Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n) przyjmują wartości zespolone, to funkcję tę nazywamy wielomianem zespolonym Stopień wielomianu f oznaczamy jako deg f ang degree) 1 Miejsca zerowe wielomianu Każdą liczbę s 0 C dla której f s 0 ) = 0 nazywamy miejscem zerowym zerem, pierwiastkiem) wielomianu f Łatwo wykazać, że każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty Prawdziwe jest również, dużo trudniejsze do wykazania, następujące wielo- Twierdzenie 1 Podstawowe twierdzenie algebry, Gauss 1799) Każdy mian zespolony) dodatniego stopnia ma miejsce zerowe Twierdzenie to w połączeniu z poniższym twierdzeniem tzw twierdzeniem Bézout; nie jest ono autorstwa Bézout, ale pod taką nazwą jest znane) odgrywa kluczową rolę w wielu działach matematyki Twierdzenie Twierdzenie Bézout) Jeżeli s 0 jest pierwiastkiem wielomianu f oraz degf > 0, to wielomian ten dzieli się bez reszty przez wielomian s s 0 ; wielomian f można wówczas zapisać w postaci f s) = s s 0 )gs), gdzie g jest pewnym wielomianem stopnia degf 1 Z powyższych twierdzeń wynika, że każdy wielomian stopni > 0 ma dokładnie n pierwiastków licząc z krotnościami); oznaczając te pierwiastki przez s 1,,s n, wielomian 1) możemy zapisać w postaci iloczynowej f s) = s s 1 ) s s n ) ) 15
Wzory Viète a Przykład 1 Rozważmy wielomian f s) = s 4 +1 Jego pierwiastkami są liczby s 0 = i,s 1 = + i,s = i,s = + i; postać iloczynowa wielomianu f to ) f s) = s+ + i s+ ) ) ) i s + i x i Jeżeli f jest wielomianem rzeczywistym, to dla dowolnej liczby s C mamy f s) = f s); oznacza to między innymi, że jeżeli liczba zespolona jest zerem wielomianu rzeczywistego, to liczba do niej sprzężona również Z twierdzenia Bézout wynika więc, że jeżeli s 0 jest zespolonym nierzeczywistym pierwiastkiem wielomianu f to wielomian ten dzieli się bez reszty przez trójamian kwadratowy s s 0 )s s 0 ) = s Res 0 )s+ s 0 : f s) = s Res 0 )s+ s 0 ) gs), gdzie g jest pewnym wielomianem, takim że degg = degf W przypadku gdy wielomian 1) jest rzeczywisty, każde dwa czynniki jego rozkładu ) zawierające pierwiastki parami sprzężone, tj s s i oraz s s i, mogą zostać wymnożone Otrzymamy wówczas rozkład dowolnego wielomianu rzeczywistego na iloczyn wielomianów rzeczywistych stopnia pierwszego oraz trójmianów kwadratowych nierozkładalnych tzn o ujemnym wyróżniku): f s) = s s 1 ) l1 s s m ) lm s +α 1 s+β 1 ) k1 s +α r s+β r ) kr, gdzies i Ri = 1,,m);α i,β i Ri = 1,,r);degf = l 1 ++l m +k 1 ++k r ) Przykład Rozważmy ponownie wielomian f s) = s 4 + 1 Rozkład tego wielomianu na iloczyn wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej dwa uzyskamy z jego postaci iloczynowej: f s) = s 4 +1 = = s+ + s + s+1 Wzory Viète a ) ) i s+ i s ) s ) s+1 ) ) + i s i Niech f będzie wielomianem rzeczywistym lub zespolonym) stopni > 0 postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0 = s s 1 ) s s n ) Poniższe wzory Viète a ustalają związki pomiędzy współczynnikami wielomianu f, a jego pierwiastkami: s 1 +s + +s n 1 +s n = 1 s 1 s + +s 1 s n +s s + +s s n + +s n 1 s n = s 1 s s n = 1) n a 0 16
Równania algebraiczne Przykład Rozważmy układ równań x+y z = 1 xy xz yz = 1 xyz = 1 Wprowadzając pomocniczą niewiadomą w = z otrzymujemy układ równoważny postaci x+y +w = 1 xy +xw +yw = 1, xyw = 1 którego rozwiązaniami, na podstawie wzorów Viète a, są pierwiastki wielomianu s s +s +s+1 Ponieważ s +s +s+1 = s s+1)+s+1 = s +1 ) s+1) = s+i)s i)s+1), zatem poszukiwaną trójką rozwiązań x, y, w) jest każdy z elementów: 1,i, i), 1, i,i),i, i, 1), i,i, 1),i, 1, i), i, 1,i) Uwzględniając, że z = w, rozwiązania x, y, z) wyjściowego układu tworzą poniższe trójki: 1,i,i), 1, i, i),i, i,1), i,i,1),i, 1,i), i, 1, i) Równania algebraiczne Równanie postaci x n + 1 x n 1 ++a 1 x+a 0, = 0, 0 ) nazywamy równaniem algebraicznym stopni Zauważmy, że równanie ) jest uogólnieniem równania z n = c, którego rozwiązanie było treścią poprzedniego wykłady zob podrozdział ) Ponieważ lewą stronę równania ) można sprowadzić do postaci iloczynowej ), wnioskujemy, że równanie ) m rozwiązań liczonych z krotnościami) 1 Równania algebraiczne stopnia pierwszego Dl = 1 jedynym rozwiązaniem równania ) jest x 0 = a 0 a 1 Równania algebraiczne stopnia drugiego Dl = lewą stronę rówanania ) możemy sprowadzić do postaci kanonicznej a x +a 1 x+a 0 = a x+ a ) 1 a 1 +a 0 = a x+ a ) 1 a 1 4a a 0 a 4a a 4a W przypadku, gdy wyróżnik = a 1 4a a 0 jest rzeczywisty i nieujemny, rozwiązania równania ) możemy wyrazić w postaci x 1 = a 1 a 1 4a a 0, x = a 1 + a 1 4a a 0 a a 17
Równania algebraiczne Jeżeli wyróżnik = a 1 4a a 0 jest ujemny rozwiązania te przyjmują postać x 1 = a 1 i 4a a 0 a 1, x = a 1 +i 4a a 0 a 1 a a W ogólnym przypadku, przyjmując = {δ, δ} mamy x 1 = a 1 δ a, x = a 1 +δ a Równania algebraiczne stopnia trzeciego Aby uzyskać ogólne wzory na rozwiązania równania algebraicznego stopnia trzeciego wygodnie jest przyjąć, nie tracąc ogólności, że a = 1 : x +a x +a 1 x+a 0 = 0 4) Dokonując podstawienia x = y a równanie 4) przekształcamy do postaci 0 = y a ) +a = y + a 1 a y a ) +a1 y a ) +a 0 y 9a 1a 7a 0 a 5) 7 Przyjmując p = a 1 a,q = 9a 1a 7a 0 a 7 otrzymujemy równanie y +yp q = 0, 6) które, po dokonaniu kolejnego podstawienia y = z p z, prowadzi do równania z ) qz 1 7 p = 0, które jest równaniem algebraicznym stopnia drugiego względem niewiadomej w = z w qw 1 7 p = 0 Równanie to potrafimy już rozwiązać uzyskując poszukiwane rozwiązania dowolnego równania algebraicznego stopnia trzeciego tzw wzory Cardano Przykład 4 Wyznaczymy pierwiastki wielomianu f x) = x 6x + 18x 18 Dokonując podstawienia x = y + otrzymujemy 0 = f y +) = y +) 6y +) +18y +) 18 = y +6y + Ponieważ p = 6, q =, zatem wprowadzając kolejną zamianę zmiennychy = z z, otrzymujemy 0 = z z) +6 z ) + = z 8 z z + = z z 6 +z 8 ) 18
Oznacza to, że pierwiastki wyjściowego wielomianu znajdziemy wyznaczając zera wielomianu z z 6 +z 8 Podstawiając w = z otrzymujemy skąd 0 = w +w 8 = w +1) 9 = w )w +4), z = 0 z +4 = 0 Mamy kolejno 0 = z = z ) z + z + ) 4 = z ) z + 1 1 +i ) 4 z + 1 0 = z +4 = z + ) 4 z 4z + ) 16 = z + ) 4 z 1 1 4 i ) 16 z 1 1 i ) 4 1 4+i ) 16 Dla każdego z sześciu wyznaczonych powyżej pierwiastków z wyliczamy kolejno wartości y = z z, astępnie x = y + Otrzymujemy sześć pierwiastków x 1 = 4+, x, = 1 x 4 = 4+, x 5,6 = 1 ) 1 1 1 4 +±i + 4, ) 1 1 1 4 +±i + 4 Zauważmy na koniec, że pierwiastki x 1,x,x równe są odpowienio pierwiastkom x 4,x 5,x 6 Ponieważ wyjściowy wielomian był stopnia trzeciego więc jego trzy różne zera to x 1,x,x 4 Równania algebraiczne stopnia czwartego Podobnie jak w przypadku równań algebraicznych stopnia pierwszego, drugiego i trzeciego, istnieją ogólne wzory uzyskane przez Ferrari, opublikowane przez Cardano w Artis Magnae 1 w 1545 r) pozwalające wyznaczać analityczną postać dowolnego równania stopnia czwartego 5 Równania algebraiczne stopni 5 Dla równań algebraicznych stopni 5 wykazano, że podanie ogólnych wzorów na ich rozwiązania wykorzystujących wyłącznie działania dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz pierwiastkowanie nie jest możliwe prace Abela, Ruffiniego, Galois a)! Ciekawostka Liczba będąca rozwiązaniem równania algebraicznego o całkowitych współczynnikach nazywana jest liczbą algebraiczną Na przykład, jako rozwiązanie równania s, jest liczbą algebraiczną; z kolei liczby π, e czy nie są liczbami algebraicznymi dowody ich niealgebraiczności są bardzo trudne) Zbiór wszystkich liczb algebraicznych a jest ich przeliczalnie wiele), z naturalnymi działaniami dodawania oraz mnożenia liczb, tworzy ciało 1 Dzieło to, obok dzieła M Kopernika De revolutionibus orbium coelestium oraz A Wezaliusza De humani corporis fabrica uznawane jest zajważniejsze dzieło naukowe doby renesansu