5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5.1. Mamy dwie nieważkie sprężyny o współczynnikach sprężystości, odpowiednio, k 1 i k 2. Wyznaczyć współczynnik sprężystości układu tych dwóch sprężyn w przypadku, gdy są one połączone: a) szeregowo, b) równolegle. 5.2. Na płaskiej powierzchni w pewnej odległości od pionowej ściany spoczywa ciało o masie m. Między ciałem a ścianą umieszczono poziomo sprężynę o współczynniku sprężystości k (sprężyna jest przyczepiona do ściany i do ciała). W chwili t = 0 ciało odchylono od położenia równowagi o x 0 i nadano mu prędkość v 0. Znaleźć zależność wychylenia, prędkości i przyspieszenia ciała od czasu. Ile wynosi okres drgań, amplituda i faza początkowa wychylenia masy m? Tarcie zaniedbać. [1] 8.1. 5.3. W spoczywającą masę połączoną ze sprężyną jak w zadaniu 5.2 uderza lecące poziomo z prędkością v ciało o masie m, zderzenie jest niesprężyste. Znaleźć zależność wychylenia mas od czasu. Ile będzie wynosił okres drgań? Tarcie zaniedbać. [1] 8.2. 5.4. Jako przykład ruchu periodycznego nieharmonicznego rozważyć ruch piłki odbijającej się idealnie sprężyście od podłogi. Wszystkie opory mechaniczne pominąć. Jak zależy okres tego ruchu od amplitudy? Sporządzić wykres zależności położenia piłki od czasu. [2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, I.1. 5.5. Na nieważkiej sprężynie wisi kulka. Gdy do kulki dodano jeszcze pewien ciężarek, okazało się, że częstość drgań zmieniła się dwukrotnie, a punkt równowagi przesunął się o 8 cm. Znaleźć częstość drgań kulki zawieszonej na sprężynie. [2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, I.2. 5.6. Obliczyć częstość drgań ciężarka o masie m, zawieszonego na dwóch nieważkich sprężynach połączonych szeregowo o współczynnikach sprężystości k 1 i k 2. [2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, I.4. 5.7. Na nieważkiej sprężynie o stałej sprężystości k i długości swobodnej l 0, wisi klocek częściowo zanurzony w cieczy o gęstości ρ. Górny koniec sprężyny zamocowany jest na wysokości H nad poziomem cieczy. Klocek ma masę m, wysokość h i przekrój poprzeczny s. Znaleźć ruch klocka wychylonego z położenia równowagi, jeśli podczas ruchu klocek jest zawsze zanurzony częściowo w cieczy. [2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, I.7. 5.8. Klocek o masie m zamocowano między dwiema sprężynami o takich samych długościach swobodnych l 0 i różnych współczynnikach sprężystości k 1 i k 2. Szerokość klocka zaniedbujemy. Odległość między punktami zamocowania sprężyn wynosi L > 2l 0. W pewnej chwili spoczywającemu klockowi nadano prędkość v. Znaleźć zależność położenia klocka od czasu, jeśli porusza się on bez tarcia. 1
[2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, I.15. 5.9. Dwie jednakowe kulki o masie m połączono sprężyną o stałej sprężystości k i długości swobodnej l 0, a następnie każdą z kul naładowano takim samym ładunkiem q. Znaleźć zależność położenia kulek od czasu, jeśli w chwili początkowej kulki znajdują się w odległości l 0 jedna od drugiej i ich prędkości są równe zeru. Założyć, że amplituda drgań jest dużo mniejsza od l 0. [2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, I.18. 5.10. Podaj ogólną postać równania ruchu dla przypadku nietłumionego oscylatora harmonicznego, o częstości własnej ω 0, wymuszanego siłą Uwzględnij warunki początkowe: a) x(0) = x 0 i dx dt = v 0 dla t = 0, b) x(0) = 0 i dx dt = 0 dla t = 0. F (t) = F 0 sin(ωt). Dla punktu b) przedyskutować przypadek, kiedy ω ω 0 oraz ω << ω 0. [2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, I.24. 5.11. Klasyczne równanie falowe w jednym wymiarze ma postać 2 ψ(x, t) x 2 1 v 2 2 ψ(x, t) t 2 = 0. Przedstawić to równanie w nowych zmiennych ξ = x+vt, η = x vt i pokazać, że dowolne jedo rozwiązanie daje się zapisać w postaci sumy fal biegnących w lewo i w prawo, czyli ψ(x, t) = ψ 1 (x + vt) + ψ 2 (x vt). [2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, IV.8. 5.12. Znaleźć rozwiązania klasycznego równania falowego w postaci tzw. fal stojących, czyli funkcji o rozdzielonych zmiennych typu ψ(x, t) = A(x)T (t) z periodyczną zależnością od czasu. Wyznaczyć związek dyspersyjny ω(k), łączący częstość drgań z liczbą falową k fali stojącej oraz znaleźć możliwe częstości fal stojących na odcinku struny o długości L zamocowanym na obu końcach. [2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, IV.19. 5.13. Wykazać, że ogólne równanie fali płaskiej w postaci ψ( r, t) = A cos(ωt k r + φ) spełnia równanie falowe (przypadek trójwymiarowy). [1] 8.28 2
6. Elementy teorii kinetycznej gazów 6.1. Znaleźć wartość najbardziej prawdopodobną energii drobin gazu doskonałego. [3] 3.2.4. 6.2. Znaleźć wartość średnią energii kinetycznej drobin gazu oraz ciepło właściwe jednoatomowego gazu doskonałego o temperaturze T. [3] 3.2.6. 6.3. Znaleźć wartość średnią prędkości drobin gazu doskonałego. [3] 3.2.7. 6.4. Znaleźć wartość średnią kwadratu prędkości drobin gazu doskonałego i porównać z kwadratem wartości średniej prędkości (zad. 6.3). [3] 3.3.4. 6.5. Znając funkcję rozkładu energii drobin gazu doskonałego, znaleźć funkcję rozkładu wartości bezwzględnych pędów. Korzystając z tej funkcji, obliczyć średnią wartość pędu. [3] 3.3.8. 3
7. Elementy termodynamiki 7.1. W zamkniętej butelce o objętości V 0 znajduje się powietrze o temperaturze t 0 i ciśnieniu p 0. Po pewnym czasie słońce ogrzało butelkę do temperatury t k. Oblicz liczbę cząsteczek gazu znajdującego się w tej butelce, końcowe ciśnienie oraz ciepło pobrane przez gaz. Narysuj wykres p(v ). [1] 11.1. 7.2. W procesie izobarycznym n moli wodoru o temperaturze T 1 i ciśnieniu p 1, zmniejszyło swoją objętość k razy. Oblicz temperaturę końcową, pracę i ciepło występujące w tym procesie. Przedstaw pracę na wykresie p(v ). [1] 11.3. 7.3. Cienki worek foliowy zanurzony w wodzie o temperaturze t zawiera powietrze o objętości V 1 i ciśnieniu p 1. Jaką objętość będzie miał worek po zanurzeniu go o h? Oblicz ciepło oddane przez gaz oraz narysuj wykres tej przemiany przy założeniu, że temperatura gazu nie uległa zmianie. [1] 11.5. 7.4. Znaleźć rodzaj gazu, który został sprężony izotermicznie oraz jego objętość początkową, jeżeli ciśnienie masy m gazu po jego sprężeniu zwiększyło się trzykrotnie, a praca wykonana przy sprężaniu wyniosła W (W < 0). Przed sprężeniem ciśnienie gazu równało się p 1, a jego temperatura t. [1] 11.9. 7.5. W silniku Carnota następują cztery przemiany stałej ilości gazu: (1) izotermiczne roprężanie gazu z objętości V 1 do V 2 w temperaturze T 1, (2) adiabatyczne rozprężanie z objętości V 2 do V 3, (3) izotermiczne sprężanie gazu z objętości V 3 do V 4 w temperaturze T 2, (4) adiabatyczne sprężanie z objętości V 4 do V 1. Oblicz sprawność takiego silnika [1] 11.12. 7.6. Wyprowadzić zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości nad powierzchnią Ziemi. Założyć, że powietrze jest gazem idealnym, na wysokości h = 0 ciśnienie jest równe p 0, wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi g, a temperatura T powietrza nie zależy od wysokości. Przedyskutować przybliżenia zastosowane zarówno w sformułowaniu problemu, jak i jego rozwiązaniu. [4] VI.29. 7.7. Znaleźć grubość jednorodnej warstwy gazu o masie równej masie atmosfery ziemskiej, której gęstość byłaby równa średniej gęstości atmosfery na poziomie morza ρ. Na poziomie morza wartość ciśnienia wynosi średnio p 0. [4] VI.30. 4
8. Elementy mechaniki kwantowej 8.1. Rozpatrujemy następujące zagadnienie na wartości własne (λ parametr własny): ( d p(x) dy(x) ) + q(x)y(x) = λρ(x)y(x), x [a; b], dx dx α 1 y(a) + α 2 y (a) = 0, β 1 y(b) + β 2 y (b) = 0, gdzie p(x), q(x) i ρ(x) są rzeczywistymi funkcjami, a α i, β i, (i = 1, 2), są parametrami rzeczywistymi, funkcja ρ(x) ma stały znak na odcinku [a; b]. Pokazać, że wszystkie wartości własne rozpatrywanego zagadnienia są rzeczywiste, wszystkie wartości własne rozpatrywanego zagadnienia są niezdegenerowane, funkcje własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne na odcinku [a; b] z wagą ρ(x). 8.2. Znaleźć wartości własne i unormowane funkcje własne poniższych zagadnień Sturma Liouville a (λ wartość własna). y (x) + λy(x) = 0, x [0; a], y(0) = 0, y (a) = 0, (1) y (x) + λy(x) = 0, x [a; b], y(a) = 0, y(b) = 0, (2) y (x) + λy(x) = 0, x [0; a], y (0) = 0, y (a) = 0. (3) 8.3. Znaleźć dozwolone energie i unormowane funkcje własne cząstki poruszającej się w polu siły o potencjale + dla < x < 0 V (x) = 0 dla 0 < x < a + dla a < x < +. [3] 6.2.2 8.4. Niech Ψ(x, t) jest funkcją spełniającą zależne od czasu równanie Schrödingera [ h2 2 ] Ψ(x, t) + V (x, t) Ψ(x, t) = i h. (4) 2m x2 t Pokazać, że jeżeli potencjał V (x, t) jest rzeczywisty, wówczas z równania (4) wynika równanie ciągłości j(x, t) ρ(x, t) + = 0, (5) x t gdzie ρ(x, t) = Ψ(x, t) 2, j(x, t) = h m Im [ Ψ (x, t) ] Ψ(x, t). x 5
[1] http://www.mif.pg.gda.pl/zz/ [2] Zadania i problemy z fizyki, tom III, M. Baj, G. Szeflińska, M. Szymański, D. Wasik [3] http://www.mif.pg.gda.pl/zz/zbior zadan z fizyki Cz II.pdf [4] Zadania i problemy z fizyki, tom II, A. Hennel, W. Szuszkiewicz 6