Laboratorium nr 1. Kombinatoryka 1. Spośród n różnych elementów wybieramy k elementów. Na ile sposobów możemy to uczynić? Wypisać wszystkie możliwe wybory w przypadku gdy n=3 i k=2. Wykonać obliczenia dla n=6 i 8 oraz k=4 i 7. 2. Rozmieszczamy k cząsteczek w n komórkach. Na ile sposobów możemy to uczynić? Wypisać wszystkie możliwe rozmieszczenia w przypadku gdy n=3 i k=2. Wykonać obliczenia dla n=5 i 9 oraz k= 3 i 8. 3. Ile różnych ciągów literowych można utworzyć przestawiając litery w wyrazie a) UCZELNIA b) MATEMATYKA? 4. Ile jest permutacji liczb 1,2,3,...,n, w których a) liczby 1 i 2 nie sąsiadują ze sobą b) liczby 1,2,3 nie tworzą trzech kolejnych wyrazów (niezależnie od porządku)? Wykonać obliczenia dla n=5, 9, 20. 5. Ile jest ciągów 5-elementowych utworzonych z liter A i B, w których litera A pojawia się 3 razy, a litera B pojawia się 2 razy? Rozważyć przypadek ciągów (i+j)-elementowych, gdzie i oznacza ilość liter A, zaś j ilość liter B. Wykonać obliczenia dla i=9, j=8. 6. Ile liczb można utworzyć z cyfr 2,4,6,8,9? Ile liczb różnocyfrowych można utworzyć z tych cyfr? 7. Tablica rejestracyjna zawiera dwie litery alfabetu łacińskiego i cztery cyfry. Ile jest różnych tablic? 8. Na ile sposobów można ustawić na szachownicy dwie wieże o różnych kolorach tak, aby każda z nich mogła wziąć drugą wieżę? 9. Litery alfabetu Morse a są utworzone z ciągów kresek i kropek z dowolnym powtarzaniem się. Ile liter można utworzyć z czterech (pięciu, dziesięciu) lub mniej symboli? 10.Wypisać wszystkie funkcje (wszystkie funkcje różnowartościowe) f: X Y, jeśli a) X = {x 1,x 2 }, Y = {0,1,2}. b) X = {x 1,x 2,x 3 }, Y = {0,1}. Ile jest funkcji (funkcji różnowartościowych) określonych na zbiorze r-elementowym o wartościach w zbiorze s-elementowym?
Laboratorium nr 2. Kombinatoryka c.d. 1. Ile różnych wyników można otrzymać przy rzucaniu dwoma (trzema, pięcioma) kostkami, jeśli: a) kostki są rozróżnialne, b) kostki są nierozróżnialne c) rozróżniamy wyniki w zależności od sumy wyrzuconych oczek? 2. Na r różnych posad zgłosiło się s kandydatów. Iloma sposobami można obsadzić te posady? Wykonać obliczenia dla r=5 oraz s=8,9,,15. 3. Ile nastąpi powitań, gdy spotka się n znajomych ( zakładamy, że każdy wita się z każdym)? Wykonać obliczenia dla n=5,6, 10. 4. Ile przekątnych ma wielokąt wypukły o n bokach? Wykonać obliczenia dla n=8,9,,12. 5. Ile jest różnych sposobów wypełnienia pojedynczego kuponu przy grze: a) w Dużego Lotka (wybieramy 6 liczb spośród 49) b) w Małego Lotka (wybieramy 5 liczb spośród 35)? 6. W turnieju szachowym bierze udział 6 zawodników. Turniej odbywa się systemem każdy z każdym. Każda gra może się skończyć dla gracza wygraną, przegraną albo remisem. Ile jest różnych możliwych wyników turnieju, jeżeli przez pojęcie wynik turnieju będziemy rozumieli ostateczny zapis w tabeli spotkań? 7. Ile dodatnich dzielników (wszystkich dzielników) posiada liczba 2 2 3 3 4 4 5 5? 8. Dwie studentki zebrały 10 rumianków, 16 stokrotek i 14 konwalii. Na ile sposobów mogą podzielić się kwiatkami? 9. Na ile sposobów można rozdać r pączków s osobom? 10.Ile jest różnych rozwiązań równania x+y+z+t = 30 a) w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych b) w zbiorze liczb naturalnych?
Laboratorium nr 3. Prawdopodobieństwo klasyczne. 1. Ze zbioru Z = {a,b,c,d} wybieramy dwie litery bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą to dwie sąsiednie litery alfabetu? 2. Dziesięć książek ustawionych jest losowo na jednej półce. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie (trzy) określone książki znajdą się obok siebie. 3. Spośród 10 losów 2 wygrywają. Kupiono jednocześnie 5 losów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich znajduje się a) jeden los wygrywający b) dwa losy wygrywające c) co najmniej jeden los wygrywający? 4. W Dużym Lotku gracz wybiera 6 liczb spośród 49 liczb. Organizatorzy także wybierają 6 liczb. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz uzyska k trafień? 5. Jest n+m losów, spośród których wygrywa n losów. Kupiono jednocześnie k losów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród nich jest dokładnie s losów wygrywających. 6. Rzucono 3 kostki sześcienne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wynosi 6 (17)? 7. Rzucono 3 kostki sześcienne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wynosi 11 (12)? ( Zadanie kawalera de Méré ) 8. Dla zmniejszenia ogólnej ilości gier podzielono 2n drużyn sportowych na dwie równe podgrupy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie najsilniejsze drużyny znajdą się a) w różnych podgrupach b) w tej samej podgrupie? 9. W loterii genueńskiej jest 90 numerów, z których 5 wygrywa. Można postawić pewną kwotę na dowolne 2,3,4 lub 5 numerów. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia na wszystkie postawione numery w każdym ze wspomnianych 5 przypadków? 10. W magazynie znajduje się n par butów. Pobrano losowo 2r butów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród pobranych butów nie ma ani jednej pary. 11. Każdą z n pałek rozłamujemy na dwie części różnej długości ( długą i krótką). Tak otrzymane 2n części łączymy losowo w n par. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że a) wszystkie części pałek połączą się tak jak były połączone na początku b) wszystkie długie części pałek połączą się z krótkimi. 12. Sekretarka napisała n listów, które trzeba było wysłać do n osób, włożyła je do kopert i koperty zakleiła. Zaklejone koperty się pomieszały, ale sekretarka mimo to wpisała na każdej kopercie po jednym adresie, po czym wysłała listy. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że a) każdy z n adresatów otrzyma swój list b) dokładnie n-1 adresatów otrzyma swój list c) żaden z adresatów nie otrzyma swojego listu d) dokładnie k adresatów otrzyma swoje listy.
Laboratorium nr 4. Prawdopodobieństwo aksjomatyczne. 1. Ile razy trzeba rzucić kostką, aby prawdopodobieństwo wyrzucenia przynajmniej raz jednej szóstki było większe od 0,5 (0,8)? 2. Ile liczb trzeba wziąć z tablicy liczb losowych, żeby można było z prawdopodobieństwem nie mniejszym od 0,9 być pewnym, że przynajmniej jedna z nich jest parzysta? 3. Ile razy należy rzucić dwiema monetami, aby prawdopodobieństwo otrzymania przynajmniej raz dwóch orłów było większe od 0,5? 4. Ile razy trzeba rzucać dwiema kostkami, aby można było z prawdopodobieństwem większym od 0,5 oczekiwać, że przynajmniej jedna suma wyrzuconych oczek będzie równa 12? 5. Ile razy należy przeprowadzić dane doświadczenie, aby można było z prawdopodobieństwem nie mniejszym od r twierdzić, że przynajmniej jeden raz zajdzie zdarzenie, którego prawdopodobieństwo przy dowolnej realizacji doświadczenia równe jest p? 6. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany punkt kwadratu x 1 y 1 jest punktem leżącym wewnątrz okręgu x 2 +y 2 =1. 7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole prostokąta o losowych wymiarach o obwodzie 20 cm nie przekracza 21 cm? 8. Na okręgu o promieniu r wybrano losowo trzy punkty A, B i C. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójkąt ABC jest ostrokątny? 9. Wewnątrz koła o promieniu r wybrano losowo jeden punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany punkt znajduje się w odległości mniejszej niż d od środka koła? 10.Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana cięciwa w kole o promieniu r będzie dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło? (paradoks Bertranda)
Laboratorium nr 5. Niezależność zdarzeń. Prawdopodobieństwo warunkowe. Prawdopodobieństwo całkowite. 1. W urnie są 3 kule białe i 4 kule czarne. Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną, jeśli za pierwszym razem wylosowaliśmy kulę białą? Czy otrzymamy ten sam rezultat przy losowaniu ze zwrotem? Uogólnić zadanie na przypadek dowolnej ilości kul. 2. Rzucamy 6 razy monetą. Czy zdarzenia: A orzeł wypadł dokładnie 3 razy i B reszka wypadła dokładnie 3 razy są zdarzeniami niezależnymi? 3. Wiadomo, że P(A)=0,5; P(B)=0,4 oraz P(A B )=0,8. Czy zdarzenia A i B są niezależne? 4. Losujemy jedną kartę z talii 52 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to siódemka, jeśli wiadomo, że wyciągnięta karta nie jest figurą ani asem? 5. W pewnym przedsiębiorstwie 96% produkowanych wyrobów jest dobrych. Na każde 100 dobrych wyrobów 75 jest I gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo, ż losowo wybrana sztuka jest dobra. 6. Rzucono 3 kostki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej na jednej kostce wypadnie jedynka, jeżeli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek? 7. Robotnik obsługuje 3 maszyny. Prawdopodobieństwo tego, że pewnym czasie T maszyny nie wymagają obsługi wynosi 0,9 dla pierwszej; 0,8 dla drugiej; 0,85 dla trzeciej. Maszyny te pracują niezależnie od siebie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w czasie T : a) żadna z maszyn nie wymaga obsługi; b) wszystkie maszyny wymagają obsługi. 8. Z talii 52 kart losujemy dwie karty bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z pozostałych 50 kart, jeśli nie wiadomo jakie dwie karty zostały uprzednio wyciągnięte? 9. Z urny zawierającej n kul o numerach od 1 do n wyjmujemy kolejno dwie kule, przy czym pierwszą kulę zwracamy do urny jeżeli jej numer jest różny od jedności. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy drugim losowaniu otrzymamy kulę o numerze 2 10. Zestaw tematów egzaminacyjnych zawiera 10 tematów łatwych, 6 tematów trudnych i 4 tematy średnio trudne. Trzech studentów losuje tematy po kolei bez zwrotu. Który z nich ma największe prawdopodobieństwo wylosowania tematu łatwego? 11. W prawej kieszeni znajdują się 3 monety po 2 zł i 4 monety po 1 zł, a w lewej kieszeni 6 monet po 2 zł i 3 monety po 1 zł. Z prawej kieszeni do lewej przełożono losowo dwie monety. Obliczyć prawdopodobieństwo wyciągnięcia z lewej kieszeni po tym przełożeniu monety o wartości 2 zł. 12. W szufladzie jest 15 piłek tenisowych, w tym 9 nowych. Do pierwszej gry wzięto losowo 3 piłki. Po grze włożono je z powrotem do szuflady. Do drugiej gry także losowo wzięto 3 piłki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie piłki wzięte do drugiej gry były nowe?
Laboratorium nr 6. Wzór Bayesa. Schemat dwumianowy. Schemat wielomianowy. 1. Wiadomo, że 4% produkcji stanowią przedmioty wadliwe. Uproszczony schemat kontroli przepuszcza przedmioty bez wad z prawdopodobieństwem 0,98, a przedmioty wadliwe z prawdopodobieństwem 0,05. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przedmiot, który uproszczona kontrola przepuściła jest bez wad. 2. W pierwszej urnie jest 5 kul białych i 7 kul zielonych, a w drugiej urnie jest 6 kul białych i 3 kule zielone. Z losowo wybranej urny wyciągamy bez zwrotu dwie kule. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) obie wylosowane kule są białe; b) pochodzą z pierwszej urny, jeśli obie są zielone. 3. Jest dziesięć jednakowych urn. Dziewięć spośród nich zawiera po 2 kule białe i 2 kule czarne, a jedna urna zwiera 5 kul białych i 1 kulę czarną. Z losowo wybranej urny wylosowano kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowania dokonano z urny w której jest 5 kul białych? 4. Wiadomo, że 25 kobiet na 1000 i 5 mężczyzn na 100 nie odróżnia kolorów. Z grupy, w której jest jednakowa liczba kobiet i mężczyzn wylosowano jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba okaże się daltonistą? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba jest mężczyzną, jeśli okazała się daltonistą? 5. Spośród 18 strzelców 5 trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,8; 7 z prawdopodobieństwem 0,7; 4 z prawdopodobieństwem 0,6 i 2 z prawdopodobieństwem 0,5. Wybrany losowo strzelec strzelił do celu, ale nie trafił. Do której grupy najprawdopodobniej należał ten strzelec? 6. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem a) 3 partie na 4 rozegrane, czy 5 partii na 8 rozegranych? b) nie mniej niż 3 partie na 4 rozegrane, czy nie mniej niż 5 partii na 8 rozegranych? 7. Dwóch koszykarzy oddaje po 3 rzuty piłką do kosza. Pierwszy z nich trafia o kosza z prawdopodobieństwem 0,6; drugi trafia z prawdopodobieństwem 0,7. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że a) koszykarze uzyskają tę samą ilość trafień; b) pierwszy koszykarz uzyska więcej trafień niż drugi. 8. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że czterocyfrowy (pięciocyfrowy) numer pierwszego napotkanego samochodu a) nie zawiera cyfry 5; b) nie zawiera dwóch 5. 9. Podczas gry w brydża jeden z czterech graczy nie dostał ani jednego asa w kolejnych trzech rozdaniach (w każdym otrzymał 13 kart z 52 kart w talii). Czy ma on powody do uskarżania się, że mu nie idzie karta? 10. Ilu niezależnych rozdań trzeba dokonać grając w brydża, aby prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz czterech asów przez pewnego ustalonego gracza było nie mniejsze niż 0,5? 11. Obliczyć najbardziej prawdopodobną liczbę szóstek przy 10 (11; 12 oraz 20) rzutach kostką. 12. W urnie są 3 kule: biała, czerwona i niebieska. Z urny losujemy 5 razy po jednej kuli z zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że białą i czerwoną kulę wylosujemy co najmniej dwa razy.