04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy liczbę P(A B P(A B =. P(B Twierdzenie. 1 (Wzór łańcuchowy. Jeżeli zdarzenia A 1, A,..., A n spełniają warunek P(A 1 A... A n 1 > 0, to P(A 1 A... A n = P(A 1 P(A A 1... P(A n A 1 A... A n 1. Definicja.. Rozbiciem przestrzeni Ω nazywamy rodzinę zdarzeń {B i } i I, które parami wykluczają się (tj. B i B j = dla i j, ich suma zaś jest równa Ω. Twierdzenie. (Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Jeżeli {B i } i I jest przeliczalnym rozbiciem przestrzeni Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie, to dla dowolnego zdarzenia A mamy P(A = i I P(B i P(A B i. Twierdzenie. 3 (Wzór Bayesa. Jeżeli {B i } i I jest przeliczalnym rozbiciem zbioru Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie oraz P(A > 0, to dla dowolnego j I mamy P(B j A = P(B j P(A B j P(A = P(B j P(A B j i I P(B i P(A B i. A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Liczby a, b wybieramy losowo z przedziału [0, 1]. Oblicz prawdopodobieństwo P(a 1 a + b 1 3. Zadanie A.. W urnie znajdują się 4 kule białe oraz czarne. Trzy razy powtarzamy następującą operację: losujemy kulę z urny, następnie wkładamy ją z powrotem, dokładając dodatkowo kule tego samego co wylosowana kula koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano dokładnie 3 kule czarne? Zadanie A.3. Losujemy jedną liczbę a ze zbioru {1,, 3} (każda z liczb równo prawdopodobna a następnie losujemy dwie liczby z przedziału [0, a]. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wylosowanych z przedziału [0, a] liczb wynosi co najwyżej. Zadanie A.4. Fabryka wytwarza gwoździe na trzech maszynach M 1, M oraz M 3, których udział w produkcji wynosi odpowiednio %, 3% oraz 40%. Maszyny dają odpowiednio %, 4% oraz % braków. (a Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany gwóźdź wyprodukowany w fabryce nie jest wybrakowany? (b Podczas kontroli jakości losowo wybrano gwóźdź, który okazał się być wybrakowany. Jakie jest prawdopodobieństwo, że został on wyprodukowany przez maszynę M 1? Zadanie A.. W pierwszej urnie jest 1 losów wygrywających i przegrywających. W drugiej urnie 14 losów wygrywających i 6 przegrywających. Wybieramy losowo (z prawdopodobieństwem 1 jedną z urn i wyciągamy z niej 3 różne losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybraliśmy drugą urnę, jeśli wiemy, że wszystkie 3 losy okazały się wygrywające? Zadanie A.6. Bolek gra w pewną loterię. Na początku w urnie znajduje się 10 losów wygrywających o wartości 1zł, 10 losów wygrywających o wartości zł oraz 10 losów graj dalej. Po każdym losowaniu losujący zatrzymuje swój los a organizator loterii dorzuca jeden los graj dalej. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że Bolek w trzech kolejnych losowaniach a. wygra w sumie 6 złotych; b. wygra w sumie 1 złoty. Zadanie A.7. Niech A, B, C będą zdarzeniami losowymi takimi, że P(A =, P(B A = 1 4, P(C A B = 1, P(A B = 6 10, P(C B = 1 3. Znaleźć P(A B C. B Zadania domowe Zadanie B.1. Z talii 4 kart (od dziewiątek do asów wybieramy bez zwracania pięć. Niech: A będzie zdarzeniem polegającym na wyciągnięciu dokładnie trzech króli; B będzie zdarzeniem polegającym na wyciągnięciu co najmniej jednego króla; 1

C będzie zdarzeniem polegającym na wyciągnięciu króla czarnego; D będzie zdarzeniem polegającym na wyciągnięciu króla pik. Znaleźć P(A B, P(A C oraz P(A D. Zadanie B. (Zad. 3,.1. Rzucono dwa razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie większa od 8, gdy za pierwszym razem wypadło oczek? Zadanie B.3 (Zad. 4,.1. Rzucamy trzema kostkami. Wiadomo, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a na żadnej kostce nie wypadła szóstka; (b na pewnej kostce wypadła szóstka. Zadanie B.4 (Zad. 8,.1. Z talii 8 kart czterech króli i czterech asów wybieramy losowo dwie karty. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrano asy, jeżeli wiemy, że: (a wybrano co najmniej jednego asa; (b wśród wybranych kart jest czerwony as; (c wśród wybranych kart jest as trefl. Zadanie B. (Zad. 10,.1. Gracz dostał kolejno 13 kart z, obejrzał 8 pierwszych i stwierdził, że nie ma wśród nich asa. Jaka jest szansa, że w ogóle nie dostał asa? Zadanie B.6 (Zad. 11,.1. W partii brydża przed licytacją gracz E widzi, że nie ma asa. Jaka jest szansa, że jego partner W ma asy? Zadanie B.7 (Zad. 11,.1. W partii brydża gracz E widzi, że ma 8 pików. Jaka jest szansa, że jego partner W nie ma pików? Zadanie B.8. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informację, iż P(A B C = 0,6; P(B A C = 0,3 oraz P(C A B = 0,9. Znaleźć P(A B C (A B (A C (B C. Zadanie B.9 (Zad.,.1. Ania i Bożena umówiły się między 16:00 a 17:00 w centrum miasta. Komunikacja w godzinach szczytu działa, jak działa: przyjmujemy, że działa losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Ania przyjdzie później niż Bożena, jeżeli wiemy, że Ania nie przyszła przez pierwsze pół godziny? Zadanie B.10. Współczynniki a, b równania kwadratowego x +ax+b = 0 wybrano losowo z przedziału [ 1, 1]. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn pierwiastków jest liczbą rzeczywistą dodatnią, jeśli wiadomo, że oba pierwiastki są rzeczywiste. Zadanie B.11 (Zad. 13,.. Załóżmy, że prawdopodobieństwo kradzieży w supermarkecie w ciągu jednego dnia wynosi n n+k, gdzie k jest liczbą ochroniarzy, zaś n liczbą złodziei (n + k 1. Kradzież zawsze wychodzi na jaw po podsumowaniu dziennej sprzedaży. Zatrudnia się wtedy dodatkową osobę pilnującą. Po udanej kradzieży liczba złodziei także zwiększa się o 1. Jeśli w poniedziałek jest 1 pilnujący i 1 złodziej, jaka jest szansa, że supermarket będzie okradany codziennie aż do niedzieli? Zadanie B.1. W urnie znajdują się 0 losów o wartości 0 zł oraz 10 losów o wartości 1 zł. W każdej rundzie gry losujemy los i zostawiamy go dla siebie a następnie do urny dokładamy po jednym losie o wartościach 0 i 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszych czterech rundach wygramy w sumie 4 zł? Zadanie B.13. Student może podchodzić do kolokwium nieograniczoną liczbę razy. Przy pierwszym podejściu student nie za wiele wie, więc prawdopodobieństwo zdania wynosi 1/10. Po każdym podejściu student trochę się uczy, więc szansa zdania przy kolejnej próbie zwiększa się o 1/10. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że student podchodzi do kolokwium szósty raz (tzn. po pięciu podajeściach nadal nie zdał? Zadanie B.14 (Zad. 3,.. W pierwszej urnie są 3 kule białe i czarne, a w drugiej urnie są 4 czarne i 1 biała. Rzucamy kostką. Jeżeli wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej? Zadanie B.1 (Zad. 4,.. W urnie są trzy kule białe i dwie czarne. Wyciągnięto jedną kulę z urny i wyrzucono bez oglądania, a potem wyciągnięto następną. Jaka jest szansa, że za drugim razem wyciągnięto kulę białą? Zadanie B.16 (Zad.,.. Jest n monet, z których k jest asymetrycznych i orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem 1 3. Wybrano losowo monetę i w wyniku rzutu wypadł orzeł. Jaka jest szansa, że moneta jest asymetryczna.

Zadanie B.17 (Zad. 6,.. Wśród 6 monet jest jedna z dwoma orłami. Na wybranej losowo monecie w sześciu rzutach otrzymano same orły. Jaka jest szansa, że to moneta z dwoma orłami. Zadanie B.18 (Zad. 9,.. Na klasówce z historii Jan i Paweł siedzieli obok siebie. Między innymi mieli napisać dwie daty. Jan je pamiętał, ale nie wiedział jak je przyporządkować. Zapytał Pawła, wiedząc, że w 3 przypadkach na 4 Paweł zna prawidłową odpowiedź, chociaż Paweł uważał, że zawsze wie dobrze. Jednak Paweł w 1 przypadku na 4 oszukuje Jana. Co jest lepsze dla Jana: posłuchać Pawła, czy odpowiedzieć losowo? Zadanie B.19. Student zna odpowiedź na pytanie egzaminacyjne z prawdopodobieństwem p. Jeżeli nie zna odpowiedzi, to zgaduje jedną z k możliwych odpowiedzi z prawdopodobieństwem 1 k. Jeżeli odpowiedział prawidłowo, to jakie jest prawdopodobieństwo, że znał odpowiedź? Zadanie B.0. Każda z N +1 urn zawiera N kul. Urna o numerze k zawiera k białych i N k czarnych kul, k = 0, 1,..., N. Z losowo wybranej urny losujemy n razy po jednej kuli ze zwracaniem. (a Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule są białe? (b Jeżeli okazało się, że wszystkie wylosowane kule są białe jakie jest prawdopodobieństwo, że wybraliśmy urnę o numerze t, gdzie t = 0, 1,..., N. Zadanie B.1. Rzucamy niestandardową kostką sześcienną, która ma następujące liczby oczek na ścianach: 1,,,3,3,3. Rzucamy jeden raz, a następnie rzucamy tą samą kostką tyle razy, ile wypadło oczek w pierwszym rzucie. Oblicz prawdopodobieństwo, że w żadnym z dodatkowych rzutów nie wypadnie 1. Zadanie B.. W urnie A jest jedna kula czerwona i pięć zielonych, a w urnie B po trzy kule w każdym z tych dwóch kolorów. Z urny A wybieramy za jednym razem dwie kule i przekładamy je do B. Następnie wyciągamy jedną kulę z urny B. a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to kula zielona? b. Jeżli okazało się, że jest to kula zielona, jakie jest prawdopodobieństwo, że z urny A do B przełożyliśmy dwie kule o rożnych kolorach? Zadanie B.3. Spośród mężczyzn %, a spośród kobiet 0,% jest daltonistami. Wybieramy losowo osobę (zakładamy, że szanse trafienia na mężczyznę lub na kobietę są takie same. a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana osoba jest daltonistą? b. Wylosowana osoba okazała się daltonistą. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna. Zadanie B.4. Są trzy grupy, G 1, G i G 3, liczące odpowiednio n 1, n i n 3 studentów. W każdej z nich przygotowania do kolokwium wynoszą odpowiednio 30%, 0% i 70%. Kolokwium piszą wszyscy razem. Sprawdzający wybiera losowo pracę jednego studenta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a. wybrane kolokwium jest dobrze napisane? b. praca należy do studenta z grupy G 1, jeśli okazało się, że kolokwium jest dobrze napisane? Zakładamy oczywiście, że studenci przygotowani dobrze napisali kolokwium, a pozostali nie. Zadanie B. (Zad. 1,.1. Na stole leżą koszulkami do góry as karo, as kier i as pik. Jeżeli gracz trafnie odgadnie położenie asa pik, wygra 100 000 PLN. Gracz wybiera środkową kartę i wtedy bankier mówi: Chwileczkę. Odkryję jedną kartę, a ty się zastanów, czy chcesz zmienić swój wybór, po czym odkrywa kartę pierwszą z lewej (jest to as karo. Bankier zawsze odkrywa kartę czerwoną, nie wybraną przez gracza. Jeżeli ma dwie możliwości odkrycia karty, wybiera każdą z nich z prawdopodobieństwem 1. Czy gracz powinien zmienić swój pierwotny wybór? (Wskazówka: rozwiązanie jest analogiczne do pewnego przykładu z wykładu. C Zadania dla chętnych Zadanie C.1 (Zad. 1,.1. Niech P(B > 0. Udowodnić, że P(A B, traktowane jako funkcja A przy ustalonym B, jest prawdopodobieństwem na (Ω, F, a także na (B, F B, gdzie F B = {A B : A F}. Zadanie C. (Zad. 7,.1. Zadanie C.3 (Zad. 14,.1. Zadanie C.4 (Zad. 1,.1. Zadanie C. (Zad. 7,.. 3

Zadanie C.6. Podczas turnieju rycerskiego wystąpiło n uczestników, w tym dwóch braci. Turniej odbywał się systemem pucharowym, tzn. zwycięzca pojedynku kwalifikuje się do dalszej gry. Uczestnicy każdego z pojedynków mają równe szanse na zwycięstwo. Wykaż, że prawdopodobieństwo, iż bracia spotkają się w pojedynku wynosi 1 n. Zadanie C.7. W każdej z trzech urn znajduje się kul, przy czym w pierwszej urnie są 4 kule białe i 1 czarna, w drugiej 3 kule białe i czarne, w trzeciej białe i 3 czarne. Wykonujemy 3-etapowe doświadczenie: 1. etap: losujemy urnę (wylosowanie każdej urny jest jednakowo prawdopodobne;. etap: z wylosowanej urny ciągniemy kule bez zwracania, a następnie dorzucamy do tej urny 1 kulę białą i 1 czarną; 3. etap: z tej samej urny ciągniemy 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia w trzecim etapie kuli białej, jeśli w drugim etapie wyciągnięto kule białe? Zadanie C.8. W każdej z dziesięciu urn znajdują się dwie kule onaczone liczbami: w urnie numer 1 znajduja się dwie kule oznaczone liczbą 1, w urnie numer znajdują się dwie kule oznaczone liczbą,..., w urnie numer 10 znajdują się dwie kule oznaczone liczbą 10. Losujemy jedną kulę z urny numer 1 i przekładamy ją do urny numer, losujemy jedną kulę z urny numer i przekładamy ją do urny numer 3,... losujemy jedną kulę z urny numer 9 i przekładamy ją do urny numer 10. Wreszcie losujemy jedną kulę z urny numer 10. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ta ostatnia wylosowana kula oznaczona jest liczbą większą niż 6? Zadanie C.9. W pierwszym garncu znajduje się B kul białych oraz C kul czarnych. W drugim garncu znajduje się B kul białych oraz C kul czarnych. Z pierwszego garnca losujemy (oczywiście bez zwracania K kul i przekładamy je do drugiego garnca. Tam kule zostają dokładnie wymieszane. Następnie z drugiego garnca losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest czarna. Finalna odpowiedź powinna mieć na tyle prostą postać, że podstawienie konkretnych wartosci np. A = 10 4, B = 10 4 oraz K = 10 0 nie powinno stanowić trudności. Uwaga: w tym zadaniu liczy się nie tylko poprawna odpowiedź, ale przede wszystkim jej przekonujące uzasadnienie. 4

Odpowiedzi do niektórych zadań B.1 P(A B = B.8 9 37 B.10 1/4 B.1 10 4 30 31 3 33 ( 4 0 3( ( 0 = 19 67, P(A C = ( 4 B.13 9 10 8 10 7 10 6 10 10 B.19 B.0 (a kp kp + 1 p B.1 8/43 1 (N + 1N n B. a 7/1 b /7 N / N k n, (b t n k=0 B.3 a 1/800 b 0/1 B.4 a 0,3 n1+0, n+0,7 n3 n 1+n +n 3 b 0,3 n 1 0,3 n 1+0, n +0,7 n 3 k=0 k n ( 4 0 3( ( = 76 ( 3 0 ( 1617, P(A D = ( 3 = 114 1771 4 ( 4