Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem R modułów takim, że I q = 0 dla q 0, 1 oraz I 0 := R R i I 1 := R z różniczką 1 : I 1 I 0 określoną wzorem 1 (1) := (1, 1). Wykaż, że dla dowolnego kompleksu łańcuchowego C, iloczyn tensorowy C I jest izomorficzny z cylindrem identyczności W (id), istnieje naturalne włożenie C C C I a homomorfizmy łańcuchowe f, g : C D są łańcuchowo homotopijne wtedy i tylko wtedy gdy f + g rozszerza się do odwzorowania łańcuchowego H : C I D. Zad. 2. Definiując odpowiednio homotopię jako homotopię łańcuchową przekształceń łańcuchowych, zawieszenie kompleksu i stożek homomorfizmu jak wyżej wykazać, że funktory homologii H i : CC R R mod spełniają aksjomaty analogiczne do aksjomatów Eilenberga Steenroda teorii homologii na kategorii przestrzeni topologicznych tzn. aksjomaty homotopii, ciągu dokładnego, zawieszenia i wymiaru. Sformułować odpowiednik ciagu Mayera-Vietorisa dla kompleksów łańcuchowych. Zad. 3. Kompleks łańcuchowy C wolnych R-modułów, który jest ograniczony z dołu jest łańcuchowo ściągalny wtedy i tylko wtedy gdy jest acykliczny (tzn. H(C ) = 0). Podaj przykład kompleksu acyklicznego, który nie jest łańcuchowo ściągalny. Zad. 4 (Charakterystyka Eulera.). Dla skończenie generowanej grupy abelowej M definiujemy rank(m) := dim Q (M Q). Dla skończenie generowanej grupy z gradacją M definiujemy χ(m ) := ( 1) q rank(m q ) i odpowiednio χ K (M ). Wykazać, że: 1. dla krótkiego ciągu dokładnego skończenie generowanych grup abelowych z gradacją: 0 A B C 0 zachodzi χ(b ) = χ(a ) + χ(c ). 2. χ(a B ) = χ(a )χ(b ) 3. Dla ograniczonego kompleksu łańcuchowego wolnych skończenie generowanych grup abelowych C, zachodzi równość χ(c ) = χ(h (C )) 4. Dla kompleksu łańcuchowego C j.w. i dowolnego ciała K zachodzi równość χ(c ) = ( 1) q dim K (H (C K)). 2 Zbiory symplicjalne Zad. 5. Niech [n]: Set będzie sferą symplicjaną, czyli podzbiorem sympleksu symplicjalnego [n], takim, że [n] m := {f [n] m f nie jest surjekcją} i niech [ ] będzie jego 1

realizacją geometryczną. Wykazać, że istnieje naturalna równoważność funktorów [ ] : Top gdzie ([n]) jest brzegiem geometrycznego sympleksu n R n+1 rozpiętego na wektorach bazy kanonicznej, a przekształcenie φ: [n] [m] indukuje odwzorowanie afiniczne φ : n m. Zad. 6. Jeśli X jest zbiorem symplicjalnym, to jego realizacja geometryczna jest CW-kompleksem, w którym komórki n-wymiarowe są w bijekcji z niezdegenerowanymi elementami x X n. Zad. 7. Wykazać, że funktor Sing : Top Sp jest prawo dołączony do funktora : Sp Top. Wywnioskować stąd, że : Sp Top zachowuje granice proste. 3 Aksjomaty teorii homologii i kohomologii Definicja. Teorią homologii na kategorii punktowanych przestrzeni topologicznych T (lub jej podkategorii zamkniętej ze względu na zredukowane zawieszenie i operację zredukowanego stożka przekształcenia np. CW -kompleksów i odwzorowań komórkowych) nazywamy ciąg funktorów kowariantnych h q : T Ab gdzie q Z takich, że (H) Homotopia. Jeśli f g : X Y, to h q (f) = h q (g) : h q (X) h q (Y ) (D) Dokładność. Dla dowolnego f : X Y ciąg h q (X) f h q (Y ) j h q (C f ) jest dokładny (Z) Zawieszenie. Dla dowolnego q dana jest naturalna równoważność funktorów σ q : h q (X) h q+1 (ΣX), gdzie Σ oznacza funktor zredukowanego zawieszenia; (A) Addytywność. Funktory h q zachowują sumy proste. (Dla skończonych sum prostych aksjomat (A) wynika z pozostałych.) Oznaczenie. h (X) := h q (X) oraz h := h (S 0 ) i tę grupę (z gradacją) nazywamy współczynnikami teorii h. Teoria homologii nazywa się klasyczna jeśli h q (S 0 ) = 0 dla q 0. Teorię homologii określoną na kategorii punktowanej nazywamy zredukowaną teorią homologii. Zad. 8. Dla zredukowanej teorii kohomologii i przekształcenia f : X Y istnieje naturalny homomorfizm : h q (C f ) h q 1 (X) (zwany homomorfizmem brzegu) taki, że poniższy długi ciąg jest dokładny:... h q (X) f h q (Y ) j h q (C f ) h q 1 (X)... Definicja. Aksjomaty Eilenberga-Steenroda. Teorią homologii określoną na kategorii par przestrzeni T 2 nazywamy ciąg funktorów h q : T 2 Ab oraz transformacji naturalnych : h q (X, A) h q 1 (A) (oznaczamy h q (A, ) =: h q (A) takich, że: (H) Homotopia. Jeśli f g : (X, A) (Y, B), to h q (f) = h q (g) : h q (X, A) h q (Y, B). (D) Dokładność. Dla dowolnej pary (X, A) ciąg jest dokładny.... h q (A) h q (X) h q (X, A) h q 1 (A)... (W) Wycinanie. Dla dowolnej pary (X, A) i podzbioru otwartego U A takiego, że Ū int(a) włożenie indukuje izomorfizm h (X \ U, A \ U) h (X, A). 2

(A) Addytywność. Funktory h q zachowują sumy proste. (Dla skończonych sum prostych aksjomat (A) wynika z pozostałych.) Teoria homologii nazywa się klasyczna jeśli h q (pt) = 0 dla q 0. Uwaga. Aksjomaty zredukowanej teorii kohomologii, zastępując funktory kowariantne h q funktorami kontrawariantnymi h q. Podobnie dla teorii kohomologii określonych na parach przestrzeni. Zad. 9 (Operacje na teoriach (ko-)homologii). a) Suma dwóch teorii (ko-)homologii jest teorią (ko-)homologii. b) Jeśli h jest teorią homologii, a Z dowolną przestrzenią, to h Z (X) := h (Z X) jest teorią homologii. c) Jeśli teoria homologii h q : T Ab przyjmuje wartości w kategorii przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem F,to funktory h q (X) := Hom( h q (X), F) tworzą zredukowaną teorię kohomologii. Dlaczego założenie, że F jest ciałem jest istotne? d) Niech F : Ab Ab będzie funktorem. Jakie warunki musi spełniać F, aby dla teorii homologii h złożenie F h było teorią homologii? Podać przykłady. Zad. 10. Jeśli A X jest korozwłóknieniem, to projekcja p: (X, A) (X/A, ) indukuje izomorfizm w dowolnej teorii (ko-)homologii określonej na parach przestrzeni. Wykazać, że istnieje wzajemna odpowiedniość między teoriami zredukowanymi h a teoriami spełniającymi aksjomaty Eilenberga-Steenroda, zdefiniowanymi na podkategorii par (X, A) takich, że A X jest korozwłóknieniem, dana przez równość h (X, A) = h(x/a). Uwaga: X/ := X {pt}. Zad. 11 (Ciąg Mayera-Vietorisa). Niech h będzie zredukowaną teorią homologii. Niech X = X 1 X 2 przy czym włożenia X 1 X 2 X i dla i = 1, 2 są korozwłóknieniami. Wtedy istnieje długi ciąg dokładny:... h q (X 1 X 2 ) h q (X 1 ) h q (X 2 ) h q (X) h q 1 (X 1 X 2 )... [P.S. Aksjomaty [D] oraz [S] można zastąpić aksjomatem ciągu Meyera-Vietorisa [MV]. Podobnie dla teorii spełniającej aksjomaty Eilenberga-Steenroda można ciąg Mayera-Vietorisa dla odpowiednich podzbiorow (jakich?) wyprowadzić z aksjomatów. Analogicznie dla kohomologii.] Zad. 12. Niech X i Y będą dobrze punktowanymi przestrzeniami (tzn. włożenie punktu wyróżnionego jest korozwłóknieniem). Dla dowolnego q istnieje krótki ciąg dokładny grup Analogicznie dla kohomologii. 0 h q (X) h q (Y ) h q (X Y ) h q (X Y ) 0. Zad. 13. Dla dowolnej teorii homologii i przekształcenia f : (S n, ) (S n, ) i punktowanej przestrzeni X homomorfizm indukowany f : h (S n X) h (S n X) jest mnożeniem przez deg(f) - stopień przekształcenia f. Podobnie dla dowolnej teorii kohomologii. Homologie i kohomologie CW-kompleksów Zad. 14. Jeżeli Φ : h k jest transformacją naturalną zredukowanych zredukowanych teorii homologii (odp. kohomologii) taką, że dla pewnej sfery S n homomorfizm Φ : h (S n ) k (S n ) jest izomorfizmem, to dla dowolnego skończenie wymiarowego CW-kompleksu X, Φ(X) jest izomorfizmem. ( ) Pominąć założenie o skończonym wymiarze X. 3

Zad. 15. Udowodnić, że na kategorii CW -kompleksów istnieją naturalne izomorfizmy [X, S 1 ] H 1 (X; Z), [X, RP ( )] H 1 (X; Z 2 ), [X, CP ( )] H 2 (X; Z). Opisać geometrycznie działania w zbiorach klas homotopii odpowiadające dodawaniu w grupach homologii. Zad. 16. Niech A będzie dowolną abelową grupą z gradacją, taką że A 0 = Z i wszystkie grupy A q są skończenie generowane. Zbudować CW-kompleks X taki, że H (X; Z) A. ( ) Czy dla dowolnego homomorfizmu takich grup z gradacją φ : A B takiego, że φ 0 = id można znaleźć odwzorowanie przestrzeni topologicznych f : X Y takie, że przy izomorfizmach H (X) A i H (Y ) B homomorfizm indukowany f : H (X) H (Y ) przechodzi na φ? Zad. 17. Niech przestrzeń X = A 1 A n będzie sumą podzbiorów których wnętrza także pokrywają X. Jesli włożenia A i X są ściągalne, to cup-produkt dowolnej rodziny elementów [φ i ] H n i (X; R), n i > 0 jest zerowy tzn. [φ 1 ] [φ n ] = 0. Zad. 18. Niech S n 1... S n k będzie produktem sfer. Wykazać, że dla dowolnego pierscienia R istnieje naturalny izomorfizm algebr Λ R ( H (S n 1 )... H (S n k)) H (S n 1... S n k; R). gdzie wszystkie kohomologie są o współczynnikach w R a Λ R ( ) oznacza funktor R-algebry zewnętrznej. Oblicz charakterystykę Eulera χ(s n 1... S n k). Niezmiennik Hopfa i π 3 (S 2... S 2 ) Definicja (Uogólniony niezmiennik H. Hopfa). Niech n 1. Dla przekształcenia f : S 4n 1 S 2n... S 2n (bukiet k sfer) oznaczmy wolne generatory kohomologii jego stożka φ 1,..φ k H 2n (C f ; Z), oraz generator [C f ] H 4n (C f ; Z). Macierz symetryczną H(f) w której h ij = φ i φ j, [C f ] nazywamy macierzą Hopfa przekształcenia f. W przypadku k = 1 otrzymujemy klasyczny niezmiennik Hopfa. Zad. 19. Dla przekształcenia f : S 4n 1 S 2n... S 2n oraz rodziny przekształceń g i : S2n S 2n dla i = 1,...k i przekształcenia g : S 4n 1 S 4n 1 wyrazić niezmiennik Hopfa złożenia (g 1... g k ) f g w terminach H(f) i stopni przekształceń g, g i. [Wsk. rozpatrzyć przypadek k = 1] Zad. 20. Niezmiennik Hopfa wyznacza homomorfizm H : π 4n 1 (S 2n... S 2n ) Symm Z (k, k), gdzie Symm Z (k, k) oznacza grupę calkowitoliczbowych macierzy symetrycznych k k z dodawaniem (czyli form dwuliniowych, symetrycznych na H 2n (S 2n... S 2n ; Z).) Obraz homomorfizmu H : π 4n 1 (S 2n... S 2n ) Symm Z (k, k) zawiera wszystkie macierze symetryczne mające parzyste wyrazy na przekątnej, a dla n = 1, 2, 4 homomorfizm H jest epimorfizmem. 4 Homologiczne własności rozmaitości Zad. 21. Opisać naturalną bijekcję (ze względu na izomorfizmy liniowe) między zbiorem orientacji n-wymiarowych rzeczywistych przestrzeni wektorowych V a zbiorem generatorów grupy H n (V, V \ {0}; Z). Zad. 22. Jeśli U R n jest otwartym podzbiorem, to dla każdego punktu x 0 U włożenie indukuje izomorfizm H (U, U \ x 0 ) H (R n, R n \ x 0 ). Jeśli f : U V jest dyfeomorfizmem podzbiorów otwartych R n to przy tym utożsamieniu f : H (U, U \ x 0 ) H (V, V \ f(x 0 )) jest mnożeniem przez sign det Df x0. 4

Zad. 23. Dla odwzorowania gładkiego między zorientowanymi, zamkniętymi spójnymi rozmaitościami tego samego wymiaru f : M N zachodzi równość f [M] = deg(f)[n], gdzie [M] H n (M; Z) oraz [N] H n (N; Z) oznaczają odpowiednio klasy orientacji rozmaitości M i N. P.S. Wynika stąd niezależność definicji stopnia od wyboru wartości regularnej i homotopijna niezmienniczość. Zad. 24 (Charakterystyka Eulera rozmaitości). Jesli M jest rozmaitością zamknietą wymiaru nieparzystego, to χ(m) = 0. Jesli rozmaitość parzystowymiarowa M jest brzegiem rozmaitości zwartej W, to χ(m) = 2χ(W ). Wywnioskować stąd, że parzystowymiarowe przestrzenie rzutowe nie są brzegami zwartych rozmaitości. Zad. 25. Jeśli M jest zamkniętą orientowalną n-wymiarową rozmaitością, to H n c (M; Z) = Z, a jeśli jest nieorientowalna, to H n c (M; Z) = Z 2. Zad. 26 (Twierdzenie H. Hopfa). Dla dowolnej n-wymiarowej rozmaitości istnieje naturalny izomorfizm [M, S n ] H n (M; Z). Zdefiniuj geometrycznie działanie w zbiorze [M, S n ] odpowiadające dodawaniu klas kohomologii. Zad. 27. Korzystając z klasyfikacji rozmaitości 2-wymiarowych obliczyć ich algebry kohomologii. Wykazać, żę zwarte rozmaitości 2-wymiarowe są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy formy : H 1 (M; Z 2 ) H 1 (M; Z 2 ) H 2 (M; Z 2 ) Z 2 są izomorficzne. Jak w terminach tej formy odróżnić powierzchnie orientowalne od nieorientowalnych? Zad. 28. Jeśli U R 3 jest otwartym podzbiorem, to H 1 (U; Z) jest grupą beztorsyjną. Zad. 29. Niech M 3 będzie zamkniętą rozmaitością 3-wymiarową. Jeśli M 3 jest jednospójna, to jest słabo homotopijnie równoważna ze sferą S 3 (czy wystarczy założyć, że H 1 (M 3 ) = 0.) Jeżeli M 3 jest nieorientowalna, to grupa H 1 (M 3 ; Z) (z zatem też jej grupa podstawowa) jest nieskończona. Zad. 30 (Kohomologie przestrzeni rzutowych.). Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Dla ciał F = R, C, H i n > 0 wybierzmy generator ξ F H d F(FP (n); R), gdzie oznaczamy d F := dim R F (dla F = R zakładamy, że 2R = 0). Niech F[x K ] pierścień wielomianów z gradacją generowany przez element x F w gradacji d F. Udowodnić, że przypisanie zmiennej x F elementu ξ F rozszerza się do izomorfizmu R-algebr : R[x F ]/(x nd F+1 F ) H (FP (n); R) a dla n = do izomorfizmu R[x F ] H (FP ( ); R). Wykazać, że kohomologie n-krotnego produktu przestrzeni rzutowych R[(x F ) 1,... (x F ) n ] H (FP ( )... FP ( ); R) są algebrą wielomianów o n generatorach wymiaru d F. 5