Zarządzanie Finansami

Studium Podyplomowe Zarządzanie w przemyśle naftowym i gazowniczym Rok Akademicki 2009/2010 Zarządzanie Finansami dr inż. Piotr Kosowski Materiały dla uczestników studium

WARTOŚD PIENIĄDZA W CZASIE Wartośd pieniądza jest funkcją czasu. Oznacza to, że w zależności od czasu, w którym pieniądz znajduje się w naszej dyspozycji, jego wartośd jest różna. Tysiąc złotych, które posiadamy dziś ma większą wartośd niż ta sama kwota w przyszłości (np. za pół roku). Im później określona kwota pieniężna znajdzie się w naszych rękach, tym jej wartośd jest niższa. Stąd też mówimy o zmiennej wartości pieniądza w czasie. Zmiennośd ta wynika nie tylko z działania inflacji, ale również z faktu większej dyspozycji (płynności) pieniądza posiadanego dziś w stosunku do tego, który uzyskamy w przyszłości. Posiadane w danej chwili pieniądze charakteryzują się najwyższym stopniem płynności, możemy nimi bowiem dobrowolnie dysponowad przeznaczając je na różne cele (działalnośd gospodarczą, konsumpcję, lokaty bankowe itp.). Przedsięwzięcia te mogą byd źródłem zysków. Utrata wartości pieniądza w miarę upływu czasu może również wynikad z preferowania bieżącej konsumpcji oraz ryzyka. Naturalną skłonnością każdego podmiotu jest chęd posiadania określonych dóbr jak najwcześniej. Mając np. możliwośd wyboru atrakcyjnej wycieczki dziś lub za rok, zdecydowana większośd ludzi wybierze zapewne pierwszy wariant. Obietnicy otrzymania w przyszłości kapitału towarzyszy bowiem ryzyko rzeczywistej realizacji transakcji. Różne czynniki niekiedy trudne do przewidzenia mogą spowodowad niedotrzymanie obietnicy. 2

Konsekwencją zmiennej wartości pieniądza w czasie jest to, że przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju działao mających skutki finansowe, zachodzi koniecznośd porównywania kwot pieniężnych pochodzących z różnych okresów. Porównywanie to ma sens jedynie wtedy, gdy wartości pieniężne dotyczą tego samego okresu (mają wspólny punkt odniesienia). Tym punktem odniesienia może byd okres prowadzenia rozważao (okres bieżący) lub też pewien okres w przyszłości. Wybór bazy porównawczej wynika z preferencji podmiotu dokonującego analizy. Jeśli punktem odniesienia jest pewien moment w przyszłości to mówimy o przyszłej wartości pieniądza (Future Value FV). Jeśli natomiast bazą porównawczą jest okres prowadzenia rozważao (okres bieżący) to mówimy o obecnej, teraźniejszej, zaktualizowanej, bieżącej wartości pieniądza (Present Value - PV). Określanie przyszłej i bieżącej wartości pieniądza związane jest z dwoma odmiennymi operacjami rachunkowymi: oprocentowaniem i dyskontowaniem. Operacja oprocentowania służy poszukiwaniu przyszłej wartości pieniądze i polega na ustaleniu kwoty do jakiej wzrośnie - po określonym czasie uruchomiony kapitał. Poszukiwanie obecnej (bieżącej) wartości pieniądza na podstawie znajomości jego przyszłej wartości nosi nazwę dyskontowania. Tak więc operacja dyskontowania jest odwrotną w stosunku do oprocentowania. W warunkach gospodarki rynkowej każde działanie wymaga umiejętności przeprowadzenia rachunku jego opłacalności. Umiejętności te są szczególnie przydatne w kontaktach z instytucjami finansowymi, przy dokonywaniu transakcji handlowych o odroczonych terminach płatności. Z tego typu działalnością wiąże się swego rodzaju cena, jaką dłużnik płaci wierzycielowi za 3

korzystanie z jego majątku w uzgodnionym przedziale czasowym. Cena ta jest określana mianem odsetek. Osoby prawne i fizyczne korzystając np. ze środków pieniężnych banków (pożyczek, kredytów itp.) są ich dłużnikami, banki zaś wierzycielami. Osoby te są zatem zobowiązane do płacenia bankom odsetek. Odsetki od udzielanych pożyczek i kredytów pełnią funkcję bodźca ekonomicznego skłaniającego dłużnika do prawidłowej gospodarki finansowej, tj. nieangażowania nadmiernych czy wręcz zbędnych środków. Obywatele lokujący swoje oszczędności w bankach są ich wierzycielami i z tego tytułu otrzymują odsetki. W kontaktach handlowych często występuje sytuacja, w której jedna strona staje się dłużnikiem drugiej i jest zobowiązana do płacenia na jej rzecz odsetek. Odsetki płacone za zwłokę pełnią rolę bodźca do terminowego regulowania zobowiązao. W rachunku odsetkowym biorą udział cztery czynniki: kwota oprocentowana (kapitał K), stopa procentowa zwana też stopą odsetkową (r), kwota odsetek (I) oraz czas oprocentowania (t). Wysokośd odsetek zależy od trzech pozostałych czynników i jest do nich wprost proporcjonalna. Oznacza to, że odsetki stanowią tym większą kwotę, im większe są te czynniki i odwrotnie tym mniejszą, im mniejsze są te czynniki. Stopa procentowa, podobnie jak ceny towarów i usług, ulega zmianom w czasie. Poziom tych zmian jest uwarunkowany m.in. podażą kapitałów i popytem na nie, wysokością inflacji, efektywnością zastosowania kapitału w gospodarce, rozmiarami popytu konsumpcyjnego itp. W Polsce, w pierwszych latach reformy gospodarczej, poziom oprocentowania kapitałów był określany przez bank centralny (NBP). Ustalane i publikowane przez NBP poziomy stopy 4

redyskontowej oraz kredytu refinansowego stanowiły dla banków komercyjnych podstawę do określania własnych stóp procentowych. Obecnie, przy ustalaniu stóp procentowych banki komercyjne wykorzystują własne cele. Celami tymi mogą byd: pozyskanie depozytów od osób fizycznych i prawnych, maksymalizacja własnych dochodów czy też tworzenie bazy dla przyszłej ekspansji. Przy podejmowaniu decyzji dotyczących wysokości stóp procentowych banki komercyjne muszą także uwzględniad działania konkurencji. Ustalenie własnych stóp procentowych przez banki komercyjne jest więc zadaniem o wielu niewiadomych i licznych uwarunkowaniach. Stopy procentowe są nie tylko zmienne w czasie, ale również zróżnicowane w zależności od rodzajów transakcji i warunków ich realizacji. Zróżnicowane stopy procentowe stosowane są zarówno w przypadku udzielanych kredytów, jak też wkładów oszczędnościowych. W przypadku wkładów, najniższa stopa procentowa ustalana jest dla lokat a vista, które mogą byd podejmowane na każde żądanie. Wyższe stopy procentowe oferowane są właścicielom lokat długoterminowych, które banki mogą wykorzystad w transakcjach zarobkowych (np. udzielanie kredytów). Banki w zależności od rodzaju operacji pobierają lub płacą odsetki. Różnica pomiędzy odsetkami pobieranymi a płaconymi określana jest mianem marży odsetkowej. Marża ta stanowi podstawowe źródło dochodów banku. Oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych zależy nie tylko od wysokości stóp procentowych, ale również od sposobu naliczania odsetek. Zasady naliczania odsetek nie są uregulowane ogólnie obowiązującym aktem prawnym, ale wynikają z wieloletniej praktyki. Najogólniej rzecz biorąc, 5

naliczanie odsetek może odbywad się w drodze zastosowania rachunku odsetek prostych (zwykłych) bądź składanych (złożonych). Na podstawie zaprezentowanych definicji można wyróżnid cztery zmienne, które stosuje się do wyznaczania zmiany wartości pieniądza w czasie. Tymi zmiennymi są: PV - wartośd obecna, bieżąca (Present Value) FV - wartośd przyszła (Future Value) t - okres czasu (czas trwania lokaty lub umowy kredytu) r - stopa procentowa Dodatkową zmienną wykorzystywaną przy określaniu zmiany wartości pieniądza w czasie może byd wielkośd odsetek uzyskanych w dowolnym okresie. Tę zmienną oznacza się symbolem I i oblicza jako różnicę między wartością przyszłą, a wartością obecną danej kwoty kapitału: I = FV - PV Odsetki Proste Rachunek odsetek prostych charakteryzuje się tym, że odsetki nalicza się zawsze od tej samej kwoty kapitału. Uzyskane odsetki nie powiększają początkowej kwoty pieniędzy, lecz po naliczeniu są na bieżąco pobierane. Jeżeli np. ulokowano w banku na rok kwotę 1000 zł, to naliczane w kolejnych miesiącach odsetki nie będą powiększały pierwotnej kwoty lokaty, lecz będą np. sukcesywnie wypłacane jej posiadaczowi. Odsetki uzyskane w każdym miesiącu będą miały identyczną wielkośd, pod warunkiem, że obowiązująca stopa procentowa nie ulegnie zmianie. 6

Zarządzanie w przemyśle naftowym i gazowniczym W rachunku odsetek prostych do wyznaczenia zmiany wartości pieniądza w czasie wykorzystuje się następujące wzory: Kwota odsetek uzyskanych w dowolnym okresie: 𝑰 = 𝑷𝑽 𝒓 𝒕 Wartośd przyszła danej kwoty kapitału: 𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 (𝟏 + 𝒓 𝒕) Wartośd obecna danej kwoty kapitału: 𝑷𝑽 = 𝑭𝑽 (𝟏 + 𝒓 𝒕) Wartośd przyszła, gdy stopy procentowe są zmienne 𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 (𝟏 + 𝒓𝟏 𝒕𝟏 + 𝒓𝟐 𝒕𝟐 + + 𝒓𝒏 𝒕𝒏 Stopa procentowa (r) i czas (t) muszą byd zawsze wyrażone dla tych samych okresów czasu, tzn. jeżeli czas trwania lokaty określony jest w miesiącach, to również stopa procentowa musi byd stopą miesięczną. Jeżeli w treści zadania te dwie wielkości nie są wyrażone dla tych samych jednostek czasu, należy je odpowiednio przeliczyd sprowadzając czas trwania do jednostek, w których wyrażona jest stopa procentowa lub odwrotnie stopę procentową do jednostek, w których wyrażony jest czas trwania lokaty. Przykład 1 Ulokowano w banku kwotę 1800 zł. Jaką kwotę odsetek uzyska się po 10 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 9%? Dane: PV = 1800 7

r roczna = 9% t = 10 miesięcy Rozwiązanie Obliczamy miesięczną stopę procentową - r mies = 9% : 12 = 0,75% Obliczamy wielkośd odsetek - I = 1800 * 10 * 0,0075 = 135 Odp. Kwota uzyskanych odsetek wynosi 135 zł Uwaga! Należy pamiętad o prawidłowym zapisie stopy procentowej 0,75% to 0,0075 Bardzo często popełniane są na tym etapie błędy. Przykład 2 Jakiej wielkości kredytu udzielił bank spółce LANCASTER, jeżeli po upływie roku zwrócono kwotę 34 875 zł? Przez pierwsze pięd miesięcy roczne oprocentowanie kredytu wynosiło 18%, a następnie zostało obniżone do 15%. Dane: FV = 34 875 r 1 = 18% r 2 = 15% t 1 = 5 miesięcy t 2 = 12-5 = 7 miesięcy Rozwiązanie Obliczamy miesięczne stopy dyskontowe dla każdego okresu 8

r 1m = 18% : 12= 1,5% r 2m = 15% : 12= 1,25% Obliczamy wielkośd udzielonego kredytu: PV = 34 875 34 875 = = 30 000 1 + 5 0,015 + 7 0,0125 1,1625 Odp. Bank udzielił kredytu w wysokości 30 000 zł Przykład 3 Wyznacz roczne oprocentowanie obligacji, jeżeli wiadomo, że wartośd nominalna jednej obligacji wynosi 1200 zł, a po upływie ośmiu miesięcy można je sprzedad za 1260 zł. Dane: PV = 1200 FV= 1260 t= 8 miesięcy Rozwiązanie Obliczamy kwotę uzyskanych odsetek I = 1260 1200 = 60 Obliczamy stopę procentową: r = I PV t = 60 = 0,625% miesięcznie 1200 8 r roczna = 0,625%*12 = 7,5% Odp. Roczne oprocentowanie obligacji wynosi 7,5% 9

Obecnie w Polsce, a także w wielu krajach Unii Europejskiej obowiązuje podatek dochodowy od zysków kapitałowych. Zmniejsza on wielkośd odsetek otrzymywanych od ulokowanych w bankach pieniędzy zarówno na lokatach terminowych jak i zwykłych rachunkach oszczędnościowo-rozliczeniowych. Podatek ten musi byd więc uwzględniany przy wyznaczaniu zmiany wartości pieniądza w czasie. W rachunku odsetek prostych można to zrobid w dwojaki sposób: Sposób 1. Pomniejszając uzyskane na koniec trwania lokaty odsetki brutto o wielkośd zapłaconego podatku: Odsetki netto w rachunku odsetek prostych I netto = I brutto (1 T) Gdzie: T - stopa podatku dochodowego od zysków kapitałowych Sposób 2. Obliczając faktyczną stopę procentową, czyli stopę procentową uwzględniającą podatek. Wyznacza się ją mnożąc nominalną stopę procentową przez wyrażenie (1 - T): Faktyczna stopa procentowa r f = r n (1 T) Tak wyznaczoną faktyczną stopę procentową wykorzystuje się następnie w obliczeniach 10

Przykład 4 Jaką kwotę netto otrzymasz po pół roku od ulokowanych w banku 2600 zł, jeżeli kwartalna stopa procentowa wynosi 2,5%, a podatek dochodowy od zysków z lokat bankowych jest równy 20%? Dane: PV = 2600 r kwart = 2,5% t = 0,5 roku = 2 kwartały T = 20% Rozwiązanie Sposób 1 Obliczamy kwotę odsetek brutto I brutto = 2600 *0,025*2 = 130 Obliczamy kwotę odsetek netto: I netto = 130*(1-0,2) = 104 Obliczamy wartośd netto lokaty po pół roku FV = 2600 +104 = 2704 Sposób 2 Obliczamy faktyczną stopę procentową r f = 0,025*(1-0,2) = 0,02 = 2% Obliczamy wartośd netto lokaty po pół roku FV = 2600 *(1 + 0,02 * 2) = 2600 * 1,04 = 2704 11

Odp. Wartośd netto lokat po pół roku wyniesie 2704 zł Odsetki Złożone Rachunek odsetek złożonych (inaczej składanych) różni się od rachunku odsetek prostych tym, że naliczone w kolejnych okresach odsetki są kapitalizowane. Oznacza to, że nie są one na bieżąco wypłacane, lecz powiększają pierwotną kwotę kapitału. W tej sytuacji odsetki za kolejny okres wyznacza się od początkowej kwoty kapitału powiększonej o dotychczas uzyskane odsetki. Przykładem rachunku odsetek złożonych może byd odnawialna wraz z odsetkami lokata bankowa. W rachunku odsetek złożonych kwota lokaty lub kredytu będzie wzrastała w szybszym tempie, niż w rachunku odsetek prostych, ponieważ odsetki w kolejnych okresach będą naliczane od coraz wyższej kwoty kapitału. Tempo wzrostu kapitału początkowego zależy od ilości kapitalizacji. Im częściej ma miejsce doliczanie odsetek, tym tempo wzrostu pierwotnej kwoty kapitału będzie szybsze. W praktyce gospodarczej kapitalizacja odsetek następuje najczęściej co miesiąc lub co kwartał. Do wyznaczania zmiany wartości pieniądza w czasie w rachunku odsetek złożonych wykorzystuje się następujące wzory: Odsetki za dany okres trwania lokaty I = PV (1 + r) i 1 r 12

gdzie: i - to dowolny okres trwania lokaty lub kredytu; Wartośd przyszła danej kwoty kapitału: FV = PV (1 + r) t Wartośd obecna danej kwoty kapitału: PV = FV (1 + r) t Wartośd przyszła, gdy stopy procentowe są zmienne: FV = PV (1 + r 1 ) t 1 (1 + r 2 ) t 2 (1 + r n ) t n Stopa procentowa w rachunku odsetek złożonych: r = t FV PV 1 Okres czasu w rachunku odsetek złożonych t = FV log PV log(1 + r) W rachunku odsetek złożonych stopa procentowa i czas muszą byd zawsze wyrażone dla tych samych okresów czasu, w których następuje kapitalizacja odsetek, tzn. jeżeli kapitalizacja ma miejsce co kwartał, to stopa procentowa i czas, przed podstawieniem do wzoru, muszą byd sprowadzone do okresów kwartalnych. Podobnie, jeżeli doliczanie odsetek ma miejsce co miesiąc, to czas i stopę procentową należy wyrazid w jednostkach miesięcznych. Zmienna t w tej sytuacji oznacza jednocześnie czas trwania lokaty lub kredytu oraz liczbę dokonanych kapitalizacji odsetek. 13

Przykład 5 Założono w banku lokatę terminową w wysokości 8000 zł. Jaka będzie wartośd tej lokaty po upływie 9 miesięcy, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 10%, a odsetki naliczane są raz na kwartał? Oblicz wielkośd odsetek uzyskanych w każdym kwartale. Dane: PV = 8000 r roczna = 10% t = 9 miesięcy kapitalizacja kwartalna Rozwiązanie Sprowadzamy stopę procentową i czas do okresu kapitalizacji r kwart = 10% : 4 = 2,5% t kwart = 9 : 3 = 3 Obliczamy wartośd koocową lokaty FV = 8000 (1 + 0,025) 3 = 8615, 13 Obliczamy odsetki uzyskane w każdym kwartale I 1 = 8000 (1 + 0,025) 1 1 0,025 = 200 I 2 = 8000 (1 + 0,025) 2 1 0,025 = 205 I 3 = 8000 (1 + 0,025) 3 1 0,025 = 210, 13 Odp. Po upływie 9 miesięcy kwota lokaty będzie równa 8615,13 zł 14

Przykład 6 Jaką kwotę ulokowano w banku, jeżeli po upływie roku otrzymano kwotę 6901,03 zł? W pierwszym półroczu roczna stopa procentowa wynosiła 11%, a kapitalizacja odsetek była kwartalna, natomiast w drugim roczna stopa procentowa spadła do 9%, a odsetki naliczane były co miesiąc. Dane: FV = 6901,03 r 1roczna = 11% t 1 = 0,5 roku, kapitalizacja kwartalna r 2roczna = 9% t 2 = 0,5 roku, kapitalizacja miesięczna Rozwiązanie Sprowadzamy stopę procentową i czas do okresu kapitalizacji r 1kwart = 11% : 4 = 2,75% t 1 = 2 kwartały r 2mies = 9% : 12 = 0,75% t 2 = 6 miesięcy Obliczamy wartośd początkową lokaty PV = 6901,03 (1 + 0,0275) 2 (1 + 0,0075) 6 = 6901,03 1,10417 = 6250 Odp. W banku ulokowano 6250 zł Podatek od zysków z lokat bankowych może byd uwzględniany w rachunku odsetek złożonych tylko poprzez wyliczenie faktycznej stopy procentowej. W 15

rachunku tym odsetki uzyskiwane w kolejnych okresach trwania lokaty będą najpierw pomniejszane o konieczny do zapłacenia podatek dochodowy, a dopiero później pozostała ich częśd, czyli odsetki netto, powiększy kapitał początkowy. Uzyskana w ten sposób kwota będzie stanowid podstawę do naliczenia odsetek w następnym okresie. Podatek dochodowy w rachunku odsetek złożonych zmniejsza więc tempo przyrostu kapitału, a wielkośd tego zmniejszenia zależy od wysokości samego podatku. Przykład 7 Założono w banku długoterminową lokatę w wysokości 2500 zł oprocentowaną 8% rocznie. Jaką kwotę netto otrzyma się po półtora roku, jeżeli odsetki naliczane są co kwartał, a podatek dochodowy od zysków z lokat bankowych wynosi 20%? Dane: PV = 2500 r roczna = 8% t 1 = 1,5 roku, kapitalizacja kwartalna T= 19% Rozwiązanie Sprowadzamy stopę procentową i czas do okresu kapitalizacji r kwart = 8% : 4 = 2% t = 6 kwartałów Obliczamy faktyczną stopę procentową: r f = 0,02 1 0,2 = 0,016 Obliczamy wartośd koocową lokaty 16

FV = 2500 (1 + 0,016) 6 = 2749,81 Odp. Koocowa wartośd lokaty, po uwzględnieniu podatku wyniesie 2749,81 zł Przykład 8 Założono w banku długoterminową lokatę w wysokości 2500 zł oprocentowaną 8% rocznie. Jaką kwotę netto otrzyma się po półtora roku, jeżeli odsetki naliczane są co kwartał, a podatek dochodowy od zysków z lokat bankowych wynosi 20%? Dane: PV = 2500 r roczna = 8% t 1 = 1,5 roku, kapitalizacja kwartalna T= 19% Rozwiązanie Sprowadzamy stopę procentową i czas do okresu kapitalizacji r kwart = 8% : 4 = 2% t = 6 kwartałów Obliczamy faktyczną stopę procentową: r f = 0,02 1 0,2 = 0,016 Obliczamy wartośd koocową lokaty FV = 2500 (1 + 0,016) 6 = 2749,81 Odp. Koocowa wartośd lokaty, po uwzględnieniu podatku wyniesie 2749,81 zł 17

Kapitalizacja ciągła Ciągła kapitalizacja odsetek jest szczególnym przykładem rachunku odsetek złożonych. Ma ona miejsce wówczas, gdy odsetki naliczane są w każdym momencie trwania lokaty, tzn. cały czas, bez przerwy. Liczba dokonywanych kapitalizacji (m) zmierza w tej sytuacji do nieskooczoności. Wartośd przyszła przy kapitalizacji ciągłej: FV = PV e r t gdzie: liczba e to podstawa logarytmu naturalnego; e = 2,7182818 Wartośd obecna przy kapitalizacji ciągłej: PV = FV e r t Wartośd przyszła, gdy stopy procentowe są zmienne: FV = PV e r 1 t 1 +r 2 t 2 + +r n t n Stopa procentowa przy kapitalizacji ciągłej r = Okres czasu przy kapitalizacji ciągłej: t = ln FV PV t ln FV PV r Przed podstawieniem do wzorów stopa procentowa i czas muszą byd wyrażone dla tych samych okresów czasu, podobnie jak ma to miejsce w rachunku odsetek prostych. 18

Przykład 9 Jaką kwotę ulokowano w banku, jeżeli po 10 miesiącach otrzymano 4311,54 zł? Stopa procentowa, wynosiła 2,25% kwartalnie, a odsetki kapitalizowane były w sposób ciągły? Dane: FV = 4311,54 r kwartalna = 2,25% t = 10 miesięcy, kapitalizacja ciągła Rozwiązanie Wyznaczamy miesięczną stopę procentową: r mies = 2,25% : 3 = 0,75% Obliczamy wartośd początkową lokaty PV = 4311,54 e 10 0,0075=4000,00 Odp. Wartośd początkowa lokaty wyniosła 4000 zł Podatek dochodowy w rachunku odsetek złożonych z ciągłą kapitalizacją uwzględnia się w ten sam sposób, jak w przypadku zwykłych odsetek złożonych, tzn. poprzez wyznaczenie faktycznej stopy procentowej, a następnie podstawienie jej do odpowiedniego wzoru. 19

Przykład 10 Oblicz wielkośd odsetek netto uzyskanych od kwoty 2800 zł ulokowanej na rachunku z ciągłą kapitalizacją odsetek. Czas trwania lokaty jest równy 15 miesięcy, a jej oprocentowanie w pierwszym roku wynosi 2,25% kwartalnie, a w drugim 2% kwartalnie. Podatek dochodowy 20%. Dane: PV = 2800 r 1kwartalna = 2,25% t 1 = 12 miesięcy, kapitalizacja ciągła r 2kwartalna = 2% t 2 = 3 miesiące, kapitalizacja ciągła Rozwiązanie Wyznaczamy faktyczne stopy procentowe: r f1 = 2,25% *(1-0,80) = 1,8% r f2 = 2% *(1-0,80) = 1,6% Obliczamy wartośd przyszłą lokaty: FV = 2800 e 0,018 4+0,016 1 = 3057,51 Obliczamy wielkośd odsetek: I = 3057,51 2800 = 257,51 Odp. Odsetki netto wyniosą 257,51 zł 20

Przepływy pieniężne Przepływem pieniężnym określa się szereg płatności dokonywanych w dowolnej kwocie i w dowolnych odstępach czasu. Przykładem przepływu mogą byd comiesięczne opłaty za telefon komórkowy lub otrzymywane co miesiąc wynagrodzenie za pracę. W zależności od momentu dokonywania płatności wyróżnid można dwa rodzaje przepływów pieniężnych: z dołu i z góry. Przepływy z góry występują wtedy, gdy kolejne płatności dokonywane są na początek każdego okresu. Przepływy z dołu mają natomiast miejsce, gdy poszczególne płatności dokonywane są na koniec każdego okresu. Przepływ pieniężny oznacza się symbolem CF (Cash Flow). Dla grupy przepływów, następujących w dowolnych odstępach czasu i różnej kwocie, wyznaczyd można odpowiednio wartośd przyszłą lub wartośd bieżącą. Aby obliczyd wartośd przyszłą przepływów pieniężnych (FVCF) o różnej wysokości i następujących w różnych okresach, należy je kolejno sprowadzid do wartości w ostatnim okresie i zsumowad. Zasada wyznaczania wartości przyszłej przepływów pieniężnych zostanie przedstawiona na przykładzie. Przykład 10 Przez trzy kolejne lata będziemy otrzymywali następujące kwoty pieniędzy od naszego dłużnika: 500, 400, 600 zł. Zakładając, że stopa procentowa wynosi 10% rocznie i występuje roczna kapitalizacja odsetek, oblicz wartośd przyszłą przepływów pieniężnych, jeżeli są one płatne: a) na początek każdego roku; b) na koniec każdego roku. 21

Dane: CF = 500; 400; 600. t = 3 r = 10% roczna kapitalizacja Odp. Wartośd przyszła otrzymanych od naszego dłużnika kwot wynosi 1810 zł, jeżeli będą one płatne z góry lub 1645, jeżeli będą płatne z dołu. W podobny sposób wyznacza się wartośd obecną przepływów. Przepływy pieniężne następujące w kolejnych okresach należy najpierw zdyskontowad, a 22

otrzymane wartości zsumowad. Mechanizm ten również zostanie zaprezentowany na przykładzie. Przykład 11 Oblicz wartośd obecną przepływów pieniężnych z poprzedniego przykładu. Odp. Wartośd obecna otrzymanych od naszego dłużnika kwot wynosi 1359,51 zł, jeżeli będą one płatne z góry lub 1235,92 zł, jeżeli będą płatne z dołu. 23

Na podstawie otrzymanych wyników można zauważyd, że wartośd przyszła i wartośd obecna przepływów pieniężnych dokonywanych z góry będzie zawsze wyższa niż wartośd tych samych przepływów, ale dokonywanych z dołu. Przykład 11 Pan Tomasz Bogacki zakupił 500 trzyletnich obligacji spółki TERA. Każda obligacja uprawnia go do otrzymania odsetek w wysokośd 10 zł na koniec pierwszego roku, 11 zł na koniec drugiego i 12 zł na koniec trzeciego. Jaka będzie łączna bieżąca i przyszła wartośd odsetek uzyskanych przez pana Bogackiego, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 10% (kapitalizacja jest roczna)? Dane: liczba obligacji = 500 r = 10% odsetki w kolejnych latach = 10; 11, 12 zł płatne z dołu Rozwiązanie: Obliczamy wielkośd przepływów w kolejnych latach: CF 1 = 500 10 = 5000 CF 2 = 500 11 = 5500 CF 3 = 500 12 = 6000 Obliczamy wartośd przyszłą przepływów: FVCF = 5000 (1 + 0,1) 2 + 5500 (1 + 0,1) 1 + 6000 (1 + 0,1) 0 = = 18 100 24

Obliczamy wartośd obecną przepływów: PVCF = 5000 (1 + 0,1) 1 + 5500 (1 + 0,1) 2 + 6000 = 13 598,81 (1 + 0,1) 3 Odp. Wartośd przyszła uzyskanych odsetek od obligacji wynosi 18 100 zł, zaś wartośd obecna 13 598,81 zł Renty Renta jest to szereg płatności dokonywanych zawsze w jednakowej kwocie, w równych odstępach czasu. Jest więc szczególnym przypadkiem przepływów pieniężnych. Płatności dokonywane w ramach rent, podobnie jak w przypadku przepływów, mogą przypadad na początek lub na koniec każdego okresu. W związku z tym wyróżnia się dwa rodzaje rent: renty zwykłe i renty należne. Renty zwykłe inaczej odroczone, składają się z szeregu równych płatności dokonywanych w równych odstępach czasu na koniec każdego okresu. Renty należne składają się z szeregu równych płatności dokonywanych w równych odstępach czasu, ale na początek każdego okresu. W przypadku rent można również wyznaczad ich wartośd przyszłą lub obecną, a do tego celu wykorzystuje się następujące wzory: 25

Wartośd przyszła renty zwykłej gdzie: FVA = A (1 + r)n 1 r A - stała płatnośd dokonywana w ramach renty (annuity) n - liczba dokonanych płatności w ramach renty Wartośd przyszła renty należnej FVA = A (1 + r)n+1 1 r 1 Wartośd obecna renty zwykłej Wartośd obecna renty należnej PVA = A (1 + r)n 1 r (1 + r) n PVA = A (1 + r)n 1 r (1 + r) n 1 Należy zauważyd, że zaprezentowane wzory można stosowad tylko wtedy, gdy spełnione są dwa następujące warunki: stopa procentowa jest stała przez cały okres, a kolejne płatności dokonywane w ramach renty następują w tych samych okresach co kapitalizacja, tzn.: jeżeli płatności mają miejsce co pół roku, to kapitalizacja odsetek musi byd półroczna, jeżeli płatności następują co miesiąc, to kapitalizacja również musi byd miesięczna. Gdy jeden z tych warunków nie jest spełniony renty należy traktowad jako przepływy pieniężne dokonywane w równych kwotach, a wartośd przyszłą lub obecną należy obliczyd, jak dla przepływów pieniężnych. 26

Przykład 12 W nagrodę za bardzo dobre wyniki w nauce bank ufundował roczne stypendium płatne na koniec każdego miesiąca w wysokości 500 zł. Oblicz bieżącą i przyszłą wartośd tego stypendium, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 9%, a odsetki naliczane są co miesiąc Dane: A = 500 r roczna = 9% n = 1 rok = 12 miesięcy Rozwiązanie Obliczamy wartośd przyszłą renty zwykłej FVA = 500 1 + 0,09 12 0,09 12 12 1 = 500 12,50759 = 6253,79 Obliczamy wartośd obecną renty zwykłej 12 1 + 0,09 1 PVA = 500 12 0,09 12 1 + 0,09 12 12 = 500 11,43491 = 5717,46 Odp. Wartośd przyszła stypendium wynosi 6253,79 zł, zaś wartośd obecna 5717,46 zł 27

Przykład 12 Właśnie zakupiłeś nowy zestaw komputerowy za 4500 zł. Sprzedawca zaproponował ci trzy sposoby płatności: A) w trzech równych ratach płatnych na koniec każdego kwartału; B) w czterech równych ratach płatnych na początek każdego kwartału; C) w trzech równych ratach płatnych na początek każdego półrocza; Który sposób płatności jest najatrakcyjniejszy, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 14%, a kapitalizacja odsetek następuje co kwartał? Dane: A = 500 r roczna = 9% n = 1 rok = 12 miesięcy Rozwiązanie Sposób płatności A - Jest to renta zwykła, ponieważ płatności dokonywane są w równych ratach i w tych samych odstępach czasu równych okresowi kapitalizacji, płatności następują z dołu Dane: A = 4500 : 3 = 1500 r roczna = 14%, r kwart = 14% : 4 = 3,5% t - 3 Obliczamy wartośd obecną renty zwykłej 28

PVA = 1500 1 + 0,035 3 1 0,035 1 + 0,035 3 = 1500 2,8016 = 4202, 46 Sposób płatności B - Jest to renta należna, ponieważ płatności dokonywane są w równych ratach i w tych samych odstępach czasu równych okresowi kapitalizacji, płatności następują z góry Dane: A = 4500 : 4 = 1125 r kwart = 14% : 4 = 3,5% t = 4 Obliczamy wartośd obecną renty należnej PVA = 1125 1 + 0,035 4 1 0,035 1 + 0,035 3 = 1125 3,8016 = 4276, 84 Sposób płatności C - Jest to renta należna, ponieważ płatności dokonywane są w równych ratach, i w tych samych odstępach czasu. Kolejne płatności następują jednak rzadziej niż kapitalizacja odsetek. W tej sytuacji nie można zastosowad wzoru na rentę należną, lecz wzór na wartośd obecną przepływów pieniężnych z góry Dane: A = 4500 : 3 = 1500 r kwart = 14% : 4 = 3,5% t = 3 PVCF = 1500 1 + 0,035 0 + 1500 1 + 0,035 2 + 1500 1 + 0,035 4 = = 1500 + 1400,27 + 1307,16 = 4207, 43 Odp. Najatrakcyjniejszy jest sposób płatności A 29

Obok rent zwykłych i należnych występuje jeszcze trzeci rodzaj renty tzw. renta wieczysta. Renta wieczysta zwana inaczej rentą dożywotnią jest to szereg jednakowych płatności dokonywanych bezterminowo, czyli w nieskooczonośd. Przykładem takiej renty mogą byd wypłacane dożywotnio alimenty. W związku z tym, że płatności w ramach renty dożywotniej trwają cały czas, nie można obliczyd jej wartości przyszłej, lecz jedynie jej wartośd obecną. Wartośd obecna renty wieczystej z dołu gdzie: PVP = P 1 r P - kwota wypłacana jako renta wieczysta (perpetuity) Wartośd obecna renty wieczystej z góry PVP = P 1 + r r Przykład 13 Spółka akcyjna LORD płaci co roku za wieczystą dzierżawę nieruchomości 15000 złotych. Oblicz jaka jest dzisiejsza wartośd nieruchomości, jeżeli stopa procentowa wynosi 15% rocznie, a opłaty dzierżawne są wnoszone: A) na koniec każdego roku; B) na początek każdego roku. Dane: P = 15 000 30

r roczne = 15% Rozwiązanie Obliczamy wartośd obecną renty wieczystej z dołu PVP = 15000 0,15 = 100 000 Obliczamy wartośd obecną renty wieczystej z góry PVP = 15 000 (1 + 0,15) 0,15 = 115 000 Odp. Wartośd obecna nieruchomości wynosi 100 000 zł, jeżeli opłaty dzierżawne są wnoszone z dołu lub 115 000 zł, jeżeli opłaty są wnoszone z góry Efektywna stopa procentowa Efektywna stopa procentowa jest to nominalna stopa procentowa uwzględniająca kapitalizację odsetek. Informuje ona o faktycznym wzroście początkowego kapitału. Jeżeli kapitalizacja odsetek ma miejsce raz w roku to efektywna stopa procentowa będzie równa stopie nominalnej. W przypadku częstszej kapitalizacji odsetek, efektywna roczna stopa procentowa będzie wyższa od rocznej stopy nominalnej. Efektywną stopę procentową wykorzystuje się najczęściej do porównywania lokat oferowanych przez banki lub instytucje finansowe, a różniących się między sobą nominalną stopą procentową oraz częstotliwością kapitalizacji odsetek. W ten sposób można wybrad lokatę, która jest najbardziej opłacalna. Do przeliczania stóp nominalnych na efektywne i odwrotnie wykorzystuje się wzory zaprezentowane poniżej. 31

Roczna efektywna stopa procentowa r ef = (1 + r n ) t 1 gdzie: r n - nominalna stopa procentowa dla okresu czasu w którym dokonuje się kapitalizacji t - liczba kapitalizacji dokonywanych w ciągu roku Roczna efektywna stopa procentowa dla kapitalizacji ciągłej, gdy znamy nominalną roczną stopę procentową r ef = e r n 1 Nominalna roczna stopa procentowa, gdy znamy efektywną roczną stopę procentową r n = t t 1 + r ef 1 Nominalna roczna stopa procentowa, przy kapitalizacji ciągłej, gdy znamy efektywną roczną stopę procentową r n = ln 1 + r ef Przykład 14 Wyznacz efektywne roczne oprocentowanie lokaty bankowej, jeżeli nominalna roczna stopa procentowa wynosi 12%, a odsetki naliczane są: A) co kwartał B) co miesiąc C) w sposób ciągły Dane: r n = 12% kapitalizacja odpowiednio: kwartalna, miesięczna, ciągła 32

Rozwiązanie Obliczamy roczne efektywne oprocentowanie lokaty kapitalizowanej kwartalnie r ef = 1 + 0,12 4 4 1 = 0,1255 = 12, 55% Obliczamy roczne efektywne oprocentowanie lokaty kapitalizowanej miesięcznie r ef = 1 + 0,12 12 12 1 = 0,1268 = 12, 68% Obliczamy roczne efektywne oprocentowanie lokaty kapitalizowanej w sposób ciągły r ef = e 0,12 1 = 0,1275 = 12, 75% Odp. Efektywne roczne oprocentowanie lokaty wynosi 12,55%, w przypadku kapitalizacji kwartalnej, 12,68% w przypadku kapitalizacji miesięcznej oraz 12,75% w przypadku kapitalizacji ciągłej. Przykład 15 Wyznacz nominalną roczną stopę procentową, jeżeli: A) efektywna roczna stopa procentowa przy kapitalizacji dwumiesięcznej wynosi 10,155% B) efektywna roczna stopa procentowa przy kapitalizacji ciągłej wynosi 9,144% Rozwiązanie A) Obliczamy roczną nominalną stopę procentową 6 r n = 6 1 + 0,10155 1 = 6 1,01625 1 = 9, 75% Odp. Roczna nominalna stopa procentowa wynosi 9,75% 33

B) Obliczamy roczną nominalną stopę procentową r n = ln 1 + 0,09144 = 8, 75% Odp. Roczna nominalna stopa procentowa wynosi 8,75%. Na wielkośd efektywnej stopy procentowej wpływ ma również podatek od zysków kapitałowych. W związku z tym wyznaczyd można faktyczną efektywną stopę procentową, która będzie uwzględniad nie tylko efekt kapitalizacji, ale również podatek dochodowy od lokat bankowych. Obliczenie efektywnej faktycznej stopy procentowej polega na wyznaczeniu najpierw faktycznej stopy procentowej, a następnie uwzględnieniu jej w odpowiednich obliczeniach Przykład 16 Wyznacz półroczną faktyczną efektywną stopę procentową jeżeli stopa nominalna wynosi 9% rocznie, kapitalizacja odsetek następuje co miesiąc, a stopa podatku jest równa 20%: Dane: r n = 9% rocznie = 0,75% miesięcznie t = 6 T = 20% Rozwiązanie Obliczamy faktyczną nominalną miesięczną stopę procentową r f = 0,0075 1 0,2 = 0,006 = 0,6% Obliczamy półroczną faktyczną efektywną stopę procentową r ef = 1 + 0,006 6 1 = 1,0365 1 = 0,0365 = 3,65% Odp. Półroczna faktyczna efektywna stopa procentowa wynosi 3,65% 34

Rzeczywista roczna stopa oprocentowania dla kredytu konsumenckiego Rzeczywistą roczną stopę oprocentowania, wyrażoną w postaci rocznej stopy procentowej kwoty udzielonego kredytu, można obliczyd zgodnie z następującym wzorem: gdzie: m k=1 P k 1 + i t = W j k 1 + i t j n j =1 k - numer kolejnej wypłaty raty kredytu; j - numer kolejnej spłaty kredytu lub kosztów; P k - kwotę k-tej wypłaty raty kredytu; W j - kwotę j-tej spłaty kredytu lub kosztów; m - numer ostatniej wypłaty raty kredytu; n - numer ostatniej spłaty kredytu lub kosztów; t K -okres, wyrażony w latach lub ułamkach lat, między pierwszą wypłatą i kolejnymi wypłatami; t j - okres, wyrażony w latach lub ułamkach lat, między pierwszą wypłatą kredytu i kolejnymi spłatami kredytu lub kosztów,; i -rzeczywistą roczną stopę oprocentowania. Przykład 17 Kwota pożyczki wynosi 1.000 euro w dniu 1 stycznia 1994 r., zaś raty spłacone przez pożyczkobiorcę wynoszą: po 3 miesiącach (0,25 roku lub 90 dni) - 272 euro po 6 miesiącach (0,5 roku lub 181 dni) - 272 euro 35

po 12 miesiącach (1 rok lub 365 dni) - 544 euro Rozwiązanie Równanie przybiera postad: 1000 = 272 1 + i 90 365 + 272 1 + i 181 365 + 544 1 + i 365 365 Po rozwiązaniu równania otrzymujemy i = 13,23% Odp. Rzeczywiste roczne oprocentowanie pożyczki wynosi 13,23% Spłata długu w ratach kapitałowych o stałej wysokości Jednym ze sposobów spłaty kredytu jest ustalenie równych rat regulowanych w czasie zgodnym z terminami, dla których ustalono stopę procentową. Dług zostaje spłacony, jeśli suma spłaconych w określonym przedziale czasowym rat jest równa zaciągniętej kwocie (wraz z należnymi z tytułu użytkowania wypożyczonego kapitału odsetkami). Każdy kredyt wiąże się ze spłatą rat pożyczonego kapitału i należnych odsetek (ewentualnie innych umownych opłat, np. prowizji). Niech S oznacza kwotę zaciągniętego kredytu oprocentowanego według nominalnej stopy procentowej r. Kredyt ma byd spłacony w N ratach, których wysokośd jest stała w każdym terminie spłaty. Oprócz rat należy jeszcze płacid odsetki za określony okres procentowy. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, wysokośd raty T przypadającej na okres procentowy wynosi: T = S N 36 (2.2)

Kwota pozostałego do spłaty kredytu po n (n = 1,2..., N) okresach procentowych jest równa: S n = S 1 n N Wysokośd odsetek należnych w każdym n-tym okresie procentowym kształtuje się następująco: O n = S 1 n 1 N r Łączna rata składająca się z dwóch składników: raty kapitałowej (T) oraz wysokości należnych odsetek (O) nosi nazwę kwoty płatności (A). Kwota płatności w każdym okresie spłaty jest wielkością zmienną, A n = S 1 + N n + 1 r N Łączna kwota wydatków jakie należy ponieśd na obsługę odsetek w całym okresie trwania kredytu jest sumą wydatków odsetkowych w poszczególnych okresach procentowych, czyli: O = S r N + 1 2 Przykład 18 Pewien przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości 2000 zł, który jest Oprocentowany według nominalnej stopy procentowej 36%. Kredyt ten należy spłacid w ciągu 4 lat w ratach o stałej wysokości płatnych na koniec każdego roku. Obliczyd: 37

a) roczne raty spłaty b) roczne raty spłaty c) łączną kwotę odsetek za cały okres spłaty d) kwotę płatności w każdym roku trwania kredytu Obliczamy ratę kapitałową: T = 2000 4 = 500 Obliczamy kwotę odsetek uiszczanych w każdej racie: O 1 = 2000 1 1 1 4 O 2 = 2000 1 2 1 4 O 3 = 2000 1 3 1 4 O 4 = 2000 1 4 1 4 Łączna suma odsetek wynosi 1800 zł 0,36 = 720 0,36 = 540 0,36 = 360 0,36 = 180 Obliczamy kwoty płatności: A 1 = 500 + 720 = 1220 A 2 = 500 + 540 = 1040 A 3 = 500 + 360 = 860 A 4 = 500 + 180 = 680 38

Spłata długu w stałych kwotach płatności Kredyt w wysokości S może byd spłacony w N ratach w równych kwotach płatności A. Podstawowym zadaniem jest tu ustalenie wysokości stałej kwoty płatności A, składającej się z dwóch składników: raty kapitałowej T i odsetek O, Raty kapitałowe i odsetki w każdym okresie procentowym są wielkościami zmiennymi, natomiast kwota płatności A zgodnie z przyjętym założeniem jest stała. Stała kwota płatności jest równa A = S q N q 1 q N 1 q = 1 + r Kwotę pozostałego do spłacenia kredytu po n ratach w tym sposobie spłaty kredytu oblicza się następująco: S n = S q n A qn 1 q 1 W każdej kwocie płatności oprócz raty kapitałowej zawarte są odsetki. Ich wysokośd w n-tej racie wyznacza się na podstawie stanu zadłużenia na początku n-tego okresu, który jest równoważny stanowi zadłużenia na koniec n 1 okresu: O n = S n 1 r 39

Rata kapitałowa zawarta w n-tej kwocie płatności jest różnicą między kwotą płatności a odsetkami (lub różnicą między stanem zadłużenia na początku i koocu n-tego okresu): T n = A O n = S n 1 S n Łączna kwota odsetek związana z obsługą zaciągniętego długu jest równa: O = S N q N q 1 q N 1 1 Przykład 19 Sporządzid plan spłaty kredytu w wysokości 9000 zł, oprocentowanego nominalną stopą procentową 36%. Kredyt ten ma byd spłacony w trzech równych kwotach płatności Rozwiązanie W pierwszym kroku obliczamy stałą kwotę płatności: A = 9000 (1 + 0,36) 3 0,36 1,36 3 = 5377, 97 1 Kwoty pozostałego do spłacenia długu wynoszą: S 1 = 9000 (1,36) 1 5377,97 1,361 1 0,36 S 2 = 9000 (1,36) 2 5377,97 1,362 1 0,36 S 3 = 9000 (1,36) 3 5377,97 1,363 1 0,36 = 6862, 03 = 3954, 39 = 0 Odsetki w każdej kwocie płatności są równe: O 1 = 9000 0,36 = 3240,00 O 2 = 6862,03 0,36 = 2470,33 40

O 3 = 3954,40 0,36 = 1423,58 Suma odsetek jest równa: O = 7133,91 Raty kapitałowe są równe: T 1 = 5377,97 3240 = 3137,97 T 2 = 5377,97 2470,33 = 2907,64 T 3 = 5377,97 1423,58 = 3954,39 41