Rachunek prawdopodobieństwa lista zadań nr 6

Transkrypt

1 1) Klasa zorganizowała loterię fantową. Do sprzedaży przeznaczono 50 losów ponumerowanych od 1 do 50. Organizatorzy przyjęli zasadę, że każdy los, którego numer jest liczbą podzielną przez 3, wygrywa fant. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwszy uczestnik loterii nabywając dwa losy wygra co najmniej jeden fant. 2) Na uczniowską loterię książkową przygotowano 75 losów po 10 zł każdy. Dla uczestników loterii przygotowano 5 książek o wartości 50 zł każda, 10 książek o wartości 30 zł każda i 10 książek o wartości 20 zł każda. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwszy uczestnik loterii nabywając dwa losy: A. wygra co najmniej jedną książkę, B. wygra tylko jedną książkę, ale o wartości większej od 20 zł. Zakładamy, że na jeden los można wygrać tylko jedną książkę. 3) W sklepie są skrzynie z pomarańczami i skrzynie z cytrynami. W skrzyniach z pomarańczami znajduje się 5% owoców zepsutych, a w skrzyniach z cytrynami 2%. Sprzedawca wybiera losowo jedną cytrynę i jedną pomarańczę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: A. co najmniej jeden z owoców jest zepsuty, B. dokładnie jeden z owoców jest zepsuty. 4) Pudełko zawiera 6 dobrych i 3 wadliwe żarówki. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 3 pobranych losowo i bez zwracania żarówek: A. dokładnie jedna żarówka jest wadliwa, B. co najmniej jedna żarówka jest wadliwa. 5) Fabryka wysyła części do maszyn w paczkach po 20 sztuk w każdej. Odbiorca losowo wybiera z paczki trzy części i w przypadku, gdy żadna z tych części nie ma wady, przyjmuje całą paczkę. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że paczka z częściami zostanie przyjęta, mimo że znajdują się w niej cztery części z wadami. 6) W dwóch pudełkach umieszczono 4 pary rękawiczek, w tym 3 pary rękawiczek brązowych i jedną czarną. Wszystkie rękawiczki z lewej ręki znajdują się w pierwszym pudełku, a wszystkie z prawej w drugim. Losujemy 4 rękawiczki w ten sposób, że najpierw losujemy dwie z pierwszego pudełka a następnie dwie z drugiego. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych w ten sposób rękawiczek znajduje się para rękawiczek czarnych. 7) W szafie znajduje się 5 par obuwia, w tym 4 pary butów czarnych i jedna brązowych. Wszystkie buty z prawej nogi znajdują się w pierwszej szufladzie, a wszystkie z lewej w drugiej szufladzie. Losujemy 4 buty w ten sposób, że najpierw losujemy dwa z pierwszej szuflady, a pozostałe dwa z drugiej. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych w ten sposób butów znajdzie się para butów brązowych. 8) Z sześciu odcinków o długościach 1, 3, 5, 6, 7, 9 wybieramy losowo 3 różne odcinki. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że z wybranych odcinków można skonstruować trójkąt. 9) Dziesięć książek, wśród których znajdują się: "Potop", "Wierna rzeka" i "Pan Tadeusz" ustawiono w sposób losowy na pustej półce. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: A. "Wierna rzeka", "Pan Tadeusz" i "Potop" znajdują się obok siebie, B. "Potop" i "Wierna rzeka" stoją obok siebie, natomiast "Pan Tadeusz" nie sąsiaduje z żadną z nich. 10) Wśród dziesięciu losów trzy losy są wygrywające. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród trzech wybranych jednocześnie losów: A. dokładnie jeden wygrywa, B. przynajmniej jeden wygrywa. 11) W urnie znajduje się 5 kul białych, 4 czarne i 3 zielone. Wyciągamy losowo jedną kulę i nie oglądając jej wyciągamy z pozostałych dwie następne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: A. obie kule wyciągnięte w drugim losowaniu są białe, B. kule wylosowane za drugim razem są różnych kolorów? 12) Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lasujemy kolejno (bez zwracania) trzy cyfry, np. 4, 2, 5 układając je w kolejności losowania w liczbę 425. Zakładając, że wszystkie możliwe do otrzymania liczby są jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymana liczba jest mniejsza od 444.

2 13) W urnie jest 6 kul białych i 3 kule czarne: Wyciągamy losowo jedną kulę, zatrzymujemy ją, a następnie wyciągamy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: A. wyciągniemy dwie kule czarne, B. wyciągniemy dwie kule białe? 14) Dwunastoosobowa grupa studencka, w której jest 7 kobiet otrzymała 3 bilety do opery. Bilety rozdzielano drogą losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród posiadaczy biletów: A. będą dokładnie dwie kobiety, B. będzie co najmniej jedna kobieta? 15) W urnie jest 7 kul czarnych i 3 białe. Losowo wyciągamy równocześnie 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród otrzymanych kul: A. dokładnie jedna jest biała, B. co najmniej jedna kula jest biała? 16) Pomalowano po dwie przeciwległe ściany sześcianu na czerwono., zielono i niebiesko. Następnie rozpiłowano sześcian na 216 przystających sześcianików. Obliczyć, że losowa wybrany sześcianik ma pomalowane: A. ściany trzema kolorami, B. dwie ściany: na czerwono i niebiesko, C. co najmniej dwie ściany. 17) Do urny, w której znajdują się 3 kule wrzucona biała kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo wyciągnięcia z urny kuli białej, jeżeli wiadomo, że następujące zdarzenia są jednakowo prawdopodobne: przed wrzuceniem nie była w urnie ani jednej białej, kuli była jedna biała kula, były 2 białe kule, były trzy białe kule. 18) Uczeń przyszedł na egzamin umiejąc odpowiedzieć na 20 pytań spośród 25 pytań podanych jaka wymagania egzaminacyjne. Egzaminator zadał trzy pytania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że uczeń zna odpowiedź na wszystkie trzy pytania, jeżeli prawdopodobieństwo zdarzeń polegających na zadaniu konkretnego pytania są równe. 19) Rybak ma trzy miejsca do połowu ryb, które odwiedza jednakowo często. Prawdopodobieństwa, że złowi rybę w każdym z tych miejsc są odpowiednia równe 1/2; 3/4; 2/3; Jakie jest prawdopodobieństwo, że rybak złowi rybę, jeśli pojechał na jedno z tych trzech miejsc w sposób przypadkowy? 20) Prawdopodobieństwo, że dany strzelec trafi w "dziesiątkę" przy jednym strzale wygasi 0,4. Ile powinien wykonać strzałów, aby z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,95 trafił w "dziesiątkę" co najmniej jeden raz? 21) Spośród 21 żarówek 4 posiadają cechę A. Pobrana losowo trzy sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda z nich ma cechę A? 22) Na egzamin przygotowano zestaw 45 pytań, z których zdający lasuje 4. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą za poprawną odpowiedź na 4 pytania; ocenę dobrą za poprawną odpowiedź na 3 pytania, a ocenę dostateczną za poprawną odpowiedź na 2 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania oceny bardzo dobrej, a jakie oceny co najmniej dostatecznej, jeśli uczeń umie odpowiedzieć poprawnie na 2/3 pytań z zestawu? 23) W urnie znajduje się piętnaście losów loterii fantowej, z których 10 jest pustych, a 5 wygrywających. Z urny wyciągamy jednocześnie cztery losy. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wśród wyciągniętych losów: A. dokładnie dwa są wygrywające, B. co najmniej jeden jest wygrywający. 24) Dwunastoosobowa grupa studentów, w której jest siedem kobiet otrzymała 3 bezpłatne bilety do teatru. Bilety rozdzielano drogą losowania. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że bilety otrzymają co najmniej 2 kobiety. 25) Wśród dwudziestu lasów loterii fantowej 15 losów jest pustych, a 5 wygrywających. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wśród 3 wyciągniętych jednocześnie losów: A. dokładnie 2 są wygrywające, B. co najmniej jeden jest pusty,

3 26) Wśród 20 żarówek 15 jest dobrych, a 5 wadliwych. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że z trzech losowo wybranych żarówek: A. dokładnie dwie są wadliwe, B. co najmniej jedna jest dobra. 27) Robotnik obsługuje trzy obrabiarki działające niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny obrabiarka nie wymaga interwencji robotnika jest równe 0,7 dla pierwszej, 0,8 dla drugiej i 0,9 dla trzeciej obrabiarki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny co najwyżej jedna obrabiarka będzie wymagała interwencji robotnika. 28) W szufladzie leży 5 kartek ponumerowanych od 1 do 5. Losujemy bez zwracania 3 kartki. Zapisujemy ich numery w kolejności losowania, tworząc liczbę trzycyfrową. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania liczby trzycyfrowej, której suma cyfr jest liczbą parzystą. 29) W urnie znajduje się n kul ponumerowanych od 1 do n. Losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że numer jednej z wylosowanych kul jest mniejszy od k, a numer drugiej większy od k, jeśli k oznacza ustalaną liczbę naturalną spełniającą warunek: 1 < k < n i n E N. 30) W turnieju szachowym uczestniczy 20 graczy, których rozdziela się losowo na dwie grupy po 10 osób. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że czterech najlepszych uczestników turnieju będzie grać pa dwóch w różnych grupach. 31) Z liczb 1,2,3,...,(2n-1) losujemy jedną, a następnie z pozostałych drugą. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: A. za pierwszym razem wylosowano liczbę nieparzystą, B. za pierwszym i drugim razem wylosowano liczby nieparzyste. 32) W urnie znajduje się n kul, w tym 5 kul białych: Losujemy 2 kule z urny bez zwracania. A. jakie jest prawdopodobieństwo tego, że obie wylosowane kule są białe? B. jakie musi być n, aby prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul białych była większe od 1/3? 33) Grupie turystów składających się z 9 mężczyzn i 8 kobiet rozlosowano 7 biletów do teatru. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dokładnie 4 bilety wylosowały kobiety, jeśli wiadomo, że turysta może wylosować co najwyżej jeden bilet. 34) Pewna liczba punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie należą do jednej prostej, wyznacza dokładnie 45 prostych. Znaleźć liczbę tych punktów. 35) Na płaszczyźnie dany jest zbiór S złożony z dziesięciu punktów, przy czym dokładnie cztery z nich leżą na prostej m. Zakładając, że każde trzy współliniowe punkty tego zbioru należą do m, obliczyć, ile jest trójkątów, które można otrzymać łącząc punkty zbioru S po trzy. 36) Ile różnych słów trójliterowych można zestawić używając czcionek występujących w słowie BOURBAKI*(przyjmujemy, że dowolny uporządkowany układ liter jest słowem ) * Bourbaki Nikolas - pseudonim grupy wybitnych matematyków, przeważnie francuskich, która podjęła w 1938 roku próbę ujęcia całokształtu matematyki w pewnego, rodzaju encyklopedię. Wydano.przez nich książki Etements de Mathl!matique zawierały najnowszy stan wiedzy o poszczególnych działach matematyki. 37) Na ile sposobów można rozmieścić dziewięciu studentów w trzech trzy osobowych pokojach, gdy studenci A i B nie chcą mieszkać razem? 38) Mamy osiem kul numerowanych od 1 do 8. Kule wrzucana na chybił trafił do trzech szuflad. Ile jest różnych sposobów rozmieszczenia tych kul? 39) W turnieju szachowym rozegrano 66 partii, przy czym każdy szachista rozegrał z każdym po jednej partii. Ilu szachistów uczestniczyło w turnieju? 40) W turnieju szachowym rozgrywanym systemem "każdy z każdym" dwóch uczestników nie ukończyło turnieju, przy czym jeden z nich grał 10 partii, drugi zaś tylko jedną. Ilu była zawodników i czy wspomniani grali ze sobą, jeśli wiadoma, że rozegrano 55 partii?

4 41) Uczestników turnieju szachowego podzielano na dwie rozłączne grupy A i B. Liczba graczy grupy B jest dwukrotnie większa ad liczby graczy grupy A. W grupie A każdy z każdym rozegrał dwie partie, a w grupie B każdy z każdym jedną partię. Rozegrano łącznie 21 partii. Ilu było uczestników turnieju? 42) Fabryka produkuje towar sztukowy: 3 razy tyle białego co czarnego, a 5 razy tyle białego co niebieskiego. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że biorąc sztukę losowo, otrzyma się sztukę czarną? 43) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losując z talii 52 kart jedną kartę, wylosujemy asa lub kiera. 44) Z talii 52 kart wyciągamy losowo 5 kart. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyciągniemy dokładnie 4 karty czarne. 45) Pudełko zawiera 90 śrub dobrych i 10 śrub wadliwych. Jeżeli z tego pudełka użyto 10 śrub, to jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna z nich nie była wadliwa? 46) Pierwszy strzelec trafia do celu w 80%, a drugi w tych samych warunkach - 70%. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia co najmniej raz do celu, gdy obaj strzelają jednocześnie. 47) Skrzynia zawiera 6 dobrych i 4 wadliwe detale. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 pobranych losowo i bez zwracania nie będzie detali wadliwych. 48) W urnie znajduje się 14 kul czarnych, 16 białych i 2 niebieskie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest niebieska lub czarna. 49) W urnie jest 8 kul, w tym 3 białe i 5 czerwonych. Wyjmujemy losowo kulę z urny i zatrzymujemy ją. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wyciągniemy kulę czerwoną, jeżeli za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą? 50) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu przy jednorazowym rzucie kostką do gry parzystej liczby oczek większej od 2. 51) Z talii 52 kart losujemy 2 karty raz ze zwracaniem, a raz bez zwracania. Wykazać różnicę w prawdopodobieństwie wylosowania: 2 asów w tych przypadkach. 52) Rzucamy kostką do gry: jedną czarną, drugą białą. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że suma oczek na obu kostkach jest zawarta w przedziale (2; 7>. 53) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że na 9 rzutów kostką do gry, 2 razy dostaniemy szóstkę. 54) Jaka jest najbardziej prawdopodobna ilość razy otrzymania orła, jeżeli rzucamy monetą 5 razy? 55) Dowieść, że jeżeli A,B Ω i P(A) = 0,8, P(B) = 0,6; to P(AIB) 2/3 56) Dane są prawdopodobieństwa: p 1 = P(A) i p 2 = P(A n B). Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A' n B', jeśli zdarzenia A i B są niezależne. 57) Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3? 58) Fabryka otrzymuje partie towaru w skrzyniach po 50 sztuk detali w każdej. Dana partia zostaje przyjęta, jeśli przy sprawdzeniu 3 detali co najwyżej jeden jest wadliwy. Obliczyć prawdopodobieństwo: A. przyjęcia partii, jeśli w skrzyni było 5 wadliwych, B. odrzucenia partii, jeśli w skrzyń było 8 wadliwych. 59) Rzucamy dwoma kostkami. Obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym suma wyrzuconych oczek jest równa 8. 60) Spośród cyfr 1, 2,..., 9 wylosowano cyfrę C 1, a następnie spośród pozostałych ośmiu wylosowano cyfrę C 2. Obliczyć prawdopodobieństwo parzystości liczby, która w układzie dziesiętnym ma zapis C 1 C 2. 61) W partii 200 lamp elektronowych jest 8 sztuk wadliwych. Losujemy 3 sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy lampy będą wadliwe.

5 62) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że przypadkowo wzięta liczba spośród 50 kolejnych liczb naturalnych od 1 do 50 jest, podzielna przez dwa lub przez 3. 63) Mamy zbiór cyfr 1, 2, 3, 4,,5, 6. Ile można z nich utworzyć liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach i jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej od 670? 64) Turysta chce zapalić ognisko mając, do dyspozycji jedynie dwie zapałki. Wiadomo, że prawdopodobieństwo rozpalenia jedną zapałką jest równe 0,6; natomiast prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska dwiema zapałkami złączonymi równa się 0,83. Jak należy rozpalić ognisko: kolejno jedną zapałką, potem drugą, czy dwiema zapałkami złączonymi razem? 65) Numery telefonów składają się z 3 cyfr. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany numer telefoniczny ma wszystkie cyfry podzielne przez 3. 66) W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul czarnych i 1 białej, jeśli losujemy jednorazowo trzy kule? 67) W kopercie zawierającej 40 zdjęć fotograficznych znajduje się jedno poszukiwane. Z koperty wyjęto losowo 5 zdjęć. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wśród wyjętych zdjęć znajduje się poszukiwane? 68) Spośród 20 mężczyzn i 5 kobiet wybrano trzyosobową delegację. Zakładamy, że każda osoba miała tę samą szansę wyboru. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w skład delegacji weszła co najwyżej jedna kobieta. 69) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że po rozdaniu kart, każdy brydżysta ma jednego asa. 70) Losowo ustawia się ciąg ʻnʼ ludzi, wśród których są A i B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że między A i B stanie dokładnie ʻrʼ ludzi? 71) W partii towaru składającej się z.n sztuk znajduje się M sztuk wybrakowanych. Wybieramy losowo n sztuk (n M). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich znajduje się: A. dokładnie ʻmʼ sztuk wybrakowanych (m n), B. co najmniej ʻmʼ sztuk wybrakowanych? 72) W grupie 360 osób zdających na węższą uczelnię jest 270 mężczyzn i 90 kobiet. 40% mężczyzn i 30% kobiet jest absolwentami techników. Wybrana losowa osoba okazała się absolwentem technikum. Jakie jest prawdopodobieństwo, że to mężczyzna? 72) Na egzamin przygotowano 45 tematów, z których zdający losuje 3. Student otrzymuje ocenę bardzo dobrą za rozwiązanie trzech tematów: dobrą za rozwiązanie dwóch, dostateczną za rozwiązanie jednego i niedostateczną, gdy brak rozwiązań. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania oceny co najmniej dostatecznej, a jakie bardzo dobrej, jeśli student przygotował 2/3 tematów? 73) Urna zawiera 4 kule białe i 6 czerwonych. Wybieramy losowo 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych będzie przynajmniej jedna kula biała? 74) Spośród 20 mężczyzn i 5 kobiet wybrano 3-osobową delegację. Zakładamy, że każda osoba miała te same szanse zostania delegatem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w skład delegacji weszła co najmniej jedna kobieta. 75) Wśród 21 żarówek 4 posiadają cechę A. Pobrano losowo 3 sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna z nich ma cechę A? 76) Na loterii jest dziesięć losów, z których cztery są wygrywające. Jakie jest prawdopodobieństwo p, że wśród trzech kupionych losów: A. dokładnie jeden wygrywa, B. przynajmniej jeden wygrywa? 77) Spośród 20 pytań egzaminacyjnych student zna odpowiedź na 12 pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student zda egzamin, jeżeli obowiązuje następująca zasada: losuje się dwa pytania i w przypadku dobrej odpowiedzi na oba pytania egzamin kończy się pozytywną, oceną, w przypadku zaś, gdy jedna odpowiedź była dobra, a druga zła, losuje się trzecie pytanie - tylko dobra odpowiedź na trzecie jest podstawą do pozytywnej oceny.

6 78) W pierwszej urnie znajduje się a białych i b czarnych kul. W drugiej a czarnych i b białych. Przenosimy jedną kulę z pierwszej urny do drugiej, a następnie wyciągamy kulę z drugiej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że będzie to biała kula. 79) Rzucono cztery razy monetą. Niech A oznacza, zdarzenie, że otrzymano nie więcej, niż jedną reszkę, a B zdarzenie, że wśród wyników czterech rzutów znajdy je się orzeł i reszka. Sprawdzić, Czy zdarzenia A i B są niezależne? 80) Rzucamy jednocześnie kostką do gry oraz metalowym krążkiem, na którego jednej stronie jest jedno oczko, a na drugiej nie ma oczek. Rozważamy następujące zdarzenia: A - suma wyrzuconych oczek jest nie większa od 3; B - suma oczek jest parzysta, C - na krążku wypadło 0 oczek. Która z par zdarzeń: A, B, czy A, C czy B, C jest parą zdarzeń niezależnych? 81) Rzucamy trzy razy monetą. Niech A oznacza zdarzenie - co najmniej raz wypadła reszka, zaś B zdarzenie - wypadły trzy orły lub trzy reszki. Sprawdzić, czy zdarzenia A, B' są niezależne 82) Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie - suma wyrzuconych oczek równa się 8, zaś B zdarzenie - za pierwszym razem nie wypadło 6 oczek. Sprawdzić, czy zdarzenia A, B' są niezależne. 83) Mamy 2 urny z kulami. Jedna urna zawiera 6 kul białych i 4 czarne. W drugiej urnie znajdują się 2 kule białe i 8 czarnych. Losujemy 2 kule, po jednej z każdej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 1 kuli białej i jednej kuli czarnej. 84) Z trzech fabryk zakupiono po jednej sztuce towaru. Pierwsza fabryka produkuje 90%, druga 80%, a trzecia 70% wyrobów pierwszego gatunku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród trzech zakupionych sztuk co najmniej jedna jest pierwszego gatunku? 85) Pewna gra polega na jednoczesnym rzucie kostką i monetą. Wygrana następuje przy jednoczesnym wyrzuceniu szóstki i reszki. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na trzy gry wygrana nastąpi dokładnie jeden raz? 86) W urnie znajduje się ʻnʼ kul z których 5 jest białych. Jakie powinno być ʻnʼ, żeby przy losowaniu dwóch kul bez zwracania prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania białej kuli było większe od 1/3. 87) Rzucono kostkę 3 razy. Za pierwszym razem wyrzucono 5 oczek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma oczek w trzech rzutach będzie większa od 9. 88) Rzucamy trzy razy dwoma kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa razy suma wyrzuconych oczek na obu kostkach będzie większa niż 7. 89) Z urny zawierającej 2 kule białe i 3 czarne losujemy 5 razy po 2 kule, przy czym po każdym losowaniu wylosowaną parę wrzucamy z powrotem do urny. Obliczyć prawdopodobieństwo trzykrotnego wylosowania par kul różnokolorowych. 90) Rzucamy kostką do gry pięć razy. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A. co najmniej 5 oczek wypadło dokładnie dwa razy, B. parzysta liczba oczek wypadła co najmniej cztery razy. 91) Rzucamy kostką do gry sześć razy. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: A. co najwyżej dwa oczka wypadły dokładnie dwa razy, B. nieparzysta liczba oczek wypadła co najwyżej raz. 92) W urnie są 4 kule białe i 6 kul czarnych. Losujemy 4 razy po 5 kul i po każdym losowaniu wrzucamy je do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa razy wylosujemy 5 takich kul, wśród których będą 3 kule czarne?

7 93) W pewnym sklepie 45% sprzedawanych żarówek pochodzi z zakładu Z 1 ; 55% - z zakładu Z 2 ; Wiadomo, że w produkcji zakładów Z 1 i Z 2 braki stanowią odpowiednio 0,8% i 1,2%. Kupujemy w tym sklepie jedną żarówkę. Obliczyć prawdopodobieństwo kupienia: A. złej żarówki, B. dobrej żarówki. 94) Strzelcy oddają po jednym strzale do tarczy. Strzelec I trafia z prawdopodobieństwem 0,8, strzelec drugi - z prawdopodobieństwem 0,9. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: A. tarcza została co najmniej raz trafiona, B. tarcza została dwa razy trafiona. 95) Baterie sprzedawane w sklepie są produkowane przez zakłady Z 1 i Z 2 przy czym zakład Z 1 dostarcza dwa razy więcej niż zakład Z 2. Wiadomo, że w produkcji zakładów Z 1 i Z 2 braki stanowią odpowiednio 0,9% i 1,4%. Kupujemy w tym sklepie jedną baterię. Obliczyć prawdopodobieństwo kupienia: A. dobrej baterii, B. złej baterii. 96) Zakład produkujący lampy elektronowe pracuje na dwie zmiany. Przeciętnie pierwsza zmiana wypuszcza 5% lamp wadliwych, a druga zmiana 3%. Pierwsza zmiana wytwarza dwukrotnie więcej lamp niż druga. Wszystkie lampy są sprzedawane w sklepie przyzakładowym. Kupiliśmy jedną lampę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta lampa jest dobra? 97) W pierwszej puszce, są 3 losy wygrywające i 7 przegrywających, w drugiej 5 wygrywających i 4 przegrywające. Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy z pierwszej puszki, w przeciwnym przypadku z drugiej. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: wyciągnięty los jest wygrywający. 98) Z klas A i B może pojechać na wycieczkę tylko jedna osoba, którą wybiera się losowo w następujący sposób: rzuca się monetę i jeżeli wypadnie orzeł, to losuje się uczestnika wycieczki z klasy A, a jeżeli reszka - to z klasy B. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że na wycieczkę pojedzie chłopiec wiedząc, że w klasie A jest 20 dziewcząt i 10 chłopców, a w klasie B - 15 dziewcząt i 15 chłopców. 99) W urnie są kule białe i 3 czarne. Losujemy dwie kule (bez zwrotu). Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: wylosowano co najmniej jedną kulę czarną. 100) Talię 52 kart podzielono losowo na dwie części, po 26 kart w każdej. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że as pik i as kier znajdą się w różnych częściach. 101) W turnieju szachowym uczestniczy 14 graczy, których rozdziela się losowo na dwie grupy po 7 osób w każdej. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że gracz A oraz gracz B znajdą się w różnych grupach. 102) Przy produkcji pewnego wyrobu wykonuje się dwie operacje technologiczne. Prawdopodobieństwa otrzymania braku w każdej tych operacji są odpowiednio równe: 0,04 i 0,05. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: wykonany wyrób jest wadliwy. 103) W pierwszej urnie są 2 białe i 3 czarne kule, a w drugiej urnie 3 białe i 5 czarnych. Rzucamy kostką, do gry, jeżeli wypadnie 6 oczek, to losujemy kulę drugiej urny, a jeżeli nie to z pierwszej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli. 104) Na obozie drużynie X jest 10 dziewcząt i 40 chłopców, w drużynie Y 30 dziewcząt i 15 chłopców. Dla zaniesienia meldunku losuje się jedną osobę w następujący sposób: rzuca się kostką do gry i jeżeli wypadnie liczba oczek podzielna przez trzy, to losuje się z drużyny X; a jeżeli niepodzielna przez trzy, to losuje się z drużyny Y. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania chłopca. 105) Wśród 20 kul 10 jest białych, 6 czarnych a pozostałe są zielone. Wylosowano kolejno 2 kule bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że druga z wylosowanych kul jest biała. 106) Do urny zawierającej 2 kule wrzucono kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losując jedną kulę okaże się ona białą, jeśli początkowo w urnie były obie kule białe lub obie kule czarne i oba zestawy początkowe ze względu na kolor są jednakowo prawdopodobne? 107) Rzucamy cztery razy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa razy otrzymamy sumę oczek nie większą od trzech?

8 108) Czujnik wykrywa awarię z prawdopodobieństwem 80%. Ile czujników należy umieścić, żeby prawdopodobieństwo wykrycia awarii było równe co najmniej 99%? 109) Student, umie odpowiedzieć na 20 spośród 25 pytań egzaminacyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej trzy pytania z czterech wybranych losowo? 110) W skrzyni znajduje się 10 detali, wśród których jest 6 pomalowanych. Wylosowano 5 detali. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że co najwyżej 3 spośród wylosowanych są pomalowane. 111) Dostarczane partie towaru liczą po 100 sztuk każda. Kontrola odrzuca damą partię, jeżeli w losowo wybranych 3 sztukach co najmniej jedna jest wadliwa. Obliczyć prawdopodobieństwo: A. odrzucenia partii zawierającej 10 sztuk wadliwych, B. przyjęcia partii zawierającej 30 sztuk wadliwych. 112) Dostarczane partie żarówek liczą po 50 sztuk każda. Kontrola odrzuca daną partię, jeżeli w losowo wybranych 4 żarówkach co najmniej jedna jest wadliwa. Obliczyć prawdopodobieństwo: A. odrzucenia partii zawierającej 5 żarówek wadliwych, B. przyjęcia partii zawierającej 20 żarówek wadliwych. 113) Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie co najwyżej raz orła w sześciokrotnym rzucie monetą, czy - co najmniej raz szóstki w dwukrotnym rzucie kostką do gry? 114) Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie co najmniej raz orła w pięciokrotnym rzucie monetą, czy wyrzucenie co najwyżej raz liczby oczek podzielnej przez 3 w pięciokrotnym rzucie kostką do gry? 115) Partię 100 sztuk towaru poddano losowej kontroli. Warunkiem odrzucenia tej partii towaru jest znalezienie co najmniej jednej sztuki wadliwej, podczas trzech kolejnych po jednej sztuce bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia tej partii towaru, jeśli zawiera ona 5% sztuk wadliwych? 116) Turysta chce rozpalić ognisko mając jedynie dwie zapałki i wiedząc, że przy danej pogodzie prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska jedną zapałką jest równe 0,55, natomiast prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska dwiema złączonymi zapałkami jest równe 0,9. Przy którym z tych sposobów istnieje większe prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska? 117) Wśród 10 losów loterii znajduje się jeden los na główną wygraną oraz 2 losy uprawniające do bezpłatnego wyciągnięcia następnego losu. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania głównej wygranej przy zakupie jednego losu i maksymalnym wykorzystaniu uprawnień? 118) Spośród 12 losów, wśród których jest 5 losów wygrywających i 7 losów przegrywających, wyciągnięto 6 losów. Obliczyć: A. prawdopodobieństwo, że wśród wyciągniętych są co najmniej dwa losy wygrywające, B. wartość oczekiwaną liczby losów wygrywających wśród losów wyciągniętych. 119) Wśród ʻnʼ losów loterii fantowej 6 losów wygrywa. Jaka musi być liczba losów, aby prawdopodobieństw tego, że zakupione dwa losy będą wygrywające było większe od 1/3? 120) Z urny zawierającej 3 kule białe i 4 czerwone losujemy 6 razy po 2 kule, przy czym po każdym losowaniu wylosowaną parę wrzucamy z powrotem do urny. Obliczyć prawdopodobieństwo czterokrotnego wylosowania par kul różnokolorowych. 121) Dane są dwie urny: w jednej urnie znajduje się a białych i b czarnych kul, w drugiej zaś c białych i d czarnych kul. Przeniesiono jedną kulę z 1 urny do 2, a następnie wylosowano jedną kulę z drugiej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała. 122) Ze zbioru liczb 1, 2,..., 10 wybieramy w sposób losowy kolejno dwie liczby (bez zwracania) i od pierwszej odejmujemy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że różnica jest większa od 2? 123) W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Losujemy z urny 5 razy po 2 kule zwracając je za każdym razem do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania pary kul różnych kolorów dokładnie trzy razy? 124) Spośród 50 różnych pytań egzaminacyjnych zdający, który zna odpowiedź tylko na 25 pytań, losuje trzy pytania. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zdający zna odpowiedź na co najmniej jedno z wylosowanych pytań.

9 125) Prawdopodobieństwo trafienia za pierwszym razem do ruchomego celu jest równe 0,8, a za każdym następnym razem zmniejsza się o 0,1. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przy trzykrotnym strzelaniu strzelec: A. ani razu nie trafi, B. trafi co najmniej jeden raz, C. trafi dokładnie dwa razy. 126) Z cyfr 1, 2,..., 9 losujemy kolejno bez zwracania trzy cyfry układając je w kolejności losowania w liczbę. Zakładając, że wszystkie możliwe do otrzymania w ten sposób liczby są jednakową prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej od ) W trzech urnach znajdują się kule białe i czarne, przy czym w każdej z nich jest tyle samo kul białych co czarnych. Z każdej urny losujemy jedną kulę i nie oglądając jej wrzucamy do czwartej urny (początkowo pustej), następnie z czwartej urny losujemy jedną kulę. Obliczyć, prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli. 128) Wyznaczyć ʻnʼ tak, aby w rzucie ʻnʼ kostkami do gry prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej szóstki było większe od 1/6? 129) Rzucamy raz trzema kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: suma oczek wyrzuconych na trzech kostkach nie jest liczbą podzielnią przez 6 i nie jest liczbą podzielną przez ) Rzucamy raz trzema kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: iloczyn oczek wyrzuconych na trzech kostkach nie jest liczbą podzielną przez 60 i nie jest liczbą podzielną przez ) Pierwszy strzelec trafia do celu w 20%, a drugi w 60% Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia dokładnie jeden raz do celu, gdy obaj strzelają, po jednym razie. 132) Dwudziestoosobowa grupa studencka, w której jest 6 kobiet otrzymała 5 biletów do teatru. Bilety rozdziela się losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród posiadaczy biletów znajdą się co najmniej 3 kobiety? 133) Spośród 100 strzałów oddanych przez strzelca do pewnego obiektu przeciętnie 60 jest celnych. Ile powinien on oddać strzałów, aby prawdopodobieństwo trafienia tego obiektu było większe od 0,936? 134) W skrzynce znajduje się 50 żarówek, w tym 3 wadliwe. Ze skrzynki wyjęto 7 żarówek. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że: A. wszystkie wyjęte żarówki są dobre, B. wśród wyjętych żarówek jest dokładnie jedna wadliwa. 135) Ile można utworzyć różnych trójkątów, których długości boków przybierają wartości ze zbioru {1,5,6,7}. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania trójkąta o obwodzie nie mniejszym niż 20 spośród wszystkich takich trójkątów? Zakładamy, że wszystkie wyniki losowania są jednakowo prawdopodobne. 136) Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale wynosi 0,75. Do celu oddano niezależnie 5 strzałów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: A. dokładnie jeden raz, B. co najmniej jeden raz, C. co najwyżej jeden raz. 137) Na przystani wioślarskiej znajduje się 10 kajaków, z których 7 jest sprawnych, a 3 są uszkodzone. Wzięto w sposób przypadkowy 5 kajaków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej 4 wzięte kajaki są sprawne? 138) Liczby 1,2,...,10 porządkujemy w dowolny sposób (każde uporządkowanie jest jednakowo prawdopodobne). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w losowo wybranym uporządkowaniu liczby 1 i 2 są ustawione jedna obok drugiej w kolejności wzrastania. 139) Wykonujemy ʻnʼ rzutów kostką sześcienną. Dla jakiej wartości n prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu co najmniej jednej szóstki jest większe od 11/36? 140) Po zbadaniu produkcji pewnego przedsiębiorstwa okazało się, że 96% jego wyrobów nadaje się do użytku, w tym 62,5% jest pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wśród trzech losowo wybranych wyrobów dwa są pierwszego gatunku.

10 141) W magazynie znajdują się żarówki wyprodukowane przez trzy zakłady: Z 1, Z 2, Z 3. Żarówki wyprodukowane przez zakłady Z 1, Z 2 i Z 3 stanowią odpowiednio 50%, 40% i 10% zapasów magazynu. Wiadomo, że w produkcji zakładów Z 1 Z 2 i Z 3 braki stanowią odpowiednio: 1%,2% i 7%.Obliczyć prawdopodobieństwo, że: A. kupując jedną żarówkę natrafimy na brak, B. kupując trzy żarówki natrafimy na dwa braki. 142) Zorganizowano dwie loterie, przy czym w pierwszej przygotowano 100 losów, a w drugiej 200 losów. W której z tych loterii gracz kupujący dwa losy ma większą szansę wygrania, jeśli wiadomo, że w pierwszej loterii jest jeden los wygrywający, a w drugiej są dwa losy wygrywające. 143) W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 4 białe. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wylosowane z urny 4 kule będą wszystkie czarne lub wszystkie białe. 144) W dostarczonej do sprzedaży partii wyrobów liczącej 200 sztuk 2% ma dwie wady A i B, 4% wadę A, 3% wadę B. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: A. z dwóch zakupionych sztuk obie mają tylko po jednej z tych wad, B. z dwóch. zakupionych sztuk co najmniej jedna jest bez tych wad. 145) W partii nasion liczącej 300 sztuk 4% ma dwie wady A i B, 10% ma wadę A, 8% - wadę B. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: A. z dwóch wylosowanych nasion obydwa mają tylko po jednej z tych wad, B. z dwóch wylosowanych nasion co najmniej jedno jest bez tych wad. 146) Partię liczącą 80 sztuk towaru poddaje się losowej kontroli. Jeżeli z dwóch wylosowanych sztuk co najmniej jedna jest wadliwa, partię odrzucamy, w przeciwnych przypadkach - przyjmujemy. Co jest bardziej prawdopodobne przy takiej kontroli: odrzucenie partii zawierającej 5% sztuk wadliwych, czy przyjęcie partii zawierającej 65% wadliwych? * Zakładamy, że wady wyrobów w chwili zakupu są niedostrzegalne 147) Partię liczącą 50 sztuk towaru poddaje się losowej kontroli. Jeżeli z dwóch wylosowanych sztuk co najmniej jedna jest wadliwa, partię odrzucamy; w przeciwnym przypadku - przyjmujemy. Co jest bardziej prawdopodobne przy takiej kontroli: odrzucenie partii zawierającej 4% sztuk wadliwych, czy przyjęcie partii zawierającej 70% sztuk wadliwych? 148) Z grupy studenckiej liczącej 16 kobiet i 9 mężczyzn losuje się czteroosobową delegację: Jakie jest prawdopodobieństwo, że w składzie delegacji będą co najmniej trzy kobiety? 149) Z grupy studenckiej liczącej 8 kobiet i 12 mężczyzn losuje się pięcioosobową delegację. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w składzie delegacji będzie co najwyżej jeden mężczyzna? 150) Prawdopodobieństwo przekazania sygnału przez jeden przekaźnik jest p= 0,9. Przekaźniki działają niezależnie. Obliczyć prawdopodobieństwo przekazania sygnału przez układ dwóch przekaźników: A. przy połączeniu szeregowym, B. przy połączeniu równoległym.