Krzysztof Piasecki Akademia Ekonomiczna w Poznaniu MATEMATYKA FINANSOWA ZARYS UJĘCIA AKSJOMATYCZNEGO Studiując literaturę z zakresu matematyki finansowej napotykamy dużą ilość modeli oceniających wpływ upływu czasu na ocenę wartości kapitału. To pozorne bogactwo nie ułatwia jednak dokonywania tych wycen, gdyż za każdym razem możemy stanąć przed pytaniem Który z modeli jest właściwy?. Zachodzi tutaj też empirycznie uzasadnione podejrzenie, że wiele z tych modeli jest w zasadzie identycznych ( z finansowego punktu widzenia ) i różnią się jedynie postacią analityczną opisującej je zależności matematycznej. Spostrzeżenia te skłaniają do prób uporządkowania zbioru modeli matematyki finansowej. Naturalną drogą zmierzającą do tego celu jest próba sformułowania układu aksjomatów opisujących zadania stawiane w matematyce finansowej i konsekwentne wyprowadzenie z tych aksjomatów modeli wartościujących kapitał. W literaturze przedmiotu znajdujemy już takie próby [1], [2] sprowadzające się do weryfikacji zgodności tych układów aksjomatów z wykorzystywanymi w praktyce zależnościami matematyki finansowej. W pracy poniższej przedstawiono wyniki próby analizy matematycznej wspomnianych układów aksjomatów. Ograniczono się tutaj do analizy tak zwanych modeli jednoczynnikowych przydatnych w przypadku, gdy mamy do czynienia z kapitalizacją w okresach umownych. W przypadku kapitalizacji w okresach kalendarzowych wykorzystujemy tak zwane modele dwuczynnikowe, które można analizować w podobny sposób. 1. Jednoczynnikowy model akumulacji kapitału Symbolem C oznaczać będziemy wartość nominalną kapitału i przyjmować będziemy, że CR. Dodatnie wartościkapitału C interpretować będziemy jako pozycje należność, depozyt, aktywa, ma natomiast ujemne wartości kapitału C interpretować będziemy jako pozycje zobowiązanie, kredyt, pasywa, winien. Obszar czasowy naszych rozważań oznaczymy jako przedział czasowy [0;T]. Definicja 1.1 [1]: Wartością przyszłą kapitału CR lokowanego na przeciąg czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość MR spełniającą aksjomaty: (A1) C;t )R[0;T] M=M(C;t), (A2) C 1 ;C 2 ;t )R 2 [0;T] MC 1 +C 2 ;t )= MC 1 ;t ) +MC 2 ;t ), (A3)C;t 1 ; t 2 )R[0;T] 2 t 1 >t 2 MC;t 1 ) MC;t 2), (A4) CR Założenia powyższej definicji prowadzą nas wprost do: M(C;0)=C. Twierdzenie 1.1: Aksjomaty (A1), (A2), (A3), (A4) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby C;t )R[0;T] M(C;t)=Cf(t), (1.1)
gdzie czynnik akumulacyjny 1 f: [0;T] jest niemalejącą funkcją spełniającą warunek f(0)=1. (1.2) Korzystając z pojęcia wartości przyszłej M kapitału można zdefiniować sprzężone z nią pojęcie wartości bieżącej S kapitału C dostępnego po upływie czasu t. Predefinicja 1.2: Wartość bieżąca S kapitału C dostępnego po upływie czasu t jest równa wartości kapitału, który ulokowany na upływ czasu t osiągnie wartość równą C. Z formalnego punktu wartość bieżącą można zatem zdefiniować w następujący równoważny sposób. Definicja 1.2: Wartością bieżącą S sprzężoną z wartością przyszłą funkcję S: R[0;T] R spełniającą warunek nazywamy dowolną C;t )R[0;T] M(S(C;t);t)=C (1.3) Możliwe tutaj jest też równoważne odmienne ujęcie formalne predefinicji 1.2, gdyż mamy Lemat 1.1: Warunek (1.3) jest równoważny warunkowi C;t )R[0;T] S(M(C;t);t)=C (1.4) Ponadto mamy tutaj: Twierdzenie 1.2: Aksjomaty (A1), (A2), (A3), (A4) i warunek (1.3) są warunkami koniecznymi i koniecznymi na to, aby C;t )R[0;T] S(C;t)=Cf -1 (t)=c(t), (1.5) gdzie czynnik dyskontujący [0;T] jestnierosnącą funkcją spełniającą warunek (0)=1. (1.6) Twierdzenie 1.3: Aksjomaty (A1), (A2), (A3), (A4) i warunek (1.3) są warunkami koniecznymi i koniecznymi na to, aby spełnione były warunki (B1) C;t )R[0;T] S=S(C;t), (B2) C 1 ;C 2 ;t )R 2 [0;T] SC 1 +C 2 ;t )= SC 1 ;t ) +SC 2 ;t ), (B3)C;t 1 ; t 2 )R[0;T] 2 t 1 >t 2 SC;t 1 ) SC;t 2), (B4) CR S(C;0)=C. Ostatnie twierdzenie pokazuje, że w równoważny sposób modele matematyki finansowej mogą przyjąć jako punkt wyjścia pojęcie wartości bieżącej S kapitału zdefiniowanej aksjomatycznie przy pomocy warunków (B1), (B2), (B3) i (B4). Ujęcie takie zaproponowano w [2]. Wtedy zależność (1.4) definiuje dowolną wartość przyszłą M kapitału sprzężoną z zadaną wartością bieżącą S. Twierdzenia 1.1 i 1.2 pokazują, że relacja pomiędzy sprzężonymi 1 W literaturze przedmiotu nazywany też czynnikiem oprocentowywującym
wzajemnie wartościami przyszłą M i bieżącą S jest przyporządkowaniem wzajemnie jednoznacznym. S(C;t) M(C;T-t) 0 t T S(M(C;T-t);T) Rys. 1 Na rysunku 1 przedstawiono dwa schematy wyznaczania wartości bieżącej S(C;t). Naturalnym jest tutaj stawiać wymaganie, aby spełniony był warunek S(C;t)= S(M(C;T-t);T). (1.7) Definicja 1.3: Jeśli spełniony jest warunek (1.7), to wartość bieżącą S: R[0;T] R i wartość przyszłą M: R[0;T] R nazywamy wzajemnie zgodnymi. Twierdzenie 1.4: Każda para wzajemnie zgodnych wartości bieżącej S i wartości przyszłej M jest parą wartości wzajemnie sprzężonych. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, gdyż mamy: Przykład 1.1: Jako model wartości przyszłej wybieramy - znaną z literatury - zależność opisującą oprocentowanie proste. Mamy wtedy C;t )R[0;1] M(C;t)=Ctp), gdzie symbol p. oznacza nominalną stopę procentową. Sprzężona wartość bieżąca jest wtedy dana tożsamością C;t )R[0;1] S(C;t)=Ctp) -1. Przyjmijmy C=100 zł; p =0,2 ; t =0,5. Mamy wtedy S(100 zł; 0,5)= 90,90 zł a z drugiej strony S(M(100 zł; 0,5); 1)= 91,67 zł. Warunek (1.7) zatem nie zachodzi.. W praktyce nader naturalny postulat wzajemnej zgodności wartości przyszłej bieżącej jest bardzo silnym warunkiem ograniczającym, gdyż mamy: Twierdzenie 1.5: Wartość przyszła M określona zależnością (1.1) i sprzężona z nią wartość bieżąca S są wzajemnie zgodne wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taka stała AR +, że czynnik akumulacji kapitału wyznaczający wartość przyszłą M dany jest tożsamością f(t)=a t. (1.8)
Większość powszechnie stosowanych modeli matematyki finansowej nie spełnia zatem warunku wzajemnej zgodności wartości przyszłej i bieżącej. Spostrzeżenie to nakłada na nas obowiązek szczególnej ostrożności przy stosowaniu tych metod w analizach wielokrotnych przepływów finansowych ( analiza cash flow ). 2. Oprocentowanie proste Zajmiemy się teraz problemem wartości użytkowania kapitału CR w przeciągu czasu t [0;T]. W przypadku, gdy kapitał C opisuje aktywa to wartość użytkowania kapitału C powinna być identyczna z przychodami jakie uzyskujemy z tytułu posiadania tych aktywów. Z drugiej strony, gdy kapitał C opisuje pasywa to wartość użytkowania kapitału C powinna być identyczna z kosztami jakie ponosimy przy korzystaniu z tych pasywów. Definicja 2.1: Wartością użytkowania kapitału CR lokowanego na przeciąg czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość PR spełniającą aksjomaty: (P1) C;t )R[0;T] P=P(C;t), (P2) C 1 ;C 2 ;t )R 2 [0;T] PC 1 +C 2 ;t )= PC 1 ;t ) +PC 2 ;t ), (P3)C;t 1 ; t 2 )R[0;T] 2 P(C:t 1 +t 2 )=PC;t 1 ) PC;t 2), (P4) C 1 ;C 2 ;t )R 2 [0;T] C 1 >C 2 PC 1 ;t ) PC 2 ;t ), (P5) pr P(1:1)=p. Wartość p - nazywaną nominalną stopą procentową - interpretujemy jako wartość użytkowania jednej jednostki kapitału przez jeden okres obrachunkowy. Przyjęto tutaj założenie o stałej stopie nominalnej. Założenie to stosowane wtedy, gdy podstawą obliczeń jesr aktualna nominalna stopa procentowa. Problem zmiennej stopy procentowej jest rozwiązywany przy pomocy tak zwanego dwuczynnikowego modelu akumulacji kapitału. Poniższe twierdzenie pokazuje, że wartość użytkowania kapitału jest jednoznacznie wyznaczona przez funkcję parametryzowaną przez nominalną stopę procentową p. Twierdzenie 2.1: Aksjomaty (P1), (P2). (P3), (P4) i (P5) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby C;t )R[0;T] P(C;t)= Ctp= P(C;tp). (2.1) Rozpatrywać tutaj będziemy ogólny przypadek kiedy to wartość użytkowanego kapitału C będzie się zmieniać w czasie,. Z sytuacją mamy do czynienia na przykład w przypadku kredytu odnawialnego lub kapitalizacji odsetek. Z tej przyczyny zmienną wartość kapitału opisywać będziemy przy pomocy funkcji C: [0;T] R ( C R [0;T] ). W praktycznych zastosowaniach zmienny kapitał C jest opisywany na ogół przy pomocy funkcji schodkowej. Z punktu widzenia potrzeb matematyka możemy tutaj śmiało zakładać, że zmienny kapitał C jest funkcją całkowalną w przedziale [0;T]. Definicja 2.1 opisała nam wartość użytkowania kapitału C jako funkcję P(.;.p): R[0;T] R. Potrzeba wyznaczenia wartości użytkowania kapitału C R [0;T] stawia nas przed koniecznością rozszerzenia funkcji P(.;.p):
R[0;T] R do funkcji P(.;.p): R [0;T] [0;T] R pełniącej rolę uogólnionej wartości użytkowania zmiennego kapitału. Dla uproszczenia dalszych rozważań kapitał o stałej wartości będziemy reprezentować przy pomocy elementów rodziny indeksowanej C C R [0;T] ; t [0;T] : C C (t)=c, CR }. (2.2) Definicja 2.2: Uogólnioną wartością użytkowania zmiennego kapitału CR [0;T] lokowanego na przeciąg czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość PR spełniającą aksjomaty: (P6) C;t ) R [0;T] [0;T] P=P(C;t), (P7) C C P(C C ;t) = P(C;t). Także i uogólnioną wartość użytkowania zmiennego kapitału możemy wyznaczyć jednoznacznie posługując się następującym twierdzeniem. Twierdzenie 2.2: Aksjomaty (P6) i (P7) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby t C;t )R [0;T] [0;T] P(C; t) = P(C; tp) = p C() d. (2.3) 0 Ostatni wynik nie jest bezpośrednio wykorzystywany w praktyce finansowej. Istotną domeną jego zastosowań może być teoria matematyki finansowej, gdyż zależność (2.3) może być doskonałym narzędziem służącym znajdowaniu i badaniu dalszych modeli matematyki finansowej. 3.Oprocentowanie złożone - zmienne okresy kapitalizacji Wartość użytkowania kapitału jest potocznie nazywana odsetkami. Kapitalizacja odsetek polega na dodawaniu do wartości kapitału odsetek należnych z tytułu użytkowania tego kapitału. Predefinicja 3.1: Wartością skapitalizowaną W kapitału C lokowanego na upływ czasu t nazywamy sumę bieżącej wartości nominalnej tego kapitału i wartości nominalnej skapitalizowanych odsetek. Rozważmy zmienność wartości skapitalizowanej W pod wpływem upływu czasu t[0;t] z formalnego punktu widzenia. W celu w przedziale [0;T] wyróżnimy ciąg terminów kapitalizacji = {t i } i=0 n spełniający warunek 0= t 0 < t 1 < t 2 <...< t n-1 <t n =T. Ciąg nazywamy terminarzem kapitalizacji. O wartości skapitalizowanej zakładamy, że: - wartość skapitalizowana może zmieniać swą wartość jedynie w terminach kapitalizacji; - wszystkie odsetki należne z tytułu użytkowania kapitału C przez upływ czasu t k ( k=1,..., n) są kapitalizowane najpóźniej w terminie t k i nie wcześniej niż w terminie t k-1. Te założenia pozwalają sformułować aksjomatyczną definicję wartości skapitalizowanej. Definicja 3.1: Wartością skapitalizowaną kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość WR spełniającą aksjomaty: (V1) C;t )R[0;T] W=W(C;t),
(V2) k=1,..., n t ] t k-1, t k [ C k W(C;t)= C k (V3) CR W(C;0)=C, (V4) CR k=1,..., n W(C;t k )= W(C;t k-1 ) +P(C; t k -t k-1 ). Ostatnia definicja nie określa w jednoznaczny sposób wartości skapitalizowanej. Nadal istnieje możliwość kapitalizacji odsetek. Między innymi w przypadku kredytu kupieckiego stosuje się kapitalizację z góry. Polega ona na kapitalizacji odsetek należnych z tytułu użytkowania kapitału przez pewien okres na początku tego okresu. Definicja 3.2: Wartością skapitalizowaną z góry kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość skapitalizowaną W: R[0;T] R spełniającą dodatkowo aksjomat: (V5) k=1,..., n t ] t k-1, t k [ W(C;t)= W(C;t k ). Twierdzenie 3.1: Jeśli spełniony jest warunek k=1,..., n p k = p( t k - t k-1 ) < 1, (3.1) to wtedy aksjomaty (V1), (V2), (V3), (V4) i (V5) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby wartość skapitalizowana z góry W: R[0;T] R była określona zależnością C;t )R[0;T] W(C;t) = Cw(t), (3.2) gdzie czynnik kapitalizacji z góry w: [0;T] jest niemalejącą funkcją spełniającą warunek (1.2). Szczegółowa zależność opisująca czynnik kapitalizacji z góry ma skomplikowany, rekurencyjny charakter i dla tej przyczyny została tutaj pominięta. Zainteresowany czytelnik znajdzie tą zależność w [3]. Warto tutaj tylko zaznaczyć, że czynnik kapitalizacji z góry jest jednoznacznie parametryzowany przez nominalną stopę procentową p i terminarz kapitalizacji. Z tej przyczyny możemy zapisać C;t )R[0;T] W(C;t) = Cw(t) = Cw(tp; ) = W(C;tp; ). (3.3) Drugim sposobem kapitalizacji rozpatrywanym przez nas będzie kapitalizacja z dołu. Metoda ta jest zalecana szczególnie wtedy, gdy wartość ulokowanego kapitału ulega częstym fluktuacjom. Polega ona na tym, że odsetki z tytułu użytkowania kapitału przez pewien okres kapitalizuje się na końcu tego okresu. Definicja 3.3: Wartością skapitalizowaną z dołu kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość skapitalizowaną W: R[0;T] R spełniającą dodatkowo aksjomat: (V6) k=1,..., n t ] t k-1, t k [ W(C;t) = W(C;t k-1 ).
Twierdzenie 3.2: Aksjomaty (V1), (V2), (V3), (V4) i (V6) są warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, aby wartość skapitalizowana z dołu W: R[0;T] R była określona zależnością C;t )R[0;T] W(C;t) = Cw(t), (3.4) gdzie czynnik kapitalizacji z dołu w: [0;T] jest niemalejącą funkcją spełniającą warunek (1.2). Szczegółowa zależność opisująca czynnik kapitalizacji z dołu ma skomplikowany, rekurencyjny charakter i dla tej przyczyny została tutaj pominięta. Zainteresowany czytelnik znajdzie tą zależność w [3]. Warto tutaj tylko zaznaczyć, że czynnik kapitalizacji z dołu jest jednoznacznie parametryzowany przez nominalną stopę procentową p i terminarz kapitalizacji. Z tej przyczyny możemy zapisać C;t )R[0;T] W(C;t) = Cw(t) = Cw(tp; ) = W(C;tp; ). (3.5) Zgodnie z twierdzeniem 1.1 obie wartości skapitalizowane opisują wartości przyszłe kapitału i w tej sytuacji mogą posłużyć do wyznaczenia przy pomocy zależności (1.5) sprzężonej wartości bieżącej. Nie są to niestety wartości zgodne 2. Rozważmy teraz przypadek skapitalizowanej wartości kapitału równej po każdym upływie czasu kapitałowi wraz z dopisanymi odsetkami przysługującymi z tytułu użytkowania tego kapitału. Oznacza to, że odsetki są kapitalizowane w sposób ciągły. Z tego powodu określoną powyżej wartość skapitalizowaną nazywać będziemy wartością skapitalizowaną ciągle i z formalnego punktu widzenia definiować następująco: Definicja 3.4: Wartością skapitalizowaną ciągle kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość W * (C;t) opisaną funkcją W * : R[0;T] R spełniającą aksjomat: (V7)C;t )R[0;T] W * (C;t) = C+ P(W * (C;t); t p). Twierdzenie 3.3: Aksjomat (V7) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wartość skapitalizowana ciągle W * : R[0;T] R była określona zależnością C;t )R[0;T] W * (C;t) = Cw * (t) = Ce pt. (3.6) Zgodnie z twierdzeniami 1.1 i 1.5 wartość kapitalizowana ciągle jest wartością przyszłą kapitału generującą przy pomocy zależności (1.5) sprzężoną i zgodną wartość bieżącą kapitału. Łatwo dostrzec, że wartość kapitalizowana ciągle jest parametryzowana jedynie przy pomocy nominalnej stopy procentowej p, co możemy zapisać C;t )R[0;T] W * (C;t) = Cw * (t) = Cw * (tp) = W * (C;tp). (3.7) Na koniec tego rozdziału rozważmy jeszcze pojęcie wartości wymagalnej rozumianej jako suma wartości skapitalizowanej kapitału i nieskapitalizowanych jeszcze odsetek. Oczywistym jest, że w przypadku wartości kapitalizowanej z góry oraz wartości kapitalizowanej ciągle nieskapitalizowane odsetki są zawsze równe zeru. Oznacza to, że o wartości wymagalnej 2 porównaj [3]
możemy ograniczyć się jedynie do przypadku wartości kapitalizowanej z dołu. Spostrzeżenia te prowadzą do następującej definicji formalnej wartości wymagalnej: Definicja 3.5: Wartością wymagalną kapitału CR lokowanego na upływ czasu t[0;t] nazywamy dowolną wartość W + (C;t) opisaną funkcją W + : R[0;T] R spełniającą aksjomat: (V8)k=1,..., n C;t )R[ t k-1, t k [ W + (C;t) = W(C;t k-1 ) + P(W(C;t k-1 ); t- t k-1 p). Twierdzenie 3.4: Aksjomaty (V7) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wartość wymagalna W + : R[0;T] R była określona zależnością t C;t )R[0;T] W + (C;t) = C w + (t) = C+pw() d ). (3.6) 0 Zgodnie z twierdzeniem 1.1 wartość wymagalna opisuje wartość przyszłą kapitału i w tej sytuacji może posłużyć do wyznaczenia przy pomocy zależności (1.5) sprzężonej wartości bieżącej. Nie są to niestety wartości zgodne 3. Warto tutaj tylko zaznaczyć, że czynnik wymagalności jest jednoznacznie parametryzowany przez nominalną stopę procentową p i terminarz kapitalizacji. Z tej przyczyny możemy zapisać C;t )R[0;T] W + (C;t) = C w + (t) = C w + (tp; ) = W + (C;tp; ). (3.7) 4.Oprocentowanie złożone - stałe okresy kapitalizacji W rozdziale tym rozpatrzymy przypadek, kiedy długość poszczególnych okresów kapitalizacji jest stała. Terminarz kapitalizacji = {t i } n i=0 spełnia wtedy warunek dr k=1,..., n t k - t k-1 = d. (4.1) Twierdzenie 4.1: Jeśli terminarz kapitalizacji spełnia warunek (4.1), to wtedy dla dowolnej liczby całkowitej k=0,1, 2,..., n i dowolnej liczby rzeczywistej mamy W(C; (k+)dp; d) = Cw((k+)dp; d) = C(1+ pd ) k, (4.2) W + (C;(k+)dp;d)=Cw + ((k+)dp;d)=c(1+pd) k 1+p. (4.3) Twierdzenie 4.2: Jeśli terminarz kapitalizacji spełnia warunek (4.1) oraz jest spełniony warunek pd < 1, (4.4) to wtedy dla dowolnej liczby całkowitej k=0,1,..., n i dowolnej liczby rzeczywistej mamy W(C; (k+1-)dp; d) = Cw((k+1-)dp; d) = C(1- pd ) -k-1. (4.5) 3 porównaj [3]
Ostatnie twierdzenia określają jednoznacznie omawiane funkcje wartości przyszłej w całym przedziale [0;T] oraz pokazują, że funkcje te są parametyryzowane przez nominalną stopę procentową p i długość okresu kapitalizacji d. Ponadto jest tutaj wyraźnie widoczne 4, że także i w tym przypadku sprzężone wartości bieżące nie są zgodne. Badając przebieg zmienności czynników kapitalizacji z góry i z dołu 5 dla tych samych wartości nominalnej stopy procentowej p i długości okresu kapitalizacji d możemy stwierdzić, że pierwszy z tych czynników wzrasta znaczniej szybciej niż drugi. Jest to niezgodne z praktyką rynku finansowego, gdzie stopy procentowe kapitalizacji z góry i z dołu są dobrane nawzajem w ten sposób, aby zachować to samo tempo wzrostu kapitału przy każdej z metod kapitalizacji odsetek. Będziemy uważać, że wartość kapitalizowana z góry wzrasta tak samo szybko jak wartość kapitalizowana z dołu jeśli w każdym terminie kapitalizacji t k jedna z tych wartości będzie równa drugiej. W praktyce finansowej nominalna stopa procentowa p związana jest z kapitalizacją z dołu. Spostrzeżenia te pozwalają na zaproponowanie następującej definicji. Definicja 4.1: Stopą procentową kapitalizacji z góry ( skontem ) równoważną nominalnej stopie procentowej p nazywamy wartość p * R spełniającą warunek: CR k=1,..., n W(C;t k p * ; ) = W(C;t k p; ). Twierdzenie 4.2: Jeśli terminarz kapitalizacji spełnia warunek (4.1) oraz jest spełniony warunek p, (4.7) to wtedy skonto p * równoważne nominalnej stopie procentowej p jest dane zależnością p * = p(1+pd) -1. (4.8) Jeśli terminarz kapitalizacji nie spełnia warunku (4.1) to dla dowolnej nominalnej stopy procentowej p nie istnieje wartość p * spełniająca warunek Zauważmy teraz, że mamy CR k=1,..., n W(C;t k p * ; ) = W(C;t k p; ) = W + (C;t k p; ). Możemy zatem przyjąć, że rynek finansowy jest w wystarczający sposób opisywany przez wartość kapitalizowaną z dołu i wartość wymagalną parametryzowane przez nominalną stopę procentową p oraz wartość kapitalizowaną z góry parametryzowaną przez skonto p * równoważne nominalnej stopie p. Żadna z tych wartości przyszłych kapitału nie wyznacza niestety zgodnej sprzężonej wartości bieżącą. Jedyną dostępną wartością przyszłą generującą zgodną sprzężoną wartość bieżącą pozostaje zatem metoda kapitalizacji ciągłej. Z drugiej strony jednak badając przebieg zmienności czynnika kapitalizacji ciągłej zauważamy, że wzrasta on znacznie szybciej niż czynnik kapitalizacji z dołu wyznaczający - jak to sugeruje to warunek (4.9) - tempo wzrostu wartości kapitału na rynku finansowym. Połączenie postulatów określenia wartości przyszłej zachowującej tempo wzrostu kapitału i generującej zgodną sprzężoną wartość bieżącą prowadzi do sformułowania następującej definicji. 4 porównaj twierdzenie 1.5 5 porównaj [3]
Definicja 4.2: Zgodną aproksymantą rynku finansowego nazywamy dowolną wartość przyszłą kapitału M * : R[0;T] R spełniającą warunki (1.3), (1.7) i warunek: CR k=1,..., n M * (C;t k p; ) = W(C;t k p; ). Twierdzenie 4.3:Jeśli terminarz kapitalizacji spełnia warunek (4.1), to wtedy jedyna zgodną aproksymantą rynku finansowego M * : R[0;T] R jest dana zależnością: C;t )R[0;T] M * (C;tp; d) = Cm. * (tp; d) = C(1+pd) 1/d ] t. (4.11) Jeśli terminarz kapitalizacji nie spełnia warunku (4.1) to nie istnieje wartość przyszła kapitału spełniająca warunki (1.3), (1.7) i 5. UWAGI KOŃCOWE Autor ma świadomość, że zaproponowany powyżej układ warunków definicyjnych może nie satysfakcjonować pewnych teoretyków i praktyków interesujących się problematyką matematyki finansowej. Z drugiej strony ma też świadomość, że jedynie wyrażenie explicite aksjomatów leżących u podstaw modelu i zbadanie konsekwencji przyjęcia tych aksjomatów umożliwia w pełni wnikliwą dyskusję modelu. Stąd moim zdaniem budowanie układów aksjomatycznych definicji pojęć funkcjonujących już w praktyce może przyczynić się nie tylko do uproszczenia treści wykładanych nam w ramach matematyki finansowej ale i do dalszego rozwoju tej dyscypliny wiedzy. Formalne dowody wszystkich przytoczonych tu twierdzeń znajdują się w [3]. Literatura: [1] E. Castagnoli, Appunti di Matematica Finanziara, Unicopli, Milano 1986. [2] L. Peccati, Su di una caractterizzazione del principio del criterio dell attualizzazione, Studium Parmense, Parma 1972. [3] K.Piasecki, Matematyka finansowa w ujęciu aksjomatycznym, przygotowywany maszynopis.