Graf to nie tylko tytuł szlachecki

Transkrypt

1 Kàcik olimpijski Grafy Graf to nie tylko tytuł szlachecki karta pracy Graf to nie tylko tytuł szlachecki Graf co to takiego? Pojęcie grafu wprowadził szwajcarski matematyk Leonhard Euler ( ). Grafem nazwał zbiór punktów (zwanych wierzchołkami) połączonych liniami (zwanymi krawędziami) w taki sposób, że każda krawędź zaczyna się i kończy w którymś z wierzchołków. Ten graf ma 4 wierzchołki i 5 krawędzi. Ten graf ma 7 wierzchołków i 7 krawędzi. Narysuj graf, który ma Narysuj dowolny graf. Zapisz, ile 5 wierzchołków i co najmniej ma wierzchołków i krawędzi. 6 krawędzi. 3 Uzupełnij zdanie. Ten graf ma wierzchołków i krawędzi. Rozwijamy zdolnoêci matematyczne i przyrodnicze m.indd :5

2 karta pracy Kàcik olimpijski Grafy Graf pełny Graf pełny Graf pełny Graf pełny to taki, w którym każdy wierzchołek jest połączony bezpośrednio krawędzią z każdym innym. Uzupełnij tabelkę. Liczba wierzchołków grafu Rysunek grafu pełnego Liczba krawędzi grafu Porównaj liczbę wierzchołków i liczbę krawędzi każdego z grafów. Nie wykonując rysunku, zapisz, ile krawędzi ma graf o 0 wierzchołkach. Odp.: 40 Rozwijamy zdolnoêci matematyczne i przyrodnicze 3m.indd :5

3 Kàcik olimpijski Grafy Figury unikursalne karta pracy 3 Figury unikursalne Figury unikursalne Figury unikursalne to takie, które można narysować jednym pociągnięciem ołówka, bez powtarzania raz już narysowanych linii. Sprawdź, która z poniższych figur jest unikursalna. Tylko pierwszej figury nie można narysować jednym pociągnięciem ołówka. Figury druga i trzecia są unikursalne, ale między nimi występuje różnica. Kopertę otwartą z jednej strony narysujemy tylko wtedy, gdy zaczniemy od jednego z dolnych rogów koperty, a skończymy w drugim z dolnych rogów. Natomiast kopertę otwartą z dwóch stron możemy zacząć rysować z dowolnego miejsca i skończymy dokładnie w tym samym punkcie. Narysowane koperty są grafami spójnymi, co oznacza, że z każdego wierzchołka możemy dojść do każdego innego. Narysuj grafy spójne, z których każdy jest figurą unikursalną. Rozwijamy zdolnoêci matematyczne i przyrodnicze 4 3m.indd :5

4 karta pracy 3 Kàcik olimpijski Grafy Figury unikursalne 3 Według legendy prorok Mahomet zamiast podpisu rysował jednym pociągnięciem ołówka dwa półksiężyce takie, jak na rysunku. Narysuj te półksiężyce jednym pociągnięciem ołówka. Aby określić warunki, jakie musi spełniać graf będący figurą unikursalną, należy wprowadzić pojęcie stopnia wierzchołka. Jest to liczba krawędzi wychodzących z danego wierzchołka. Wierzchołek 3 stopnia Wierzchołek stopnia Euler zauważył, że figurą unikursalną może być graf, którego każdy wierzchołek jest stopnia parzystego (jest to graf Eulera I rodzaju, który można zacząć rysować od dowolnego wierzchołka), lub graf, w którym dokładnie dwa wierzchołki są stopnia nieparzystego (jest to graf Eulera II rodzaju, który narysujemy tylko wtedy, gdy zaczniemy go rysować od jednego wierzchołka stopnia nieparzystego, a skończymy w drugim). Widzimy zatem, że zamknięta koperta nie jest figurą unikursalną, gdyż jest to graf mający 4 wierzchołki stopnia trzeciego. Koperta otwarta z jednej strony ma dokładnie dwa (dolne rogi) wierzchołki stopnia nieparzystego (trzeciego), więc jest grafem Eulera II rodzaju. Koperta obustronnie otwarta ma każdy wierzchołek stopnia parzystego, więc jest grafem Eulera II rodzaju. 4 Rozwijamy zdolnoêci matematyczne i przyrodnicze 3m.indd :5

5 Kàcik olimpijski Grafy Figury unikursalne karta pracy 3 4 a Sprawdź, które z poniższych figur są unikursalne. b c d e f g h i j Rozwijamy zdolnoêci matematyczne i przyrodnicze m.indd :5

6 karta pracy 4 Kàcik olimpijski Grafy Grafy w mieêcie Grafy w mieêcie Przez Królewiec, miasto w Prusach, przepływała rzeka, w której rozwidleniach znajdowały się dwie wyspy. Ponad rzeką przerzucono siedem mostów, z których jeden łączył obie wyspy, a pozostałe mosty łączyły wyspy z brzegami rzeki. Euler zastanawiał się, czy można przejść kolejno przez wszystkie mosty tak, żeby każdy przekroczyć tylko raz i wrócić do miejsca, z którego się wyruszyło. a Zastanów się, jaka jest odpowiedź na pytanie Eulera. b Zastanów się, jaka byłaby odpowiedź, gdyby wybudowano jeszcze jeden most. Zosia bardzo lubi spacerować po parku, którego plan ścieżek zamieszczono poniżej. Wejścia do parku są oznaczone kolejnymi literami alfabetu od A do J. Dzisiaj Zosi udało się przejść po wszystkich ścieżkach parkowych dokładnie jeden raz. Którędy Zosia weszła do parku, jeżeli wiadomo, że litera, którą oznaczono to wejście, jest figurą unikursalną? Narysuj przykładową trasę spaceru Zosi. A B C D E F G H I J 44 Rozwijamy zdolnoêci matematyczne i przyrodnicze 3m.indd :5