Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą skończonego stożka. Powstaje w wyniku przecięcia nieskończonego stożka płaszczyzną prostopadłą do wysokości.
Równanie okręgu: układ kartezjański W kartezjańskim układzie współrzędnych podajemy dwie współrzędne punktu: (x, y). Interpretacja tego jest prosta:
Równanie okręgu: układ kartezjański W kartezjańskim układzie współrzędnych podajemy dwie współrzędne punktu: (x, y). Interpretacja tego jest prosta: współrzędna x podaje nam położenie lewo-prawo
Równanie okręgu: układ kartezjański W kartezjańskim układzie współrzędnych podajemy dwie współrzędne punktu: (x, y). Interpretacja tego jest prosta: współrzędna x podaje nam położenie lewo-prawo współrzędna y podaje nam położenie góra-dół
Równanie okręgu: układ kartezjański W kartezjańskim układzie współrzędnych podajemy dwie współrzędne punktu: (x, y). Interpretacja tego jest prosta: współrzędna x podaje nam położenie lewo-prawo współrzędna y podaje nam położenie góra-dół Przypomnijmy treść twierdzenia Pitagorasa:
Równanie okręgu: układ kartezjański W kartezjańskim układzie współrzędnych podajemy dwie współrzędne punktu: (x, y). Interpretacja tego jest prosta: współrzędna x podaje nam położenie lewo-prawo współrzędna y podaje nam położenie góra-dół Przypomnijmy treść twierdzenia Pitagorasa: Theorem (Pitagoras) Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Równanie okręgu: układ kartezjański Spróbujmy zastosować powyższe twierdzenie do dowolnego punktu na okręgu:
Równanie okręgu: układ kartezjański Dostajemy x 2 + y 2 = r 2
Równanie okręgu: układ kartezjański Dostajemy x 2 + y 2 = r 2 Ogólnie: jeżeli środek okręgu jest w punkcie (x 0, y 0 ), a promień wynosi r to równanie okręgu dane jest wzorem: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. Powyższe równanie nazywane jest także równaniem kanonicznym okręgu.
Równanie okręgu: postać parametryczna Przypomnijmy sobie też podstawowe funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym:
Równanie okręgu: postać parametryczna Przypomnijmy sobie też podstawowe funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym: sin(α) = y r
Równanie okręgu: postać parametryczna Przypomnijmy sobie też podstawowe funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym: sin(α) = y r cos(α) = x r
Równanie okręgu: postać parametryczna Przypomnijmy sobie też podstawowe funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym: sin(α) = y r cos(α) = x r
Równanie okręgu: postać parametryczna Stąd dostajemy zależności: x = r cos(α), y = r sin(α). Ogólnie: x = x 0 + r cos(α), y = y 0 + r sin(α)
Równanie okręgu: postać parametryczna Stąd dostajemy zależności: x = r cos(α), y = r sin(α). Ogólnie: x = x 0 + r cos(α), y = y 0 + r sin(α) Są to tak zwane równania parametryczne okręgu. Ich interpretacja jest łatwa. Każdą z pozycji (x, y) na okręgu uzależniamy od jednego parametru: w tym przypadku od kąta α. I tak nie musimy już przekazywać czterech informacji jak wcześniej (szerokość, wysokość, promień, środek) ale oszczędzamy miejsce i podajemy trzy informacje (kąt, promień, środek). Wartość α [0, 2π) nazywamy parametrem. Stąd nazwa.
Równanie okręgu: układ biegunowy W układzie kartezjańskim, do którego jesteśmy przyzwyczajeni podajemy współrzędne szerokości i wysokości.
Równanie okręgu: układ biegunowy W układzie kartezjańskim, do którego jesteśmy przyzwyczajeni podajemy współrzędne szerokości i wysokości. Ale są też inne systemy podawania pozycji obiektu. Takim systemem jest system biegunowy. W nim podajemy także dwie współrzędne: odległość od środka układu ρ oraz kąt pomiędzy osią poziomą a promieniem wodzącym φ.
Równanie okręgu: układ biegunowy W układzie kartezjańskim, do którego jesteśmy przyzwyczajeni podajemy współrzędne szerokości i wysokości. Ale są też inne systemy podawania pozycji obiektu. Takim systemem jest system biegunowy. W nim podajemy także dwie współrzędne: odległość od środka układu ρ oraz kąt pomiędzy osią poziomą a promieniem wodzącym φ. Środek takiego układu współrzędnych nazywamy biegunem, a oś poziomą nazywamy osią biegunową.
Związek między dwoma układami
Równanie okręgu: układ biegunowy Jeżeli środek okręgu pokrywa się z biegunem, to równanie okręgu przybiera postać ρ = r.
Równanie okręgu: układ biegunowy Jeżeli środek okręgu pokrywa się z biegunem, to równanie okręgu przybiera postać ρ = r. Jeżeli środek okręgu leży na osi biegunowej i okrąg przechodzi przez biegun, to równanie okręgu przybiera postać ρ = 2r cos(φ).
Równanie okręgu: układ biegunowy Jeżeli środek okręgu pokrywa się z biegunem, to równanie okręgu przybiera postać ρ = r. Jeżeli środek okręgu leży na osi biegunowej i okrąg przechodzi przez biegun, to równanie okręgu przybiera postać ρ = 2r cos(φ). Ogólnie: jeśli środek okręgu ma współrzędne (ρ 0, φ 0 ) to równanie okręgu wyraża się wzorem: ρ 2 2ρρ 0 cos(φ φ 0 ) + ρ 2 0 = r 2
Pole i długość okręgu Pamiętajmy, że mówiąc o długości myślimy o okręgu, zaś mówiąc o polu mówimy o polu koła ograniczonego przez okrąg.
Pole i długość okręgu Pamiętajmy, że mówiąc o długości myślimy o okręgu, zaś mówiąc o polu mówimy o polu koła ograniczonego przez okrąg. Długość okręgu o promieniu r wyraża się wzorem l = 2πr. Pole koła wyraża się wzorem P = πr 2. Zwróćmy uwagę, że obie wielkości nie zależą od współrzędnych środka okręgu.
Liczba π W poprzednich wzorach pojawia się jedna z najważniejszych stałych matematycznych: π, zwana też ludolfiną. Oprócz niej w matematyce są też inne równie ważne stałe, jak np. liczba Eulera e, stała gamma Eulera γ i tym podobne.
Liczba π W poprzednich wzorach pojawia się jedna z najważniejszych stałych matematycznych: π, zwana też ludolfiną. Oprócz niej w matematyce są też inne równie ważne stałe, jak np. liczba Eulera e, stała gamma Eulera γ i tym podobne. Czym jest słynna ludolfina?
Liczba π W poprzednich wzorach pojawia się jedna z najważniejszych stałych matematycznych: π, zwana też ludolfiną. Oprócz niej w matematyce są też inne równie ważne stałe, jak np. liczba Eulera e, stała gamma Eulera γ i tym podobne. Czym jest słynna ludolfina? O tym na kolejnych zajęciach :)
Podziękowania Dziękuję za uwagę