STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Transkrypt

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych 5. Testy parametryczne (na przykładzie testu t ) 6. Testy nieparametryczne 7. Korelacja i regresja liniowa i nieliniowa 8. Analiza wariancji

2 TESTY PARAMETRYCZNE weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) założenie: znany rozkład populacji (gł. cechy ilościowe o rozkładzie normalnym) hipotezy dotyczące średniej: test t (duże próby test średniej standaryzowanej, z) hipotezy dotyczące wariancji: test F w analizie wariancji i analizie regresji

3 TEST T 1. Zakres stosowalności. la pojedynczej próby 3. la dwu niezależnych prób 4. la dwu sparowanych prób 5. Test uncana

4 0, k k Var E t k k k k f k k ROZKŁA t Copyright 009, Joanna Szyda Kształt zależny od stopni swobody la wielu stopni swobody zbliżony do rozkł. normalnego

5 ZAKRES STOSOWALNOŚCI TESTU T 1. Test parametryczny. ane o charakterze ciągłym 3. Wartości w próbie danych rozkład normalny 4. Porównywane próby danych podobne wariancje

6 POJEYNCZA PRÓBA

7 TEST T POJEYNCZA PRÓBA BM SEX Badanie osteoporozy. Medical Research Council, Cambridge PRÓBA ANYCH 3. Gęstość kości [g/cm ] 40 zdrowych osób dorosłych W próbie: n 0,85 0,

8 TEST T POJEYNCZA PRÓBA 1. Określenie hipotez H 0 i H 1 H 0 : średnia gęstość kości w populacji wynosi 1.0 g/cm H 1 : średnia gęstość kości w populacji różni się od 1.0 g/cm H 0 : = 1.0 H 1 : 1.0 (test dwustronny). Ustalenie poziomu istotności MAX = 0.05

9 Pojedyncza próba, nieznana wariancja 3. Wybór i określenie rozkładu statystyki testowej Statystyka gdzie: t s n s standardowe odchylenie w próbie danych ma rozkład t Studenta o k = n -1 stopniach swobody stopnie swobody (degrees of freedom): wielkość określająca kształt rozkładu statystyki testowej (testu) w zależności od liczby obserwacji w próbie

10 TEST T POJEYNCZA PRÓBA 4. Obliczenie wartości testu t 1.0 s 1,0 s n 0,85 1,0 0, ,1 5. Obliczenie wartości t (lub odczyt t ) T 0, ( t 0,05;40-1 =,07 ) 6. ecyzja t < ma H 0 H 1 ( t > t ) średnia gęstość kości w populacji różni się od 1.0 g/cm

11 WIE NIEZALEŻNE PRÓBY

12 TEST T WIE NIEZALEŻNE PRÓBY BM SEX n PRÓBA ANYCH 1. Badanie osteoporozy. Medical Research Council, Cambridge 3. Gęstość kości [g/cm ] 40 zdrowych osób dorosłych 4. Wartości znane dla mężczyzn i kobiet K M K 0,8 0,88 n M 0

13 TEST T WIE NIEZALEŻNE PRÓBY 1. Określenie hipotez H 0 i H 1 H 0 : średnia gęstość kości kobiet jest taka sama jak mężczyzn H 1 : średnia gęstość kości kobiet jest różna niż mężczyzn H 0 : K = M H 1 : K M (test dwustronny). Ustalenie poziomu istotności MAX = 0.05

14 wie próby, nieznana wariancja 3. Wybór i określenie rozkładu statystyki testowej Statystyka t 1 s gdzie s s n 1 1 s n s 1, n 1 stand. odchylenie i liczebność w pierwszej próbie danych; s, n stand. odchylenie i liczebność w drugiej próbie danych ma rozkład t Studenta o k = n 1 +n - st. swob.

15 TEST T WIE NIEZALEŻNE PRÓBY 4. Obliczenie wartości statystyki testowej t s n K K K M s n M M t 0,8 0, ,88 0, ,8987

16 TEST T WIE NIEZALEŻNE PRÓBY 5. Obliczenie wartości t t ecyzja t > ma H 0 H 1 Nie można odrzucić hipotezy zerowej! TEST JENOSTRONNY: H 0 : K = M H 1 : K < M t ecyzja??

17 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Omułek słodkowodny Hyridella menziesi n= ± 0.9 mg/g [3., 6.8] H 0 : 1 = ma =0,05 t = 1,84 H 1 : 1 T = 0,0709 H 1 : 1 > T = 0,0354 n=30.9 ± 0.7 mg/g [ 1.5, 4.3 ] Wnioski?

18 WIE SPAROWANE PRÓBY (pary skorelowane)

19 TEST T PARY SKORELOWANE PRÓBA ANYCH Low CCT High CCT Badanie ciśnienia w gałce ocznej. Ciśnienie w gałkach tej samej osoby 3. U każdego człowieka oko prawe i lewe ma różną grubość rogówki podział oczu w parach pod tym względem (low CCT i high CCT)

20 TEST T PARY SKORELOWANE 1. Określenie hipotez H 0 i H 1 H 0 : ciśnienie w gałce ocznej nie zależy od grubości rogówki H 1 : ciśnienie w gałce ocznej zależy od grubości rogówki H 0 : L = H H 1 : L H. Ustalenie poziomu istotności MAX = 0.05

21 3. Wybór i określenie rozkładu statystyki testowej TEST T WIE SPAROWANE PRÓBY N S N S S N N S t N i i N i i N i i i i i Średnia arytmetyczna różnic ( i ) w parach obserwacji Błąd standardowy średniej Tak określona statystyka ma rozkład t-studenta o N-1 stopniach swobody (N liczba par!) Standardowe odchylenie różnic

22 TEST T WIE SPAROWANE PRÓBY 4. Obliczenie wartości statystyki S S t i N i1 S S 1i i1 N i N N N i i 0,45 1, ,6589 4,5 10 0,5 0, ,7895 5,6589

23 TEST T WIE SPAROWANE PRÓBY 5. Obliczenie wartości t t ecyzja t > ma H 0 H 1 ciśnienie w gałce ocznej nie zależy od grubości rogówki

24 KILKA PRÓB - TEST UNCANA

25 TEST T KILKA PRÓB, TEST UNCANA PRÓBA ANYCH 1. Badanie frekwencji na zajęciach ze statystyki w USA. 4 grupy - atrakcyjność wykładowcy 3. Frekwencja na zajęciach w semestrze poziom atrakcyjności średnia

26 TEST T KILKA PRÓB, TEST UNCANA 1. Próby uszeregowane od najniższej do najwyższej średniej. Sekwencja kilku testów t dla niezależnych prób 3. Zmodyfikowany poziom błędu istotności MAX MAX * = 1 - (1 - MAX ) n-1 liczba prób 0 1 * = 1 - (1-0.7) -1 = 0.7 pojedynczego testu t 3 H 0 : 1 = H 1 : 1

27 TEST T KILKA PRÓB, TEST UNCANA 1. Próby uszeregowane od najniższej do najwyższej średniej. Sekwencja kilku testów t dla niezależnych prób 3. Zmodyfikowany poziom błędu istotności MAX MAX * = 1 - (1 - MAX ) n * = 1 - ( ) 4-1 = H 0 : 0 = 1 = = 3 H 1 : 0 1 3

28 TEST T KILKA PRÓB, TEST UNCANA 1. Próby uszeregowane od najniższej do najwyższej średniej. Sekwencja kilku testów t dla niezależnych prób 3. Zmodyfikowany poziom błędu istotności MAX MAX * = 1 - (1 - MAX ) n * = 1 - ( ) 3-1 = * = 1 - ( ) 3-1 = H 0 : 0 = 1 = H 1 : 0 1 H 0 : 1 = = 3 H 1 : 1 3

29 TEST T KILKA PRÓB, TEST UNCANA 1. Próby uszeregowane od najniższej do najwyższej średniej. Sekwencja kilku testów t dla niezależnych prób 3. Zmodyfikowany poziom błędu istotności MAX MAX * = 1 - (1 - MAX ) n * = 1 - ( ) -1 = * = 1 - ( ) -1 = H 0 : 0 = 1 H 1 : 0 1 H 0 : = 3 H 1 : 3

30 TEST T KILKA PRÓB, TEST UNCANA 0 1 A A B 3 B 1. Atrakcyjność wykładowcy wpływa na frekwencję. Frekwencja na zajęciach nie różni się istotnie (=0.05) w grupach 1 i oraz i 3

31 Test t 1. Zakres stosowalności. la pojedynczej próby 3. la dwu niezależnych prób 4. la dwu sparowanych prób 5. Test uncana