td. Algoytmy konstukcyjne geneują ozwązane w opacu o poste mechanzmy poytetowana (algoytmy poytetowe) lub wstawana zadań (algoytmy metodą wstaweń). Pzedmotem analz w tej pacy są algoytmy wstaweń. 678

W algoytmach opeających sę na metodze wstaweń w faze wstępnej ustala sę początkową lstę zadań pzez zastosowane wybanego algoytmu stosującego metodę poytetową. W faze zasadnczej twozy sę cąg n pemutacj częścowych, zaczynając od pemutacj 1-elementowej kończąc na pemutacj n-elementowej. Każda kolejna pemutacja częścowa jest budowana w opacu o popzedną pemutację kolejne zadane z lsty początkowej. Zadane to jest wstawane póbne na óżne pozycje w aktualnej pemutacj częścowej ostateczne jest wstawane na taką pozycję, aby watość funkcj celu, była jak najlepsza. Po wstawenu wszystkch zadań otzymaną pemutację pzyjmuje sę jako ozwązane poblemu. Początkowa lsta zadań, sposób pobeana zadań z lsty początkowej oaz pozycje w pemutacjach częścowych, na któe póbne wstawane są zadana z lsty początkowej, są specyfczne dla konketnego algoytmu z tej klasy. Dla poblemu RCPSP z kamenam mlowym ne ma opacowanych do tej poy algoytmów konstukcyjnych metodą wstaweń. W nnejszej pacy poponowane są nowe algoytmy konstukcyjne metodą wstaweń [6]. Algoytmy te kozystają częścowo z koncepcj stosowanych pzy ozwązywanu nnych poblemów hamonogamowana podukcj tj. pemutacyjny system pzepływowy (algoytm NEH [7], algoytm Woo Ym [8]). W poponowanych poceduach stosowane są specyfczne dla ozpatywanego zagadnena zasady budowy lsty początkowej zadań oaz defnowane są funkcje celu dla pemutacj częścowych. Kolejne zadana z lsty początkowej wstawane są na dowolne pozycje, ale tylko take, któe ne zabuzają oganczeń kolejnoścowych zdefnowanych w pojekce. Algoytmy wstaweń dla poblemu RCPSP twozą hamonogam częścowy (temny ozpoczęca poszczególnych czynnośc) na podstawe aktualnej pemutacj częścowej (lsty zadań) za pomocą pocedu dekodujących (ang. SGS Schedule Geneaton Scheme). Stosowane są [9]: szeegowy SGS (ang. seal SGS) w każdej teacj ozpoczynana jest pewsza neuszeegowana czynność z aktualnej lsty zadań, w najwcześnejszym możlwym temne ozpoczęca pzy spełnenu oganczeń kolejnoścowych zasobowych, ównoległy SGS (ang. paallel SGS) teacyjne, w kolejnych momentach czasu t (w punktach decyzyjnych), ozpoczynane są wszystke neuszeegowane czynnośc, któe mogą być ozpoczęte w kolejnośc wynkającej z aktualnej lsty zadań pzy spełnenu oganczeń kolejnoścowych zasobowych. Szeegowa ównoległa pocedua dekodująca twozą hamonogam uwzględnający oganczena zasobowe kolejnoścowe, nezależne od kolejnośc zadań w pemutacj częścowej. Jako pewszy algoytm wstaweń poponowany jest algoytm W1 [6]. Algoytm W1: Oznaczena: P lsta zadań, z któej pzy użycu poceduy SGS, powstaje aktualny hamonogam częścowy, L lsta aktualne dostępnych zadań ne dodanych do lsty P, ale takch, któych popzednkam są wyłączne zadana już umeszczone na lśce P. Kok 1: Umeszczene na lśce L wszystkch następnków czynnośc pozonej początkowej 0 posotowanych według okeślonego poytetu. Kok 2: 679

Kok 3: Kok 4: Pobane zadana pewszego na lśce L (o najwyższym poytece) umeszczene tego zadana do hamonogamu częścowego. Analzowane zadane jest póbne wstawane na wszystke możlwe pozycje (ne zabuzając oganczeń kolejnoścowych) w aktualnej lśce czynnośc P, z któej geneowany jest dotychczasowy hamonogam częścowy. Spośód wszystkch możlwych, wybeana jest pozycja wstawena, dla któej uzyskwane jest najlepsze uszeegowane, boąc pod uwagę stosowane kyteum optymalzacyjne hamonogamów częścowych. Częścowy poządek zadań powstaje z aktualnej lsty czynnośc P pzy zastosowanu ównoległej lub szeegowej poceduy SGS. Usunęce z lsty L wstawonego w koku 2 zadana dodane do tej lsty następnków tego zadana (wszystkch tych, któych wszystke zadana popzedzające znajdują sę już w hamonogame częścowym) z zachowanem poządku zadań wynkającego z okeślonego poytetu zadań. Powtózene koków 2-3 aż do stwozena hamonogamu pełnego, złożonego z wszystkch czynnośc. Algoytmy W2 W3 dzałają podobne jak algoytm W1. Różnce występują w koku 2. Poza tym w W2 W3 kolejność zadań na lśce L jest dowolna, ne jest stosowane sotowane zadań zgodne z okeśloną egułą poytetową. W koku 2 algoytmu W2 testowane jest wstawene na ostatną pozycję lsty P każdego z zadań znajdujących sę aktualne na lśce L. Wybeane jest to z zadań, dla któego uzyskuje sę najlepszy hamonogam częścowy. Z kole algoytm W3 póbne wstawa każde z zadań z lsty L na wszystke możlwe pozycje lsty P do każdego z zadań znajdujących sę aktualne na lśce L. Wybeane są zadane ta pozycja wstawena, dla któych wygeneowany jest najlepszy hamonogam częścowy. Algoytm W3 ma wększą złożoność oblczenową nż algoytmy W1 W2. Ważne dla efektywnośc algoytmów W1, W2 W3 jest zdefnowane funkcj celu hamonogamów częścowych. Mus ona zapewnć dobą jakość uszeegowana złożonego z wszystkch zadań mezoną funkcją celu hamonogamowana nomnalnego F okeśloną wzoem (8). Poponowane są następujące kytea oceny uszeegowań częścowych: kyteum K1: maksymalzacja funkcj celu hamonogamowana nomnalnego F, pzy czym pocedua SGS twozy hamonogam dla lsty zadań złożonej z wszystkch zadań: kolejno z zadań z aktualnej lsty P w dalszej kolejnośc z pozostałych zadań upoządkowanych według stosowanej eguły poytetowej, kyteum K2: mnmalzacja czasu zakończena wszystkch zadań aktualne znajdujących sę na lśce P; kyteum K3: maksymalzacja funkcj celu hamonogamowana nomnalnego F, wylczona dla hamonogamu częścowego złożonego jedyne z zadań aktualne znajdujących sę na lśce P. Do zastosowana kyteum K1 oceny hamonogamów częścowych koneczne jest zdefnowane zasad poządkowana zadań ne umeszczonych na lśce P. Z kole algoytm W1 wykozystuje eguły poytetowe do ustalena kolejnośc ozpatywana zadań z lsty L. Do powyższych celów używane są eguły poytetowana R0-R21. W tabel 1 zapezentowane są znane eguły (eguły R1-R11), wykozystywane w badanach dotyczących poblemu RCPSP [10], któe są stosowane pzez autoów dla ozpatywanego zagadnena. Dla celów poównawczych dodana jest eguła R0, w któej 680

poszczególnym zadanom pzypsywane są losowe poytety zadań. Tab. 1. Znane eguły poytetowe Reguła Wzó na poytet zadana poytetowa R0 R1 R2 R3 R4 ( ) = andom 681 Ops eguły 0 Losowe poytety zadań ( ) = ES 1 ( ) = LS 2 ( ) = LF 3 ( ) = EF 4 R5 ( ) = ( LS ES ) 5 R6 ( ) = ( LF EF ) R7 R8 R9 R10 R11 6 ( ) # N 7 = ( ) # ZN 8 = ( ) = d 9 10 ( ) = d + d j 11 ( ) = d j K N k k= 1 + d K j j N k = 1 jk Mnmalny najwcześnejszy czas ozpoczęca zadana Mnmalny najpóźnejszy czas ozpoczęca zadana Mnmalny najpóźnejszy czas zakończena zadana Mnmalny najpóźnejszy czas zakończena zadana Mnmalna óżnca mędzy najpóźnejszym a najwcześnejszym możlwym czasem ozpoczęca czynnośc Mnmalna óżnca mędzy najpóźnejszym a najwcześnejszym możlwym czasem zakończena czynnośc Maksymalna lczba wszystkch następnków czynnośc Maksymalna lczba wszystkch bezpośednch następnków czynnośc Najkótszy czas twana czynnośc Maksymalna suma czasów twana danej czynnośc jej wszystkch następnków Maksymalna suma loczynu czasu twana zasobochłonnośc danej czynnośc jej wszystkch następnków Dla ozważanego poblemu, analza, któa dotyczy najpóźnejszego możlwego czasu ozpoczęca LS zakończena LF uwzględna nepzekaczalne temny zakończena kamen mlowych [11]. Najpóźnejszy możlwy czas zakończena zadana ne może pzekaczać temnu zakończena etapu pojektu z nm zwązanego. Poza znanym egułam poytetowym opacowane są zasady poytetowana wykozystujące nfomacje o zboach kamen mlowych, dedykowane dla analzowanego poblemu (eguły R12-R21) pzedstawone w tabel 2. Reguły te bazują na egułach R1-R10, dodatkowo uwzględnają dla każdego zadana nepzekaczalny temn jego ealzacj δ [11].

Tab. 2. Reguły poytetowe dla poblemu RCPSP z kamenam mlowym [11] Reguła Wzó na poytet zadana poytetowa R12 R13 R14 R15 R16 12 13 14 ( ) ( ) LS ( ) ES ( ) LF 15 16 ( ) EF R17 ( ) ( LS ES ) 17 R18 ( ) ( LF EF ) R19 R20 R21 18 # N 19 ( ) = δ 20 ( ) = 21 ( ) = # ZN δ d + j N δ d j 4. Wynk badań ekspeymentalnych Celem ekspeymentów jest znalezene najlepszych algoytmów wstaweń: najskutecznejszych eguł poytetowych oaz najefektywnejszych kyteów oceny hamonogamów częścowych. Ustalane są najlepsze eguły poytetowe stosowane do ustalana kolejnośc zadań na lśce L oaz najlepsze zasady ustalana kolejnośc zadań ne umeszczonych na lśce P pzy kyteum K1 oceny uszeegowań częścowych. Badana pzepowadzane są pzy użycu 960 nstancj testowych z bblotek PSPLIB [12] (po 480 dla poblemów złożonych z 30 90 zadań). Do każdego z pojektów z bblotek PSPLIB dodawane są losowo cztey kamene mlowe ( zwązane z nm zadana) z okeślonym temnam ealzacj tm, ozłożonym ównomene w takce ealzacj całego pojektu: tmm tm 1 tm =, < 1, m) m + (6) gdze: tm m temn ealzacj całego pojektu (tm m = δ n+1 ). Wszystke ekspeymenty powadzone są na komputeze HP Compaq z pocesoem Intel Pentum 4 CPU 3,0 GHz pzy użycu pogamu zamplementowanego w języku C# w śodowsku Vsual Studo.NET. W tabel 3 zestawone są śedne czasy twana 682

najlepsze śedne watośc funkcj celu hamonogamowana nomnalnego poszczególnych algoytmów wstaweń. Tab. 3. Śedne czasy twana t najlepsze śedne watośc funkcj celu F 30 zadań 90 zadań Algoytm szeegowy SGS 683 ównoległy SGS t max F t max F W1, K1 0.011 250.8 (R13)* 0.042 229.1 (R13) W1, K2 0.006 216.7 (R13) 0.014 214.8 (R13) W1, K3 0.006 246.2 (R15) 0.014 231.1 (R2) W2, K1 0.010 221.2 (R1) 0.039 219.7 (R0) W2, K2 0.004 149.0 0.009 44.3 W2, K3 0.004 160.7 0.009 47.0 W3, K1 0.015 198.3 (R13) 0.089 193.9 (R0) W3, K2 0.005 129.4 0.021 94.9 W3, K3 0.005 132.1 0.023 59.0 W1, K1 0.340 331.7 (R13) 2.234 296.6 (R13) W1, K2 0.161 297.9 (R13) 0.778 290.2 (R2) W1, K3 0.166 344.6 (R2) 0.785 309.7 (R2) W2, K1 0.458 211.3 (R1) 2.449 202.4 (R1) W2, K2 0.067 98.2 0.317 107.1 W2, K3 0.061 110.9 0.259 10.4 W3, K1 0.653 190.9 (R11) 5.878 187.2 (R1) W3, K2 0.161 87.1 0.723 35.3 W3, K3 0.191 97.6 0.848 77.2 * - w nawase zastosowana eguła poytetowana w algoytme o najwększej watośc F Najlepsze hamonogamy są znajdowane pzez algoytm W1. Najmnej skuteczny jest najbadzej czasochłonny oblczenowo algoytm W3. Na efektywność W1 znaczny wpływ ma użyta eguła poytetowa stosowana do ustalana kolejnośc ozpatywanych zadań (poządku na lśce L). W zastosowanu do poceduy W1 najefektywnejsze są eguły, któe są wydajne także dla algoytmów poytetowych [11] (eguły R2, R3, R13, R15), nezależne od pzyjętego kyteum oceny hamonogamów częścowych. Reguły poytetowe stosowane pzy ustalanu kolejnośc zadań ne umeszczonych na lśce zadań P pzy stosowanu kyteum K2 K3 oceny hamonogamów częścowych ne mają dużego wpływu na efektywność uszeegowana złożonego z wszystkch zadań. Kyteum oceny hamonogamów częścowych K2 jest najmnej efektywne dla każdego z poponowanych algoytmów wstaweń. Ekspeymenty wykazują lepszą pzecętną skuteczność szeegowej poceduy dekodującej nż ównoległej SGS. Kozyśc ze stosowana szeegowej SGS można zaobsewować zwłaszcza dla wydajnych algoytmów wstaweń. Dla każdego typu algoytmu wstaweń najlepsze watośc są znajdowane za pomocą szeegowej poceduy dekodującej. Dla poblemów 30-zadanowych pzecętne najlepsze ozwązana osągane są pzy zastosowanu W1 z kyteum oceny K1 z egułą poytetową R13 (250,8 to śedna

watość F). Dla poblemów 90-zadanowych najlepsze hamonogamy uzyskwane są pzy wykozystanu W1 z kyteum oceny K3 z egułą poytetową R2 (344,6 to pzecętna watość F). Śedne watośc funkcj celu F są wyższe nż dla najlepszych algoytmów poytetowych [11] neznaczne odbegają od najlepszych watośc funkcj celu uzyskanych pzy zastosowana algoytmów metaheuystycznych [2]. 5. Zakończene W atykule zapezentowane są nowe algoytmy wstaweń dla poblemu hamonogamowana pojektu ze zdefnowanym kamenam mlowym. Algoytmy te są zblżone do algoytmów metodą wstaweń stosowanych dla nnych zagadneń szeegowana zadań tj. poblem pemutacyjny. Dzałane algoytmów jest testowane pzy użycu poblemów testowych z bblotek PSPLIB, zmodyfkowanych pzez zdefnowane umownych etapów pojektu. Wynk testów potwedzają pzydatność algoytmów wstaweń do geneowana hamonogamów dla ozważanego poblemu. Hamonogamy uzyskane pzy wykozystanu algoytmu W1, najlepszego najmnej czasochłonnego z algoytmów, są neznaczne pzecętne gosze od ozwązań wygeneowanych pzez najefektywnejsze algoytmy metaheuystyczne [2]. Lteatua 1. Kostubec A.: Hamonogamowane pojektów - pzegląd model. Inżynea Zaządzana Pzedsęwzęcam, Wydawnctwo Poltechnk Gdańskej, Gdańsk 2003, s. 33-52. 2. Klmek M., Łebkowsk P.: Algoytmy metaheuystyczne dla poblemu hamonogamowana pojektu z kamenam mlowym. Zeszyty Naukowe Poltechnk Śląskej, Sea: Automatyka, z. 150, 2008, s. 63 72. 3. Węglaz J. (Red.): Poject Schedulng: Recent Models, Algothms and Applcatons, Kluwe Academc Publshes, 1998. 4. Heoelen W., De Reyck B., Demeulemeeste E.: Resouce constaned schedulng: a suvey of ecent developments. Computes and Opeatons Reseach 25, 1998, s. 279-302. 5. Błażewcz J., Lensta J., Kan A. R.: Schedulng subject to esouce constants - classfcaton and complexty. Dscete Appled Mathematcs 5, 1983, s. 11-24. 6. Klmek M., Łebkowsk P.: Algoytmy wstaweń dla poblemu hamonogamowana pojektu z oganczoną dostępnoścą zasobów, Wybane zagadnena logstyk stosowanej (ed.) Lech Bukowsk. Wydawnctwa AGH, 2009, s.120-127. 7. Nawaz M., Enscoe E., Ham I.: A heustc algothm fo the m machne, n-job flowshop sequencng poblem. OMEGA 11, 1983, s. 91-95. 8. Woo D.S., Ym H.S.: A heustc algothm fo mean flowtme objectve n flowshop schedulng, Computes and Opeatons Reseach 25, 1998, s.175-182. 9. Kolsch R.: Seal and paallel esouce-constaned poject schedulng methods evsted: Theoy and computaton. Euopean Jounal of Opeatonal Reseach, 90, 1996, s. 320-333. 10. Kolsch, R. Effcent poty ules fo the esouce-constaned poject schedulng poblem. Jounal of Opeatons Management 14, 1996, s. 179-192. 684

11. Klmek M., Łebkowsk P.: Algoytm poytetowy hamonogamowana pojektu pzy oganczonych zasobach. Komputeowo Zntegowane Zaządzane (ed.) R. Knosala, Opole: Ofcyna Wydawncza Polskego Towazystwa Zaządzana Podukcją, T.I, 2009, s. 532-540. 12. Kolsch R., Speche A.: PSPLIB a poject schedulng lbay. Euopean Jounal of Opeatonal Reseach 96, 1997, s. 205 216. Mg nż. Macn KLIMEK Instytut Infomatyk Państwowa Szkoła Wyższa 21-500 Bała Podlaska, ul. Sdoska 95/97 e-mal: macn_kl@ntea.pl D hab. nż. Pot ŁEBKOWSKI, pof. AGH Kateda Badań Opeacyjnych Technolog Infomacyjnych Wydzał Zaządzana, Akadema Gónczo-Hutncza 30-059 Kaków, al. Mckewcza 30 e-mal: plebkows@zaz.agh.edu.pl 685