Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT, wykład dr hab. A. Jurlewicz Przykłady - Lista nr : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.. Hasło potrzebne do uzyskania połączenia w sieci komputerowej składa się z jednej cyfry i następnie pięciu dużych liter alfabetu angielskiego. Znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba postronna odgadnie hasło, jeśli wiadomo, że cyfra jest nieparzysta, a wśród liter są dokładnie trzy litery E. Ω = {c, l,..., l 5, gdzie c {, 3, 5, 7, 9}, l i to duże litery, dokładnie 3 wśród nich to E}, F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasyczne. #Ω = 5 5 3 5 = 35, bo jest 5 możliwości wyboru cyfry, 5 3 możliwości wyboru miejsc na E, 6 możliwości wyboru liter innych niż E na każde z dwóch pozostałych miejsc zdarzenie, że osoba postronna odgadnie hasło, A = {właściwe hasło}, #A = P A = #A #Ω =, 3. 35. Użytkownik karty kredytowej używa czterocyfrowego hasła dostępu. Bankomat blokuje kartę, gdy po raz trzeci hasło zostanie nieprawidłowo podane. Jakie jest prawdopodobieństwo, że złodziej karty dostanie się na nasze konto nie znając hasła? Ω = {{h, h, h 3 }, gdzie h i to trzy różne hasła spośród 4 możliwych haseł}. F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasyczne. A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h, h 3 }} #Ω = 4 3, #A = 4. P A = #A #Ω = 4!! 4 3! 3!4 3! 4! =, 3. 3. Drewniany sześcian, którego wszystkie boki są pomalowane na niebiesko, rozpiłowano na 64 = 4 3 jednakowej wielkości mniejsze sześcianiki. Sześcianiki te dokładnie wymieszano, następnie wylosowano z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden z wylosowanych sześcianików będzie miał 3 niebieskie ściany? Odpowiedź uzasadnić. Ω = {{s,..., s }, gdzie s i to różne sześcianiki spośród 64 możliwych} F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasyczne. A = {dokładnie jeden narożny} = {{narożny,s,..., s }, gdzie s i nie są narożne} #Ω = 64, #A = 8 56 9 P A = #A #Ω = 45973, 4. 647459
4. Niech Ω = {ω n, n =,,...}. Weźmy ciąg p n = cz n, n =,,..., gdzie z > jest ustalone. Dobrać stałą c tak, aby ciąg p n określał prawdopodobieństwo P na zbiorze Ω tak, że p n = P {ω n }. Obliczyć P {ω,..., ω }. p n dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c p n = c n z = c n= n= z = c = wtedy i tylko wtedy, gdy z z c = z Oba warunki na ciąg określający prawdopodobieństwo na Ω są spełnione dla c = z P {ω,..., ω } = p n = z n z = z n= n= z z = z z Uwaga: Korzystamy tu ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego: q n N = lim q n q N+ = lim = dla < q < n= N n= N q q Tutaj < q = < z 5. Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa razy pod rząd na tę samą stronę. Określić Ω i P odpowiadające temu eksperymentowi dla monety symetrycznej. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wykonamy mniej niż 7 i więcej niż rzuty. Ω = {OO, ROO, OROO,...} {RR, ORR, RORR,...}, F = Ω, p n,o = P n rzutów+oo = n+, pn,r = P n rzutów+rr = dla monety symetrycznej. n+ Przestrzeń probabilistyczna jest dobrze określona, bo p n,o, p n,r dla dowolnego n oraz p n,o + p n,r = n 4 = n= n= =. P mniej niż 7 i więcej niż rzuty = P 3, 4, 5 lub 6 rzutów = 4 p n,o +p n,r = 5 n= 3 ilość rzutów= n +. 6. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt kwadratu x < 4, y < 4 leży na zewnątrz koła x + y <. Ω = {x, y : x < 4, y < 4} - kwadrat, F to borelowskie podzbiory Ω, 5 P - prawdopod. geometryczne. A = {x, y : x + y < } - koło. P A c = P A = pole A pole Ω = π 64, 95. 4 3 4 A c A 4 Ω 4 3 4 4 5 5 4 3 3 4 5
Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr : Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym. Wzór Bayesa. Schemat Bernoulliego.. Pewna choroba jest obecna w,% populacji. Opracowano test, który daje wynik dodatni u 9% chorych i u 5% zdrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pacjent z wynikiem dodatnim jest zdrowy? Czy ma on powody do obaw? Wprowadzamy oznaczenia: A - zdarzenie, że test daje wynik dodatni; B - zdarzenie, że pacjent jest chory. Szukamy P B c A. Ze wzoru Bayesa P B c A = P A Bc P B c P A Mamy P B =, = P B c ; P A B =, 9; P A B c =, 5. Zatem P A = P A BP B + P A B c P B c =, 585 z tw. o prawdop. całkowitym. oraz P B c, 5, A =, 998, 585 Wniosek: Test w istocie nie wykrywa choroby, bo pacjent z wynikiem dodatnim jest zdrowy na ponad 99% i raczej nie ma powodów do obaw.. Wykonujemy pomiary trzema przyrządami, z których jeden jest nieco rozregulowany. Przy wykonywaniu pomiaru sprawnym przyrządem prawdopodobieństwo otrzymania błędu pomiaru przewyższającego tolerancję, wynosi,3; prawdopodobieństwo to dla przyrządu niesprawnego wynosi,3. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wynik pomiaru losowo wziętym przyrządem: a przewyższa tolerancję; b jest wykonany nie w pełni sprawnym przyrządem, jeżeli wynik ten przewyższa tolerancję. Wprowadzamy oznaczenia: A - zdarzenie, że błąd pomiaru przewyższa tolerancję; B - zdarzenie, że przyrząd jest sprawny. Mamy P B = 3 = P Bc, P A B =, 3; P A B c =, 3. Ad. a Z tw. o prawd. całkowitym P A = P A BP B + P A B c P B c =,. Ad. b Ze wzoru Bayesa P B c A = P A Bc P B c P A = 5 6, 83. 3
3. W pewnym teleturnieju za jednymi z trzech zamkniętych drzwi znajduje się samochód, a za pozostałymi dwoma kozy. Prowadzący grę wie, które drzwi kryją samochód. Gracz wskazuje na jedne z drzwi, prowadzący otwiera jedne z pozostałych odkrywając kozę i następnie pyta gracza, które z zamkniętych drzwi otworzyć tzn. czy gracz zmienia wybór, czy nie. Jeżeli gracz wskaże na odpowiednie drzwi, wygrywa samochód. Powiedzmy, że gracz wskazał na początku na drzwi nr, a prowadzący grę otworzył drzwi nr 3 z kozą. Czy graczowi opłaca się zmienić decyzję i wskazać na drzwi nr? Odpowiedź uzasadnić. Wprowadzamy oznaczenia: A i - zdarzenie, że samochód jest za drzwiami nr i, B i - zdarzenie, że prowadzący otworzył drzwi nr i, i =,, 3 Mamy P A i = 3, P B 3 A =, P B 3 A =, P B 3 A 3 =. Stąd P B 3 = 3 P B 3 A i P A i = z tw. o prawdop. całkowitym, i= i ze wzoru Bayesa P A B 3 = P B 3 A P A = P B 3 3 oraz P A B 3 = P B 3 A P A = P B 3 3 Wniosek: Graczowi opłaca się zmienić decyzję, bo zwiększa swoją szansę na wygraną. 4. Wiadomo, że % skrzynek pomarańczy psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy pobiera się skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy więcej niż % badanych skrzynek zawiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu? Model: schemat Bernoulliego, sukces-wybranie skrzynki z popsutymi owocami, p =, %, n =. Niech X oznacza ilość skrzynek z popsutymi owocami wśród badanych. X przyjmuje wartości k =,,..., z prawdopodob. p k = P X = k = k, k, k. Transport jest odrzucany, gdy X > % =. Prawdop. odrzucenia transportu wynosi zatem P X > = P X = P X = = =,,,, 9, 43. 4
5. Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie 6. Niech X oznacza liczbę wykonanych rzutów. Jakie są możliwe wartości X i z jakim prawdopodobieństwem przyjmuje każdą z nich? Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wypadła szóstka, p = 6. X to czas oczekiwania na pierwszy sukces, który przyjmuje wartości k =,,... z prawdopodobieństwami p k = P X = k = k 6 = 5 k. 6 5 6 Prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów, wynosi P X parzyste = p k = l 5 5 6 = 5, 45. k parzyste Uwaga: jest ono różne od,5. l= 6. Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. Gracz otrzymuje ich sześć i rzuca je aż do pierwszego celnego rzutu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka zostanie graczowi jeszcze co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym rzucie wynosi,. Model: schemat Bernoulliego, sukces-trafienie na kołek, p =,. Wyobraźmy sobie, że mamy nieograniczoną liczbę krążków, i oznaczmy przez Y czas oczekiwania na pierwsze trafienie. Y przyjmuje wartości k =,,... z prawdop. p k = P Y = k =,, k. Graczowi zostanie co najmniej jeden krążek, gdy Y 5. Szukane prawdopod. wynosi zatem P Y 5 = 5 p k =, 5, 9 k =, 9 5, 4. k= k= 5
Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 3: Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej.. Niech X oznacza ocenę z egzaminu w czterostopniowej skali ocen:, 3, 4, 5 losowo wybranego studenta z dużej grupie studenckiej. Rozkład tej zmiennej losowej podany jest w tabeli: n 3 4 x n 3 4 5 p n,,3,4 C Wyznacz stałą C i oblicz prawdopodobieństwo, że ocena jest wyższa niż 3. p n C 4 p n =, +, 3 +, 4 + C =, 8 + C = C =, n= Oba warunki spełnione są dla C =,. P X > 3 = P X = 4 + P X = 5 = p 3 + p 4 =, 4 +, =, 6. Dla jakiej wartości stałej c ciąg p n = c ln, n =, 3,..., określa rozkład n pewnej zmiennej losowej? Podać dwa różne przykłady takiej zmiennej losowej i wyliczyć dla obu prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 5, i mniejsza od 7,9999. p n dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c bo <. n p n = c n n + ln = c lnn + lnn + ln n = n= n= n n= = lim c ln + n n ln = c ln = wtedy i tylko wtedy, gdy c = <. ln Oba warunki na ciąg określający rozkład są spełnione dla c = ln. Aby podać rozkład zmiennej losowej z wykorzystaniem p n trzeba jeszcze określić zbiór jej wartości, czyli różnowartościowy ciąg x n. Przykład. Zmienna losowa X, dla której x n = n dla n =, 3,.... Zbiór wartości to {, 3,...}. Wtedy P 5, < X < 7, 9999 = P X = 6 + P X = 7 = p 6 + p 7 = = ln 36 + ln 49 ln, 7. Przykład. Zmienna losowa Y, dla której x n = n wartości to {6, 4, 3,,...}. 5 dla n =, 3,.... Zbiór Wtedy P 5, < Y < 7, 9999 = P Y = 6 = p = ln 4, 45. ln Przykład 3. Zmienna losowa Z, dla której x n = 8+n dla n =, 3,.... Zbiór wartości to {, 7,...}. Wtedy P 5, < Z < 7, 9999 =. 6
3. Na podstawie pewnych badań stwierdzono, że zmienna losowa X opisująca procent zanieczyszczeń w próbce rudy miedzi ma rozkład o gęstości fx = { x x dla x, poza tym. Wybrano niezależnie cztery próbki. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że a dokładnie jedna próbka zawiera ponad 5% zanieczyszczeń; b co najmniej jedna próbka zawiera ponad 5% zanieczyszczeń. Model: schemat Bernoulliego, sukces-procent zanieczyszczeń w próbce jest większy niż 5%, czyli X > ; p = P X > = fxdx = x xdx = 6, n = 4. Niech Y oznacza ilość próbek z więcej niż 5% zanieczyszczeń wśród 4 badanych czyli ilość sukcesów w n = 4 próbach. Y ma rozkład Bernoulliego B n = 4, p = 6, czyli przyjmuje wartość xk = k z prawdopodobieństwem p k = 4 k 4 k k 6 6 dla k =,,..., 4. Mamy zatem P Y = = 4 6 3 6, 84; P Y = P Y = = 4 4. Dobrać stałą c tak, aby funkcja fx = 6 4 6, 99. dla x <, cx 4 dla x <, dla x <, cx 5 dla x < 3, dla 3 x była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej. Wyliczyć P, 5 X <, 5 i P X, 5. fx dla każdego x wtedy i tylko wtedy, gdy c wzory bez c dają funkcje ujemne na podanych przedziałach. fx, c= 3 x 3 4 5.5.5.5.5.5 3 3.5 fxdx = c x 4dx + c 3 x 5dx = 59 c = wtedy i tylko wtedy, 6 gdy c = 6 59. 7
Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy c = 6 59. Dystrybuanta ma postać F x = = x ftdt = dla x <, x t 4dt dla x <, 6 59 6 59 44 59 + 6 59 t 4dt dla x <, x t 5dt dla x < 3, dla 3 x.5.4 Fx dla x <, x x + dla x <, 59 44 = dla x <, 59 3x x 4 dla x < 3, 59 dla 3 x.5.4 Fx.3.3..... x 3. 3 x.5.4.3.. Fx.5.4 + +.3.. Fx. 3 x. 3 x Fx.8.6 44/59,7458.4. 3 x.5.5.5.5.5 3 3.5 P, 5 X <, 5 = F, 5 F, 5 = 44 59,5,5 + 59 = 4 36 P X, 5 = F, 5 = 3,5,5 4 59 = 7 36, 4., 74 8
5. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem F x = dla x,, 5x dla < x,, 5x x +, 75 dla < x, dla < x. Obliczyć P X <, 5, P < X, 5, P < X <, P < X, P X >, P X > /..5 Fx,75.5,5,5 x.5.5.5.5.5 P X <, 5 = F, 5 F =, 5, 5, 5+, 75, 5 =, 5 P < X, 5 = lim F x lim F x = x,5+ x + =, 5, 5, 5 +, 75, 5 +, 75 =, 5 P < X < = F lim x + F x =, 5 +, 75 =, 75 P < X = lim F x lim F x = = x + x + P X > = P X = lim x + F x =, 5 +, 75 =, 75 P X > / = P X > / P X < / = lim F x F, 5 = x,5+ =, 5, 5 =, 96875 9
6. Dobrać stałe A, B i C tak, aby funkcja Ae x dla x, F x = Bx +, 5 dla < x ln, C e x dla x > ln była dystrybuantą rozkładu pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwa P X ln, P X > ln 3 i P < X <..5 Fx.5.5 Bln+.5.5 A ln x.5 8 6 4 4 6 8 Rysunek : F x dla A =, 5, B =, 5, C =. Dla wszystkich A, B i C funkcja F x jest lewostronnie ciągła. lim F x = A = dla wszystkich A, B i C x lim x F x = C =, o ile C =, A i B - dowolne. Aby F była niemalejąca na całej prostej musimy mieć A, B A = F lim F x =, 5 x + B ln +, 5 = F ln lim F x = C, 5 x ln + Zatem funkcja F jest dystrybuantą dla C = oraz A i B spełniających warunki: A, 5, B, 5/ ln. Wtedy P X ln = P X > ln 3 = lim F x =, 5 =, 5 x ln + lim F x = x ln 3+ Ae ln 3 = A/3 P < X < = F lim x + F x = e, 5, 38
Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 4: Rozkład normalny. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej. Transformacja zmiennej losowej.. Błąd pomiaru długości śruby ma standardowy rozkład normalny. Znaleźć prawdopodobieństwo, że błąd zawarty będzie w przedziale [;,5], [-; ], [-,3; ]. Oznaczmy błąd pomiaru długości śruby przez B. Wiemy, że B to zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym. P B < x = P B x = Φx. Wartości funkcji Φ odczytujemy z tablic. P B [;, 5] = P B, 5 = Φ, 5 Φ =, 695, 5 =, 95 P B [ ; ] = P B = Φ Φ = Φ Φ = = Φ =, 843 =, 688 P B [, 3; ] = P, 3 B = Φ Φ, 3 = = Φ Φ, 3 =, 977, 9893 =, 9665. Długość produkowanych detali ma rozkład N, 9;, 3. Norma przewiduje wyroby o wymiarach, 9 ±, 5. Jaki procent produkowanych detali nie spełnia wymogów normy? Oznaczmy długość produkowanych detali przez L. Jest to zmienna losowa o rozkładzie N m =, 9; σ =, 3. Wiemy, że L m σ ma rozkład N,. Detal spełnia wymogi normy, gdy, 9, 5 L, 9 +, 5. P detal nie spełnia wymogów normy= P, 9, 5 L, 9+, 5 = = P,9,5,9 L m,9+,5,9,3 σ,3 = Φ 5 3 Φ 5 3 = = Φ 5 3 Φ, 67 =, 955 =, 95. Odp. 9,5% produkowanych detali nie spełnia wymogów normy. 3. Asystent prowadzący zajęcia ze statystyki przychodzi do sali na ogół minuty przed wyznaczoną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z σ = minuty, określić, jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego asystenta na zajęcia. Czy asystent powinien zmienić zwyczaje? Odpowiedź uzasadnić. Przyjmiemy, że moment rozpoczęcia zajęć t =. Oznaczmy przez T moment przyjścia asystenta. Jest to zmienna losowa o rozkładzie normalnym N m =, σ = m =, bo asystent przychodzi na ogół minuty przed chwilą t =. P asystent się spóźni= P T > = P T m σ =, 843 =, 587. > = Φ =
4. Gracz wyciąga z talii 5 kart dwie karty bez zwracania. Jeśli są to asy, wygrywa zł, jeśli dwie figury, wygrywa zł, a w pozostałych przypadkach gracz płaci zł. Niech X oznacza wygraną gracza. Znaleźć rozkład i wartość oczekiwaną zmiennej losowej X. Czy zagrałbyś w tę grę? Odpowiedź uzasadnić. X przyjmuje wartości, i - zł z prawdopodobieństwami P X = = 4 5 =, 45; P X = = 5 =, 498; P X = = P X = P X = = 9, 9457. Wartość - oznacza przegranie zł. EX = + 9 = 88, 3 zł. Wniosek: Jak widać, prawdopodobieństwo przegranej w jednej grze jest dość wysokie, 95, a stawki tak dobrane, że średnio przegrywamy około,3 zł. Gra nie jest więc sprawiedliwa. Raczej nie opłaca się grać. 5. Promień kuli R ma rozkład jednostajny U4, 9; 5, cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7,88 g/cm 3. Obliczyć EM i D M. Masa kuli równa jest M = a 3 R 3, gdzie a = 4 7, 88π/3 /3, 37. {, gdy r / [4, 9; 5, ], Gęstość R ma postać: f R r = = 5, gdy r [4, 9; 5, ]. EM = a 3 ER 3 = a 3 5, 4,9 r 3 f R rdr = 5a 5, 3 D M = EM EM = a 6 ER 6 EM = a 6 = 5a 5, 6 4,9 4,9 r 3 dr = 5a 3 5, 4 4,9 4 4 47, 6. r 6 dr EM = 5a 6 5, 7 4,9 7 5a 3 5, 4 4,9 4 7 4 6. Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy ego C,. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = arctgx. r 6 f R rdr EM = Gęstość rozkładu Cauchy ego C, ma postać f X x =. π+x Stąd dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać F X x = x f X tdt = π arctgx +. Dystrybuanta zmiennej losowej Y = arctgx to F Y y = P Y <y =, gdy y π, = P X <tgy = F X tgy = π y +, gdy π < y < π,, gdy y π., gdy y / π Odpowiada ona gęstości f Y y =, π,, gdy y π, π π. Jest to gęstość rozkładu jednostajnego U π, π. Wniosek: Y ma rozkład jednostajny U π, π. 433, 686 g.
7. Niech X będzie zmienną o rozkładzie normalnym N, σ. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Z = X. X ma rozkład normalny N, σ, czyli gęstość postaci f X x = πσ e x σ. Dystrybuanta { zmiennej losowej Z = X to F Z z = P Z < z =, gdy z, = P X < z = F X z F X z + = F X z F X z, gdy z >. Odpowiada ona gęstości {, gdy z, f Z z = f z X z + f X z = πσ z / e z σ, gdy z >. Jest to gęstość rozkładu gamma G, σ. Wniosek: Z ma rozkład gamma G, σ. 3
Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 5: Rozkład łączny. Rozkłady brzegowe. Niezależność zmiennych losowych.. Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie 6. Interesuje nas ilość wyrzuconych po drodze 5. Opisać to doświadczenie przy pomocy dwóch zmiennych losowych i znaleźć ich rozkład łączny. Niech X oznacza czas oczekiwania na pierwszą szóstkę, a Y - ilość piątek wyrzuconych do chwili X. Wektor losowy X, Y przyjmuje wartości x n, y k = n, k, gdzie n =,,... oraz k =,,..., n ; z prawdop. p nk = P X, Y = x n, y k = = P X = n, Y = k = n k n k 4 k 6 6 6 = n n k+ k 3 4 uwzględniamy możliwości wyboru miejsc na piątkę, szansę na piątkę na każdym z tych miejsc, szansę na wynik inny niż piątka i szóstka na pozostałych miejscach do przedostatniego włącznie, szansę na szóstkę w ostatnim rzucie. n Sprawdzenie: p nk = + n 4 6 6 6 =. n= k=. Wektor losowy X, Y ma następujący rozkład łączny: P X =, Y = = C; P X =, Y = = ; P X =, Y = =, ; P X =, Y = = P X =, Y = =, ; P X =, Y = =, 3. Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzegowe tego wektora losowego. Czy X i Y są niezależne? Stała C musi być nieujemna oraz spełniać warunek C++, +, +, +, 3 =, co daje C =, Rozkład łączny wektora losowego X, Y razem z rozkładami brzegowymi zmiennych losowych X i Y możemy podać w postaci tabeli: n= x n r.brzeg. y k Y,,, 3,,,, 3, 5 r.brzeg.x, 3, 7 = X i Y nie są niezależne, bo np. P X =, Y = =, 3, = P X = P Y =. 4
{ Cx 3. Dobrać stałą C tak, aby funkcja fx, y = y + y dla < x <, < y < poza tym. była gęstością pewnego wektora losowego X, Y. Obliczyć następnie P X, Y, gdzie to obszar y, x y. Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego X, Y. Czy X i Y są niezależne? fx, y dla każdego x, y wtedy i tylko wtedy, gdy C bo dla < x <, < y < mamy x y + y >. fx, ydxdy = C dx x y + ydy = 8C = wtedy 3 i tylko wtedy, gdy C = 3 8. Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy C = 3 8. Oznaczmy przez K prostokąt < x <, < y <. P X, Y = fx, ydxdy = 3 x.5 y + ydxdy = 8 K = 3 8 dx x x + ydy = 3 8 x + x.5 dx = = 3 + =, 9 8 3 6.5 K y=x.5.5.5.5.5 Wyznaczamy rozkłady brzegowe: f X x = 3 fx, ydy = 8 x + ydy = 3 4 x + dla < x <, dla pozostalych x. f Y y = 3 fx, ydx = y x + dx = y dla < y <, 8 dla pozostalych y. Ponieważ dla każdego x, y mamy f X xf Y y = fx, y, zmienne losowe X i Y są niezależne. K 4. Dobrać stałą c tak, aby funkcja fx, y = { cx + y dla x, y x, poza tym była gęstością pewnego wektora losowego X, Y. Obliczyć następnie współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y. Czy X i Y są niezależne? Oznaczmy przez T trójkąt < x <, < y < x. fx, y dla każdego x, y wtedy i tylko wtedy, gdy C bo dla x, y T mamy x + y >. C =. fx, ydxdy = C dx x x + ydy = C Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy C =. = wtedy i tylko wtedy, gdy 5
Współczynnik korelacji to ρ XY = EX = D X = EY = D Y = EXY = ρ XY = 5 9, 44. EXY EXEY D X D Y xfx, ydxdy = dx x xx + ydy = 3 4 x fx, ydxdy EX = dx x yfx, ydxdy = dx x yx + ydy = 5 y fx, ydxdy EY = dx x xyfx, ydxdy = dx x xyx + ydy = 3 x x+ydy EX = 3 5 3 4 y x+ydy EY = 7 3 5 Ponieważ ρ XY, zmienne X i Y nie są niezależne. 5. Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy Exp 5, a Y rozkład normalny N,. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = X 3Y. X ma rozkład wykładniczy Exp λ = 5, zatem EX = λ = 5 i D X = λ = 5. Y rozkład normalny N,, zatem EY = i D Y = = 4. EZ = EX 3EY = 5 3 =. X i Y są niezależne, więc D Z = D X 3Y = D X 3Y = = D X + D 3Y = D X + 3 D Y = 4 5 + 9 4 = 36. 6. Niech Y = X + N, gdzie X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p =, 4; a N ma rozkład normalny N,, przy czym zmienne losowe X i N są niezależne. Obliczyć współczynnik korelacji ρ XY. X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p =, 4, zatem EX = p =, 4 i D X = p p =, 4. N ma rozkład normalny N,, zatem EN = i D N =. EY = EX + EN =, 4 + =, 4 Zmienne losowe X i N są niezależne. Zatem D Y = D X + D N =, 4 + =, 4 oraz EXY = EX +EXN = D X +EX +EXEN =, 4+, 4 +, 4 =, 8. Inny sposób: D X + Y = D X + D Y EXY EXEY, zatem EXY EXEY = D X + Y D X D Y = D X + N D X D Y = = 4 D X + D N D Y = 3, 4 +, 4 =, 4 EXY EXEY Otrzymujemy ρ XY = =,4 D XsqrtD Y,4,4, 44. 6
Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 6: Działania na zmiennych losowych.. Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Poissona P, a Y rozkład normalny N,. Jaka jest funkcja charakterystyczna rozkładu zmiennej losowej X + Y, a jaka zmiennej losowej 4X Y? X ma rozkład Poissona Pλ =, więc ϕ X t = e λeit = e eit. Y ma rozkład normalny N m =, σ =, więc ϕ Y t = e itm t σ / = e it t. Zmienne X i Y są niezależne. Zatem ϕ X+Y t = ϕ X t ϕ Y t = e eit e it t ϕ 4X Y t = ϕ X 4t ϕ Y t = e ei4t e it t, gdyż dla dowolnej stałej a i zmiennej losowej X mamy ϕ ax t = Ee itax = Ee iatx = ϕ X at.. Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych odpowiednio o rozkładach gamma Gλ, p i Gλ, p ma również rozkład gamma. X ma rozkład gamma Gλ, p, więc ϕ X t = it/λ p. Y ma rozkład gamma Gλ, p, więc ϕ Y t = it/λ p. Zmienne X i Y są niezależne. Zatem ϕ X+Y t = ϕ X t ϕ Y t = it/λ p it/λ p = it/λ p +p. Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu gamma Gλ, p + p, zatem X + Y ma taki właśnie rozkład gamma. 3. Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych odpowiednio o rozkładach Poissona Pλ i Pλ ma również rozkład Poissona. X ma rozkład Poissona Pλ, więc ϕ X t = e λ e it. Y ma rozkład Poissona Pλ, więc ϕ Y t = e λ e it. Zmienne X i Y są niezależne. Zatem ϕ X+Y t = ϕ X t ϕ Y t = e λ e it e λ e it = e λ +λ e it. Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu Poissona Pλ + λ, zatem X + Y ma rozkład Poissona Pλ + λ. 4. Niech X, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Cauchy ego C,. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = X + X. X i X mają rozkład Cauchy ego C,, więc ϕ X t = ϕ X t = e t. Zmienne X i X są niezależne. Zatem dla Y = X +X mamy ϕ Y t = ϕ t X +X = t ϕx t ϕx = e t e t = e t. Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu Cauchy ego C,, zatem Y ma taki właśnie rozkład. 7
5. Sznur lampek choinkowych składa się ze żarówek połączonych szeregowo. Żarówki psują się niezależnie, a czas świecenia każdej z nich ma taki sam rozkład Weibulla W,. Znaleźć rozkład czasu działania sznura lampek. Oznaczmy przez T i czas świecenia żarówki nr i, i =,,...,. Z treści zadania T, T,..., T są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie Weibulla W,. {, gdy t, Dystrybuanta tego rozkładu ma postać F t = e t, gdy t >. Czas działania sznura lampek połączonych szeregowo to T = mint, T,..., T. Z niezależności T, T,..., T otrzymujemy F T t = F t = { {, gdy t,, gdy t, = e t =, gdy t >. e t, gdy t >. Zatem T ma rozkład Weibulla W,. 6. Zmienne losowe X i Y są niezależne o takim samym rozkładzie wykładniczym o średniej 4. Obliczyć E minx, Y. X i Y mają rozkład wykładniczy Expλ o średniej 4. Zatem = EX = EY = 4, czyli λ =. λ 4 {, gdy x <, Dystrybuanty mają więc postać F X x = F Y x = e x 4, gdy x. Zmienne X i Y są niezależne, więc dla Z { = minx, Y mamy, gdy z <, F Z z = F X z F Y z = e z, gdy z. Zatem Z ma rozkład wykładniczy Exp, a stąd E minx, Y = EZ = / =. 8
7. Pokazać, że randomizując parametr λ zmiennej o rozkładzie Poissona Pλ zgodnie z rozkładem gamma G, 3 otrzymujemy zmienną o rozkładzie ujemnym dwumianowym. Jakie parametry ma ten rozkład ujemny dwumianowy? Mamy P X = n Λ = λ = λn n! e λ dla n =,,..., gdzie Λ ma rozkład gamma G, 3, {, gdy λ, czyli rozkład ciągły o gęstości f Λ λ = λ e λ, gdy λ > ; Γ3 =! =. Zatem dla n =,,... otrzymujemy P X = n = P X = n Λ = λf Λ λdλ = = λ n+3 e λ dλ = Γn + 3 = n! n! n+3 n + 3 = 3 3 n+3 3. Widać stąd, że P X + 3 = k = k 3 λ n n! e λ λ e λ dλ = n + 3! n!3! czyli X + 3 ma rozkład ujemny dwumianowy N B 3,. = n+3 3 k 3 dla k = 3, 4,..., 9
Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 7: Twierdzenie Moivre a-laplace a. Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Lévy ego. Twierdzenie Poissona.. Z partii towaru o wadliwości 3% pobrano próbkę 5 elementową. Na podstawie tw. Moivre a Laplace a oszacować prawdopodobieństwo, że liczba wadliwych elementów w próbie nie przekroczy 4%. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wylosowany towar jest wadliwy, p =, 3 3%, n = 5 - dość duże, by użyć przybliżenia na podstawie tw. Moivre a- Laplace a. Niech X oznacza liczbę wadliwych towarów w próbce, czyli liczbę sukcesów. Mamy oszacować P X 4% 5 = P X. P X = P X, 5 = P X np,5 5,3 = np p 5,3,3 = P X np 5,5 np p 4,55 Φ 5,5 4,55 Φ, 44 =, 95 z tablic standardowego rozkładu normalnego.. W dużym okręgu wyborczym 6% wyborców popiera emisję nowych obligacji, a 4% jest przeciw temu projektowi. Na podstawie tw. Moivre a Laplace a oszacować, jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia projektu w wyborach, w których weźmie udział tylko 6 osób wybranych losowo. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wyborca jest za emisją obligacji, p =, 6 6%, n = 6 - dość duże, by użyć przybliżenia na podstawie tw. Moivre a- Laplace a. Niech X oznacza liczbę wyborców popierających projekt, czyli liczbę sukcesów. Projekt zostanie odrzucony, gdy X 5% 6 = 8. P X 8 = P X 8, 5 = P X np 8,5 6,6 = np p 6,6,6 = P X np, 5 Φ, 5 = Φ, 5 =, 9938 =, 6 np p z tablic standardowego rozkładu normalnego.
3. W pewnym towarzystwie ubezpieczeniowym jest ubezpieczonych samochodów. Każdy z właścicieli płaci roczną składkę 3 zł za samochód. Średnio 6 na samochodów ulega uszkodzeniu w ciągu roku. Właścicielowi uszkodzonego pojazdu towarzystwo wypłaca 5 zł. Na podstawie tw. Moivre a Laplace a oszacować, jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu roku a towarzystwo nie poniesie strat, b zysk przekroczy 5 zł? Wpłata do towarzystwa ubezpieczeniowego wynosi W = 3 = 3 zł Wypłata to W y = 5 X zł, gdzie X ilość uszkodzeń. X to liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego, gdzie sukces to uszkodzenie samochodu, p =, 6 6 na samochodów, n = - dość duże, by użyć przybliżenia na podstawie tw. Moivre a-laplace a. Zysk towarzystwa to Z = W W y. Ad. a Towarzystwo nie poniesie strat, gdy Z, czyli gdy X. P X = P X, 5 = P X np,5,6 = np p,6,6 = P X np 6,5 np p 59,64 Φ 6,5 59,64 Φ7, 83, 999995 = Φ4, 47 na podstawie tablic standardowego rozkładu normalnego. Ad. b Zysk przekroczy 5 zł, gdy Z > 5, czyli gdy X < 7. P X < 7 = P X < 69, 5 = P X np < 69,5,6 = np p,6,6 = P X np < 9,5 np p 59,64 Φ 9,5 59,64 Φ, 3 =, 897 z tablic standardowego rozkładu normalnego. 4. Pewna konstrukcja składa się ze jednakowych elementów. Na podstawie CTG Lindeberga Lévy ego oszacować prawdopodobieństwo, że całkowita masa tej konstrukcji nie przekroczy 335 kg, jeśli rozkład masy elementów, z których jest złożona, ma wartość oczekiwaną 3,3 kg i odchylenie standardowe, kg? Oznaczmy przez X i masę elementu nr i w kg, i =,,...,. Zakładamy, że X, X,..., X są niezależnymi zmiennymi losowymi. Z treści zadania mają one jednakowy rozkład, przy czym EX = 3, 3; a D X =,. Masa całej konstrukcji to X = i= X i. Mamy oszacować P X 335. Ponieważ wariancja D X jest skończona i większa od, a n = wystarczająco duże, możemy skorzystać z tw. Lindeberga Lévy ego. Otrzymujemy n n P X 335 = P X i nex i= nd 335 3,3 X, = P X i nex i= Φ5 >, 999995 = Φ4, 47 na podstawie tablic standardowego rozkładu normalnego. 5 nd X
5. Czas oczekiwania na tramwaj linii 4 jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Pan A codziennie w dni robocze dojeżdża nim do pracy. Oszacować na podstawie CTG Lindeberga Lévy ego prawdopodobieństwo, że pan A traci kwartalnie czyli w ciągu 65 kolejnych dni roboczych na czekanie na tramwaj linii 4 więcej niż minut. Oznaczmy przez T i czas oczekiwania na tramwaj w dniu o kolejnym numerze i w minutach, i =,,..., 65. Zakładamy, że T, T,..., T 65 są niezależnymi zmiennymi losowymi. Z treści zadania mają one jednakowy rozkład wykładniczy Expλ o średniej 5 minut. Zatem /λ = ET = 5, a stąd D T = λ = 5. Czas stracony kwartalnie na dojazdy to T = 65 T i. Mamy oszacować P T >. Ponieważ wariancja D T jest skończona i większa od, a n = 65 wystarczająco duże, możemy skorzystać z tw. Lindeberga Lévy ego. Otrzymujemy n n P T > = P T i net i= > nd 65 5 T 65 5 i= = P Φ 5 5 65 Φ, =, 583 =, 468 z tablic standardowego rozkładu normalnego. T i net i= > nd 5 T 5 65 6. Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi książkę, wynosi,. Reklamę wysłano do osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a dokładnie osoby, b więcej niż osoby przyślą zamówienia. Obliczenia wykonać metodą dokładną, przybliżoną z tw. Poissona i przybliżoną z tw. Moivre a Laplace a. Porównać wyniki. Model: schemat Bernoulliego, sukces-osoba odpowie na reklamę, p =,, n =. Niech X oznacza liczbę osób, które zamówiły książkę, czyli liczbę sukcesów. Ad. a Wzór dokładny: P X = =,,, 85. Przybliżenie Poissona: P X = p =, 77; gdzie p odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np =, =. Przybliżenie z tw. Moivre a-laplace a: P X = = P, 5 < X <, 5 = = P,5, < X np,, = P,5,8 < np p <,5,,, np p X np <,5,8 Φ,5,8 Φ,5,8 = = Φ,5,8 Φ, 37 =, 6443 =, 886 z tablic standardowego rozkładu normalnego. =
Ad. b Wzór dokładny: P X > = P X = P X = P X = = =,,,,,, = =, 9,, 9 9 9,, 9 8, 33. Przybliżenie Poissona: P X > p p p =, 353, 77, 77 =, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np =, =. Przybliżenie z tw. Moivre a-laplace a: X np np p >,5, =,, P X > = P X >, 5 = P = P X np >,5 np p,8 Φ,5,8 Φ, 37 =, 6443 =, 3557 z tablic standardowego rozkładu normalnego. Porównanie otrzymanych wartości : wzory dokładne z tw. Poissona z tw. Moivre a-laplace a P X =,85,77,886 P X >,33,333,3557 7. Przy masowych prześwietleniach małoobrazkowych prawdopodobieństwo natrafienia na chorego na gruźlicę jest,. Na podstawie tw. Poissona i tw. Moivre a Laplace a oszacować prawdopodobieństwo, że wśród ludzi prześwietlonych będzie nie mniej niż 3 chorych. Porównać wyniki. Model: schemat Bernoulliego, sukces-pacjent jest chory, p =,, n =. Niech X oznacza liczbę chorych. Mamy oszacować P X 3. Przybliżenie Poissona: P X 3 p p p = =, 353, 77, 77 =, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np =, =. Przybliżenie z tw. Moivre a-laplace a: P X 3 = P X >, 5 = P X np >,5, = np p,, = P X np >,5 np p,98 Φ,5,98 Φ, 36 =, 646 =, 3594 z tablic standardowego rozkładu normalnego. Porównanie otrzymanych wartości P X 3: z tw. Poissona z tw. Moivre a-laplace a,333,3594 3
8. Czas pracy lampy pewnego typu ma rozkład wykładniczy o średniej 9 godzin. Na podstawie tw. Lindeberga Lévy ego określić, ile lamp trzeba mieć w zapasie, aby z prawdopodobieństwem,99 wystarczyło ich na 4 lata nieprzerwanej pracy? Przyjmujemy, że spalona lampa jest natychmiast wymieniana na nową. Oznaczmy przez T i czas pracy lampy nr i w godzinach, i =,,..., n. Z treści zadania T, T,..., T n są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie wykładniczym o średniej 9 godzin, czyli z parametrem λ takim, że λ = ET i = 9. Mamy zatem D T i = λ = 9. Szukamy takiego n, aby n n P T i 3 365 + 366 4 = P T i 3564, 99 i= i= wśród 4 lat jest jeden rok przestępny. Z tw. Lindeberga-Lévy ego mamy n n i= P T i 3564 = P i= Jeżeli to nierówność jest spełniona. T i net nd 3564 9n T 9 n Φ 3564 9n. 9 n Φ 3564 9n 9 n, ; Z tablic standardowego rozkładu normalnego odczytujemy, że Φ, 36 =,. Zatem nierówność jest spełniona, gdy 3564 9n 9, 36. n Rozwiązujemy nierówność 3564 9n, 36 9 n <, gdzie n jest liczbą naturalną. Odpowiada to warunkom 3564 9n, 36 9 n i n > 3564 = 38, 96. 9 Rozwiązując równanie kwadratowe i uwzględniając drugi warunek dostajemy odpowiedź: n 57. Wniosek: Wystarczy 57 lamp. 4