TEORIA GRAFÓW W osiemnastym wieku mieszkańcy Królewca lubili spacerować po mostach na rzece Pregole, których mieli w mieście siedem. Plan mostów pokazuje rysunek. Ale takie zwykłe spacerowanie po jakimś czasie im się znudziło, i zaczęli zastanawiać się, czy jest taka trasa spacerowa, która przechodzi przez każdy most dokładnie raz, żadnego nie omija, i pozwala wrócić do punktu wyjścia. Nie potrafili sami rozwiązać tego problemu, więc napisali do znanego już wtedy matematyka Leonharda Eulera. Euler pokazał, że nie istnieje rozwiązanie tego zadania. (Jeśli wejdzie się po raz trzeci na wyspę, nie ma jak z niej wyjść.) Można tę sytuację przedstawić jako graf o wielokrotnych krawędziach: Trzeba w tym grafie znaleźć cykl Eulera, czyli cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki i wszystkie krawędzie tego grafu, ale przez każdą krawędź tylko raz. W opublikowanej w 1736 roku pracy Euler sformułował pierwsze twierdzenie teorii grafów, które dziś zapisujemy następująco: W grafie można znaleźć cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy graf jest spójny i każdy jego wierzchołek ma parzysty stopień. Znając to twierdzenie zawsze można stwierdzić, czy łamigłówka typu "narysuj figurę nie odrywając ołówka od kartki" ma rozwiązanie. Fleury podał algorytm, który pozwala znaleźć cykl Eulera w każdym grafie, w którym on istnieje. Spróbuj samodzielnie znaleźć cykl Eulera w poniższym grafie: 47
W tak zaetykietowanym grafie rozwiązaniem jest na przykład droga przechodząca kolejno przez wierzchołki: 1, 2, 3, 1, 12, 11, 1, 10, 11, 13, 12, 3, 13, 14, 3, 4, 14, 15, 4, 5, 6, 4, 16, 15, 13, 22, 15, 17, 16, 6, 17, 18, 6, 7, 18, 19, 17, 22, 11, 21, 22, 19, 7, 8, 9, 7, 20, 19, 21, 20, 9, 21, 10, 9, 1. (w tym rozwiązaniu przechodzimy po wszystkich krawędziach stopniowo poprzez trójkąty). Trzeba pamiętać, że nie jest to jedyne rozwiązanie, a zapis cyklu można zacząć od dowolnego wierzchołka. Graf to zbiór wierzchołków, który na rysunku zwykle reprezentujemy kropkami, na przykład: oraz krawędzi łączących wierzchołki, co na rysunku można przedstawić następująco: Czasem dopuszcza się wielokrotne krawędzie i pętle (czyli krawędzie o początku i końcu w tym samym wierzchołku): Niekiedy wygodnie jest rozważać grafy o krawędziach skierowanych (grafy skierowane): 48
Wiele zastosowań mają grafy ważone, w których każdej krawędzi przyporządkowano liczbę - wagę, która może oznaczać na przykład odległość między wierzchołkami: W grafach etykietowanych każdy wierzchołek ma swoją nazwę - etykietę: Przykład grafu skierowanego, ważonego, o zaetykietowanych wierzchołkach: Każdy rysunek grafu to tylko jedna z wielu jego reprezentacji graficznych. Każdy graf można narysować na wiele sposobów, które nazywamy reprezentacjami graficznymi tego grafu: 49
Co to jest algorytm grafowy? Problemem 'grafowym' nazywamy problem, który można rozwiązać używając pojęcia grafu. Algorytm rozwiązujący pewien problem 'grafowy' nazywamy algorytmem grafowym. Oto kilka przykładów ważniejszych problemów grafowych: 1. Problem kojarzenia małżenstw Dlaczego kojarzenia małżenstw? Załóżmy, że mamy k kawalerów i p panien oraz dla każdej z panien podany jest zbiór kawalerów, których zna. Czy jest możliwe wydanie za mąż każdej z kobiet za kawalera, którego zna? Sformułowanie problemu przy pomocy grafów. Zbudujmy graf, którego zbiór wierzchołków składa się z dwóch rozłącznych podzbiorów: zbioru kawalerów K i zbioru panien P. Wierzchołek x ze zbioru K łączymy krawędzią z wierzchołkiem y z P, jeśli panna y zna kawalera x. W otrzymanym grafie nie istnieją krawędzie między żadnymi dwoma wierzchołkami ze zbioru P ani żadnymi dwoma ze zbioru K. Jest to więc graf dwudzielny. Poszukiwany jest w tym grafie zbiór krawędzi M taki, że: 1. żadna para krawędzi należących do M nie ma wspólnego wierzchołka (tj. małżeństwa są rozłączne tzn. nie dopuszczamy bigamii), 2. każdy wierzchołek ze zbioru P jest końcem pewnej krawędzi ze zbioru M (tj. każda panna wychodzi za mąż). Zbiór krawędzi spełniający takie warunki nazywamy skojarzeniem doskonałym. Kiedy rozwiązanie problemu kojarzenia małżeństw istnieje? P. Hall sformułował i udowodnił w 1935 roku twierdzenie, które podaje warunek konieczny i wystarczający na to, by problem kojarzenia małżeństw miał rozwiązanie: Twierdzenia Halla Problem kojarzenia małżeństw ma rozwiązanie wtedy, gdy każde m panien zna łącznie co najmniej m kawalerów, dla m=1,2,...p. 50
Przykład. Oto przykładowy graf dla zbioru P złożonego z trzech panien i zbioru K złożonego z trzech kawalerów. Każda z panien zna dokładnie dwóch kawalerów. Skojarzenie doskonałe istnieje i może wyglądać następująco: Ania może wyjść za Tomka, Kasia za Arka a Zosia za Jasia. Popatrzmy teraz na następujący graf. W tym grafie skojarzenie doskonałe nie istnieje. Ania i Kasia znają tylko Tomka. Nie uda się więc znaleźć równocześnie męża dla obydwu panien. Zastosowania. Problem ten posiada bardziej poważne zastosowania. Przy użyciu tej samej metody możemy rozwiązać problem polegający na przydzieleniu pracownikom zajęć zgodnie z ich kwalifikacjami. W tym przypadku przez P należy rozumieć zbiór pracowników, K zbiór żądań do wykonania. Dwa wierzchołki x i y łączymy krawędzią, jeśli praca y jest zgodna z kwalifikacjami pracownika x (to znaczy może on ją wykonywać). 51
Problem znajdowania najkrótszej drogi Wyobraźmy sobie pewną mapę. Na mapie zaznaczone są drogi między poszczególnymi miastami oraz długości tych dróg. Wybierając z tej mapy dowolne dwa miasta A i B chcemy zaplanować najkrótszą trasę z miasta A do miasta B. Jak rozwiązać ten problem używając grafów? Stwórzmy graf, którego wierzchołki odpowiadają miastom znajdującym się na danej mapie. Wierzchołki łączymy krawędzią, jeśli istnieje bezpośrednia (nie przebiegająca przez żadne inne miasto zaznaczone na tej mapie) droga łącząca odpowiadające im miasta. Krawędziom nadajemy wagi równe długości danej drogi. Oczywiście długość drogi możemy zastąpić przez czas trwania podróży lub jej koszt. Znalezienie najkrótszej drogi z miasta A do miasta B oznacza znalezienie pomiędzy odpowiadającymi im wierzchołkami drogi o możliwie najmniejszej sumie wag krawędzi. Kiedy rozwiązanie tego problemu istnieje? Jesteśmy w stanie znaleźć najkrótszą drogę, jeśli droga między danymi miastami (wierzchołkami w grafie) w ogóle istnieje. Aby można było znaleźć najkrótsze drogi między dowolną parą miast utworzony dla danej mapy graf musi być spójny. Algorytm rozwiązujący ten problem. Najbardziej znanym algorytmem rozwiązującym ten problem jest algorytm Dijkstry. Opis algorytmu Dijkstry Algorytm Dijkstry znajduje najkrótszą drogę z wierzchołka s (zwanego źródłem) do wierzchołka t (zwanego ujściem) w grafie, w którym wszystkim krawędziom nadano nieujemne wagi. Polega na przypisaniu wierzchołkom pewnych wartości liczbowych. Taką liczbę nazwijmy cechą wierzchołka. Cechę wierzchołka v nazwiemy stałą (gdy jest równa długości najkrótszej drogi z s do v) albo, w przeciwnym przypadku, tymczasową. Na początku wszystkie wierzchołki, oprócz s, otrzymują tymczasowe cechy. źródło s otrzymuje cechę stałą równą 0. Następnie wszystkie wierzchołki połączone krawędzią z wierzchołkiem s otrzymują cechy tymczasowe równe odległości od s. Potem wybierany jest spośród nich wierzchołek o najmniejszej cesze tymczasowej. Oznaczmy go v. Cechę tego wierzchołka zamieniamy na stałą oraz przeglądamy wszystkie wierzchołki połączone z v. Jeśli droga z s do któregoś z nich, przechodząca przez v ma mniejszą długość od tymczasowej cechy tego wierzchołka, to zmniejszamy tą cechę. Ponownie znajdujemy wierzchołek o najmniejszej cesze tymczasowej i zamieniamy cechę tego wierzchołka na stałą. Kontynuujemy to postępowanie aż do momentu zamiany cechy wierzchołka t na stałą (czyli obliczenia długości najkrótszej drogi z s do t). Zastosowania. Algorytmy znajdujące najkrótszą drogę w grafie są wykorzystywane do wyznaczania najlepszej trasy pomiędzy dwoma miastami na 'komputerowych' mapach. Mapy takie przydatne są w pracy np. firm transportowych. 52
Problem chińskiego listonosza Dlaczego listonosza? W swojej pracy, listonosz wyrusza z poczty, dostarcza przesyłki adresatom, by na końcu wrócić na pocztę. Aby wykonać swoją pracę musi przejść po każdej ulicy w swoim rejonie co najmniej raz. Oczywiście chciałby, aby droga, którą przebędzie, była możliwie najkrótsza. Dlaczego chińskiego? Problem ten został sformułowany po raz pierwszy w języku teorii grafów przez chińskiego matematyka Mei Ku Kwana w 1962 roku. Sformułowanie problemu. Rozważmy graf, którego krawędzie odpowiadają ulicom w rejonie, odsługiwanym przez listonosza. Wierzchołki to po prostu skrzyżowania ulic. Krawędziom nadajemy wagi, które oznaczają odległości między dwoma skrzyżowaniami. Znalezienie możliwie najkrótszej drogi, którą musi przejść listonosz sprowadza się do znalezienia w tym grafie drogi o minimalnej sumie wag krawędzi, która przechodzi przez każdą krawędź co najmniej raz. Jeśli graf posiada cykl Eulera. Jeśli dany graf posiada cykl Eulera, to istnieje taka droga, która zaczyna i kończy się w tym samym punkcie i wymaga przejścia po każdej ulicy dokładnie raz. Zauważmy, że ponieważ każdy cykl Eulera przechodzi raz przez każdą krawędź to suma wag krawędzi (długość drogi, którą musi przejść listonosz) jest zawsze taka sama (nie zależy od wierzchołka, w którym cykl ten zaczyna się i kończy). Rozwiązaniem jest więc dowolny cykl Eulera w tym grafie. Jeśli graf nie posiada cyklu Eulera. W takim przypadku listonosz będzie zmuszony przejść niektórymi ulicami wielokrotnie. Rozwiązanie jest więc cyklem, w którym suma długości krawędzi wybranych więcej niż raz jest możliwie najmniejsza. Przykład Na rysunku pokazany jest pewien układ ulic, które tworzą rejon listonosza. Obok nazw ulic umieszczone są odległości w metrach. Prostokąt oznaczony literą P oznacza miejsce, w którym umieściliśmy pocztę, na której pracuje 'nasz' listonosz. Oto jak wygląda graf odpowiadający danemu układowi ulic. Zauważmy, że graf ten nie ma cyklu Eulera ponieważ posiada dwa wierzchołki, z których wychodzi nieparzysta liczba krawędzi. Na poniższym rysunku zaznaczono czerwoną kreską rozwiązanie czyli optymalną trasę listonosza. 53
Zwróćmy uwagę, że listonosz musi przejść dwukrotnie tylko ulicę Nowakowskiego, zaś pozostałe ulice dokładnie raz. Powyższa droga jest najkrótszą z możliwych ponieważ odcinek, po którym przechodzi dwukrotnie liczy tylko 500 metrów i nie istnieje trasa spełniająca zadane warunki o krótszym odcinku, który listonosz musi pokonać więcej niż raz. Czym różni się problem mostów królewieckich od problemu chińskiego listonosza? Rozwiązanie problemu chińskiego listonosza istnieje zawsze o ile graf jest spójny. Natomiast problem mostów królewieckich, a mówiąc ogólniej problem znalezienia cyklu Eulera w grafie, nie zawsze ma rozwiązanie. Jeśli jednak graf posiada cykl Eulera, to rozwiązanie jednego z tych problemów jest również rozwiązaniem dla drugiego. Algorytm Fleury'ego Jest to algorytm znajdujący cykl Eulera w grafie. Jak już wiemy, jeśli graf posiada taki cykl, to jest on rozwiązaniem rozważanego problemu. Po wprowadzeniu pewnych modyfikacji może posłużyć również do rozwiązywania problemu chińskiego listonosza w przypadku grafów, które nie mają cyklu Eulera. Opis Algorytmu Fleury'ego Startujemy z dowolnego wierzchołka. Każda kolejna krawędź, po której przechodzimy, wybierana jest spośród krawędzi wychodzących z wierzchołka, w którym aktualnie się znajdujemy. Wybieramy oczywiście krawędź, po której jeszcze nie przeszliśmy. O ile jest to możliwe, usunięcie wybranej krawędzi nie powinno rozciąć grafu na dwa 'kawałki'. Jeśli uda nam się, postępując w ten sposób, dojść do wierzchołka, z którego wyruszyliśmy i przejść przez wszystkie krawędzie, to otrzymana droga jest cyklem Eulera. 54
Problem komiwojażera Dlaczego komiwojażera? Komiwojażer ma do odwiedzenia pewna liczbę miast. Chciałby dotrzeć do każdego z nich i wrócić do miasta, z którego wyruszył. Dane są również odległości miedzy miastami. Jak powinien zaplanować trasę podróży, aby w sumie przebył możliwie najkrótsza drogę? Przez 'odległość' między miastami możemy rozumieć odległość w kilometrach, czas trwania podróży między tymi miastami albo koszt takiej podróży (na przykład cenę biletu lotniczego). W tym ostatnim przypadku, poszukiwanie optymalnej trasy polega na zminimalizowaniu całkowitych kosztów podróży. Tak więc możemy poszukiwać trasy najkrótszej albo najszybszej albo najtańszej. Zakładamy przy tym, że odległość miedzy dowolnymi dwoma miastami jest nie większa niż długość jakiekolwiek drogi łączącej te miasta, która wiedzie przez inne miasta. Założenie to tylko z pozoru wydaje się być zawsze spełnione. Rozważmy następujący przykład. Załóżmy, że interesuje nas czas trwania podróży koleją. Najszybsze połączenie z Katowic do Białegostoku wiedzie przez Warszawę. Czas trwania tej podróży traktujemy w tym przypadku jako 'odległość' z Katowic do Białegostoku. Sformułowanie problemu. Zbudujmy graf ważony, którego wierzchołki są miastami. Każda parę miast połączmy krawędziami. Każdej krawędzi nadajemy wagę równa 'odległości' miedzy miastami odpowiadającymi wierzchołkom, które są końcami tej krawędzi. Otrzymujemy w ten sposób graf pełny, który ma tyle wierzchołków, ile miast musi odwiedzić komiwojażer (wliczając w to miasto, z którego wyrusza). Odwiedzenie wszystkich miast odpowiada cyklowi, który przechodzi przez każdy wierzchołek danego grafu dokładnie raz. Cykl taki nazywamy cyklem Hamiltona. Poszukujemy więc w grafie pełnym cyklu Hamiltona o minimalnej sumie wag krawędzi. Przykład Na rysunku pokazano graf ważony o wierzchołkach odpowiadających pięciu miastom polskim. Wagami krawędzi są odległości podane w kilometrach. Poszukujemy rozwiązania następującego problemu: Komiwojażer wyrusza z Warszawy i chce odwiedzić wszystkie pozostałe cztery miasta a następnie wrócić do Warszawy. Jak powinien zaplanować podróż, aby przebył możliwie najmniejsza liczbę kilometrów? 1 4! Już przy pięciu miastach wszystkich możliwych tras podróży komiwojażera jest 4 3 2 1 =. Można 2 2 zauważyć, że przy większej liczbie miast rozważanie wszystkich możliwości nie jest najlepszym pomysłem. 55
Dlaczego rozwiązanie tego problemu zawsze istnieje? Dowolny graf pełny posiada co najmniej jeden cykl Hamiltona. Ponieważ graf ma skończona liczbę wierzchołków, to w zbiorze cykli Hamiltona istnieje taki (niekoniecznie jedyny), który posiada minimalna sumę wag krawędzi. Algorytmy rozwiązujące problem komiwojażera. Istnieje wiele algorytmów rozwiązujących ten problem. Wszystkie mają jedną podstawową wadę. Wymagają rozważenia bardzo dużej liczby przypadków i czas ich działania może być bardzo długi. Niewielki przyrost liczby miast powoduje 'duży' wzrost ilości przypadków do rozważenia i tym samym czasu działania algorytmu. Jeden z możliwych algorytmów polega na obliczeniu całkowitej długości wszystkich istniejących w danym grafie cykli Hamiltona. Jest to jednak bardzo skomplikowane już dla liczby miast niewiele większej od pięciu. Na przykład dla 20 miast liczba możliwych tras Komiwojażera 19! wynosi wynosi = 60822550204416000 i cykli Hamiltona w grafie pełnym o 20 wierzchołkach istnieje 2 około 6000000. Algorytmy przybliżone Czas rozwiązywania problemu komiwojażera można zmniejszyć stosując jeden ze znanych algorytmów przybliżonych, które nie wymagają rozważania aż tak dużej liczby przypadków. Jednak algorytmy takie nie zawsze znajdują optymalne rozwiązanie. Stworzona przez nie trasa może być znacznie 'dłuższa' od najkrótszej. Stosowanie algorytmów przybliżonych wynika z konieczności wyboru pomiędzy szybkością znajdowania a 'jakością' znalezionego rozwiązań. Z reguły zakłada się, że wynik działania takiego algorytmu nie może być gorszy od optymalnego o więcej niż pewna ustaloną z góry wartość. Znajdowanie cyklu Hamiltona. Znajdowanie cyklu Hamiltona w dowolnym grafie. W grafie pełnym cykl Hamiltona zawsze istnieje. W dowolnym grafie może jednak nie istnieć. Problem polegający na znalezieniu cyklu Hamiltona jest podobnie jak problem komiwojażera 'trudny' ze względu na długi czas działania znanych algorytmów. Do znalezienia takiego cyklu może wystarczyć 'trochę szczęścia'. Gorzej jest kiedy cykl Hamiltona w badanym grafie nie istnieje. W takim przypadku możemy nawet być zmuszeni do sprawdzenia wszystkich możliwych permutacji zbioru wierzchołków, aby uzyskać pewność, że cykl taki nie istnieje. 56
Problem niezawodności sieci Wyobraźmy sobie, że chcemy zaprojektować sieć komunikacyjną (np. telekomunikacyjną, drogową, komputerową). Składa się ona z pewnej liczby punktów węzłowych (np. terminali komputerowych) i bezpośrednich połączeń (linii) między niektórymi z nich. Jak przedstawić sieć komunikacyjną przy pomocy grafu? Sieć taką możemy przedstawić za pomocą grafu, którego wierzchołki odpowiadają punktom węzłowym a krawędź miedzy dwoma wierzchołkami oznacza bezpośrednie połączenie linią danych dwóch punktów węzłowych. Oto przykładowa sieć składająca się z 6 punktów węzłowych oznaczonych literami A,B,C,D,E,F i pewnych krawędzi między nimi Wiemy, że nic nie jest doskonałe i sieć narażona jest na awarie. Spójność wierzchołkowa takiego grafu jest równa minimalnej liczbie awarii w punktach węzłowych sieci, które spowodują awarię całej sieci (to znaczy między niektórymi węzłami zostanie zerwane połączenie). Natomiast spójność krawędziowa oznacza minimalną liczbę awarii łączy między węzłami, które spowodują awarię sieci. Przez niezawodność sieci możemy rozumieć maksymalną liczbę awarii, których wystąpienie nie spowoduje awarii całej sieci. Im większa spójność grafu tym większa niezawodność sieci Jak skonstruować sieć by jej niezawodność była możliwie największa? Oczywiście im więcej linii (krawędzi) tym niezawodność większa. Z drugiej jednak strony zbudowanie każdego połączenia kosztuje. Możemy założyć, że szukamy możliwie najtańszej sieci o z góry założonej niezawodności, bądź szukamy sieci o ustalonym koszcie i możliwie największej niezawodności. Jedno z możliwych sformułowań tego problemu wygląda następująco: Sformułowanie problemu. Załóżmy, że dana jest liczba punktów węzłowych oraz żądana niezawodność sieci k (liczba 'dopuszczalnych' awarii). Zbudowanie każdego bezpośredniego połączenia obarczone jest pewnym kosztem jednostkowym (jest to pewne uproszczenie - w rzeczywistości koszty budowy połączeń są różne). Chcemy zaprojektować sieć o żądanej niezawodności, której koszt budowy będzie możliwie najmniejszy. Poszukujemy więc grafu o n wierzchołkach i możliwie najmniejszej liczbie krawędzi, którego spójność wierzchołkowa lub spójność krawędziowa wynosi k. 57
Znajdowanie liczby chromatycznej grafu Sformułowanie problemu. Dane: graf G Szukane: liczba chromatyczna grafu G Przykładowe zastosowanie Przy pomocy algorytmów znajdujących optymalne pokolorowanie wierzchołków grafu można rozwiązać następujący problem dotyczący składowania substancji chemicznych: Zakłady chemiczne wykorzystują przy produkcji n surowców chemicznych. Wiadomo, że niektóre substancje nie mogą być przechowywane razem, gdyż zetknięcie ich ze sobą spowodowałoby 'zniszczenie magazynu', ewentualnie katastrofę ekologiczną. Jaka jest minimalna liczba magazynów potrzebna do przechowywania wszystkich surowców chemicznych używanych w tej fabryce? Jak to zrobić używając grafu? Tworzymy graf, którego n wierzchołków odpowiada poszczególnym surowcom chemicznym. Dwa wierzchołki łączymy krawędzią jeśli nie mogą być przechowywane razem. Minimalna liczba magazynów potrzebnych do składowania tych surowców jest równa liczbie chromatycznej tego grafu. Dlaczego tak jest? Rozważmy dowolne pokolorowanie wierzchołków tego grafu, w którym każde dwa wierzchołki połączone krawędzią są pokolorowane innym kolorem. Surowce odpowiadające wierzchołkom pokolorowanym tym samym kolorem mogą być składowane w jednym magazynie! Znajdowanie indeksu chromatycznego grafu Sformułowanie problemu. Dane: graf G Szukane: indeks chromatyczny grafu G Przykładowe zastosowanie. Rozważmy następujący problem. Dany jest zbiór m nauczycieli oraz zbiór n klas. Podane są także liczby godzin zajęć jakie musi odbyć w ciągu tygodnia dany nauczyciel z każdą z klas. Szukana jest minimalna liczba godzin w tygodniu, w czasie których mogą odbyć się wszystkie zajęcia. Wiadomo, że w danym momencie czasu nauczyciel może uczyć tylko jedną klasę i każda klasa może być uczona przez tylko jednego nauczyciela. Jak rozwiązać problem układania planu zajęć przy pomocy grafów? Stwórzmy graf dwudzielny, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory odpowiadające nauczycielom oraz klasom. W grafie tym dopuszczamy istnienie wielu krawędzi między każdą parą wierzchołków. Wierzchołek odpowiadający nauczycielowi łączymy tyloma krawędziami z wierzchołkiem odpowiadającym klasie ile godzin zajęć musi on odbyć z tą klasą w ciągu tygodnia. Zauważmy, że jeśli pokolorujemy krawędzie tego grafu tak, aby każde dwie mające wspólny koniec były różnych kolorów, to krawędzie pokolorowane tym samym kolorem odpowiadają zajęciom, które mogą odbywać się równocześnie. Poszukujemy więc minimalnej liczby kolorów potrzebnych do pokolorowania w ten sposób wszystkich krawędzi. Innymi słowy, poszukiwany jest indeks chromatyczny tego grafu. Problem ten można oczywiście skomplikować dodając założenia dotyczące sal, w których zajęcia mogą się odbywać, bądź narzucając pewne terminy, w których dane zajęcia muszą się odbyć. 58
Przykład Przypuśćmy, że mamy 5 nauczycieli: profesorów Mroza, Nowaka, Pawlaka, Cicho i Lisa oraz 4 klasy maturalne. Na poniższym rysunku pokazany jest graf stworzony na podstawie informacji o tym ile godzin zajęć w tygodniu z daną klasą ma poprowadzić każdy z nauczycieli. Dla przykładu: profesor Mróz ma 2 godziny z IVa i 1 godzinę z IVb a profesor Nowak po 1 godzinie z IVa i IVc. Indeks chromatyczny tego grafu wynosi 4. Czyli w ciągu 4 godzin uda się przeprowadzić wszystkie zajęcia. Widać, że mniejsza liczba godzin nie wystarczy ponieważ profesor Lis musi przeprowadzić 4 godziny zajęć. Również klasy IVa, IVc oraz IVd mają zaplanowane po 4 godziny. A oto jak wygląda pokolorowanie krawędzi tego grafu na 4 kolory, w którym żadne dwie krawędzie o wspólnym wierzchołku nie mają tego samego koloru. Jeżeli przyjmiemy, że każdy kolor oznacza pewien 45 minutowy okres czasu (np. 8.15-9.00), to w prosty sposób tak pokolorowany graf można przekształcić w poniższą tabelę. ---- ---- ---- ---- prof. Mróz IVa IVb IVa prof. Nowak IVc IVa prof. Pawlak IVd IVa IVc prof. Cicho IVc IVd IVb prof. Lis IVb IVd IVc IVd 59
W wierszach odpowiadających poszczególnym nauczycielom wypisane są klasy, które profesor powinien uczyć o danej godzinie (przy czym u góry każdej kolumny zamiast godziny jest kolor). Profesor Mróz ma najpierw godzinę z IVa potem godzinę z IVb, znowu 1 lekcję z IVa i na koniec godzinę wolną. Kolejność terminów (kolorów) możemy ustawić w dowolny sposób. Czyli profesor Mróz może mieć wpierw 2 godziny z IVa a potem 1 lekcję z IVb. Wymaga to tylko zamiany miejscami 2-ej i 3-ej kolumny w tabeli. Znajdowanie grubości grafu Sformułowanie problemu. Dane: graf G Szukane: grubość grafu G Przykładowe zastosowanie. Przewodzącą płytkę, na której jednej stronie drukowane są części układu elektronicznego oraz przewody je łączące, nazywamy obwodem drukowanym. Projektując obwód drukowany należy pamiętać o tym, że przewody nie mogą się przecinać ponieważ nie są izolowane. Wynika stąd, że graf odpowiadający obwodowi drukowanemu musi być płaski. Rozpatrzmy graf, który odpowiada całemu układowi elektronicznemu. Wierzchołkami są elementy tego układu a krawędziami przewody. Grubość takiego grafu jest to minimalna liczba obwodów drukowanych potrzebnych do złożenia całego układu. Mózg człowieka (przykład grafu), a procesor komputera Mówiąc o sieciach neuronowych często zamiennie używamy nazwy neurokomputery mając na myśli urządzenia, których budowa podobna jest do biologicznej struktury mózgu ludzkiego. Stąd też wywodzi się nazwa, podkreślająca, iż pierwowzorem podstawowego elementu sieci neuronowej jest właśnie neuron biologiczny - elementarny składnik mózgu. Oto przykład sieci - jej węzły to neurony, ich zadaniem jest przetwarzanie informacji wejściowej i przesyłanie wynikowego sygnału. To oczywiście tylko jeden z przykładów wielu modeli sieci. Mózg człowieka ciągle jest najpotężniejszym z istniejących obecnie urządzeń stosowanych do przetwarzania informacji w czasie rzeczywistym. Mózg i komputer : jakie są podobieństwa i jakie różnice. Wyobraźmy sobie komputer, który rozwiązując pewien problem sam się uczy. Najpierw wprowadzamy do niego informacje o postawionym zadaniu, dane wejściowe problemu oraz wybrane przykłady wraz z poprawnymi ich rozwiązaniami. Następnie komputer analizuje wprowadzone informacje i ucząc się na swoich błędach osiąga w końcu taki stan, w którym postawiony problem może być rozwiązany. W takiej działalności można zauważyć wiele podobieństw do działania człowieka. 60