Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Niech W t (ewentualnie W, W (t)), t oznacza proces Wienera oraz niech W = Niech W = (W, W 2,, W n ) oznacza n-wymiarowy proces Wienera Pokazać, że dla ustalonego t znienna losowa W t ma rozkład N(, t) oraz, dla ustalonych s, t, cov(w s, W t ) = min {s, t} 2 Dla każdego n N zmienna losowa X n przyjmuje wartosci n α/2 i z prawdopodobieństwami odpowiednio /n i /n, gdzie α > Wykaż, że X n zbiega do według prawdopodobieństwa, a nie zbiega do w przestrzeni L 2 3 Dla każdego n N zmienna losowa X n przyjmuje wartosci /n i ( /n), obie z prawdopodobienstwem równym 2 Zbadaj zbieżność ciagu (X n) n N według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w przestrzeni L 2 4 Zbadaj zbieżność według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie, w L 2 ciągu (X n ) n N, jeśli X n ma rozkład jednostajny na przedziale ( /n, + /n) 5 Dane sa ciagi (X n ) i (Y n ) zbiezne wgedług prawdopodobieństwa do X i Y odpowiednio Wykazać, ze (X n Y n ) zbiega wgedług prawdopodobienstwa do XY 6 Pokazać, że proces Wienera jest średniokwadratowo ciągły i nie jest średniokwadratowo różniczkowalny 7 Ustalmy b > Dla dowolnej stałej rzeczywistej a wyznaczyć b a dw t 8 Ustalmy b > Pokazać, że całka Itô: b exp(w t) dw t istnieje 9 Ustalmy T > Skonstruować kontrprzykład pokazujący, że calka Itô nie posiada następującej własności: T g dw t g dw t Ustalmy b > Dla dowolnej stałej rzeczywistej a wyznaczyć b (W t + a) dw t Korzystjąc ze wzoru Itô, obliczyć różniczke stochastyczną procesu: A t = exp( t 2 ) sin W t Sprawdzić, czy proces A t, t jest martyngałem 2 Niech β k (t) = EW k t, k N, t Wykorzystując wzór Ito pokaż, że β k (t) = 2 k(k ) β k 2 (s)ds, k 2 Następnie pokaż, że EW 4 t = 3t 2 i znajdź EW 6 t 3 Niech X(t) := W (s)ds Pokaż, że t> E(X 2 (t)) = t3 3
4 Niech X(t) := W (s)ds Pokaż, że 5 Niech X(t) := e t W (e 2t ) Pokaż, że 6 Wykaż, że jeśli G, H L 2 (, T ), to 7 Pokaż, że t> E(exp(λX(t))) = exp λ2 t 3 6 <s,t<+ E(X(t)X(s)) = e t s ( E G dw ) ( ) T H dw = E GH dt W 2 dw = 3 W 3 (T ) 8 Znaleźć różniczkę stochastyczną procesu W n t W dt 9 Znaleźć różniczkę stochastyczną procesu exp(w t )Jakie SRR spełnia ten proces? 2 Znajdź rózniczkę stochastyczną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu 2 Wykaż, że proces spełnia równanie Wykorzystj ten fakt i pokaż, że E Y := exp g dw /2 g 2 ds exp( dy = gy dw g dw ) = exp 22 Niech u := u(x, t) będzie rozwiązaniem równania u t + 2 u xx = /2 g 2 ds Wykaż, że E u(w (t), t) = u(, ) 23 Niech X t = X t + t a(s)ds+ t b(s)dw s Znaleźć różniczkę stochastyczną procesu Y t, gdzie Y t = exp(x t ) Jakie SRR spełnia proces Y t, jeśli założymy, że 2a(t) = b 2 (t)? Jakie jest rozwiązanie SRR dy t = Y t dw t, Y = 24 Rozwiązać stochastyczne równanie różniczkowe: Znajdź EX t, Var X t dx t = µx t dt + σdw t, t, µ R, σ > 2
25 Znaleźć d(cos W t ) oraz d(sin W t ) Jaki układ SRR i jakie wektorowe SRR spełnia proces Y t, gdzie Y t = (cos W t, sin W t ) T, zwany procesem Wienera na okręgu jednostkowym? 26 Jakie wektorowe SRR spełnia proces Y t, gdzie Y t = (cos W t, sin W t ) T? 27 Niech dx t = m(t, X t )dt+σ(t, X t )dw t Podastawiając Z t = F (t, X t ) możemy zamienić postać równania na dz t = m (t, Z t )dt + σ (t, Z t )dw t (zakładamy, ze f jest ściśle monotoniczna wzgledem x, ciagła, o ciagłych pochodnych czastkowych f x, f xx oraz f t ) Znaleźć postać m oraz σ Dla jkiej funkcji f równanie redukuje się do: σ :=, m := 28 Przypuśćmy, że X t spełnia równanie: X t = + X s σ(s)dw s Rozpatrując f(x t ) = ln X t i korzystając z reguły Itô wykazać, że X t dany jest wzorem X t = exp( σ(s)dw s /2 σ 2 (s)ds) 29 Niech X t spełnia SRR dx t = X t (m(t) + σ(t)dw t ), t >, gdzie m i σ sa nielosowe Pokazać, że X t ma postać i znaleźć postać funkcji g X t = X exp( σ(s)dw s + g(s)ds), 3 Pokazać, że ogólną postacią rozwiązania SRR jest ( t X t = exp( a (s)ds) X t + t t dx t = (a (t)x t + a 2 (t))dt + b(t)dw t a 2 (s) t exp( t a (s)ds) ds + t 3 Rozwiązać równanie Langevina z szumem addytywnym dx t = ax t dt + bdw t, t = 32 Rozwiązać równanie liniowe z szumem addytywnym dx t = b(s) t exp(a (s)ds) dw s) 2 t + X t + b( + t) 2 dt + b( + t) 2 dw t, X = 33 Rozwiązać SRR równanie liniowe z szumem addytywnym dx t = b X t T t dt + dw t,, t < T X = 3 )
34 Rozwiązać równanie Langevina z szumem multiplikatywnym 35 Znaleźć rozwiązania SRR dx t = ax t dt + bx t dw t, t = dx t = (a (t)x t + a 2 (t))dt + (b(t)x t + b 2 (t))dw t 36 Stosując podstawienie X = u(w ) rozwiąż SRR { dx = 2 e 2X dt + e X dw X() = x 37 Rozwiąż SRR: dx = Xdt + e t dw 38 Rozwiązać liniowe SRR z szumem multiplikatywnym dx t = (ax t + c)dt + (bx t + d)dw t 39 Niech σ będzie dodatnią, gładką funkcją Rozwiąż { dx = 2 σ (X)σ(X)dt + σ(x)dw X() = 4 (Linear Boltzmann Machines) Rozwiąż dx = θ(γ X)dt + 2τdW Wyznacz EX, Var X 4 (Harmonic Oscillator) Niech X = (X, X 2 ) oznacza odpowiednio położenie i prędkość oscylatora Rozwiąż równanie: ( ) dx = ax + dw σ 42 Rozwiąż równania: Stock Prices: Exponential Brownian Motion with Drift dx t = µx t dt + σx t dw t ; Vasiceck( 977) Interest rate model: OU Process dx t = α(θ X t )dt + σdw t ; Cox-ingersol-Ross (985) Interest rate model dx t = α(θ X t )dt + σ X t dw t ; Logistic Growth Logistic Growth II dx t = ax t ( X t /k)dt + bx t dw t ; dx t = ax t ( X t /k)dt + bx t ( X t /k)dw t ; 4
Logistic Growth III Gompertz Growth dx t = rx t ( X t /k)dt srx 2 t dw t ; ( ) k dx t = αx t + rx t log dt + bx t dw t ; X t 43 Wykorzystując wzór Itô zapisać następujące procesy X w standardowej formie: dx t = u(t; ω)dt + v(t; ω)dw t X t = (x 3 + 3 W t) 3, x > jest ustalona liczbą; X t = (W t ) 2 ; X = (W + W 2 + W 3, (W 2 ) 2 W W 3 ); 44 Niech c, α,, α n R Niech Znajdź dx t X t := exp ct + n i= α i (W i t ) 45 Niech α,, α n R Rozwiąż SRR (This is a model for exponential growth with several independent white noise sources in the relative growth rate) Znajdź dx t 46 Niech dx t := rx t dt + X t n i= α i dw i t ( n ) R := W = (W i ) 2 i= Wykaż, że R jest rozwiązaniem stochastycznego równania Bessela dr = n i= 2 W i R dw i + n 2R dt 47 Pokaż, że X = (cos W, sin W ) jest rozwiązaniem układu SRR { dx = 2 X dt X 2 dw dx 2 = 2 X2 dt X dw Pokaż, że jeśli X = (X, X 2 ) jest jakimkolwiek innym rozwiązaniem, to X jest stały 48 Rozwiąż { dx = dt + dw dx 2 = X dw 2 5
49 Rozwiąż { dx = X 2 dt + dw dx 2 = X dt + dw 2 5 Rozwiąż { dx = X 2 dt + αdw dx 2 = X dt + βdw 2 (This is a model for a vibrating string subject to a stochastic force) 5 Rozwiąż dx dx 2 = dt + X dw dw 2 6