Matematyka finansowa DSFRiU (niestacjonarne)

Matematyka finansowa DSFRiU (niestacjonarne) notatki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania Podręczniki 1. M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2013 2. M. Szałański, Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe Wydziały Zarządzania UW, Warszawa 2008 3. K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje, PWN, Warszawa 2011 4. E. Nowak (red.), Matematyka i statystyka finansowa, Warszawa 1997 5. M. Szałański, Matematyka finansowa wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Naukowe Wydziału Zarządzania UW, Warszawa 2003 6. http://www.knf.gov.pl/images/wprowadzenie%20do%20inwestycji%20finansowych tcm75-17592.pdf Pojęcie podstawowe Inwestycja rezygnacja z bieżącej konsumpcji na rzecz przyszłych i niepewnych korzyści. Inwestycje finansowe to inwestycje, których przedmiot inwestycji ma charakter niematerialny (tzw. instrument finansowy). Najważniejszymi cechami inwestycji finansowych są: dochód różnica między wartością końcową, a wartością początkową inwestycji. Miarą dochodu jest stopa rentowności (stopa zwrotu, stopa dochodu); ryzyko możliwość osiągnięcia wyniku inwestycji innego niż oczekiwany; płynność możliwość zamiany przedmiotu inwestycji, na gotówkę w krótkim okresie po oczekiwanej cenie. Instrument finansowy kontrakt zawierany między dwiema stronami określający zależność finansową, w której obie strony pozostają. instrumenty dłużne (wierzycielskie) jedna strona kontraktu pożycza kapitał drugiej stronie, zaś druga strona zobowiązuje się zwrócić dług i zapłacić odsetki (lokaty, kredyty); instrumenty udziałowe (własnościowe) jedna strona kontraktu sprzedaje drugiej stronie prawo własności przedsiębiorstwa (akcje); 1

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 2 instrumenty pochodne (terminowe) dwie strony określają transakcję, do której może lub musi dojść w przyszłości między tymi stronami (opcje 1, kontrakty terminowe 2 ). Kapitał początkowy kapitał, który generuje odsetki. Odsetki to korzyść z kapitału (zapłata za udostępnienie środków finansowych). Odsetki stają się kapitałem dopiero po kapitalizacji, przedtem nie procentują. Kapitał końcowy kapitał początkowy wraz z odsetkami. Czas oprocentowania czas, w którym są generowane odsetki. Okresowa stopa procentowa stosunek odsetek do kapitału, który je wygenerował w ustalonym okresie. Zwykle wyrażamy ją w procentach (a więc pomnożone przez 100%) ale w obliczeniach oczywiście jest ułamkiem (oznaczamy tym samym symbolem). Okres kapitalizacji okres, po upływie którego odsetki, które narosły, doliczane są do depozytu, podlegając oprocentowaniu i zwiększając tym samym dochód inwestora. Standardowe oznaczenia F V (ang. future value) kapitał końcowy, wartość końcowa inwestycji; I (ang. interest) odsetki; P V (ang. present value, principal) kapitał początkowy, wartość początkowa inwestycji; i, r (ang. interest rate) stopa procentowa, stopa zwrotu, stopa rentowności; n liczba okresów kapitalizacji. Rachunek czasu W obliczaniu odsetek trzeba obliczać okresy czasu. Najważniejsze rachunki dotyczą określania liczby dni między określonymi datami i zamiana liczby dni na liczbę lat. W praktyce stosuje się dwie miary: kalendarzową (miesiąc ma 31, 30 lub 28/29 dni, rok ma 365 lub 366 dni) i bankową (miesiące mają po 30 dni, rok ma 360 dni). Nie liczy się pierwszego dnia (np. dnia wpłaty na konto) ale liczy się dzień ostatni (np. dzień wypłaty z konta). Reguła bankowa obliczamy liczbę dni kalendarzowych i dzielimy przez liczbę dni w roku bankowym (korzystniejsza dla wierzyciela, czyli banku udzielającego kredytu). Przykład. Ile lat (według reguły bankowej) minie od 20 lutego 2012 do 18 maja 2014? Obliczenia liczby dni dokonujemy dzieląc czas na pełne miesiące i uzupełniając je dwoma miesiącami niepełnymi na początku i końcu okresu. obliczenia kalendarzowe: od 20 lutego 2012 do 1 marca 2012 9 dni, od 1 marca 2012 do 1 marca 2014 dwa lata 365 + 365 = 730 dni, marzec 31 dni, kwiecień 30 dni i uzupełnienie maja 2014 18 dni czyli razem 818 dni, co daje 818/365 2,241 lat. obliczenia bankowe: niepełny luty: 30 20 = 10, 26 miesięcy po 30 dni: 26 30 = 780 i niepełny maj 18, razem 10 + 780 + 18 = 808 dni. Liczba lat bankowych: 808/360 = 2,244. 1 instrument pochodny o niesymetrycznym profilu wypłaty umowa dająca nabywcy opcji prawo, a wystawcy (sprzedającemu) obowiązek kupna/sprzedaży określonej ilości instrumentu bazowego w określonym terminie i po z góry ustalonej cenie 2 instrumenty pochodne o symetrycznym profilu wypłaty umowa zobowiązująca kupującego oraz sprzedającego (wystawcę) do zawarcia transakcji kupna/sprzedaży instrumentu bazowego w określonym czasie i po ustalonej cenie.

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 3 reguła bankowa: Liczba dni taka sama jak w obliczeniach kalendarzowych. Zatem liczba lat w regule bankowej: 818/360 = 2,272. Zadanie 1. Ile dni (a) kalendarzowych (b) bankowych upłynęło między 8 marca a 28 września 2014 roku, a ile upłynie między 10 stycznia a 20 maja 2016 roku? 1. Procent prosty Najprostszy sposób wyznaczenia stopy dochodu (stopy zwrotu z inwestycji finansowej), gdy inwestycja trwała n okresów jest obliczenie stosunku odsetek do kapitału początkowego i podzielenie tego stosunku przez liczbę okresów: r = F V P V. np V Prowadzi to do modelu oprocentowania prostego (odsetki nie są doliczane do kapitału, a więc nie generują odsetek). Zasada oprocentowania prostego Procent (odsetki) oblicza się od kapitału początkowego proporcjonalnie do długości czasu oprocentowania. Oprocentowanie proste stosuje się w bankowych transakcjach krótkoterminowych (poniżej jednego roku), poza sferą bankową niezależnie od czasu oprocentowania, do analizy transakcji z dyskontem handlowym. Z zasady oprocentowania prostego wynika, że odsetki w okresie n lat (które zależą od rocznej stopy procentowej i kapitału początkowego) można przedstawić jako: I n = P V rn. Stąd kapitał końcowy F V = P V + I n = P V + P V rn i model oprocentowania prostego (równanie wiążące cztery podstawowe wielkości) ma postać: F V = P V (1 + nr). Z tych wzorów można obliczyć wszystkie cztery wielkości ( klasyczne zagadnienia procentu prostego ): F V = P V (1 + nr), P V = F V 1 + nr, n = 1 ( ) F V r P V 1, r = 1 ( ) F V n P V 1. Jeżeli dany jest kapitał końcowy F V to kapitał początkowy nazywamy zdyskontowaną wartością kapitału czyli kapitał jaki trzeba złożyć by przy stopie procentowej r uzyskać wartość F V po n okresach kapitalizacji. Przykład. Mam zamiar wygrać jutro w Lotto 2 mln. zł i chcę ulokować je w banku na procent aby odsetki wydać na wakacjach za pół roku. (a) Bank oferuje stopę roczną 4,4%. Ile razem będę mógł wydać na wakacjach? F V = 2 000 000(1 + 0,044 0,5) = 2 044 000. (b) W tych samych warunkach chcę uzyskać kwotę 2 100 000 zł ile muszę włożyć na lokatę (wygrana plus dopłata)? 2 100 000 P V = 2 054 794,52. 1 + 0,044 0,5

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 4 (c) Chcę uzyskać kwotę taką jak wyżej także w ciągu pół roku z samej wygranej (bez dopłaty) jaką stopę procentową roczną muszę wynegocjować z bankiem? r = 1 ( ) 2 100 000 0,5 2 000 000 1 = 0,1, czyli r = 10%. (d) Nadal chcę uzyskać z samej wygranej taką kwotę jak poprzednio, ale wynegocjowałem stopę roczną 5,5% kiedy będę mógł jechać na wakacje? n = 1 ( ) 2 100 000 0,044 2 000 000 1 0,9091 roku, czyli n = 0,9091 365 332 dni lub prawie 11 miesięcy. Zadanie 2. Obliczyć wartość kapitału końcowego, gdy kapitał początkowy 3000 zł jest oprocentowany według stopy 7% po okresie (a) 5 lat; (b) 240 dni. Zadanie 3. Odsetki od 3-letniej lokaty są naliczane z dołu (na koniec okresu oprocentowania). Po wpłacie 21 000 zł po trzech latach odebrano 25 725 zł. Jaka jest roczna stopa procentowa, zakładając, że była niezmienna? Zadanie 4. Przy jakiej stopie oprocentowania prostego wartość 4-letniej lokaty z odsetkami naliczanymi po terminie zwiększy się (a) o 26%, (b) o 1/4. Zadanie 5. Ile łącznie wyniesie koszt pożyczki 12 tyś. złotych na półtora roku, jezeli co kwartał trzeba zapłacić 3% pożyczonej kwoty? Zadanie 6. Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 7,2% wartość lokaty 5 660 zł (a) podwoi się, (b) zwiększy się do 6 000 zł, (b) zwiększy się ponad 25%. Oprocentowanie proste w podokresach Stopa podokresowa stopa procentowa ustalona dla określonej, ustalonej części roku. Przyjmuje się, że ustalona część roku dla wyznaczenia stopy podokresowej powinna być taka, by dla pewnego k, jej k-ta wielokrotność była równa jeden rok (choć możliwe są podokresy dłuższe niż rok). Zwykle stosuje się podokresy równe: półrocze (k = 2), kwartał (k = 4), miesiąc (k = 12), tydzień (k = 52), dzień (k = 365) (podokresowi równemu 2 lata odpowiada parametr k = 1 2 ). Jeżeli n jest okresem oprocentowania wyrażonym w latach, to m k = nk jest okresem wyrażonym w podokresach. Przy zastosowaniu stopy podokresowej model oprocentowania prostego jest następujący: F V = P V (1 + r k m k ). Równoważność stóp procentowych Stopy procentowe są równoważne jeżeli przy każdej z nich, kapitał początkowy P V generuje w czasie n odsetki o identycznej wartości. Niech r k1 i r k2 będą stopami podokresowymi. Wyprowadzimy wzór na ich równoważność. Najpierw obliczamy czas oprocentowania wyrażony w podokresach: m k1 = nk 1 i m k2 = nk 2. Stopy są równoważne gdy generują takie same odsetki, a więc gdy P V r k1 nk 1 = P V r k2 nk 2,

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 5 a stąd r k1 k 1 = r k2 k 2. Z tego wzoru można obliczyć stopę procentową r k2 równoważną stopie procentowej r k1 : r k2 = r k1 k 1 k 2. Podstawiając odpowiednie wartości możemy znaleźć stopę roczną równoważną stopie podokresowej r = kr k (bo stopę roczną można traktować jako stopę podokresową z parametrem 1). Zadanie 7. Spłata 40 dniowej pożyczki 5000 zł wyniosła 5200 zł. Obliczyć stopę oprocentowania prostego tej pożyczki oraz równoważną stopę roczną, przy założeniu czasu według reguły bankowej. Zadanie 8. Podokresowe stopy oprocentowania prostego (a) 3,75%, (b) 60%, (c) 1,25%, (d) 17,5% są równoważne rocznej stopie 15%. Jakich podokresów dotyczą te stopy? Zadanie 9. Ile trzeba wpłacić na lokatę (a) roczną, (b) półroczną, (c) miesięczną aby w każdym przypadku odebrać kwotę 1200 zł, jeżeli okresowa stopa oprocentowania każdej lokaty jest proporcjonalna do kwartalnej stopy 2,7%? Zadanie 10. Za zakupy u detalisty mogę zapłacić dziś 150 zł, albo za miesiąc 150,45 zł. Za zakupy u hurtownika mogę zapłacić za kwartał 8072,00 zł lub dziś 8000,00. (a) Jakie stopy podokresowe stosowane są przez tych dwóch sprzedawców w obliczaniu kredytu kupieckiego? Czy są on równoważne? (b) Jakie są roczne stopy procentowe równoważne stopom podokresowym z części (a)? [(a) i 12 = 0,3%, i 4 = 0,9%, są równoważne, (b) równoważna stopa roczna i = 3,6%] 2. Dyskontowanie Dyskontowanie (rzeczywiste) jest procesem odwrotnym do oprocentowania. Jest to obliczenie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego. Różnicę między kapitałem końcowym a początkowym nazywamy dyskontem (o tyle trzeba pomniejszyć kapitał końcowy aby otrzymać kapitał początkowy). P V = F V 1 + rn, D = F V P V = F V rn 1 + rn gdzie D jest dyskontem (równym odsetkom). Dyskonto handlowe proste Dyskontem handlowym nazywa się opłatę za pożyczkę obliczoną na postawie kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie, i zapłaconą w chwili otrzymania pożyczki (odsetki płatne z góry). Roczna stopa obliczania nazywa się stopą dyskontową. Przykład. (a) Obliczenia odsetkowe: pożycz 100 zł, za rok oddam ci o 20% więcej : teraz dostaję 100 zł, za rok oddaję 100(1 + 0, 2) = 120 zł. (b) Obliczenia dyskontowe: za rok mogę oddać ci 120 zł, daj mi teraz o 20% mniej : za rok oddaję 120 zł, a teraz dostaję 120 0, 2 120 = 120 24 = 96 zł. Zasada dyskonta handlowego prostego. Dyskonto jest obliczane od kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowane od tej kwoty w chwili udzielania pożyczki.

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 6 Dyskonto od kwoty F V (końcowej) za czas n przy dane stopie dyskontowej d oblicza się jako D = F V dn i model dyskonta handlowego prostego ma postać P V = F V D = F V F V dn, czyli P V = F V (1 dn). Z tego modelu wynikają wzory na kapitał końcowy, stopę dyskontową i czas oprocentowania: albo Przykład. F V = P V 1 dn, d = 1 ( 1 P V ), n = 1 ( 1 P V ), n F V d F V F V = P V 1 dn, d = D F V n, n = D F V d. (a) Za pół roku wygram kumulację 10 mln. zł, ile teraz pożyczki mogę dostać przy rocznej stopie dyskontowej 12%? P V = 10 000 000(1 6 0, 12 ) = 10 000 000 0,94 = 9 400 000 12 (b) Teraz chcę 10 000 000 zł ile oddam po pół roku ze stopą dyskontową 12%? F V = 10 000 000 1 6 0,12 12 = 10 000 000 0,94 = 10 638 297,87 (c) Teraz chcę 10 000 000 zł, a za pół roku dam 10 500 000, jaka musi być stopa dyskontowa? d = 500 000 10 500 000 0,5 = 0,095 czyli 9,5% (d) Chcę spłacić 10 000 000 zł kwotą 10 500 000 zł ze stopą dyskontową 10%, kiedy mam spłacić pożyczkę? 500 000 n = 10 500 000 0,1 0,4 czyli ok. 5 miesięcy Przykład. Podane wzory można wykorzystać do obliczenia ile należy zapłacić, jeżeli spłata ma nastąpić po terminie pożyczki. Na przykład kwotę 1000 zł spłacamy 2 lata po przyjęciu pożyczki przy oprocentowaniu kredytu w wysokości 10%. Podstawiamy podane wartości do równania: 1000 = F V (1 2 0, 1) i obliczamy F V = 1000 = 1250. 0,8 Zauważmy, że gdyby przy tym samym oprocentowaniu 10 % złożyć 1000 na lokatę, to po dwóch latach otrzymalibyśmy (w przypadku procentu prostego) F V = P V (1+nd) = 1000(1+2 0,1) = 1000 1,2 = 1200, a więc mniej niż musimy spłacić. Zadanie 11. Pożyczkę 5600 zł spłacono po 3 miesiącach kwotą 5900 zł. Jeżeli opłatą za pożyczkę były (a) odsetki płatne z dołu, obliczyć stopę procentową, [21,43%] (b) odsetki płatne z góry, obliczyć stopę dyskontową. [20,34%]

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 7 Zadanie 12. Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców w kwocie 24700. Jaka powinna być wartość nominalna weksla poręczającego transakcję, jeżeli strony zgodziły się na stopę dyskontową d = 11%. [25161,29] Zadanie 13. Za towar kupiony w hurtowni trzeba zapłacić w ciągu 28 dni, ale jeżeli zapłaci się w ciągu 7 dni to otrzymuje się rabat w wysokości 3%. Przy jakiej stopie dyskontowej d warto wziąć pożyczkę by skorzystać z rabatu przy odsetkach płatnych z góry [d < 51, 43%], a z dołu [i < 53, 02%]. Równoważność stóp procentowej i dyskontowej Roczna stopa procentowa i roczna stopa dyskontowa są równoważne w okresie n jeżeli dyskonto i odsetki obliczone w tym czasie dla tej samej pożyczki są równe. Czyli F V dn = P V in lub Stąd mamy związek równoważnych stóp procentowych P V d 1 dn = P V i. i = d 1 dn lub d = i 1 + in oraz n = 1 d 1 i. Zadanie 14. Opłata za 6-cio miesięczny kredyt w wysokości 10 tyś. zł ma postać dyskonta obliczanego przy stopie d równoważnej stopie i = 12,75% w okresie 6 miesięcy. (a) Ile wynosi ta opłata? [599,29] (b) Ile wyniosłaby ta opłata przy kredycie krótszym o 3 miesiące? [309]

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 8 3. Rachunek rentowy Definicja. Rentą kapitałową nazywamy ciąg wypłat, które powtarzają się w równych odstępach w określonym przedziale czasu (systematycznie uzyskiwane dochody z kapitału, które nie wymagają pracy). Przykład. Renty: comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, kwartalne płatności z tytułu spłaty długu, miesięczne wpłaty na rachunek w kasie mieszkaniowej, roczna dywidenda z tytułu posiadania akcji, systematyczne wpłaty na rachunek oszczędnościowy. Poszczególne płatności w ramach renty to raty, okres między kolejnymi płatnościami okres bazowy. Renta prosta to renta, w której okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek. Renta zwykła lub płatna z dołu, postnumerando to renta, w której raty następują na koniec okresu, a renta płatna z góry, prenumerando to taka, w której płatności następują na początku okresu bazowego. Renta czasowa lub skończona to renta o skończonej ustalonej liczbie rat, renta wieczysta to renta o nieskończonej (nieokreślonej) liczbie lat. Renta zwykła, prosta i skończona to renta. Główne zadanie rachunku rentowego to wycena renty czyli określenie kapitału równoważnego rencie. Wycena na moment t to suma wszystkich rat zaktualizowanych na moment t. Definicja. Wartość początkowa renty to wycena na moment 0, czyli suma wartości wszystkich rat zaktualizowana na moment początkowy renty. Wartość końcowa renty to wycena na moment n (koniec okresu wypłacania renty), czyli suma wartości wszystkich rat zaktualizowana na moment końcowy n. Oznaczenia: R j rata płatna w momencie j, dla j = 1, 2,..., n, i stopa procentowa okresu bazowego, P V wartość początkowa renty (presnet value); F V wartość końcowa renty (future value). Przyjmujemy, że jednostką czasową jest okres bazowy. Dla uproszczenia przyjmujemy, że badamy renty płatne z dołu (postnumerando) i oprocentowane stałą stopą procentową (nie dyskontową). Obliczamy wartość początkową renty. Pierwsza rata zostaje zapłacona po okresie bazowym od chwili początkowej, a więc gdyby bank miał te pieniądze na początku, a wypłacił dopiero po tym okresie to w chwili wypłaty miałby R 1 = R(1 + i), zatem w chwili początkowej wartość tej raty to R = R 1 (1 + i) 1. Podobnie rozumując dla raty drugiej możemy stwierdzić, że jej wartość w chwili początkowej to R 2 (1+i) 2 bo została wypłacona po dwóch okresach bazowych. Analogicznie jest dla każdej raty, a więc n P V = R j (1 + i) j. Obliczenie wartości końcowej jest analogiczne. Jeżeli rata R 1 została wypłacona po pierwszym okresie bazowym, a wszystkich okresów bazowych jest n to wartość pierwszej raty na końcu okresu wypłaty renty jest równa R 1 (1 + i) n 1 bo kwota ta nie procentowała przez pierwszy okres. Analogicznie jest dla wszystkich rat (ostatnia n-ta rata nie procentuje). Zatem n F V = R j (1 + j) n j. Porównując te wzory (i zasadę ich tworzenia) łatwo zauważyć, że P V (1 + i) n = F V Istotnie n P V (1 + i) n = (1 + i) n n n R j (1 + i) j = R j (1 + i) j (1 + i) n = R j (1 + i) n 1 = F V.

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 9 Raty równe Przyjmujemy teraz, że wszystkie raty renty są równe, czyli R 1 = R 2 =... = R n = R. W przypadku rat równych wartość początkową renty możemy zapisać w postaci n P V = R (1 + i) j. i=1 Składniki sumy tworzą ciąg geometryczny o n wyrazach. Pierwszym wyrazem i ilorazem tego ciągu jest (1 + i) 1, załóżmy, że i 0, wtedy (1 + i) 1 1 i wtedy n (1 + i) j = 1 1 + i 1 (1 + i) n 1 (1 + i) 1 (1 + i) n =. 1 i Otrzymane wyrażenie (zależne od liczby rat i stopy procentowej) oznacza się znakiem a n i i nazywa czynnikiem dyskontującym renty, często stosuje się oznaczenie P V IF A (present value interest factor of annuity) i tak się nazywają zwykle funkcje w arkuszach kalkulacyjnych: PVIFA(n,i). Korzystając z oznaczenia mamy więc P V = R a n i. Dla wartości końcowej renty mamy F V = (1 + i) n P V = (1 + i) n n 1 (1 + i) n R a n i = R(1 + i) i = R (1 + i)n 1 i = R s n i. Gdzie wyrażenie (1+i)n 1 oznaczyliśmy symbolem s i n i, jest to czynnik oprocentowujący rentę oznaczany także F V IF A (future value intrest factor of annuity) i taka jest funkcja w arkuszu kalkulacyjnym FVIFA(n,i). Zatem mamy F V = R s n i. Wartości a n i i s n i możemy interpretować jako wartość początkową i końcową renty jednostkowej o n ratach i stopie oprocentowania i dla okresu bazowego. Przykład. Na koniec każdego kwartału wpłacamy 500 zł na rachunek oprocentowany stopą i 4 = 0,5%. Po dwóch latach będziemy mieli zatem F V = 500 s 8 0,5% = 500 (1 + 0,005)8 1 0,005 4070,70 a trzymając pieniądze w domu: 8 500 = 4000, lub wpłacając na początku 4000 mielibyśmy po dwóch latach ok. 4162,83 (kapitalizacja kwartalna). Przykład. Wuj z Ameryki wpłacił na konto oprocentowane nominalną stopą roczną 6% z kapitalizacją miesięczną 20 000 zł. Ile miesięcznie można pobierać by starczyło na studia licencjackie (3 lata): R = P V = 20000 20000 a 36 0,5% a 36 0,5% 32,871 608,43 Ile powinien wpłacić by można było pobierać 1 000 zł miesięcznie? P V = Ra 36 0,5% = 1000 32,871 = 32871.

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 10 Równanie bankierów Gdy ustalona jest stała rata renty i jej wartość początkowa to w każdej chwili (po dokonaniu k-tej płatności) można wycenić rentę. Wycena polega na obliczeniu jej wartości w chwili wyceny, a wiec wartość początkową aktualizujemy na daną chwilę i podobnie aktualizujemy wszystkie wypłacone raty. Różnica jest właśnie wyceną renty, a równanie, które pozwala ją obliczyć nazywa się równaniem bankierów: WR = P V (1 + i) k Rs k i = P V (1 + i) k R (1 + i)k 1 i gdzie k jest momentem (numerem płatności) po którym następuje wycena renty (WR). Zadanie 15. Malinowski planuje wykupić ubezpieczenie na życie, takie by przez 20 lat po jego śmierci rodzina otrzymywała (realne) 2 tyś. miesięcznie (pierwsza wypłata miesiąc po śmierci). Jaka kwota powinna zostać zgromadzona przed śmiercią Malinowskiego jeżeli można przyjąć, że kwota ta będzie oprocentowana według stopy nominalnej 10% rocznie? [207 249,24 zł] Zadanie 16. Kwiatkowski inwestuje w biznes, który przynosi 8% rocznie, wpłacając 5 tys. rocznie. Jaki będzie jego majątek za 10 lat? [72 432,81] Zadanie 17. Rodzice zbierają pieniądze na posag (wykształcenie) dziecka. Chcą wpłacać 800 zł co pół roku począwszy od szóstego miesiąca życia dziecka. Jaki będzie posag gdy dziecko osiągnie pełnoletność jeżeli wkład jest oprocentowany według rocznej stopy nominalnej równej 6% (kapitalizacja półroczna)? [50 620, 76 zł] Zadanie 18. Czy wpłacając przez rok miesięcznie po 200 zł na rachunek oszczędnościowy oprocentowany nominalną stopą 12% z kapitalizacją kwartalną, będzie można kupić coś za 2500 zł? [tak, zgromadzi się 2510,18] Podstawowe zagadnienia renty Wzory na wartość początkową i końcowa renty P V = Ra n i, F V = Rs n i, F V = (1 + i) n P V wiążą cztery parametry: wartość początkową (końcową) renty, stała ratę, liczbę rat i stopę procentową (w okresie bazowym). Zatem można obliczyć każdą z tych wartości znając trzy pozostałe. Najłatwiejsze jest obliczenie wielkości raty gdy znana jest wartość początkowa lub końcowa renty, liczba rat i stopa procentowa: R = P V a n i, Obliczenie liczby rat wymaga użycia logarytmów: R = F V s n i. n = ln (1 i P V ) R, n = ln (1 + i F V ) R ln (1 + i) ln (1 + i). Natomiast nie da się wyprowadzić wzoru na obliczanie stopy procentowej, gdy rat będzie więcej niż 5 (dla 3 i 4 także jest to bardzo skomplikowane). Zatem w takim przypadku należy używać urządzeń technicznych (np. funkcja RATE w Excelu, ale można też szukaj wyniku ).

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 11 Inne funkcje Excella: PV wartość początkowa, FV wartość końcowa, NPER liczba rat, PMT wysokość raty. Zadanie 19. W jakich równych ratach miesięcznych trzeba spłacać pożyczkę w wysokości 350 tys. zaciągniętą na 6 lat z oprocentowaniem nominalnym 9% rocznie? [6 308,94 zł] Zadanie 20. Główną wygraną na loterii można podjąć albo od razu w kwocie 100 tys. USD albo w 12 rocznych ratach po 10 tys. USD. Jakie warunki powinny decydować o wyborze wariantu (bierzemy pod uwagę tylko wielkość kwoty)? [Kwoty są równoważne (100000 = P V ) przy stopie procentowej i = 2,92%, zatem pierwszy wariant należy wybrać gdy można pieniądze ulokować na procent wyższy niż i.] Zadanie 21. Ile lat muszę oszczędzać na zegarek naręczny Patek Philipe za 250 tys. zł jeżeli stać mnie by rocznie odkładać 2070 zł na 5%? [40 lat (i zostanie 55 zł)] Renta wieczysta Ponieważ liczba rat renty wieczystej nie jest oznaczona to należy przypuszczać, że jest nieskończona. W takim przypadku wycenę renty, czyli jej wartość początkową obliczamy na podstawie granicy. P V = lim n (Ra n i ) = R lim n a n i = R lim n 1 (1 + i) n i (1+i) n 1 1 = R lim n i = R i. Jeżeli liczba rat renty skończonej jest bardzo duża (np. wypłata emerytury miesięcznie przez 30 lat) to jej wartość można przybliżać rentą wieczystą. W takim przypadku musimy obliczyć względny błąd aproksymacji: P V P V P V = R i Ra n i Ra n i = 1 ia n i 1 = 1 (1 + i) n 1. Warto zwrócić uwagę, że błąd aproksymacji zależy tylko od liczby rat i stopy procentowej, a nie od wielkości raty. Zadanie 22. Malkolm Dzikowski wygrał w Lotto 2,5 mln. zł i ulokował je w banku na 3%. Ile, rocznie może wypłacać do końca życia? Odp.: 75 tyś. zł Zadanie 23. Na jaki procent powinien Pan Malkolm Dzikowski ulokować swoją wygraną by móc wypłacać do końca życia 12 tyś. miesięcznie? Odp.: 0,48% miesięcznie z kapitalizacją miesięczną, co jest równoważne: 5,9% rocznie

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 12 4. Spłaty długów i kredytów Rozpatrujemy tylko spłaty zgodne, to znaczy: okresy stopy procentowej, kapitalizacji i spłat są równe. Przyjmujemy, że odsetki są obliczane tylko od aktualnej wartości długu i są spłacane ratalnie. Zasada równoważności długu i rat Dług o wartości K 0 w momencie 0 jest równoważny ciągowi rat R j płatnych w momentach j = 1, 2,..., N jeżeli kapitały wzajemnie sobie przekazane przez wierzyciela i dłużnika są równoważne. Zasada ta mówi, że wszystkie raty umarzają dług (czyli po wpłacie ostatniej raty dług jest spłacony w całości). Fakt spłacenia długu K za pomocą rat R 1, R 2,..., R N wyraża się za pomocą równości kapitału zaktualizowanego na moment N sumie wszystkich rat zaktualizowanych na ten sam moment. N K N = K 0 (1 + i) N = R j (1 + i) N j lub, aktualizując na moment 0: N K 0 = R j (1 + i) j Przykład. Obliczamy brakującą ratę drugą R 2, zakładając, że znamy wszystkie pozostałe: (1 + i) N R 2 = K 0 (1 + i) R (1 + i) N 1 N 2 1 (1 + i) R (1 + i) N 3 N 2 3 (1 + i)... R N 2 N Stąd po wykonaniu dzielenia mamy R 2 = K 0 (1 + i) 2 R 1 (1 + i) R 3 (1 + i) 1... R N (1 + i) 2 N (1 + i) N N (1 + i) N 2. czyli aktualizujemy dług i wszystkie raty na moment 2 (czyli chwilę wpłaty brakującej raty) i odejmujemy raty od długu. Zadanie 24. Kredyt K 0 = 950 zł jest spłacany ratami R 1 = 280 zł, R 2 = R 3 = 300 zł i R 4 = 150 zł. Okresowa stopa procentowa wynosi i = 2,5% (oprocentowanie składane). (a) Czy raty są równoważne kredytowi? (b) Jaka powinna być pierwsza rata by była równoważność? (c) Przy jakiej stopie procentowej pożyczka jest równoważna ratom? [(a) nie, (b) 256,23, (c) 3,59%] Zadanie 25. Znaleźć brakującą ratę gdy pożyczka 5 000 zł udzielona na początku roku będzie spłacana trzema ratami R 1, R 2 i R 4 na koniec odpowiednio pierwszego, drugiego i czwartego kwartału. Wiemy, że R 1 = 2000 zł i R 2 = 2 600 zł oraz kwartalna stopa procentowa wynosi 6%. Jaka jest wysokość R 4? [5000 = 2000 1, 06 1 + 2600 1,06 2 + 0 1,06 3 + R 4 1,06 4 i stąd R 4 = 1008,99] Można wyróżnić dwa scenariusze spłat uzgodnione między wierzycielem a dłużnikiem: (a) ustala się raty łączne: A 1, A 2,... A N czyli kwoty jakie będą wpłacane w kolejnych okresach. Często taka umowa wymaga raty równej (annuitetowej). (b) ustala się raty kapitałowe: T 1, T 2,... T N zakładamy, że każda rata zawiera ustaloną (dla danej raty) część kapitału i doliczamy do niej odsetki za jeden okres do następnej spłaty. (gdzie N to liczba rat).

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 13 Rata równa Wyznaczymy ratę równą dla kredytu K 0, tj. wartość R taką, że R 1 = R 2 =... = R N = R. Ponieważ kapitał K 0 i ciąg N rat o wartościach R są równoważne (z chwilą wpłacenia ostatniej raty dług został całkowicie spłacony) to, korzystając z własności równoważności mamy N K 0 = R(1 + i) j a stąd N N K 0 = R(1 + i) j = R (1 + i) j = Ra N i i stąd można wyznaczyć wartość raty: Tak określoną ratę nazywamy ratą annuitetową. Równa rata kapitałowa R = K 0 a N i Przy równej racie kapitałowej wielkość tej raty obliczamy dzieląc kwotę kredytu S 0 przez liczbę rat N: T = S 0. Ponieważ przyjęliśmy, że odsetki są spłacane w każdej racie, to ratę łączną obliczamy jako sumę N raty kapitałowej T i odsetek od długu za jeden okres (do następnej spłaty): A n = T + S n 1 i = T + (S 0 (n 1)T )i. Przykład. Ułożyć plan spłaty kredytu 2 000 z równą roczną ratą kapitałową na okres 4 lat ze stopą procentową 7%. Okres Kapitał Rata kapitałowa Odsetki Rata łączna 1 2 000 500 2 000 0,07 = 140 500 + 140 = 640 2 1 500 500 1 500 0,07 = 105 500 + 105 = 605 3 1 000 500 1 000 0,07 = 70 500 + 70 = 570 4 500 500 500 0,07 = 35 500 + 35 = 535 Zadanie 26. Wyznaczyć roczną ratę równą (a) dla kredytu Mini Ratka : 15 000, oprocentowanie 7,77%, 60 rat miesięcznych (ale... prowizja, ubezpieczenie itp. daje RRSO 21,87% i wprawdzie płacimy podaną ratę za kredyt 15 000 ale na rękę dostajemy 11 433,47). (b) dla kredytu (oprocentowanie dyskursywne złożone) w wysokości 35000 pobranego na okres 6 lat przy stałej stopie procentowej 12%; (c) dla spłaty (oprocentowanie antycypacyjne złożone) w wysokości 166025 płatnej za 15 lat przy stałej stopie dyskontowej 4%. [(a) 302,50, (b) 8 512,90; (c) kapitał początkowy ok. 90 000, rata ok. 8 190 (ok. 8 189,32)] Zadanie 27. Ułożyć plan spłaty kredytu w wysokości 24 000 zł, spłacany w 12 miesięcznych ratach, oprocentowany 10% w skali roku ze stałą ratą kapitałową. Jaka byłaby w tych samych warunkach rata równa? [raty: 2 200,00, 2 183,33, 2 166,67, 2 150,00, 2 133,33, 2 116,67, 2 100,00, 2 083,33, 2 066,67, 2 050,00, 2 033,33, 2 016,67; rata równa: 2 109,98]

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 14 5. Inflacja Inflacja to wzrost ogólnego poziomu cen mierzony stosunkiem cen towarów i dóbr konsumpcyjnych należących do ustalonego koszyka w danym momencie do cen tych dóbr w okresie bazowym (zwykle w roku poprzednim). Inflacja może mieć skutki złe (spada realna wartość płacy, a więc rosną koszty utrzymania) i dobre (zmniejsza się zadłużenie, a więc rośnie zasobność portfela). Przyczyny inflacji (według tradycyjnej teorii monetarnej). Prawdziwe jest równanie (czasami nazywane równaniem Fishera): M V = P Q gdzie M ilość pieniędzy w obiegu, V prędkość obiegu pieniądza (w danym okresie), P cena produktu i Q ilość produktu. W tym równaniu tradycyjnie, w teorii przyjmuje się, że Q i V są stałe. wtedy wraz ze wzrostem ilości pieniądza (M) rośnie cena produktu (P ). Takie teorie są wprawdzie krytykowane bo, jak twierdzą krytycy, masa pieniądza wywiera wpływ na wielkość produkcji (powoduje wzrost gospodarczy, który przekłada się na zwiększenie zatrudnienia, a więc zwiększenie produkcji). Z matematycznego punktu widzenia inflacja jest oprocentowaniem składanym bo nawarstwia się w kolejnych okresach. Ponieważ inflacja zwykle nie jest stała w ciągu roku powinno się w obliczeniach stosować model zmiennej stopy inflacji. Na chwilę, dla uproszczenia załóżmy jednak, że stopa inflacji i inf jest stałą stopą roczną. Podobnie jak w przypadku czynnika oprocentowania wprowadzamy czynnik inflacji, czyli wyrażenie 1 + i inf : stosunek poziomu cen przyszłych do cen wyjściowych. Uwzględnienie inflacji wymaga rozróżnienia kapitału nominalnego (F V ) czyli kapitału wyrażonego w jednostkach pieniężnych zgodnie z obliczeniami oprocentowania oraz realnej wartości kapitału (F V real ) kapitału przeliczonego na aktualną siłę nabywczą. Możemy zatem rozpatrywać stopę nominalną r nom (lub po prostu r) oraz stopę realną r real oprocentowania. Stopy te i stopę inflacji wiąże wzór Fishera 1 + r nom = (1 + r real )(1 + i inf ). Wynika on z prostej obserwacji, że wartość realna kapitału po okresie oprocentowania to zdyskontowana (dyskontem realnym ze stopą równą stopie inflacji) wartość nominalna tego kapitału, gdzie modyfikatorem jest czynnik inflacji: F V real = F V 1 + i inf czyli F V real = P V 1 + r nom 1 + i inf lub P V (1 + r real ) = P V 1 + r nom 1 + i inf. Z tej zależności wynika, że czynnik oprocentowania realnego jest ilorazem czynnika nominlanego i czynnika inflacji: Stąd można wyznaczyć stopę realną: 1 + r real = 1 + r nom 1 + i inf. r real = 1 + r nom 1 + i inf 1 = r nom i inf 1 + i inf. Stąd wynika, że jeżeli inflacja jest dodatnia to stopa realna jest mniejsza niż różnica stopy nominalnej i stopy inflacji (wydaje się paradoksalne). Gdy stopa inflacji nie jest stała to stosuje się takie same wzory i rozważania jak dla stopy oprocentowania składanego. Zatem, jeżeli przez n 1 okresów stopa inflacji była równa i 1, przez n 2 okresów była równa i 2 itd. aż do n p okresów ze stopą inflacji i p gdzie p k=1 n k = n to w ciągu n okresów (zakładamy stopę inflacji zgodną ze stopą oprocentowania r) łączna stopa inflacji wynosi i inf = (1 + i 1 ) n 1 (1 + i 2 ) n 2... (1 + i p ) np 1, a kapitał realny na koniec tego okresu obliczymy ze wzoru F V real = P V (1 + r)n (1 + r) n = P V 1 + i inf (1 + i 1 ) n 1 (1 + i2 ) n 2... (1 + ip ). np

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 15 W takim przypadku można mówić o przeciętnej stopie inflacji: Waloryzacja i inf śr = n (1 + i 1 ) n 1 (1 + i2 ) n 2... (1 + ip ) np 1. W matematyce finansowej (w obliczeniach) łatwym i eleganckim sposobem uwzględnienia inflacji jest waloryzacja kapitału o czynnik inflacji przed oprocentowaniem. Jest to wykorzystanie wzoru na kapitał realny z uwzględnieniem inflacji: F V real = P V (1 + r), 1 + i inf P V gdzie jest właśnie waloryzacją kapitału. Wtedy nominalna stopa procentowa r oznacza stopę rzeczywistego pomnożenia kapitału (ale kapitał jest mniejszy - 1+i inf zwaloryzowany). Przykład. Nakłady na pewne działania z tym roku wzrosły o 10%, a inflacja roczna wynosi 5%. O ile, realnie wzrosły nakłady? Korzystamy ze wzoru na stopę realną i otrzymujemy r real = r nom i inf 1 + i inf = Realne nakłady wzrosły tylko o około 4,8%. 0,1 0,05 1 + 0,05 0,048 Przykład. Uznano, że przy inflacji na poziomie 5% pożyczka 7 000 zostanie po dwóch latach spłacona kwotą 8 000. Obliczamy realną roczną stopę oprocentowania tej pożyczki. Dwuletni czynnik nominalny dla tej pożyczki wynosi ρ 2 nom = 8000 = 1,1429 Zatem roczna stopa nominalna spełnia równanie (1 + r 7000 nom) 2 = 1,1429 a więc wynosi r nom 0,069 czyli 6,9%. Przy rocznej stopie inflacji 5% stopa realna wynosi czyli około 1,8%. r real = 0,069 0,05 1 + 0,05 0,018 Przykład. Oprocentowanie kwartalnej lokaty bankowej w wysokości 10 000 zł wynosi 3% (kwartalnie). Jeżeli inflacja jest na poziomie 1,5% kwartalnie, to nominalna kwota lokaty na koniec kwartału wynosi 10 000(1 + 0,03) = 10 300 zł, czyli odsetki wyniosły 300 zł. Realna wartość tej lokaty na koniec kwartału wynosi 10 300/(1 + 0,015) = 10 147,78. Realna wartość odsetek jest równa 300/1,015 = 295,57. Zatem na koniec kwartału realny przyrost lokaty to tylko 147,78 zł, choć realna wartość dopisanych odsetek jest większa. Wynika to z tego, że z powodu inflacji stracił wartość także ulokowany kapitał. Zadanie 28. Ceny rosną ze średnią stopą inflacji 3% rocznie, obliczane (i zmieniane) kwartalnie. Jaka będzie cena samochodu Smart Fortwo za dwa lata? Aktualna cena 39 900. [42357,79] Zadanie 29. (Pieniądze w skarpecie). Inflacja w Polsce za rok 2012 wyniosła 3,7%, a za rok 2013 0,9%. Gdyby ktoś 1 stycznia 2012 dostał banknot 100 zł i przechował go w portfelu do 31 grudnia 2013 roku to ile realnie miałby pieniędzy? [96,43 po roku, 95,57 po drugim roku] Zadanie 30. Przed rokiem płaca pewnego robotnika wynosiła 800 zł, a pewnego urzędnika 2500 zł. W ciągu tego roku obaj otrzymali podwyżkę 100 zł. Inflacja roczna utrzymała sie na poziomie 5%. O ile realnie wzrosła płaca każdego z tych pracowników? [800 857,14; 2500 2476,19] Zadanie 31. Inflacja kwartalna (rok do roku):

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 16 Jaka była roczna inflacja w tych latach? kwartał 2012 2011 I 1,7% 2,1% II 1,3% 1,5% III 0,5% 0,4% IV 0,4% 1,3% [2012 2,92%, 2011 4,56%] Zadanie 32. W ciągu roku stopa inflacji malała z 2,5% w pierwszym kwartale co kwartał o 0,5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną i przeciętną stopę inflacji w tym roku. [roczna: i inf = 7,179%, przeciętna i inf śr = 1,748%] Zadanie 33. Płaca pracownika w I kwartale wynosiła 1400 zł. miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0,8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach stopa inflacji była równa odpowiednio 4%, 3%, 1% i 3%. Wyznaczyć: (a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku i (b) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. [(a) (1444,80, 1479,48, 1491,31) 1527,10, wzrost nominalny r = 1527,10 1400 1400 = 0,0908 = 9,08%, wzrost realny r real = 0,0908 0,1144 1+0,1144 = 0,0212 = 2,12% (i inf śr = 11,44%)] Zadanie 34. Lokata: 13% w skali roku, kapitalizacja kwartalna, składana z dołu. Inflacja w kolejnych kwartałach: 5%, 3%, 2% i 4%. Jaka jest realna stopa procentowa tej lokaty? [r efektywna = (1 + 0,13 4 )4 1 = 13,65% i inf = 14,73%, r real efektywna = 0,94%] Zadanie 35. inwestujemy 5000 zł chcąc uzyskać stopę realną równą r real = 10%. Spłata ma nastąpić za dwa lata, a inflację przewidujemy na poziomie 2% rocznie. (a) Jaką kwotę powinniśmy otrzymać? (b) Jeżeli otrzymamy umówiona kwotę, a inflacja w pierwszym roku utrzyma się na poziomie 1,0%, a w drugim wzrośnie do 2,5% to jaka będzie nasza stopa realna? [(a) nominaly czynnik oprocentowania 1 + r = (1 + r real )(1 + i inf ) = 1,122 i wtedy F V = 6 294,42, (b) przeciętny czynnik inflacji 1 + i inf śr = 1,175 i stopa realna r real = r i inf śr 1+i inf śr = 8,9%]

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 17 6. Obliczenia handlowe Koszty jednostkowe Metoda obliczenia kosztów jednostkowych za pomocą równej raty polega na rozłożeniu wszystkich kosztów na równe raty w całym horyzoncie czasowym inwestycji. Dzięki temu można obliczyć stosunek kosztów do liczby wyprodukowanych towarów i w ten sposób porównywać inwestycje. Metoda ta ma zastosowanie do porównywania inwestycji o różnych horyzontach czasowych. Przykład. Porównać inwestycje A i B dane następującymi założeniami Charakterystyka inwestycji Inwestycja A Inwestycja B Koszty zakupu 500 000 500 00 Okres użytkowania 12 lat 10 lat Wartość resztowa 140 000 80 000 Wydajność na rok (w sztukach) 10 000 12 000 Roczny koszt użytkowania 25 000 20 000 Aby rozstrzygnąć, która z tych inwestycji jest korzystniejsza przy stopie procentowej i = 5% trzeba wykonać odpowiednie obliczenia. (a) Inwestycja A. 500 000 140 000(1 + 0, 05) 12 = c A a 12 5% Zatem roczna rata za użytkowanie tej maszyny wynosi około 47 617,15 zł, a koszty jednostkowe 47 617,15 + 25 000 10 000 7,26 (b) Inwestycja B. 500 000 00 000(1 + 0, 05) 10 = c B a 10 5% Zatem roczna rata za użytkowanie tej maszyny wynosi około 58 391,92 zł, a koszty jednostkowe 58 391,92 + 20 000 12 000 6,53 Zatem lepszą, korzystniejszą inwestycją jest inwestycja B bo jednostkowe koszty produkcji są niższe. Zadanie 36. Cukiernia zastanawia się nad nabyciem maszyny do lodów. Cena z montażem wynosi 300 000 zł. Okres używania przewiduje się na 10 lat. Wartość maszyny po tym okresie wynosi 50 000 zł. Co 3 lata jest potrzebna konserwacja, pierwsza kosztuje 15 000 zł, druga i trzecia po 25 000 zł. Miesięczne wydatki (personel, prąd, koszty przeglądu) wynoszą 10 000. Aktualna stopa procentowa i = 5%. Ile dochodu musi przynieść miesięczna sprzedaż lodów, żeby pokryć wydatki? Ile porcji lodów (po 5 zł) trzeba sprzedać dziennie, żeby pokryć koszty inwestycji i surowców? [13421,43; 90 (89,47)] Zadanie 37. Obliczyć koszt jednostkowy wyprodukowania piłeczki do golfa jeżeli maszyna do produkcji piłeczek kosztuje 460 000 zł, może pracować przez 8 lat i wtedy będzie miała wartość resztową 29 000 zł, w każdym miesiącu maszyna ta może wyprodukować 800 sztuk piłeczek, miesięczny koszt eksploatacji, materiałów i pracy wynosi 82 000 zł. Przyjąć stałą roczną stopę procentową równą 4,7%. [109,50]

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 18 Zadanie 38. Obliczyć koszt jednostkowy wyprodukowania filtra oleju jeżeli maszyna do produkcji takich filtrów kosztuje 360 000 zł, może pracować przez 7 lat i wtedy będzie miała wartość resztową 19 000 zł, w każdym miesiącu maszyna ta może wyprodukować 1200 sztuk filtrów, miesięczny koszt eksploatacji, materiałów i pracy wynosi 28 000 zł. Przyjąć stałą roczną stopę procentową równą 3,3%. [27,22] Marża Marża określa nadwyżkę uzyskiwaną ze sprzedaży dobra ponad bezpośrednie koszty jego uzyskania. Marża może być wyrażona kwotowo lub procentowo. Marża wyrażona kwotowo: marża = cena sprzedaży koszt sprzedanego dobra Przykład. Cena zakupu towaru: 80, cena sprzedaży towaru: 100. Marża: 100 80 = 20 Marża wyrażona procentowo: to stosunek marży kwotowej do ceny sprzedaży lub kosztu towaru bądź produktu. Występują dwa sposoby procentowego określania marży zależnie od tego czy wylicza się ją w odniesieniu do ceny sprzedaży czy do kosztu sprzedawanego towaru odpowiednio określa się ją jako marżę w stu lub marżę od sta. Marża w stu. Przy wyliczaniu marży metodą w stu, jako wartość odniesienia wykorzystujemy cenę sprzedaży (nazwa w stu pochodzi od tego, że marża jest zawarta w wartości wykorzystywanej jako odniesienie, czyli w 100%). Przykład. Cena zakupu towaru: 80, marża kwotowa: 20, cena sprzedaży (odniesienia): 80 + 20 = 100 (to jest 100% w których marża jest już zawarta). Marża procentowa w stu jest równa 20/100 100% = 20% Marża od sta. Przy wyliczaniu marży metodą od sta, jako wartość odniesienia wykorzystujemy koszt (nazwa od sta pochodzi od tego, że marża nie jest zaliczona do 100% wartości wykorzystywanej jako odniesienie, czyli do kosztu). Marża od sta nazywana jest często narzutem. Przykład. Cena zakupu towaru: 80 (100% nie zawiera w sobie marży), marża kwotowa: 20, cena sprzedaży: 100. Marża procentowa od sta jest równa 20/80 100% = 25%. Przejście pomiędzy marżami w stu i od sta: marża od sta = marża w stu = marża w stu (1 marża w stu) marża od sta (1 + marża od sta) Marża wyrażona procentowo jest bardzo popularnym miernikiem, ponieważ pokazuje ona rentowność sprzedaży. Pozwala ona na łatwe porównywanie ze sobą zyskowności sprzedaży towarów o rożnych cenach. Przy wyliczaniu marży bierze się pod uwagę jedynie bezpośrednie koszty związane ze sprzedawanym dobrem. Dopiero z uzyskanej marży przedsiębiorstwo pokrywa koszty pośrednie związane z działalnością. W przypadku działalności handlowej, marża będzie różnicą pomiędzy ceną sprzedaży towaru a ceną jego zakupu. W przypadku działalności produkcyjnej i usługowej, marżę oblicza się jako różnicę między ceną sprzedaży a bezpośrednim kosztem wytworzenia produktu bądź usługi. W przypadku działalności kredytowej, marża obliczana jest inaczej niż w przypadku sprzedaży towarów, dóbr i usług. W działalności kredytowej marżę określa się jako różnicę w oprocentowaniu udzielonego kredytu a kosztem pozyskania środków na jego udzielenie (oprocentowaniem, na jakie pożyczkodawca zaciągnął pożyczkę na udzielenie kredytu).

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 19 więc: W przypadku kredytów udzielanych przez banki konstrukcja oprocentowania jest następująca: oprocentowanie kredytu = stopa bazowa + marża banku marża = oprocentowanie kredytu stopa bazowa Stopa bazowa jest to oprocentowanie, po jakim bank może pożyczyć środki na rynku międzybankowym. Stopa ta zależna jest od waluty w jakiej udzielony jest kredyt: Kredyt udzielony w PLN WIBOR 3 Kredyt udzielony w EUR EURIBOR Kredyt udzielony w CHF LIBOR Stopa ta określona jest dla różnych okresów od jednodniowych aż do jednego roku. W przypadku kredytów najczęściej wykorzystuje się stopy trzymiesięczne. Marża jako wskaźnik finansowy W przypadku analizy finansowej, marża oznacza wskaźnik finansowy wyliczany na podstawie danych zawartych w sprawozdaniu finansowym spółki. Analiza finansowa rozszerza jednak pojęcie marży na marżę brutto i netto. Marżę jako wskaźnik finansowy wylicza się wykorzystując dane zawarte w wariancie kalkulacyjnym rachunku zysków i strat. marża brutto = marża netto = zysk brutto ze sprzedaży przychody ze sprzedaży zysk ze sprzedaży przychody ze sprzedaży Marża netto nie jest precyzyjnie marżą zgodnie z pierwszą przedstawioną definicją, bierze ona bowiem pod uwagę również koszty sprzedaży i koszty ogólnego zarządu, a wiec koszty niezwiązane bezpośrednio z nabyciem lub wytworzeniem sprzedanych produktów. Zastosowanie marży netto jest jednak szerokie, gdyż mierzy ona rentowność sprzedaży biorąc pod uwagę wszystkie koszty niezbędne do dokonania sprzedaży. Narzut Narzut jest to różnica między ceną, a kosztem wytworzenia (zakupu), wynikająca z dodatkowych obciążeń kosztowych. Narzut kwotowy jest tym samym co marża kwotowa. Narzut procentowy to marża procentowa od sta. 3 WIBOR (ang. Warsaw Interbank Offered Rate) referencyjna wysokość oprocentowania kredytów na polskim rynku międzybankowym. Wyznaczana jest jako średnia arytmetyczna wielkości oprocentowania podawanych przez największe banki działające w Polsce, które są uczestnikami panelu WIBOR, po odrzuceniu wielkości skrajnych. Banki podają stawki oprocentowania (w ujęciu rocznym), po jakich są gotowe pożyczyć pieniądze innym bankom, o godz. 11:00 każdego dnia roboczego. Proces wyznaczania wartości WIBOR nazywany jest fixingiem WIBOR.

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 20 Kalkulacja ceny Kalkulacja ceny metodą narzutu na koszty opiera się na obliczeniu ceny jednostkowej jako sumy kosztu jednostkowego zmiennego oraz odpowiedniej części kosztów stałych i powiększeniu tej ceny o narzut (procentowo) do ceny zbytu: C z = C kj (1 + n k ) = (K jz + K s L j )(1 + n k ) gdzie: C z cena zbytu, C kj całkowity koszt jednostkowy, n k narzut na koszty, K jz koszt jednostkowy zmienny, K s koszt stały, L j liczba jednostek. Przykład. W każdym roku produkujemy 30 000 długopisów. Koszt wyprodukowania jednego długopisu to 11 zł, a koszty zarządzania firmą to 150 000 rocznie. Ustalamy narzut (czyli zysk z produkcji) w wysokości 25%. Jaka jest cena zbytu? 150 000 Całkowity koszt jednostkowy (z uwzględnieniem kosztów stałych) C kj = 11 + = 16. Cena zbytu 30 000 C z = 16 (1 + 0,25) = 16 1,25 = 20. W tym przypadku marża w stu jest równa 20 16 = 0,2 czyli 20%. 20 Zadanie 39. Producent szklanek do... soków produkuje miesięcznie 25 000 naczyń, a koszt wyprodukowania jednej szklanki wynosi 0,45 zł. Roczne koszty stałe firmy to 90 000 zł. Zarząd firmy ustalił narzut producenta w wysokości 20%. Szklanki sprzedaje detalista Piękne naczynia po 1,50 za sztukę. Obliczyć marżę w stu detalisty jeżeli narzut hurtownika to 30%. Jaki narzut stosuje detalista? [cena zbytu producenta 0,9, cena u hurtownika 1,17, narzut detalisty ok. 28,21%, marża w stu detalisty 22%] Zadanie 40. Jaki jest całkowity koszt jednostkowy towaru, sprzedawanego w detalu po 142,50, gdy marża (w stu) producenta wynosi 36%, narzut hurtownika 25% i narzut detalisty 52%? Jaka jest marża w stu hurtownika? [całkowity koszt jesdnostkowy 48,00 zł, cena producenta 75,00, marża hurtownika w stu 20%, cena hurtowa 93,75 zł.] Skonto i rabat Skonto to procentowe zmniejszenie sumy należności, przyznawane nabywcy towaru na warunkach kredytowych, w razie zapłaty należności gotówką przed umówionym terminem. Przykład. Sprzedawca ustala termin płatności np. na 30 dni, ale jeżeli nabywca ureguluje należność w terminie np. 15 dni, to suma należności jest obniżana np. o 4%. Rabat (opust) zniżka oznaczona procentowo lub kwotowo od ustalonej ceny określonego towaru. Udzielana najczęściej nabywcom płacącym gotówką, kupującym duże ilości towaru jednorazowo lub w określonym czasie. Zadanie 41. Detalista z poprzedniego zadania postanowił sprzedawać szklanki po 1,56 (jaką ma teraz marżę w stu?) oraz udzielać rabatu przy zakupach powyżej 100. Jaki może być rabat, aby narzut wynosił 30%? Czy zamiast rabatu dodanie do każdych 100 szklanek 3 gratis będzie korzystniejsze dla detalisty? [marża w stu 25%, gdy narzut 30% to cena 1,521, a więc przy 100 szklankach rabat może być 3,90 zł, tak - dodanie trzech szklanek po cenie 1,17 to 3,51, a więc taniej o 39 gr.] Zadanie 42. Producent materiałów biurowych oszacował koszt wytworzenia 100 sztuk pisaków na 21,50 zł, koszty stałe roczne przypadające na te pisaki na 26 400 zł, jeżeli produkuje 8000 pisaków miesięcznie.

DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 21 Hurtownik, który rozprowadza te pisaki w cenie 98,00 za 100 sztuk pobiera narzut 40%. Jaka jest marża w stu producenta? [30%] Zadanie 43. Jaka powinna być cena kalkulatora graficznego jeżeli marża w stu detalisty jest równa 35%, detalista kupuje towar u hurtownika, który pobiera narzut 30%, a producent szacuje koszty jednostkowe na 11,67 zł, produkuje 120 kalkulatorów miesięcznie, wydaje na zarządzanie firmą 300 000 rocznie i określił swój narzut na 25%. [550,00]