Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze pojęcia, których nie definiujemy. Aksjomaty (pewniki) to stwierdzenia, które uważamy za prawdziwe bez dowodzenia ich prawdziwości. Własności zdefiniowanych pojęć oraz związki między nimi formułujemy w twierdzeniach. Twierdzenia udowadniamy posługując się regułami wnioskowania i wykorzystując aksjomaty lub wcześniej udowodnione twierdzenia. Rachunek zdań. Pojęcia pierwotne: zdanie, wartość logiczna zdania. Zdania oznaczamy literami, np. p, q, r. Jeśli p jest zdaniem prawdziwym, to mówimy, że wartość logiczna zdania p jest równa 1 i zapisujemy w(p) = 1. Jeśli p jest zdaniem fałszywym, to mówimy, że wartość logiczna zdania p jest równa 0 i zapisujemy w(p) = 0. Aksjomaty logiki. (A1) Istnieje conajmniej jedno zdanie. (A2) Dla dowolnych zdań p i q, istnieją zdania p, p q, p q, p q, p q, których wartość logiczna zależy jedynie od wartości logicznych p i q w następujący sposób: p q p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Definicja 1.1. Symbole,,,, nazywamy funktorami zdaniotwórczymi (lub spójnikami logicznymi). Przykłady innych funktorów dwuargumentowych: alternatywa wykluczająca spójnik (w informatyce XOR) p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1
1. WSTĘP DO LOGIKI. 2 kreska Sheffera spójnik (w informatyce NAND) p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Definicja 1.2. Litery oznaczające dowolne zdania nazywamy zmiennymi zdaniowymi, zaś wyrażenia utworzone ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych i ewentualnie nawiasów nazywamy schematami (lub formułami) rachunku zdań. Definicja 1.3. Schematy zdań, które przyjmują wartość logiczną 1 niezależnie od wartości logicznych tworzących je zdań nazywamy tautologiami lub prawami rachunku zdań. Przykłady tautologii: 1. p p prawo wyłączonego środka; 2. (p p) prawo niesprzeczności; 3. p ( p) prawo podwójnego zaprzeczenia; 4. (p q) ( q p) prawo kontrapozycji; (p q) (q p) prawa przemienności; (p q) (q p) (p (q r)) ((p q) r) (p (q r)) ((p q) r) prawa łączności; 7. (p (q r)) ((p q) (p r)) prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji; 8. (p (q r)) ((p q) (p r)) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy; (p q) ( p q) 9. prawa de Morgana; (p q) ( p q) 10. (p q) ( q p) prawo zaprzeczenia implikacji; 11. ((p q) (q r)) (p r). Przykłady reguł wnioskowania: 1. 2. 3. 4. P, P Q Q P Q, Q P P Q, Q R P R P Q, P Q P (R R) P (P Q) P P Q reguła odrywania
2. ALGEBRA ZBIORÓW. 3 Pojęcia pierwotne algebry zbiorów: 2. Algebra zbiorów. zbiór, przynależność do zbioru. Oznaczenia: a X czyt. a należy do zbioru X a nazywamy elementem zbioru X a / X def a X Aksjomaty algebry zbiorów: (A3) Istnieje conajmniej jeden zbiór. (A4) Dla dowolnych zbiorow A i B istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. (A5) Dla dowolnych zbiorow A i B istnieje zbiór, którego elementami są te elementy zbioru A, które nie należą do zbioru B. (A6) Jeśli zbiory A i B mają te same elementy, to są równe. A = B def w( A B) = 1. Definicja 2.1. Niech X 0 będzie zbiorem, którego istnienie wynika z aksjomatu (A3). Na mocy aksjomatu (A5) istnieje zbiór X 0 \ X 0. Zbiór ten nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem. Uwaga: w( ) = 0. Twierdzenie 2.2. Dla dowolnego zbioru A mamy A\A =. Niech A, B będą zbiorami. Zbiór, którego istnienie wynika z aksjomatu (A4) nazywamy sumą zbiorów A, B i oznaczamy przez A B def = { : A B. Zbiór, którego istnienie wynika z aksjomatu (A5) nazywamy różnicą zbiorów A, B i oznaczamy przez A \ B def = { : A / B. Definicja 2.3. Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Zbiór A \ (A \ B) nazywamy iloczynem zbiorów A, B i oznaczamy przez A B. Twierdzenie 2.4. Dla dowolnych zbiorów A i B ich iloczyn A B = { : A B. Definicja 2. Mówimy, że zbiór A zawarty jest w zbiorze B (A jest podzbiorem B) jeśli w( A B) = 1. Piszemy wtedy A B. Twierdzenie 2. Dla dowolnych zbiorów A i B mamy: 1. A; 2. A A; 3. A = B (A B) (B A);
3. FUNKCJE ZDANIOWE. KWANTYFIKATORY. 4 Definicja 2.7. Niech A X. Zbiór X \ A nazywamy dopełnieniem zbioru A (do zbioru X) i oznaczamy przez A. Prawa algebry zbiorów: Niech A, B, C, X będą dowolnymi zbiorami takimi, że A, B X. Wówczas 1. A (B C) = (A B) (A C); 2. A (B C) = (A B) (A C); 3. (A B) = A B ; 4. (A B) = A B ; A B A i A B B; A A B i B A B; 7. A B A \ B =. Własności trzecia i czwarta noszą nazwę praw de Morgana dla rachunku zbiorów. (A7) Dla dowolnego zbioru X istnieje zbiór złożony ze wszystkich jego podzbiorów. Zbiór ten oznaczamy 2 X i nazywamy zbiorem potęgowym zbioru X. Iloczyn kartezjański: A 2 X A X Definicja 2.8. Niech A, B oraz a A i b B. Parą uporządkowaną (a, b) o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór {{a, {a, b. (A8) Niech A, B. Istnieje zbiór złożony ze wszystkich par uporządkowanych o poprzednikach ze zbioru A i następnikach ze zbioru B. Zbior ten nazywamy iloczynem kartezjańskim i oznaczamy przez A B. Funkcje zdaniowe. A B def = {(a, b) : a A b B 3. Funkcje zdaniowe. Kwantyfikatory. Definicja 3.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Wyrażenie ϕ() zawierające zmienną, które staje się zdaniem (prawdziwym lub fałszywym), gdy w miejsce wstawimy dowolny element zbioru X nazywamy funkcją zdaniową, której zakresem zmienności jest zbiór X. (A9) Dla dowolnej funkcji zdaniowej ϕ(), której zakresem zmienności jest zbiór X, istnieje zbiór tych elementów ze zbioru X, dla których ϕ() jest zdaniem prawdziwym. Mówimy, że jest to zbiór tych elementów X, które spełniają funkcję zdaniową ϕ() i zapisujemy { X : w(ϕ()) = 1 { X : ϕ() Definicja 3.2. Zbiór { X : ϕ() nazywamy wykresem funkcji zdaniowej. Twierdzenie 3.3. Niech α() i β() będą funkcjami zdaniowymi o zakresie X. Wówczas: 1. { X : α() β() = { X : α() { X : β(); 2. { X : α() β() = { X : α() { X : β(); 3. { X : α() = X \ { X : α(); 4. { X : α() β() = { X : α() { X : β(). Rachunek kwantyfikatorów. Definicja 3.4. Niech ϕ() będzie funkcją zdaniową, której zakresem zmienności jest zbiór X.
3. FUNKCJE ZDANIOWE. KWANTYFIKATORY. 5 Jeśli { X : ϕ() = X, to mówimy, że funkcja zdaniowa ϕ() zachodzi dla każdego X i zapisujemy ϕ(). Jeśli { X : ϕ(), to mówimy, że funkcja zdaniowa ϕ() zachodzi dla pewnego X i zapisujemy ϕ(). Symbol (lub ) nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, zaś symbol (lub ) kwantyfikatorem szczególnym. Bezpośrednio z definicji wynika, że [ ϕ()] [ ϕ()]. Kwantyfikatory o zakresie ograniczonym: Niech α() i β() będą funkcjami zdaniowymi o zakresie X. β() def [α() β()]; α() β() def [α() β()]. α() Prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów: Niech α() będzie funkcją zdaniową o zakresie X. Wówczas: 1. [ α()] α(); 2. [ α()] α(). Prawa rozdzielności kwantyfikatorów względem funktorów zdaniotwórczych: Niech α() i β() będą funkcjami zdaniowymi o zakresie X. Wówczas: 3. 4. 7. 8. [α() β()] [ α() β()]; [α() β()] [ α() β()]; [α() β()] [ α() β()]; α() β()] [ [α() β()]; [α() β()] [ α() β()]; [α() β()] [ α() β()]. Niech S będzie zdaniem lub funkcją zdaniową (o zakresie zmienności zawartym w zbiorze X), która nie zależy w sposób efektywny od zmiennej. 9. [α() S] [ α() S]; 10. [α() S] [ α() S]; 11. [α() S] [ α() S]; 12. [α() S] [ α() S]. Niech ϕ(, y) będzie funkcją zdaniową, której zakresem zmienności jest zbiór X Y. 13. ϕ(, y) ϕ(, y); y Y y Y 14. ϕ(, y) ϕ(, y); y Y y Y 1 ϕ(, y) ϕ(, y). y Y y Y