Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Ćwiczenie 3 Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha.

Transkrypt

1 Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha.

2 Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. 1. Cel ćwiczenia Celem tego ćwiczenia jest opracowanie generatora liczb pseudolosowych [1] podlegających rozkładowi Rayleigha. W ramach tego ćwiczenia należy napisać program w dowolnym języku programowania i dla dowolnego systemu operacyjnego, program ten ma generować liczby pseudolosowe (ich ilość należy programowi zadawać, nie powinna być ona większa niż 500) dla zadanych parametrów rozkładu, następnie przeprowadzać dla wygenerowanych liczb dwa dowolne testy losowości oraz zapisywać te liczby do zbioru tekstowego w formie kolumny liczb. Można zastosować dowolną z metod opisanych np. w książkach [1] i []. Do sprawozdania należy dołączyć plik źródłowy programu, plik wykonywalny programu, niestandardowe biblioteki użyte przy kompilacji programu oraz cztery zestawy danych dla których przeprowadzono testy losowości (wyniki tych testów i histogramy sporządzone dla tych zbiorów oraz wypływające z nich wnioski muszą się znaleźć w sprawozdaniu).. Wstęp Mówimy, że zmienna losowa Y ma rozkład Rayleigha, jeżeli gęstość jej rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: x x exp dla x > 0 f ( x) = λ λ 0 dla x 0 wartość przeciętna dla tego rozkładu jest dana zależnością: zaś wariancja wynosi: 1 µ = σ λπ 4 π = λ Metody generowania rozkładu i testowania losowości Jest kilka sposobów generowania liczb losowych o rozkładzie Rayleigha, opisy ich można znaleźć w literaturze [1-], jednym z nich jest metoda odwracania dystrybuanty [1], gdy z uprzednio wygenerowane zbioru liczb o rozkładzie równomiernym (który dobrze jest

3 sprawdzić za pomocą testu losowości) otrzymujemy rozkład Rayleigha opisany funkcją gęstości prawdopodobieństwa postaci: y y exp dla y > 0 f ( y) = σ σ 0 dla y 0 na podstawie bardzo prostej zależności: Y = σ ln R gdzie R oznacza zmienną o rozkładzie równomiernym na przedziale (0,1). Wygenerowany przez program zbiór liczb podlega dwóm dowolnym testom na losowość, mogą to być na przykład test serii oraz test graficzny. W teście serii aby określić czy serie występujące w zbiorze są losowe należy obliczyć wartość średnią, a następnie wszystkim wartością nie większym niż średnia przyporządkować znak minus, a większym znak plus. Ilość serii N ob. jest równa liczbie zmian znaku powiększonej o 1. Przewidywana ilość serii w zbiorze n liczb losowych dana jest wzorem: 1 N sp = ( n 1) 3 odchylenie standardowe dla liczby serii jest równe: ( 16n 9) S = 90 Obliczamy stosunek: r = N ob S N sp Jeżeli r < r kr zbiór wygenerowanych licz przeszedł test pomyślnie, jako r kr możemy przyjąć wartość odczytaną z tablic lub dla zgrubnego oszacowania wartość. Test graficzny przeprowadzamy w następujący sposób: w układzie współrzędnych XY zaznaczamy punkty, których współrzędnymi są kolejne liczby (Z i, Z i+1 ) wygenerowane przez program. Jeżeli punkty te są rozmieszczone równomiernie w kwadracie o wierzchołkach (Z min, Z min ), (Z max, Z min ), (Z max,z max ) i (Z min, Z max ) to zbiór wygenerowanych liczb świadczy o tym, że rozkład liczb jest równomierny, w przypadku innych rozkładów zestaw przechodzi pozytywnie test jeśli zachowana jest symetria względem środka tak powstałego kwadratu. 4. Sprawozdanie W sprawozdaniu przygotowanym w formie elektronicznej lub papierowej nie zamieszczamy całości lub fragmentów listingu programu, program źródłowy powinien być natomiast dobrze opisany za pomocą komentarzy. W sprawozdaniu nie zamieszczamy liczb otrzymanych za pomocą generatora oraz tablic z których korzystamy w ewentualnym teście 3

4 losowości, natomiast powinna znaleźć się informacja w postaci odnośnika literaturowego do tychże. W sprawozdaniu powinny koniecznie znaleźć się poniższe elementy: 4.1. Wstęp teoretyczny Wstęp teoretyczny powinien zawierać podstawowe informacje na temat generatorów liczb losowych oraz metody zastosowanej do otrzymania rozkładu będącego przedmiotem tego ćwiczenia. Powinny w nim się znaleźć wszystkie wzory stosowane w programie wraz z objaśnieniami wielkości w nich występujących. 4.. Dane techniczne Dane techniczne powinny zawierać spis plików programu oraz plików z testowanymi danymi taki jak w poniższym przykładzie: Przykład Plik: Rozmiar: Opis: GenRay.exe 74 kb Plik wykonywalny. Do skompilowania programu wykorzystaliśmy kompilator Borland C++ Version 3.1. Program należy uruchamiać w systemie MS- DOS lub w systemach Windows 3.1/3.11/9x. GenRay.cpp 1 kb Plik z kodem źródłowym programu. GenRay.obj 9 kb Plik z zapisanymi bibliotekami. hist.h 7,3 kb Biblioteka obliczająca i wyświetlająca histogram. R01.txt 1, kb Plik tekstowy z przykładowymi liczbami losowymi z rozkładu Rayleygha dla σ=1. Ilość liczb n = 100. R03.txt 600 B Plik tekstowy z przykładowymi liczbami losowymi z rozkładu Rayleygha dla σ=3. Ilość liczb n = 50. R31.txt 0,3 kb Plik tekstowy z przykładowymi liczbami losowymi z rozkładu Rayleygha dla σ=3,1. Ilość liczb n = 0. R3.txt 8 B Plik tekstowy z przykładowymi liczbami losowymi z rozkładu Rayleygha dla σ=3,. Ilość liczb n = Instrukcja obsługi programu W sprawozdaniu należy umieścić instrukcję obsługi programu pozwalającą na wygenerowanie liczb przez osobę nie znającą programu i przebiegu testów. Powinien się tu znaleźć opis formatu zbioru danych zapisywanych przez program oraz objaśnienia komunikatów wyświetlanych przez program. Przykład: W przypadku prawidłowego wczytania danych zostanie wyświetlony komunikat: Dane zostaly pomyslnie wczytane W pliku n_pliku.txt znajduje się n liczb W przypadku gdy wystąpi błąd podczas zapisywania danych, 4

5 zostanie wyświetlony komunikat: Nie mogę utworzyć pliku i nastąpi zamknięcie programu. 4.5.Wnioski W sprawozdaniu należy zamieścić wyniki testowania programu na podstawie co najmniej czterech wygenerowanych zbiorów liczb pseudolosowych, przygotowanych za pomocą generatora. Na podstawie tych wyników testowania należy wysnuć wnioski na temat przydatności i zakresu stosowalności generatora oraz funkcjonalności Państwa programu Literatura Spis literatury wykorzystanej przy opracowywaniu sprawozdania oraz pisaniu i testowaniu programu. 5. Literatura [1] R. Zieliński, Generatory liczb losowych, WNT, Warszawa [] R. Wieczorkowski, R. Zieliński.: Komputerowe generatory liczb losowych, WNT, Warszawa