rzedmot ehk teoretz kłd r prowdzee podstwowe poję. huek wektorow. pdkow ukłdu sł. ruk rówowg ehk: ogól, tehz, teoretz. Dzł fzk zjmują sę dem ruhu rówowg ł mterlh, ustlem ogólh prw ruhu orz h stosowem do wdelzowh ł rzezwsth (pukt mterl orz ło doskole sztwe rm, krt). rogrm zjęć () rogrm zjęć () odstwowe poję. odstw rhuku wektorowego. Ukłd sł st rówowg. ekje węzów w ukłdh płskh. Sł wewętrze w elkh; w rmh. Ltertur 3 Sł wewętrze: w krtowh; w łukh; ekje węzów sł wewętrze w ukłdh przestrzeh. Zjwsko tr prw tr. Elemet kemtk. odstw dmk. Zlzee 4 ] J. Leko: ehk ogól ] J. Leko: ehk ogól w zdh 3] J. sk: ehk ogól, T. -3 (Sttk, Kemtk, Dmk) 4] J. sk: Zd z mehk ogólej 5]. Chudzkewz: Sttk udowl (Tom ) 6] Z. Cwńsk: ehk udowl w zdh. Ukłd sttze wzzle Ćwze: oeoś; ćwzee projektowe; kolokw. Egzm: zęść psem; zęść ust. 5 6 Dzł mehk Zsd dmk Newto () Sttk d przpdk, ked sł dzłjąe ło e wwołują sł ezwłdoś, tj. są przkłde w eskońzee długm zse orz rówowżą sę wzjeme. Kemtk zjmuje sę dem ruhu ł ezleże od zków wwołująh te ruh. rzedmotem dń są: drog, prędkość, przspeszee td. Dmk rozptruje ruh ł w zleżoś od sł dzłjąh e, d zleżoś mędz tkm welkośm jk: prędkość, przspeszee, pęd, sł, eerg td. rwo I ukt mterl, któr e dzł żd sł lu dzłjąe sł rówowżą sę, pozostje w spozku lu porusz sę ruhem jedostjm po l prostej. 7 8
Zsd dmk Newto () Zsd dmk Newto (3) rwo II rzspeszee puktu mterlego jest wprost proporjole do sł dzłjąej te pukt, odwrote proporjole do ms puktu mterlego. Jego zwrot keruek zgod jest ze zwrotem kerukem wektor sł. m m rwo III Dw pukt mterle dzłją see dwom słm rówm o do wrtoś, tm smm keruku, le o przewm zwroe. 9 Idelzje () Idelzje () ukt mterl ło o eskońzee młh wmrh, le posdjąe msę. odeluje ł o rdzo młh wmrh w porówu z wmrm otoze. mr tle młe, moż ło pomąć orót ł względem ukłdu odese. Cło doskole sztwe odległoś mędz jego puktm e zmeją sę (e podleg odksztłeom pod wpłwem dzłjąh sł). odel ł rzezwstego, gd odksztłe są pomjle młe w stosuku do wmrów. Idelzje (3) Zsd superpozj Zsd zesztwe ruk rówowg sł dzłjąh ło odksztłle e zostą ruszoe przez zesztwee tego ł. ukt przłoże sł e uleg przesuęu mmo odksztłe kostrukj. Dzł poszzególh oążeń są od see ezleże. Efekt dzł (odksztłee, sł wewętrz) dwóh lu węej wpłwów (oążeń) może zostć wzzo jko sum efektów wwołh dzłem th wpłwów oddzele. 3 4 Sklr wektor Sklr do ops ezęde jest pode jedej wrtoś w odeseu do określoego puktu w przestrze. ektor do ops poz mrą (modułem, długośą wektor), ezęde jest pode: keruku (ułoże l dzł), zwrotu (uporządkow puktów od pozątku do koń wektor), puktu zzepe. Iterpretj geometrz, przkłd ektor moż przedstwć jko uporządkową prę puktów, z którh jede jest pozątkem wektor, drug jego końem. Sklr: gęstość, ms, tempertur, eerg; ektor przemeszzee, prędkość, przspeszee, sł. 5 6
odzje wektorów ektor zzepoe zwąze z puktem przłoże; ektor ślzgjąe sę mogąe poruszć sę wzdłuż l dzł (p. wektor sł w mehe); ektor swoode mogą zostć przłożoe w dowolm puke (p. wektor mometów sł). Dzł wektorh Sum wektorów; óż wektorów; ożee wektor przez sklr; Iloz wektorów: sklr; wektorow; mesz; e welokrote loz wektorów. 7 odstwowe jedostk s: g (grm); kg g (klogrm) Długość: mm, m (mlmetr); m (metr); km m (klometr) Czs: s (sekud); m 6 s (mut); h 6 m 36 s (godz) Sł: N kg m/s (uto); kn N (klouto) omet sł: Nm (Nutoometr); knm N (kloutoometr) Zps ltz grfz wektor płszzz j, ] + j + przestrzeń z z k j z,, ] + j+ k z + + z z 8 9 Dodwe wektorów Twerdzee osusów Sum wektorow wektorów :,, ],, ] z + + z +, +, + ] z z Zsd rówoległooku Kwdrt długoś oku trójkąt leżąego przew kąt γ jest rów sume kwdrtów długoś oków leżąh prz tm kąe orz podwojoego lozu th długoś oków osus tego kąt γ. γ + osγ Odejmowe wektorów () Sum dwóh wektorów może zostć przedstwo jko przekąt rówoległooku zudowego ze sumowh wektorów przeją kąt mędz tm wektorm. + - os( π - ) + + os π - 3 óż wektorów jest rów sume wektor wektor przewego do :,, ],, ] z,, ],, ] z z z z óż wektorów jest rów sume wektor wektor przewego do :,, ] d,, ] z z z 4
Odejmowe wektorów () Sklowe wektor - + ( ) d - d + ( ) 5 ożee wektor przez sklr () wku otrzmuje sę wektor o tkm smm keruku, merze rz wększej (prz >) > lu / rz mejszej (prz <) tkm smm zwroe, jeżel >, << zś przewm, jeżel <. -<< <- 6 Iloz sklr () Iloz sklr welkość sklr rów lozow modułów możoh wektorów osus kąt zwrtego mędz m (loz mr jedego wektor przez rzut prostokąt drugego keruek perwszego). Iloz sklr (),, ],, ] z z s o os S(, ) + + z z os os 7 8 Iloz wektorow () Iloz wektorow (wektor): keruek prostopdł do płszzz wzzoej przez możoe wektor, zwrot określo zgode z regułą śru prwoskrętej, mr rów lozow mr możoh wektorów sus kąt mędz m (pole powerzh rówoległooku zudowego możoh wektorh). Iloz mesz 9 Iloz wektorow () j k z,, ],, ] z d z d d z z ( ) ( z z z z) ( ) - + - j+ - k ( ) ( ) ( ) d s S (, ) z - z + z - z + - rzemeość dzłń j k z d 3 Iloz mesz welkość sklr rów ojętoś rówoległośu zudowego możoh wektorh jko krwędzh. V ( ) o V d o d s d os V s os d 3 Sum wektorów loz sklr są dzłm przemem, tomst róż wektorów loz wektorow e są przemee. d > d - d > d - 3
ojęe sł Sł wzjeme oddzłwe ł, które przejw sę w wprowdzeu ł ze stu spozku, ądź przez zmę ruhu już poruszjąego sę ł. shrkterzowć słę leż podć wektor, opsują tą słę, orz pukt przłoże sł. Ukłd sł Ukłd sł dowol grup oddzłwń ł zewętrzh lzowe ło. ówowże ukłd sł Dw ukłd sł są rówowże wted, gd zstąpee jedego ukłdu, dzłjąego ło sztwe, przez drug ukłd sł e wwoł zm ruhu, zl e spowoduje zm keruku ruhu, prędkoś, przśpesze, td. 33 34 pdkow łsk przestrze ukłd sł Sł wpdkow wektor, któr jest sumą wszstkh wektorów sł z ukłdu, przłożoego do puktu mterlego stow ukłd rówowż, pod wrukem, że sł wpdkow jest przłożo do tego smego puktu mterlego. Ukłd sł zwm płskm, jeżel keruk wszstkh sł tego ukłdu położoe są w jedej płszzźe. kżdm m przpdku ukłd zwm przestrzem. 35 36 Ukłd sł zeżh Sł dzłjąe wzdłuż jedej prostej Ukłd sł zeżh le dzł wszstkh sł przeją sę w jedm puke, tzw. puke zeżoś. Określe wpdkowej ukłdu sł: dzłjąh wzdłuż jedej prostej; zeżh metod grfz; metod ltz. pdkow -metod grfz pdkow ukłdu dwóh sł może zostć wzzo jko przekąt rówoległooku zudowego w opru o wektor skłdowe przeją kąt mędz tm wektorm. π 37 pdkow ukłdu sł dzłjąh wzdłuż jedej prostej jest wektorem o tkże dzłjąm wzdłuż tej prostej, zwroe zgodm z wększą ze skłdh sł merze rówej sume, gd mr wektorów skłdowh są zgode, lu róż mr wektorów skłdowh, gd zwrot skłdowh są przewe. + elook szurow Do koń perwszej sł przkłd jest pozątek sł stępej, td. ozątek perwszej sł połązo z końem osttej określ wpdkową. 4 3 38 3 + os( π ) + + os 39 4 4
ozkłde sł skłdowe rzez pozątek koe dej sł przeprowdz sę keruk, które sł m zostć rozłożo. Sł skłdowe mogą zostć wzzoe jko ok tk zudowego rówoległooku. Twerdzee susów dowolm trójkąe stosuek długoś oku do sus przewległego kąt jest stł rów sę długoś śred okręgu opsego trójkąe. s s sγ γ r wektorów skłdowh π + π/ π (+) rzkłd 3 3 3 3 3 s s s + s s ( π ( )) s ( π ( + )) s( + ) s s π s os π s s s π s s ( π ( + )) s( + ) 4 43 45 pdkow -metod ltz Skłdowe sł ukłdu: os s Skłdowe wpdkowej: + +... + Sł wpdkow: + Keruek wpdkowej: os + +... + s 44 pdkow ukłdu sł rówoległh rzłożee ukłdu zerowego (ukłd sł rówowżąh sę, p. dwe sł o tkej smej merze, l dzł przewh zwroth) e wpłw st rówowg ł. Z Z Z Z 4 46 omet sł () omet sł () omet sł względem puktu loz wektorow prome wodząego, zl wektor łąząego omw pukt pukt przłoże sł, orz wektor sł: O r r r O O r s r r s O r 47 omet sł względem prostej -ometem względem prostej zwm loz wektorow prome wodząego, zl wektor łąząego pukt prostej jlższ kerukow sł pukt przłoże sł, wektor sł. omet sł względem os rów jest mometow rzutu sł płszzzę prostopdłą do os względem puktu, w którm oś przej płszzzę. π z r r r z r r r z 48
r sł rę sł stową dwe sł o rówoległh lh dzł, o przewh zwroth, zś o th smh mrh. mę pr sł odległość pomędz kerukm sł os zwę rme pr sł. z Dowol płsk ukłd sł () edukj do sł wpdkowej przłożoej w egue redukj wpdkowego mometu względem tego egu. Sł skłdowe mogą zostć przeesoe do egu redukj, pod wrukem przłożee mometu od th sł względem egu redukj. 49 5 Dowol płsk ukłd sł () rzkłd () pdkową słę wzz sę dl ukłdu zeżego przłożoego w egue redukj. pdkow momet jest rów sume mometów od sł skłdowh. r o o 3 3 3 3 (,) 3 3 (,) (,) 5 5 rzkłd () rzkłd (3) 3 3 3 3 3 3 3 3 + + 53 54 rzkłd (4) rzkłd (5) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + 3 3 3 + + 3 3 + + 3 55 56
Dowol płsk ukłd sł (3) pdkow momet może zostć przedstwo jko: wektor mometu; pr sł; momet od sł wpdkowej przłożoej e w egue redukj, l dzł wzzoej w tk sposó, że momet od sł wpdkowej rów jest mometow od sł skłdowh. Sł wpdkow wpdkow momet + + 3 + + 3 57 58 omet od wpdkowej Uogólee w przestrze + tg 59 Ukłd sł zeżh redukj do sł wpdkowej przłożoej w puke zeżoś. Dowol przestrze ukłd sł redukj do wpdkowej sł wpdkowego mometu. 6 Klsfkj ukłdów sł St rówowg Ukłd sł - ukłd wpdkow Zeż Dowol łszzz Sł wpdkow w płszzźe Sł wpdkow w płszzźe wektor mometu prostopdł do płszzz rzestrzeń Sł wpdkow dowol keruek w przestrze Sł wpdkow (dowol keruek w przestrze) wpdkow wektor mometu (dowol keruek w przestrze) ówowg sttz ukt mterl (ło sztwe) jest w rówowdze, jeżel pod wpłwem ukłdu sł, e porusz sę o lu porusz sę ruhem jedostjm prostolowm. Tk ukłd sł zw sę zrówowżom lu rówowżm zeru. 6 6 Oswoodzee z węzów Cło eswoode moż mślowo oswoodzć z węzów, zstępują h dzłe rekjm. Cło oswoodzoe z węzów moż trktowć jko swoode pod dzłem sł zh (oążeń) erh (rekj). odzje sł w mehe mehe wróż sę stępująe rodzje sł: sł zewętrze -oążee pohodząe od h ł; rekje -sł zewętrze wkjąe ze sposou zmoow kostrukj; sł wewętrze -wzjeme oddzłwe pomędz zęśm ł. 63 64
ęz sk () ęz sk () owerzh płsk płszzźe: rekj prostopdł do płszzz stku; rzekrój kołow płszzźe: rekj prostopdł do płszzz stku (stzej w puke stzoś); rzekrój kołow oprt o przekrój kołow: rekj prostopdł do stzej ou ł w puke stku (wzdłuż prostej łąząej środk okręgów); ukt płszzźe: rekj prostopdł do płszzz. C C C C D D 65 66 ówowg dwóh sł ówowg trzeh sł Ukłd dwóh sł pozostje w rówowdze, jeżel sł te dzłją wzdłuż jedej prostej, mją przewe zwrot tke sme mr. Ukłd trzeh sł jest zrówowżo, jeżel sł te tworzą płsk ukłd sł, h le dzł przeją sę w jedm puke (ukłd zeż), zś welook sł jest zmkęt. 68 67 ów rówowg puktu mterlego II zsd dmk Newto: m Jeżel pukt mterl jest w ste rówowg sttzej, to: ów rówowg ł sztwego (sł zeże) II zsd dmk Newto: + + 3 + 4 +... m Jeżel pukt mterl jest w ste rówowg sttzej, to: 69 7 Ukłd sł zeżh łsk ukłd sł zeżh Ukłd sł, przłożoh do ł sztwego, którh keruk dzł przeją sę w jedm puke. Ukłd tkh sł jest w rówowdze, jeżel wpdkow sł jest rów zeru lu mówą zej, jeżel wektor sł tworzą welook zmkęt. + + 3 + 4 +... 7 Ukłd sł, przłożoh do ł sztwego, którh keruk dzł leżą w jedej płszzźe przeją sę w jedm puke. Ukłd tkh sł jest w rówowdze, jeżel wpdkow sł jest rów zeru lu mówą zej, jeżel wektor sł tworzą welook zmkęt. + + 3 + 4 +... 7
ów rówowg ukłdu sł zeżh sł zeże ł w rówowdze, sum rzutów th sł ose ukłdu współrzędh muszą ć rówe zeru. ; ; z. ów rówowg płskego ukłdu sł zeżh sł zeże, leżąe w jedej płszzźe, ł w rówowdze, sum rzutów th sł ose ukłdu współrzędh muszą ć rówe zeru. ;. 73 74 ruk rówowg ukłdu zeżego (podsumowe) pdkow ukłdu sł mus ć rów, tj. zmk sę welook szurow sł (grfze), sum rzutów sł ukłdu ose ukłdu współrzędh muszą ć rówe zeru (ltze). rzestrze ukłd sł ; ; z łsk ukłd sł ; ; 75 ów rówowg ł sztwego (dowol ukłd sł) o r r ( m ) m r Jeżel ło sztwe jest w ste rówowg sttzej, to dodtkowo: o 76 ruk rówowg dowolego ukłdu sł () łsk ukłd sł ; ; lu lu ; ; ; ; C O,, C l ruk rówowg dowolego ukłdu sł () rzestrze ukłd sł ; ; ; ; z z 77 78 rzkłd (dw ukłd zeże) () rzkłd (dw ukłd zeże) () r d C +r -r d- ( + r) ( ) s + r r os + r r ( d ) s d r os 79 X D os C Y D s D X os D os Y s D s C C D D D 8
rzkłd (ukłd ezeż) X os C Y s o C ( r) r O O C C +r -r d- odstwowe tp ustrojów prętowh ręt elemet o wmrh poprzezh (p. gruość szerokość) zze mejszh od trzeego wmru (długość) elk ustrój prętow z prętm rozmeszzom w jedej l. Sł zęsto są prostopdłe do os elk. m ustrój prętow Krt ustrój prętow, któr skłd sę z prętów połązoh przegum. Sł mogą ć przkłde tlko w węzłh. 8 ówowg pr sł ukłd pr sł, dzłjąh w jedej płszzźe ło sztwe, zjdowł sę w rówowdze, sum wpdkowh mometów th pr sł mus ć rów zero. 3 3 Stope swood 3 Lz ezleżh ruhów, jke ło jest w ste zrelzowć w przestrze. ukt mterl: w przestrze 3 (3 skłdowe przesuwu); płszzźe ( skłdowe przesuwu); Cło sztwe w przestrze 6 (3 skłdowe przesuwu 3 skłdowe orotu); płszzźe 3 ( skłdowe przesuwu orót). 8 83 84 odpor, pręt podporowe () odpor przeguow przesuw zlokow jed skłdow przesuwu, jede pręt podporow, jed rekj. odpor, pręt podporowe () odpor przeguow eprzesuw zlokowe oe skłdowe przesuwu, dw pręt podporowe, dwe ewdome: rekj keruek lu dwe skłdowe rekj. H H H 85 V V V 86 odpor, pręt podporowe (3) Sztwe zmoowe zlokowe wszstke przemeszze (dwe skłdowe przesuwu orót), trz pręt podporowe, trz ewdome dwe skłdowe sł momet. Ie sposo podpr Sztwe zmoowe z możlwośą przesuwu: poprzeze do os pręt; wzdłuż pręt. H H H V 87 V 88
odzje oążeń ukłd płske Sł skupoe; omet skupoe; Oąże lowo rozłożoe; Oąże mometem lowo rozłożoe. odzje oążeń ukłd przestrzee Sł skupoe; omet skupoe; Oąże lowo rozłożoe; Oąże mometem lowo rozłożoe; Oąże rozłożoe powerzh; Oąże rozłożoe w ojętoś. 89 9 Jedostk oążeń ekje elk swoode podprt Oążee ągłe kn/m Sł skupo - kn omet skupo -knm Oążee ągłe mometem knm/m H H V l/ l/ X : H Y : V + l : l V 9 9 ekje elk wsporkow ekje rm ezprzeguow H V l/ l/ X : H Y : V l : + + h h H V l l X : H + + os l Y : V + s : + l + h + os h + s 3l l 93 94