Ćwiczenie 2: Wpływ temperatury na właściwości mechaniczne grafenu

Ćwiczenie 2: Wpływ temperatury na właściwości mechaniczne grafenu 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest określenie na podstawie symulacji metodą dynamiki molekularnej (MD, ang. molecular dynamics) wpływu temperatury na właściwości mechaniczne grafenu. Ćwiczenie przewiduje zbadanie, jak właściwości mechaniczne zależą od kierunku. Do tego celu wykorzystana zostanie metoda bezpośrednia (DM, ang. direct method) wyznaczania stałych sprężystości. Do opisu oddziaływań atomów węgla użyte zostanie pole siłowe REBO, które znacznie lepiej aniżeli potencjał Tersoffa opisuje właściwości grafenu. 2 Opis właściwości mechanicznych Dla dwuwymiarowej struktury heksagonalnej prawo Hooke a przyjmuje postać: C 12 0 ε 1 σ 1 C 12 0 ε 2 = σ 2 (1) 0 0 C 66 ε 6 σ 6 W przypadku naprężenia jednoosiowego, dla którego σ 1 0, σ 2 = 0 i σ 6 = 0, z (1) uzyskuje się: ε 1 + C 12 ε 2 = σ 1 (2) Można je przekształcić do postaci: C 12 ε 1 + ε 2 = 0. (3) σ 1 = C2 11 C 2 12 ε 1 (4) C 12 = ε 2. (5) ε 1 Oznaczając pojawiające się powyżej kombinacje stałych sprężystości symbolami E = C2 11 C 2 12 (6) ν = C 12, (7) można (4) i (5) zapisać w zwięzłych, dobrze rozpoznawalnych postaciach σ 1 = Eε 1 (8) 1

ν = ε 2 ε 1. (9) Zapis ten pokazuje, że wprowadzone wielkości E i ν posiadają sens modułu Younga i współczynnika Poissona. Równania (8) i (9) określają zachowanie materiału liniowo sprężystego dla przypadku jednoosiowego naprężania. Informują one, że w sytuacji takiej naprężenie osiowe σ 1 zmienia się wprost z odkształceniem ε 1, zaś odkształcenie poprzeczne ε 2 wprost z odkształceniem wzdłużnym ε 1. Dla większości materiałów, które typowo charakteryzują się dodatnim współczynnikiem Poissona ν, wzrost ε 1 powoduje zmniejszenie ε 2. Oznacza to, że w trakcie jednosiowego naprężenia, materiał ulega kontrakcji na kierunku poprzecznym. Istnieją jednak nietypowe materiały (tzw. auksetyki), które wykazują zachowanie odwrotne, charakteryzując się ujemnym współczynnikiem Poissona. 3 Metoda bezpośrednia Wykorzystując zależności (8) i (9) można w bardzo łatwy sposób określić moduły mechaniczne E i ν. W tym celu należy poddać układ deformacji. Wyznaczenie modułów E i ν sprowadza się do określenia stałych proporcjonalności, dla obliczonych (na podstawie symulacji) zależności okształcenie-naprężenie σ 1 (ε 1 ) i odkształcenie-odkształcenie ε 2 (ε 1 ). Istotnym jest, by badane deformacje odpowiadały zakresowi stosowalności prawa Hooke a. W przypadkach gdy obserwuje się odstępstwo od liniowo sprężystego charakteru, bądź gdy bada się właściwości mechaniczne poza zakresem stosowalności prawa Hooke a, można posłużyć się zależnościami, w których jawnie uwzględnia się zależność modułów E i ν od odkształcenia: σ 1 = E(ε 1 )ε 1 (10) ε 2 ε 1 = ν(ε 1 ). (11) Postępowanie takie wymaga określenia postaci funkcji E(ε 1 ) i ν(ε 1 ) dopasowania wybranych form do wyznaczonych zależności σ 1 (ε 1 ) i ε 2 (ε 1 ). W przypadku ciał krystalicznych właściwości mechaniczne silnie zależą od kierunku, zaś uzyskane dla różnych kierunków zależności E i ν od odkształcenia mogą być różne. Materiały o strukturze heksagonalnej wykazują izotropię poprzeczną. Implikuje ona, iż równe sobie będą wartości E i ν odpowiadające zerowemu odkształceniu i opisujące właściwości mechaniczne w płaszyźnie izotropii. Obecna izotropia nie implikuje, iż odpowiadające płaszyźnie izotropii różnym kierunkom pomiaru zależności E i ν od odkształcenia, będą parami pokrywały się w pełnym zakresie zmienności odkształceń. Co więcej, fakt obserwowania różnic dla niezerowych odkształceń często ma miejsce. W kontekście powyższych informacji nietrudno stwierdzić, że pełny opis nieliniowej odpowiedzi mechanicznej dwuwymiarowej struktury heksagonalnej wymaga określenia zależności E i ν od odkształcenia dla szeregu różnych kierunków pomiaru (naprężania). 2

4 Zadania 1. Przygotowanie symulacji. Przygotować pliki wejściowe programu LAMMPS umożliwiające przeprowadzenie symulacji MD grafenu w warunkach stałej temperatury T stałego tensora naprężeń σ (zespół izotermiczno-izobaryczny N pt, komenda fix, styl npt, słowa kluczowe temp x i y). Zastosować pętle, umożliwiającą przeprowadzenie szeregu symulacji, odpowiadających tej samej wartości temperatury T n stresses różnym, kolejno wyższym wartością naprężenia σ 1 = i σ 1, przy i = 0, 1, 2,..., n stresses σ 1 = σ1 max /n stresses. Wartość naprężenia σ 2 ustawić na zero. Zadbać, by parametry n stresses σ1 max określane były za pomocą zmiennych. Na początku symulacji wygenerować prędkości początkowe, zgodnie z rozkładem Maxwella-Boltzmanna (komenda velocity, style create) dla temperatury T. Zadbać, by inicjalizujące generator liczb pseudolosowych ziarno losowości s określane było za pomocą zmiennej Sprawić, by po generacji prędkości początkowych wyzerowany został całkowity pęd. Symulację podzielić na dwa etapy: wstępnego równoważenia właściwego próbkowania. W okresie równoważenia zastosować skalowanie prędkości do temperatury (komenda fix, styl temp/rescale). Do opisu oddziaływań atomów węgla zastosować pole siłowe REBO (ang. Reactive Empirical Bond-Order, komenda pair_style, styl rebo), obierając parametry odpowiadające polu drugiej generacji (ang. 2nd generation REBO, patrz [1, 2]). Pozostałe parametry symulacji zadać zgodnie z następującymi wytycznymi: (a) rozmiar układu dobrać jako równy 4 7 powieleniom 4-atomowej komórki elementarnej (N = 112 atomów), (b) długość okresów równoważenia i próbkowania ustawić jako równe odpowiednio n equil = 5000 kroków i n sample = 30 000 kroków, (c) w etapie równoważenia prędkości skalować co 100 kroków, jedynie wtedy gdy odchyłka temperatury będzie wyższa od T/30, (d) krok czasowy dobrać jako równy h = 1.0 fs, (e) parametry tłumienia termostatu i barostatu ustawić jako równe odpowiednio 100 fs 1000 fs, (f) chwilowe parametry termodynamiczne zapisywać co 1 krok, zaś stan układu (współrzędne atomów) co 200 kroków symulacji, (g) maksymalną wartość naprężenia σ max 1 dobrać tak, by odpowiadające mu odkształcenie wyniosło ε 1 7%. 2. Automatyzacja procesu analizy wyników. Zmodyfikować pliki wejściowe tak, by program LAMMPS obliczał dla okresu próbkowania średnią wartość A odchylenia standardowe σ(a) dla następujących parametrów termodynamicznych: A = T, E (energia całkowita), U (energia potencjalna), L x, L y, σ 1 σ 2. Do tego celu wykorzystać komendę fix o stylu ave/time. 3

Wartości parametrów Nevery, Nrepeat Nfreq ustawić tak, by w ostatnim kroku symulacji obliczona została średnia odpowiadająca całemu okresowi próbkowania. Korzystając z komendy print zapisać obliczone miary statystyczne do pliku tekstowego, stosując format kolumnowy (wartości odpowiadające kolejnym parametrom zestawione w kolejnych kolumnach, wartości odpowiadające kolejnym naprężeniom zestawione w kolejnych wierszach). Dla przykładu: aby obliczyć wartość średniej powierzchni symulowanego układu średni kwadrat temperatury można posłużyć się następującym zestawem komend. reset_timestep 0 variable area equal lx*ly variable temp_sq equal temp*temp fix my_ave_time all ave/time 1 30000 30000 & v_area v_temp_sq run 30000 Obliczone przez program wartości średnie można dopisać do pliku tekstowego o wskazanej nazwie (poniżej: results.dat), stosując następujący zestaw komend: variable variable print ave_area equal f_my_ave_time[1] ave_temp_sq equal f_my_ave_time[2] "${ave_area} ${ave_temp_sq}" append results.dat 3. Badane warunki. Zadaniem każdej z grup jest zbadanie właściwości mechanicznych: (a) dla dwóch temperatur T low i T high, związanych zależnością T high = T low +600 K. Wykaz temperatur przypisanych poszczególnym grupom został przedstawiony w Tabeli 1. (b) dwóch różnych kierunków pomiaru (odkształcania), odpowiadających kierunkowi fotelikowemu kierunkowi zigzag. Kierunek pomiaru można wybrać obracając układ (przy zachowaniu kwadratowego kształtu) lub zmieniając warunki naprężania na σ 2 0, przy σ 1 = 0. Dla każdej temperatury każdego kierunku pomiaru należy przeprowadzić 5 pełnych i niezależnych cykli obliczeń, różniących się ze względu na ziarno losowości s (w sumie zatem jest do przeprowadzenia 2 2 5 = 20 pełnych cykli pomiaru, a więc 20 21 = 420 symulacji częściowych, łącznie wykonane zostanie 420 30 000 = 12.6 10 6 kroków symulacji). Aby przyspieszyć proces obliczeń warto wyłączyć logowanie na ekran, dodając w linii poleceń przełącznik -screen none. Ustawienie zmiennej środowiskowej OMP_NUM_THREADS na wartość 2 dodanie przełącznika -sf omp powinno także poskutkować przyspieszeniem obliczeń. Przełącznik ten informuje program LAMMPS, że pracujemy na maszynie o współdzielonej pamięci i chcemy do osiągnięcia równoległości korzystać z OpenMP-akcelerowanych fix-ów i pair_style-ów. 4

Grupa T low (K) Grupa T low (K) 1 600 7 300 2 550 8 250 3 500 9 200 4 450 10 150 5 400 11 100 6 350 12 50 Tabela 1: Podział grup ze względu na badane temperatury. 4. Analiza wyników. Przynajmniej dla jednego przypadku warunków (temperatura, kierunek) należy przedstawić i omówić uzyskane z symulacji bazowe charakterystyki, ukazujące zmienność typowych parametrów termodynamicznych (tj. T, E, U, L x, L y, σ 1 σ 2 ) na przestrzeni okresu próbkowania, zestawiając porównawczo wyniki odpowiadające dwóm-trzem różnym wartościom naprężenia σ 1. Warto także porównawczo zestawić odpowiadające tym samym warunkom, lecz uzyskane dla różnych ziarnach losowości charakterystyki σ 1 (L x ) L y (L x ). Odpowiadające tym samym warunkom (temperatura, kierunek), lecz uzyskane dla różnych ziaren losowości charakterystyki σ 1 (L x ) i L y (L x ) należy uśrednić (uśrednianie typu punkt-punkt), dokonując także oceny niepewności (zastosować odchylenie standardowe). Bazując na uśrednionych charakterystykach należy określić zależności σ 1 (ε 1 ) i ε 2 (ε 1 ). Dopasowując do nich wielomian (stosownego stopnia), należy określić docelowe zależności E(ε 1 ) i ν(ε 1 ). Po przeprowadzeniu powyższych czynności dla 4 rozpatrzonych warunków, należy porównać wyniki: (a) odpowiadające tej samej temperaturze, lecz innym kierunkom pomiaru, (b) odpowiadające temu samemu kierunkowi pomiaru, lecz innym temperaturom. W analizie wyników wszędzie gdzie jest to możliwe należy przedstawić niepewności (obliczając je, jeżeli jest to konieczne). Literatura [1] D. W. Brenner, O. A. Shenderova, J. A. Harrison, S. J. Stuart, B. Ni, S. B. Sinnott, A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for hydrocarbons, J. Phys.: Condens. Matter 14, 783 (2002). [2] Parametry pól siłowych REBO/AIREBO, http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/swinczew/no/zasoby/01_potentials/airebo/ 5