Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z przedmiotu: wytrzymałość materiałów II Opracowanie: dr inż. Jarosław Malesza Katedra Mechaniki Konstrukcji 2011
1 Wprowadzenie Skręcanie występuje, gdy obciążenie działające na pręt w postaci momentów pojawia się w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta. Zjawisko skręcania należy analizować przy założeniu, że: oś pręta pozostaje linią prostą, tworzące, przed obciążeniem równoległe do osi pręta, po obciążeniu przyjmują kształt linii śrubowej nachylonej pod kątem γ, przekrój poprzeczny okrągłego pręta pozostaje okręgiem o tej samej średnicy po odkształceniu oraz pozostaje płaski, wszystkie przekroje, za wyjątkiem utwierdzenia, obrócą się dookoła osi pręta, przy czym kąt obrotu względem siebie dwóch dowolnych przekrojów będzie różny i proporcjonalny do odległości pomiędzy tymi przekrojami Rozpatrzmy prosty pręt o przekroju okrągłym poddany skręcaniu momentem M S. Obrót wybranego przekroju wiąże się z przemieszczeniem wybranego punktu B na obwodzie pręta do punktu C. Kąt o jaki obróci się ten przekrój (pomiędzy odcinkami BO i CO) nazywa się kątem skręcenia φ. Rys. 1. Skręcanie pręta prostego o przekroju okrągłym Jednocześnie przemieszczenie punktu B do punktu C powoduje również zmianę położenie tworzącej AB do linii AC. Kąt o jaki obrócą się tworzące walca nazywa się kątem odkształcenia postaciowego γ max. Wynika stąd, iż kąty odkształcenia postaciowego współosiowych warstw walcowych w pręcie (wewnątrz przekroju) są proporcjonalne do odległości ρ od jego osi: max = r =const
Na podstawie geometrii układu dla włókien skrajnych odcinek BC pozostaje wspólny dla trójkąta ABC utworzonego przez tworzące oraz trójkąta OBC utworzonego przez obrócenie przekroju poprzecznego: max = BC L 0 = BC r a stąd max = r L 0 Ponieważ występuje odkształcenie postaciowe pojawia się także ścinanie pomiędzy kolejnymi sąsiednimi przekrojami. Możemy zapisać także prawo Hooke'a przy ścinaniu: =G gdzie: τ - naprężenia styczne w przekroju, G - moduł sprężystości postaciowej materiału (moduł Kirchhoffa). Na zewnętrznych włóknach pręta, oddalonych o r od jego osi (na obwodzie pręta), naprężenia styczne są największe i zachodzi zależność: max =G max =G r L 0 a dla elementów o promieniu ρ < r naprężenia styczne są równe: =G =G L 0 zatem naprężenia styczne τ działające na dowolny element przekroju są proporcjonalne do odległości tego elementu od środka pręta. Rys. 2. Naprężenia w przekroju skręcanego pręta Wywołują one również w elemencie o polu powierzchni da siłę styczną prostopadłą do promienia równą da. Siła ta daje moment względem osi pręta równy: da
Jeżeli zsumujemy momenty względem osi pręta wszystkich elementarnych sił stycznych działających na całym przekroju poprzecznym to suma ta musi być równa momentowi M s. oraz A da =M S A G L 0 da =M S G L 0 A 2 da=m S Wyrażenie A 2 da=j 0 jest biegunowym momentem bezwładności J 0 rozpatrywanego przekroju zatem: M S =G L 0 J 0 stąd: = M S L 0 G J 0 gdzie: G J 0 jest sztywnością na skręcanie. 2 Cel ćwiczenia laboratoryjnego Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu Kirchhoffa materiału poddanego skręcaniu. 3 Przebieg ćwiczenia Próbę skręcania wykonuje się na prostym pręcie o przekroju okrągłym zamocowanym w skręcarce. Jeden koniec pręta jest zamocowany na stałe (utwierdzony), a do drugiego przykłada się parę sił w taki sposób, aby wywołać skręcanie momentem: M S =0,5 Q D gdzie: Q jest stopniowo zwiększanym obciążeniem, równym: 5, 10, 15kg, (~50, 100, 150N) D jest średnicą tarczy przymocowanej do końca pręta.
a) b) Rys. 3. Schemat stanowiska do badań skręcania: a) rozkład obciążenia na tarczy, b) rozmieszczenie czujników do pomiaru kątów obrotu Do pręta przymocowane są dwa czujniki zegarowe w przekrojach A i B odległych od siebie o L 0. Każdy czujnik zamocowany jest na ramieniu, którego długość wyznacza odległość trzpienia czujnika od osi pręta równą odpowiednio l A i l B. Znając przemieszczenie trzpieni czujników można ustalić kąty obrotu przekrojów, które są odpowiednio równe: w przekroju A: A = O A l A, w przekroju B: B = O B l B gdzie: O A, O B wskazania czujników. Wyznaczenie modułu sprężystości postaciowej G odbywa się na podstawie zależności: gdzie: G= M S L 0 AB J 0 φ AB jest różnicą kątów obrotu przekroju B i A: φ AB = φ B φ A J 0 jest biegunowym momentem bezwładności przekroju poprzecznego pręta, dla przekroju kołowego: J 0 = d4 32 Moduł Kirchhoffa ustala się osobno na każdym poziomie obciążenia, a następnie wyznacza się moduł średni.
3.1 Czynności przed badaniem Przed rozpoczęciem badania należy: zmierzyć długość odcinka L 0, zmierzyć średnicę pręta d, ustalić biegunowy moment bezwładności przekroju pręta J 0, zmierzyć średnicę D tarczy, do której jest przykładane obciążenie Q, zmierzyć odległość czujnika A od osi pręta: l A, zmierzyć odległość czujnika B od osi pręta: l B, wyzerować wskazania czujników. 3.2 Czynności podczas badania Podczas badania należy: zawiesić na wieszaku ciężarek o masie 5kg, odczytać wskazania czujników O A i O B, zwiększyć ciężar o kolejne 5kg i ponownie odczytać wskazania czujników A i B, czynności powtórzyć dla pozostałych wielkości obciążenia Q. 4 Opracowanie wyników badań Wyniki badań można zapisać w formie tabeli obliczając: momenty skręcające, kąty obrotu przekrojów φ A i φ B oraz różnice pomiędzy nimi, chwilowe moduły Kirchhoffa na poszczególnych poziomach obciążenia. 5 Wymagania BHP Stanowisko do badań nie jest podłączone do prądu elektrycznego i nie posiada elementów niebezpiecznych. Może być w całości obsługiwane przez studentów pod nadzorem osoby prowadzącej zajęcia lub pracownika laboratorium.
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska SPRAWOZDANIE Z ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 imię i nazwisko studenta:... rodzaj studiów:... kierunek:... specjalność:... semestr:... grupa:... prowadzący ćwiczenia: dr inż. Jarosław Malesza... (data wykonania ćwiczenia)
1. Podstawowe zależności Moment skręcający: M S =0,5 Q D gdzie: Q jest obciążeniem, D jest średnicą tarczy. Kąty obrotu przekrojów: w przekroju A: A = O A l A w przekroju B: B = O B l B i różnica: φ AB = φ B φ A Biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta, dla przekroju kołowego: Moduł sprężystości postaciowej G: J 0 = d4 32 G= M S L 0 AB J 0 1.1. Wymiary początkowe: - długość bazy pomiarowej: L 0 = - średnica pręta: d = - średnica tarczy: D = - biegunowy moment bezwładności przekroju pręta: J 0 = [mm 4 ] - odległość czujnika A od osi pręta: l A = - odległość czujnika B od osi pręta: l B =
1.2. Wyniki badań: Nr Q [N] M S [Nmm] O A Φ A [rad] O B Φ B [rad] Φ AB [rad] G [MPa] 1 50 2 100 3 150 4 100 5 50 Średni moduł odkształcenia postaciowego : G śr =