www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera
Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty MWOR mnożnik wartości obecnej renty FV (Future value) wartość przyszła PV (Present value) wartość obecna A wartość jednego regularnego przepływu (renty) r stopa roczna m ilość okresów w roku (np. jak kapitalizacja kwartalna to m = 4) n liczba lat Uwaga na egzaminie jest bardzo mało czasu więc trzeba przerobić kilkadziesiąt zadań aby potem automatycznie rozwiązywać zadania. Mnożniki bardzo ułatwiają życie i trzeba się z nimi zaprzyjaźnić Przedstawię jak należy posługiwać się mnożnikami aby obliczyć wartość przyszłą/bieżącą renty/pojedynczego przepływu. Wartość przyszła - kapitalizacja roczna FV = PV x MWP - kapitalizacja składana FV = PV x MWP r/m nxm Wartość bieżąca - kapitalizacja roczna PV = FV x MWO - kapitalizacja składana PV = FV x MWO r/m nxm Wartość przyszła renty - płatna z dołu (np. kredyt) FV = A x MWPR r/m nxm - płatna z góry (np. depozyt) FV = A x MWPR r/m nxm x (1 + ) Wartość bieżąca renty - płatna z dołu (np. kredyt) PV = A x MWOR r/m nxm - płatna z góry (np. depozyt) PV = A x MWOR r/m nxm x (1 + ) Renta wieczysta PV = 1
Kredyt Spłata kredytu w równych ratach łącznych A=Px i= Aby lepiej zrozumieć zastosowanie pierwszego wzoru rozwiążemy zadanie 35 z egzaminu 25 marca 2012 i= = 001 teraz podstawiamy dane do pierwszego wzoru 6617 = P x P = 74475 UWAGA istnieje znacznie szybszy sposób niż podstawianie do tego wzoru. Tak naprawdę wyrażenie 6617 = P x to odwrotność MWOR więc można zastąpić 2 ; czyli wtedy
Spłata kredytu w równych ratach kapitałowych Ik = Pk-1 x i Ik odsetki płacone z k-ratą Aby lepiej zrozumieć zastosowanie wzoru rozwiążemy zadanie 95 z egzaminu 25 marca 2012 i = = 0045 I45 = P44 x i po podstawieniu danych 1575 = P44 x 0045 P44 = 35000 Czyli obliczyliśmy od jakiej kwoty zostały obliczone odsetki w wysokości 1575 zł. Z zadania wiemy że to kredyt spłacany w równych ratach kapitałowych więc żeby wyznaczyć kwartalną ratę wystarczy 35000/28 = 1250 Dlaczego dzielimy przez 28? Bo do spłaty kredytu zostały jeszcze 28 raty (72-44). Jeśli cały kredyt jest spłacany w 72 ratach to wysokość kredytu wynosi 1250 x 72 = 90000 Obliczanie efektywnej rocznej stopy procentowej refektywne = (1+i) m - 1 Bank oferuje 3 letni kredyt w wysokości 3754040 zł. Równe raty kapitałowo odsetkowe w wysokości 4000 zł płatne są na koniec kwartału. O ile punktów procentowych efektywna roczna stopa procentowa jest wyższa od stopy nominalnej? PV = A x MWOR po podstawieniu danych z zadania 3754040 = 4000 x MWOR (i 12) MWOR (i 12) = 93851 w tym momencie odszukujemy w tablicach dla jakiego i MWOR wynosi 93851 dla 12 okresów. Z tablic odczytujemy i=4% więc r = 16% I teraz obliczany efektywną (1+004) 4 1 = 1699% Więc różnica pomiędzy efektywną roczną a nominalną roczną (r) wynosi 099% 3
Bony pieniężne P = P cena bonu r wymagana stopa dochodu t liczba dni do wykupu N liczna dni w roku (zazwyczaj 360) stopa rentowności bonu skarbowego r = x! Obligacje P (cena) = "#$"ł&'& # ()*+-. Zadanie 1 Cena nominalna obligacji wynosi 100 zł odsetki wypłacane co pół roku w wysokości 10 % stopa procentowa 8 %. Oblicz cenę obligacji. przepływ z obligacji: 100 x 005 = 5 r za okres półroczny = 004 P = + + + () () / () 0 P = 10363 zależność pomiędzy stopą rentowności a stopą dyskonta = 2 4
D (duration) miara ryzyka stopy procentowej Właściwości Obligacje o dłuższych terminach do wykupu oraz obligacje o niższym niższym oprocentowaniu charakteryzują się większą wrażliwością na zmianę stopy dochodu. - im wyższe oprocentowanie tym niższe duration - im dłużej do terminu wykupu tym wyższe duration - im wyższa stopa dochodu tym niższe duration duration Macaulaya 35 4= 7 8 9:;<? => zmodyfikowane duration d = @A x 2< @A? wskaźnik duration wyrażony w latach 34 = => c (wypukłość) cm = x x c=! B! -C jak obliczyć o ile zmieni się cena jeśli stopa zmieni się o jednostkę? 2$*! = - d x delta r + c x =DEFG H Zrobimy to na danych z zadania 119 z egzaminu 27 marca 2011 Z danych zadania: d = 772 teraz wystarczy podstawić do wzoru 2$*! c = 7476 2$*! delta r = 002 = - 772 x 002 + x 7446 x 002 = - 01394 5