ODSTWY STTYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. opulacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6. Testy nieparametryczne 7. Korelacja liniowa i rangowa 8. Regresja prosta 9. naliza wariancji
WSTĘ o co nam statystyka matematyczna? róba pobieranie opulacja wnioskowanie Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji
WSTĘ Statystyka matematyczna umożliwia wnioskowanie ogólne (na temat całej populacji) na podstawie próby rzykład? Np. ięć kotek pewnej rasy urodziło kocięta. yło ich w sumie 23, czyli średnio jedna kotka miała 4,6 kotka (23 : 5 = 4,6). ytania: Czy ten wynik to czysty przypadek, czy norma? Ile kociąt średnio w jednym miocie uzyskuje się w tej rasie kotów? ięć kotek to próba; wszystkie kotki (samice) tej rasy - populacja Żeby uzyskać odpowiedzi używając statystyki matematycznej, trzeba znać prawdopodobieństwa urodzenia się 1 kotka, 2 kotków. n (najwyższej zaobserwowanej liczby kotków), czyli: zbiór prawdopodobieństw dla wszystkich wartości cechy o nazwie liczba kociąt w miocie
RWDOODOIEŃSTWO
RWDOODOIEŃSTWO 1. Co to jest prawdopodobieństwo? 2. Symbole i definicje 3. Obliczanie prawdopodobieństwa brzegowego, warunkowego, łącznego 4. Wzór ayesa 5. Zdarzenia zależne i niezależne 6. Elementy kombinatoryki 7. Schemat ernoulliego
RWDOODOIEŃSTWO rawdopodobieństwo (potocznie) przypuszczalna możliwość: dziś prawdopodobnie będzie padać rawdopodobieństwo obserwowana wielokrotnie lub wynikająca z teorii częstość zdarzenia w 1 na wyźrebień klaczy pełnej krwi angielskiej rodzą się bliźnięta (prawdopodobieństwo urodzenia się bliźniąt wynosi 1/) prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki w rzucie kostką do gry wynosi 1/6 rawdopodobieństwo ang.: probability
RWDOODOIEŃSTWO Definicja klasyczna, tzw. prawdopodobieństwo a posteriori k n liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu (sukcesów) liczba wszystkich zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne: pojedynczy możliwy wynik doświadczenia, pomiaru, obserwacji, np. rzutu kostką do gry Zdarzenie losowe może obejmować wiele zdarzeń elementarnych, np. uzyskanie parzystej liczby oczek w rzucie kostką
RWDOODOIEŃSTWO k n rawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia oznaczamy () przyjmuje wartości od 0 do 1 kiedy () = 1? kiedy () = 0? ( - zdarzenie pewne) ( - zdarzenie niemożliwe)
RWDOODOIEŃSTWO - symbole SUM ZDRZEŃ lub : ILOCZYN ZDRZEŃ i : ZDRZENIE RZECIWNE (nie ): RZYKŁDY?
RWDOODOIEŃSTWO - definicje RWDOODOIEŃSTWO WRUNKOWE (conditional probability) prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie ( ) RWDOODOIEŃSTWO RZEGOWE (marginal probability) prawdopodobieństwo konkretnego zdarzenia, np. osoba jest chora, spośród całego zbioru rozpatrywanych zdarzeń, np. jest kobietą, C jest niska, D ma ponad 50 lat, itp., uwzględniające zależności między zdarzeniami różnych typów
RWDOODOIEŃSTWO definicje rawdopodobieństwo brzegowe trzeba czasem obliczać jako RWDOODOIEŃSTWO CŁKOWITE (total probability) Jeśli zdarzenie warunkują dwa wykluczające się zdarzenia ( i nie ), to: ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) RZYKŁD: obliczanie prawdopodobieństwa natrafienia w populacji na osobę chorą, jeśli częstość choroby określona została osobno u kobiet i u mężczyzn Według teorii jest to tzw. prawdopodobieństwo a priori
OLICZNIE RWDOODOIEŃSTW łeć Kolor oczu Kobieta (K) Mężczyzna (M) Niebieskie (N) 18 38 Zielone (Z) 5 15 rązowe () 12 12 24 Czarne (C) 8 10 18 45 55
RWDOODOIEŃSTWO pojedynczego zdarzenia (brzegowe) Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) 18 5 15 12 12 8 10 45 55 38 24 18 rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą, (K) 45 K 0, 45 rawdopodobieństwo, że wylosowana osoba ma niebieskie oczy, (N) 38 N 0, 38
RWDOODOIEŃSTWO zadrzeń dopełniających się łeć Kolor oczu Kobieta (K) Mężczyzna (M) Niebieskie (N) 18 38 Zielone (Z) 5 15 rązowe () 12 12 24 Czarne (C) 8 10 18 45 55 rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą, (K) rawdopodobieństwo, że wylosowano mężczyznę, (M) 55 K K 1 M K 0, 55 45 K 0, 45
RWDOODOIEŃSTWO iloczynu zdarzeń (łączne) Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) 18 5 15 12 12 8 10 45 55 38 24 18 rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą i ma niebieskie oczy rawdopodobieństwo łącznego zajścia zdarzeń K i N, prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń, (KN) K N 0, 2
RWDOODOIEŃSTWO WRUNKOWE Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) 18 5 15 12 12 8 10 45 55 38 24 18 rawdopodobieństwo, że losowo osoba ma niebieskie oczy, o ile jest kobietą (!) Warunek osobą wylosowaną jest kobieta rawdopodobieństwo zdarzenia N pod warunkiem, że zaszło zdarzenie K, (N/K) 45 N / K 0, 44
WZÓR YES prawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwo łączne N K ( N K) ( K) prawdopodobieństwo brzegowe
WZÓR YES przekształcenie N K ( N K) ( K) Obliczanie prawdopodobieństwa łącznego (prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń) N K ( N K) ( K)
WZÓR YES wykorzystanie w przykładzie Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) 18 5 15 12 12 8 10 45 55 38 24 18 rawdopodobieństwo, że losowo wybrana kobieta ma niebieskie oczy ( N K) ( K) 45 N K 0, 44 rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą i ma niebieskie oczy 45 45 N K ( N K) ( K) 0, 2
RWDOODOIEŃSTWO iloczynu zdarzeń Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) 18 5 15 12 12 8 10 45 55 38 24 18 rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą i ma niebieskie oczy K N 0, 2
RWDOODOIEŃSTWO SUMY ZDRZEŃ Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) 18 5 15 12 12 8 10 45 55 38 24 18 rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą lub ma niebieskie oczy, (K N) L N K N K 38 45 0,63
ZDRZENI ZLEŻNE I NIEZLEŻNE ZDRZENI NIEZLEŻNE (independent events) ZDRZENI ZLEŻNE (dependent events) Na przykład: rzucamy dwa razy kostką do gry wyrzucenie szóstki w pierwszym rzucie wyrzucenie liczby parzystej w drugim rzucie wyrzucenie szóstki w pierwszym rzucie wyrzucenie w sumie co najmniej 10 oczek w obu rzutach
ZDRZENI ZLEŻNE I NIEZLEŻNE rawdopodobieństwo warunkowe ZDRZENI NIEZLEŻNE ZDRZENI ZLEŻNE ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( bo:
ZDRZENI ZLEŻNE I NIEZLEŻNE ZDRZENI NIEZLEŻNE ZDRZENI ZLEŻNE rawdopodobieństwo łączne (prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń i ) ( ) ( ) ( ) ( ) bo: ( ) ( ) ( ) ( )
ZDRZENI ZLEŻNE I NIEZLEŻNE rawdopodobieństwo sumy zdarzeń ZDRZENI NIEZLEŻNE ZDRZENI ZLEŻNE ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Zdarzenia ROZŁĄCZNE: albo albo Zdarzenia ROZŁĄCZNE
WZÓR YES ogólne zastosowanie prawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwo łączne ( ) ( ) prawdopodobieństwo (brzegowe) całkowite
WZÓR YES ogólne zastosowanie prawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwo łączne ( ) ( ( ) / ) ( ) ( / ) prawdopodobieństwo całkowite
KOMINTORYK
ERMUTCJE Liczba możliwych zestawień wszystkich n elementów zbioru z uwzględnieniem kolejności n! 3! 123 6 Grafika z wykładu J. Szydy, 09
WRICJE Liczba wszystkich możliwych zestawień k elementów ze zbioru n elementów z uwzględnieniem kolejności n! 3! 6 n k! 1! Grafika z wykładu J. Szydy, 09
KOMINCJE Liczba możliwych k-elementowych podzbiorów zbioru n elementów (bez uwzględnienia kolejności) n k k! n! n k! 3! 2!1! 6 2 3 Grafika z wykładu J. Szydy, 09
KOMINTORYK o co nam znajomość kombinatoryki? M.in. żeby łatwo określać liczbę zdarzeń będących wynikiem np. kombinacji, a w efekcie określać częstość (prawdopodobieństwo a posteriori) konkretnych zdarzeń rzykład: Jakie jest prawdodobieństwo trafienia szóstki w Lotto? Liczba WSZYSTKICH możliwych szóstek to liczba kombinacji sześciu liczb ze zbioru 49 liczb: 49 6 k! n! n k! 49! 6!(49 6)!? Obliczenia na ćwiczeniach!
SCHEMT ERNOULLIEGO Doświadczenie o dwóch wynikach (orzeł lub reszka, chłopiec czy dziewczynka, itp.) nosi nazwę próby ernoulliego. Oznaczmy jako p prawdopodobieństwo wyniku, na którym nam zależy (sukcesu), np. wyrzucenie orła. Wtedy prawdopodobieńtwo przeciwnego wyniku (reszki) wynosi 1 - p = q. rzy rzucie monetą p = q = 0,5. Wielokrotna próba ernoulliego (np. 10 rzutów monetą) to tzw. schemat ernoulliego. ytanie: jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania k orłów w n rzutach monetą (np. 7 orłów w 10 rzutach)?
SCHEMT ERNOULLIEGO Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania k orłów w n rzutach monetą? ( n; k; p) n k p k q n k Na przykład: 7 orłów w 10 rzutach? (10;7;0,5) 10 0,5 7 7 0,5 107 0,117188 Szczegóły na ćwiczeniach ZRSZM!!!
ODSUMOWNIE 1. Co to jest prawdopodobieństwo? 2. Symbole i definicje 3. Obliczanie prawdopodobieństwa brzegowego, warunkowego, łącznego 4. Wzór ayesa 5. Zdarzenia zależne i niezależne 6. Elementy kombinatoryki 7. Schemat ernoulliego