Ćwiczenie 25. Interferencja fal akustycznych Witold Zieliński Cel ćwiczenia Wyznaczenie prędkości dźwięku w gazach metodą interferencji fal akustycznych, przy użyciu rury Quinckego. Wyznaczenie wartości C p /C V dla badanych gazów. Wprowadzenie Dowolne zaburzenie mechaniczne rozchodzi się w ośrodku ciągłym w postaci fali. W ciałach stałych mogą rozchodzić się fale poprzeczne i podłużne, w cieczach i gazach podłużne polegające na przenoszącym się przez ośrodek ciągu następujacych po sobie na przemian jego lokalnych zagęszczeń i rozrzedzeń. Za fale dźwiękowe (inaczej akustyczne) uważamy fale o częstotliwościach od 20 Hz do 20 khz, gdyż są one słyszalne przez ucho ludzkie (zwierzęta słyszą w innych granicach!). Niesłyszalne przez nas infra- i ultradźwięki rozchodzą się w podobny sposób. W przypadku gdy źródłem fali dźwiękowej jest układ wykonujący drgania harmoniczne, powstaje fala sinusoidalna; odchylenie y lokalnego ciśnienia w ośrodku od stanu równowagi, rozchodzące się wzdłuż drogi x, jest dane wzorem y = y m sin(kx ωt), (25.1) gdzie: k = 2π/λ wielkość wektora falowego, ω = 2π/T częstość fali, T okres fali, λ długość fali, y m odchylenie maksymalne, czyli amplituda. Gdy w pewnym punkcie przestrzeni spotykają się dwie lub więcej fal, w wyniku ich sumowania się (superpozycji) zachodzi zjawisko interferencji. Rozpatrzmy taką superpozycję dwóch fal, które wyszły z tego samego źródła i do odbiornika fal docierają dwiema drogami różnej długości x 1 i x 2 (rys. 1): Ich superpozycja y 1 = y m1 sin(kx 1 ωt), y 2 = y m1 sin(kx 2 ωt). (25.2) y = y 1 + y 2 (25.3) po przekształceniu trygonometrycznym wyraża się formułą y = ym 2 1 + ym 2 2 + 2y m1 y m2 cos k(x 1 x 2 ) sin(ωt ϕ), (25.4) w której przesunięcie fazowe ϕ jest funkcją x 1, x 2 i λ. 25-1
Rys. 1. Schemat interferencji fal dźwiękowych w rurze Quinckego (Ź źródło, D detektor, czyli odbiornik dźwięku) Pierwszy czynnik tego iloczynu (pierwiastek) daje amplitudę drgania wypadkowego w rozważanym punkcie. Czynnik ten osiąga wartość minimalną, gdy cos k(x 1 x 2 ) = 1. (25.5) ( Ma to miejsce wtedy, gdy x 1 x 2 = λ n 1 ), to znaczy gdy różnica dróg, po 2 których biegną fale, jest równa nieparzystej wielokrotności połówek długości fali. Pierwsze minimum otrzymujemy dla n = 1, wtedy x 1 x 2 = 1 λ; drugie dla n = 2, 2 wtedy x 1 x 2 = 3 λ itd. Odległość między kolejnymi minimami jest równa długości 2 fali: 3 2 λ 1 2 λ = λ, 5 2 λ 3 2 λ = λ itd. Wyznaczenie długości fali λ ze zjawiska interferencji umożliwia, przy znajomości częstotliwości f, obliczenie prędkości rozchodzenia się fali ze wzoru v = fλ. (25.6) Prędkość dźwięku w gazach dana jest wzorem κrt v = µ, (25.7) gdzie: T temperatura bezwzględna, R uniwersalna stała gazowa, µ ciężar cząsteczkowy molekuł gazu, κ = C p /C V stosunek ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu C p ciepła właściwego przy stałej objętości C V. Informację na temat prędkości dźwięku w gazach i wyprowadzenie wzoru (25.7) znaleźć można w podręcznikach względnie we wprowadzeniu do ćwiczenia 26. Pomiar prędkości dźwięku jest standardową metodą wyznaczenia wielkości κ. 25-2
Aparatura Urządzenie zwane rurą Quinckego przedstawiono schematycznie na rysunku 1, a szczegółowo na rysunku 2. Są to dwie zgięte równolegle do siebie rury, z których jedna ma długość niezmienną (x 1 we wzorze (25.7)), drugą zaś można skracać lub wydłużać (x 2 tamże) przez wysuwanie ruchomego fragmentu (jak w puzonie). Rury są na stałe ze sobą połączone u swoich końców. Źródłem fali dźwiękowej jest membrana głośnika, pobudzana do drgań za pomocą generatora częstotliwości akustycznych 20 Hz 20 khz. Częstotliwość tych drgań odczytuje się na skali generatora. Fala dźwiękowa wprowadzona do jednego ze wspólnych końców rur rozdziela się na dwie fale, z których każda biegnie w innej rurze. Fale te spotykają się u wspólnego wylotu rury i tam interferują, tworząc jedną falę wypadkową. Detekcja fali wychodzącej z rury Quinckego odbywa się za pomocą mikrofonu węglowego. Układ detekcji składa się z mikrofonu, słuchawek radiowych i baterii zasilającej. W słuchawkach słyszymy dźwięk, którego natężenie zależy od różnicy długości rur. Maksymalne wyciszenie dźwięku obserwujemy, gdy różnica długości rur jest nieparzystą wielokrotnością połówki długości fali, więc odległość kolejnych minimów mierzona na skali przyrządu odpowiada połowie długości fali. Sygnał z mikrofonu jest podawany oprócz słuchawek także na oscyloskop; zmniejszenie natężenia dźwięku obserwujemy na ekranie oscyloskopu jako zmniejszenie amplitudy sygnału. Wykonanie ćwiczenia A. Pomiar prędkości dźwięku w powietrzu. 1. Włączyć generator do sieci, skręcić do zera gałkę regulacji amplitudy, odczekać chwilę, by ustaliły się warunki pracy. 2. Ponieważ w rurach może znajdować się gaz, wnętrze rury Quinckego odpompować używając pompy rotacyjnej, a następnie zapowietrzyć. 3. Założyć słuchawki na uszy, obracając gałkę potencjometru dobrać najwygodniejszą głośność dźwięku. 4. Śledząc zmiany natężenia dźwięku w zależności od położenia ruchomego ramienia rury znaleźć taką częstotliwość (niską), przy której na całej będącej do dyspozycji długości jego przesuwu występują jedynie dwa minima natężenia dźwięku. Następnie znaleźć taką częstotliwość (wysoką), przy której na całej długości przesuwu występuje pięć minimów. W przedziale częstotliwości, wyznaczonym przez te dwie skrajne jej wartości, przeprowadzone będą pomiary. Częstotliwość drgań ustawia się obracając znajdującą się w lewej części generatora tarczę obrotową ze skalą. Prócz niej na dole znajduje się przełącznik mnożnik. Przykładowo częstotliwość 2000 Hz ustawiamy jako 20 Hz(na tarczy) 100(mnożnik) = 2000 Hz. 25-3
Często- Położenie kolejnych Różnica położeń Dłu- Prędkość tliwość minimów kolejnych gość dźwięku [mm] minimów [mm] fali [Hz] a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 1 2 3 4 λ [m] v [m/s] 5. Dla kilku kilkunastu częstotliwości (w przedziale jej wartości znalezionym w punkcie 4) zmierzyć i zapisać w powyższej tabeli: a) położenia a 1, a 2,..., a n wszystkich minimów natężeń dźwięku, występujących na całej długości przesuwu ruchomej rury, b) pomiar dla pierwszego i ostatniego minimum powtórzyć jeszcze po dwa razy. 6. Odczytać temperaturę powietrza. Opracowanie wyników 1. Dla każdej częstotliwości z osobna obliczyć: a) Różnice i = a i+1 a i położeń kolejnych minimów. i b) Średnią wartość długości fali ze wzoru λ = 2 (n jest liczbą minimów). n Dwójka w powyższym wzorze wynika stąd, że różnica długości przebywanych przez falę w stałej i w ruchomej rurze jest dwukrotnie większa od mierzonego przesunięcia rury ruchomej. Jeżeli dla danej częstotliwości są tylko dwa minima, suma sprowadza się do jednego składnika. c) Prędkość dźwięku dla danej częstotliwości. 2. Wykonać wykres otrzymanych wartości v w funkcji częstotliwości drgań źródła f. Wykres ten ma na celu sprawdzenie, czy prędkość dźwięku zależy od częstotliwości i wyeliminowania z dalszego opracowania wyników pomiaru tych rezultatów, co do których istnieje podejrzenie błędu grubego. 3. Obliczyć wartość średnią v i odchylenie standardowe tej średniej σ v. Stosowanie metody statystycznej dla obliczenia niepewności jest uzasadnione tym, że w pomiarze dominuje błąd przypadkowy związany z określeniem położenia minimum natężenia dźwięku, zatem niedokładność określenia częstotliwości f dźwięku można zaniedbać. 25-4
Rys. 2. Rura Quinckego 4. Zredukować uzyskaną wartość v do temperatury 0 C. Wartości tablicowe prędkości dźwięku podawane są dla temperatury 0 C. Prędkość dźwięku w temperaturze pomiaru łatwo znaleźć, jeżeli równanie (25.7) napisze się raz dla temperatury 0 C, drugi raz dla temperatury pomiaru równania te podzieli stronami: κ, R i µ się uproszczą. 5. Porównać obliczoną prędkość dźwięku z wartoscią tabelaryczną z wykorzystaniem pojęcia niepewności rozszerzonej. 6. Obliczyć wartość C p /C V. Dla powietrza ciężar cząsteczkowy µ przyjąć jako średnią ważoną. Średnią ważoną obliczamy w tym przypadku jako µ = µ i w i, gdzie przez wagi w i rozumiemy względne udziały jego najważniejszych składników: azotu (w i = 0,78), tlenu (0,21) i argonu (0,01). 25-5
B. Pomiar prędkości dźwięku w wybranym gazie. 1. Napełnienie rury Quinckego gazem. a) Wysunąć ruchome ramię rury aż do oporu. b) Otrzymany od laboranta balonik z gazem nasunąć na kran K2 (zamknięty). c) Za pomocą pompy próżniowej odpompować rurę obserwując równocześnie wskazania manometru. d) Zamknąć kran łączący rurę z pompą próżniową i wyłączyć pompę, a następnie wpuścić badany gaz do rury. Kran łączący balonik z rurą pozostawić otwarty, gdyż reszta gazu w baloniku utrzymuje w rurach stałe ciśnienie mimo zmian objętości rur podczas pomiaru. 2. Wykonywać kolejno czynności pomiarowe, jak opisano w punktach 4, 5 i 6 przy pomiarach dla powietrza. 3. Zakończenie pomiarów. a) Zdjąć balonik. b) Odpompować wnętrze rur. c) Wyłączyć pompę, zapowietrzyć wnętrze rur. Opracowanie wyników Jak dla powietrza. 25-6