CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie transmitancji operatorowej, stosując podstawienie u(t) () () = sin () = sin + Rys.1. Przebieg odpowiedzi układu na wymuszenie harmoniczne w stanie ustalonym ϕ = () Transmitancja widmowa ma następującą interpretację fizyczną. Jeżeli na wejście liniowego członu lub układu o transmitancji operatorowej () będzie wprowadzony sygnał sinusoidalny = sin (rys. 1), to po zakończeniu procesu przejściowego na wyjściu ustali się sinusoidalny sygnał = sin + o tej samej częstotliwości kątowej (pulsacji) jaką ma sygnał wejściowy, lecz zwykle o innej amplitudzie i fazie, które są zależne od bieżącej wartości tej częstotliwości. Warto tutaj odnotować fakt, że przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem wejściowego o kąt odpowiada przesunięciu tych sygnałów o = jednostek czasu. 1

Z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej wynika, że a stąd transmitancję operatorową zapisać można w postaci Zgodnie z (1) Lsin + = Lsin, (2) = L sin + = L sin = () Lsin Lsin = () (3) = () = () (4) Transmitancja widmowa ma sens wzmocnienia zespolonego, przebiegu harmonicznego o pulsacji 2

Moduł transmitancji widmowej () = = () = (5) określa wzmocnienie - stosunek amplitud sygnałów harmonicznych wyjściowego () i wejściowego (), a argument (kąt fazowy) = = (6) transmitancji widmowej przesunięcie fazy sygnału () względem (). Na podstawie twierdzenia Eulera dla liczb zespolonych można transmitancję widmową zapisać w postaci gdzie: = = cos + sin = + (7) = Re() = cos = Im() = sin Zależność określającą kąt fazowy można zapisać jako moduł zaś w postaci = arg = = arctg, (8) 3

= = +. (9) Miejsce geometryczne punktów, jakie zakreśla koniec wektora na płaszczyźnie zmiennej zespolonej, przy zmianie pulsacji 0 < < sygnału wejściowego, nazywa się charakterystyką amplitudowo-fazową lub wykresem Nyquista. Charakterystyka ta określa zatem zachowanie się elementu lub układu w zadanym zakresie zmian wartości częstotliwości sygnału wejściowego (). Oprócz wykresów Nyquista bardzo powszechnie stosuje się charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne, tzw. wykresy Bodego. Osie i () skaluje się logarytmicznie, wprowadzając tzw. moduł logarytmiczny () = którego jednostką jest decybel (db); wzmocnieniu 10-krotnemu odpowiada 20 db, 1-krotnemu 0 db. Dla charakterystyki fazowej oś skaluje się logarytmicznie, a pozostawia się w mierze liniowej. (10 ) 4

1. Charakterystyki amplitudowo-fazowe - wykres Nyquista Transmitancję widmową można zapisać w postaci funkcji wymiernej gdzie () i () są wielomianami zmiennej zespolonej. Oba wielomiany można zapisać w nieco rozwiniętej postaci =, (11) = + = + (12) Jeśli uwzględnić (12) w (11) = + + = + + (13) składowe, rzeczywista i urojona, transmitancji widmowej () (7) przyjmą postać = + + = + + (14) 5

Powyższe zależności umożliwiają wyznaczenie współrzędnych położenia końca wektora () na płaszczyźnie Nyquista dla różnych wartości częstotliwości kątowej. Z punktu widzenia analizy i syntezy układów regulacji istotnymi punktami są te, które określają wartości współrzędnych dla pulsacji granicznych = 0 i = oraz wartości tych pulsacji, dla których trajektoria zmian położeń wektora () przecina: oś rzeczywistą, tzn. gdy Q = 0, oraz oś urojoną, tzn. gdy = 0. () ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) = ( ) M(0) wzrost ω () Rys.2. Charakterystyka amplitudowo-fazowa i jej parametry - wykres Nyquista 6

Zadanie 1 Wyznaczyć charakterystykę amplitudowo-fazową, wykres Nyquista, obiektu opisanego poniższą transmitancją operatorową = 15 + 3 + 5 (a) Rozwiązanie Podstawiając w transmitancji (a) =, otrzymujemy = = 15 + 3 + 5 (b) Mnożąc licznik i mianownik funkcji (b) przez czynniki wielomianowe sprzężone z czynnikami wielomianowymi mianownika transmitancji widmowej (b), otrzymujemy = = 15 + 3 + 5 + 3 + 5 = 15 15 8 + 3 + 5 (c) Współrzędne rzeczywiste wykresu Nyquista obiektu określają części: rzeczywista i urojona transmitancji widmowej = = 15 15 + 9 + 25 (d) 7

= Im = 120 + 9 + 25 () ω=10 ω=6 ω= -0.2 ω=0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 () ω=0,5 ω=3,8-0.6 - ω=2 ω=1,1 Rys.3. Charakterystyka amplitudowo-fazowa wykres Nyquista obiektu inercyjnego drugiego rzędu Wartości tych współrzędnych dla wybranych, nieujemnych wartości pulsacji ( 0) przedstawiono w tablicy. ω[rad/s] 0 0,5 1,1 2 3,87 6 10 P(ω) 1,00 0,95 0,77 0,44 0,00-0,12-0,09 0 Q(ω) 0,00-0,26-0,49-0,64-0,48-0,26-0,09 0 Wartość pulsacji, przy której ma miejsce przecięcie osi, wyznaczamy rozwiązując równanie = 0, skąd = 15 = 3,87 8

Zadanie 2 Wyznaczyć charakterystykę amplitudowo-fazową, wykres Nyquista, obiektu opisanego poniższą transmitancją operatorową = + 1 + 1 (a) gdzie: = 1, = 0,4 s, = 2,5 s Rozwiązanie Podstawiając w transmitancji (a) =, otrzymujemy = = + 1 + 1 (b) Mnożąc licznik i mianownik funkcji (b) przez czynniki wielomianowe, sprzężone z czynnikami wielomianowymi mianownika transmitancji widmowej (b), otrzymujemy = + + 1 + 1 + 1 (c) 9

Na podstawie (c) widać, że składowe rzeczywiste i urojone transmitancji widmowej określone są zależnościami = = + + 1 + 1, 1 + 1 + 1. (d) (e) Uwzględniając zadane wartości stałych czasowych i wzmocnienia obiektu, wartości powyższych składowych dla wybranych, nieujemnych wartości pulsacji ( 0) ω[rad/s] 0 0,06 0,1 0,15 0,3 0,5 1 P(ω) -2,90-2,83-2,78-2,53-1,83-1,09-0,345 0 Q(ω) -16,2-9,34-5,74-1,93-0,58 0 0 Pulsacja, przy której występuje przecięcie osi przez charakterystykę amplitudowo-fazową wyznaczona, została określona z przyrównania składowej do zera, a więc skąd 1 = 0 = 1 = 1 10

Na rys.4.a) można spostrzec, że dla wartości stałych czasowych członów inercyjnych bliskich zeru ( + = 0) otrzymujemy wykres charakterystyki Nyquista bliski charakterystyce idealnego członu całkującego. Charakterystyka będzie wówczas przebiegała wzdłuż asymptoty 0 leżącej na ujemnej części osi składowej. 0 = + () () -3-2.5-2 -1.5-1 -0.5 ω=0,5 ω=1 ω=0,3 ω= () -2-1.4-1.2-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 ω=1 ω= 0 () -0.2 ω=0,15 ω=0,1 ω=0,08-4 -6-8 -10-12 -14 ω=0,3-0.4-0.6-0.8-1 -1.2 ω=0,06 a) -16 b) Rys.4. Charakterystyka amplitudowo-fazowa wykres Nyquista obiektu trzeciego rzędudwuinercyjnego z członem całkującym a), fragment wykresu powiększony w pobliżu punktu przecięcia osi składowej b) 11

2. Charakterystyki logarytmiczne modułu i fazy Charakterystyki częstotliwościowe Bodego składają się z dwóch wykresów. Jeden dotyczy logarytmu z modułu (amplitudy), czyli () = drugi - kąta fazowego = = =, naniesione jako funkcje częstotliwości w skali logarytmicznej. Wykreślanie (), jak również (), można znacznie uprościć, wykorzystując do tego asymptoty prostoliniowe, tzw. charakterystyki asymptotyczne amplitudy i fazy. Większość transmitancji ma postać iloczynową typu = + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1, (15) gdzie = ±, ( 0). Stąd zarówno logarytm modułu jak i kąt fazowy na wykresach Bodego wyrażają się przez sumowanie 20log = 20 log + 20 log + 1 + 20 log + 2 + 1 20 log + 1 20 log + 2 + 1 (15.a) 12

arg = arg + arg + 1 + arg + 2 + 1 (15.b) arg + 1 arg + 2 + 1 Wykresy Bodego dla wyrażenia (15) sprowadzają się do superpozycji graficznej krzywych poszczególnych członów. Transmitancja składa się z kombinacji członów typu: a), b) + ±, c) + + ± (16) i co za tym idzie, charakterystyki asymptotyczne amplitudy i fazy wyrażenia (15) będą superpozycją asymptot prostoliniowych tych członów elementarnych (16). Człony z wykładnikiem potęgowym: - dodatnim mają cechy członu różniczkującego - przyspieszającego, - ujemnym - mają cechy członu całkowego - opóźniającego. 13

Charakterystyki asymptotyczne członu typu ( 16.a) () = 20 log = 20 log + 20 log, = arg = 90 (17) Człon ten wprowadza stałe przesunięcie fazowe, a wykres logarytmu modułu jest linią prostą o nachyleniu 20 db/dek. (dekadę) przy czym = ± = 0, 1, 2. Dla wykładnika 0 linia ta przecina oś odciętych przy częstotliwości =. Dla wartości wykładnika = 0 wykresy modułu są liniami prostymi równoległymi do osi odciętych - pulsacji. Przesunięcie fazowe ma wartość zerową. [db] 20 N=0, K>1 [ ] 10 0-10 N=2 N=-2 N=1 dekada N=0, K=1 log() N=-1 N=0, K<1 180 90 0-90 -180 N=2 N=1 N=0 N=-1 N=-2 dekada log() -20 1 1 1 Rys.5. Charakterystyki amplitudowe i fazowe członów: różniczkowych N>0, całkowych N<0, proporcjonalnych N=0 14

Charakterystyki asymptotyczne członu typu ( 16.b) () = 20 log + 1 ± = ±20 log + 1, = arg + 1 ± = ± arctg (18) Gdy częstotliwość jest dostatecznie mała, tzn. 1, to składnik jest pomijalnie mały w stosunku do 1, tzn. 1 i logarytm modułu ma wartość 20 log 1 = 0. Zatem dla małych częstotliwości asymptota jest linią prostą leżącą na osi odciętych - częstotliwości. Ta część charakterystyki ma cechy członu proporcjonalnego o wzmocnieniu 1 (0dB). Dla dużych zaś częstotliwości, tj. gdy 1, logarytm modułu członu może być aproksymowany asymptotą ±20 log. Dla tego zakresu częstotliwości ta część charakterystyki ma cechy członu różniczkowego (wykładnik dodatni) lub całkowego (wykładnik ujemny). Jest to bowiem linia prosta o nachyleniu ±20 db/dek, przecinająca oś odciętych przy częstotliwości granicznej =, gdzie = 1 jest tzw. częstotliwością sprzęgającą półproste obu asymptot. Dla tej częstotliwości kątowej logarytm modułu rzeczywistej charakterystyki częstotliwościowej członu wynosi ±20 log 1 + 1 = 3 db. Wartość ta stanowi maksymalny błąd aproksymacji logarytmicznej charakterystyki amplitudowej asymptotami prostoliniowymi. Jedna z metod wykreślania asymptotycznej charakterystyki fazowej polega na zastąpieniu krzywej odcinkiem siecznej, przecinającej asymptoty w punktach odpowiadających częstotliwościom = 0,1 i = 10. Dla częstotliwości < 0,1 fazowe wnoszone przez człon jest bliskie 0. Dla dużych zaś częstotliwości, tj. gdy > 10, przesunięcie fazowe jest bliskie ±90. 15

[db] [db] 40 40 1 + + 2 + 1 20 dekada 20 0 log() 0 log() -20-20 1 + + 2 + 1-40 [ ] 90 45 1 10 arctg -40 [ ] 18 90 1 10 arctg 2 1 0-45 -90 0,1 1 10 log() arctg Rys.6. Charakterystyki amplitudowe a) i fazowe b) członu różniczkowo-proporcjonalnego i całkowo-proporcjonalnego 0-90 -180 0,1 1 10 log() arctg 2 1 Rys.7. Charakterystyki amplitudowe i fazowe członu drugiego rzędu różniczkowo-proporcjonalnego i całkowo-proporcjonalnego 16

Charakterystyki asymptotyczne członu typu ( 16 c)) = 20 log + 2 + 1 ± = ±20 log 1 + 2 = arg + 2 + 1 ± = ± arctg 2 1 (19) Dla małych częstotliwości 1 logarytm modułu może być aproksymowany asymptotą 20 log 1 = 0. Tak jak poprzednio, dla małych częstotliwości asymptota jest linią prostą, leżącą na osi odciętych - częstotliwości. Ta część charakterystyki ma cechy członu proporcjonalnego o wzmocnieniu 1 (0dB). Dla dużych częstotliwości 1 logarytm modułu może być aproksymowany asymptotą ±20 log = ±40 log. Jest to linia prosta o nachyleniu ±40 db/dek, przecinająca oś odciętych przy częstotliwości sprzęgającej = 1. Dla tego zakresu częstotliwości ta część charakterystyk ma cechy członów drugiego rzędu różniczkowego (wykładnik dodatni) lub całkowego (wykładnik ujemny). Dokładność aproksymacji asymptotami prostoliniowymi zależy od współczynnika tłumienia. Im mniejszą wartość ma ten współczynnik < 1, tym większa jest różnica pomiędzy wartością charakterystyki amplitudowej rzeczywistej a jej aproksymacji prostoliniowej, co szczególnie uwidacznia się dla częstotliwości bliskich wartości częstotliwości sprzęgającej = 1. Dla częstotliwości < 0,1 przesunięcie fazowe wnoszone przez człon jest bliskie 0. Dla dużych zaś częstotliwości, tj. gdy > 10, wtedy przesunięcie fazowe jest bliskie ±180. Dokładność aproksymacji pomiędzy tymi wartościami kątowymi zależy od współczynnika tłumienia. (Rys. 7). 17

Zadanie 3 Wyznaczyć rzeczywiste i asymptotyczne przebiegi logarytmicznych charakterystyk amplitudowej i fazowej obiektu dwuinercyjnego o transmitancji = 1,8 + 0,3 + 6 (a) Rozwiązanie Z postaci transmitancji wynika, że częstotliwość sprzęgająca członów inercyjnych wynosi odpowiednio Wzmocnienie obiektu ma wartość = 0,3 rad s, = 6 rad s. = 1,8 0,3 6 = 1 Transmitancję widmową obiektu możemy zapisać w postaci iloczynu transmitancji członów elementarnych typu 16.b) = 1 1 + 1 + 1 (b) 18

Jeśli oznaczyć = 1 + 1, = 1 + 1 (c) moduł transmitancji będzie iloczynem modułów członów elementarnych =, przy czym = = 1 + 1 = 1 0,3 + 1, (d) = = 1 + 1 = 1 5 + 1. 19

Wprowadzając oznaczenia modułów logarytmicznych członów elementarnych = 20 log, = 20 log równanie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej możemy zapisać w postaci () = + Poszczególne człony wniosą przesunięcia fazowe (e) (f) = arctg, = arctg (g) Stąd charakterystykę fazową obiektu określa równanie = + = arctg 0,3 arctg 5 (h) Sumowanie charakterystyk, zgodnie z równaniami (f) i (h), pokazuje rysunek 8. 20

[db] 0-20 0.1 1 10 log ω -40-60 -80 [ ] 0 0,1 0.1 0,1 1 10 10 10 log ω -45-90 -135-180 Rys.8. Charakterystyki amplitudowe i fazowe obiektu składającego się z dwóch członów inercyjnych (całkowo proporcjonalnych) 21

Zadanie 4 Wyznaczyć charakterystyki logarytmiczne układu o transmitancji = ( + 1) + 1 + 1 (a) dla = 100 1/s, = 5 s, = 0,5 s, = 0,02 s. Rozwiązanie Po wprowadzeniu oznaczeń częstotliwości sprzęgających = 1 = 0,2 rad s, = 1 = 2 rad s, = 1 = 50 rad s transmitancję a) przekształcamy do postaci widmowej iloczynu członów elementarnych = ( 1 + 1) + 1 1 + 1 (b) 22

Sumowanie logarytmicznych charakterystyk amplitudowych i fazowych pokazano na rys. 9, stosując oznaczenia = 20 log = 20 log 20 log = 20 log 100 20 log, = 20 log + 1, = 20 log + 1, = 2 20 log + 1, = arg = 90, = arg + 1 = arctg, = arg + 1 = arctg, = arg + 1 = 2 arctg. 23

[db] 80 60 40 20 0-20 -40-60 -80-100 20 log 20 log ω 0.1 1 10 100 log ω [ ] 90 Rys. 9. Charakterystyki amplitudowe i fazowe 45 0-45 -90-135 0,1 0,1 10 10 10 0.1 1 0,1 10 10 log ω -180-225 -270 24