EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ**

Transkrypt

1 SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA PWSZ im. J. A. Komeńskiego w Lesznie R o k 0 0 8, n r 6 KRZYSZTOF PIASECKI* EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ** THE EFFECT OF SYNERGY IN FINANCIAL ARITHMETICS Słowa kluczowe: Wartość przyszła, wartość bieżąca, synergia kapitału Key words: future value, present value, synergy of capital Streszczenie: W pracy implementowano warunek synergii kapitału do układu aksjomatów arytmetyki finansowej opisujących wartość przyszłą. Uzyskano w ten sposób pojęcie uogólnionej wartości przyszłej. Zbadano podstawowe własności uogólnionej wartości przyszłej. Zbadano też własności uogólnionej wartości bieżącej. Zwrócono uwagę na kontekst ekonomiczny uzyskanych wyników formalnych. Abstract: In the article, the condition of synergy of capital was implemented to the system of financial arithmetics axioms describing future value. As a result, the notion of generalized future value was received. Basic characteristics of generalized future value were researched. What s more the characteristics of generalized present value were researched as well. Special emphasis was put on the economic context of received formal results. ** Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. J. A. Komeńskiego w Lesznie ** Zawarte w tym artykule oryginalne wyniki zostały przedstawione na posiedzeniu Leszczyńskiego Towarzystwa Przyjaciół Nauk w dniu 3 maja 007. Głównym celem tego wystąpienia była prezentacja alchemii warsztatu badawczego autora, do czego zachęcał Prezes LTPN, prof. dr hab. Stanisław Sierpowski.

2 56 K. PIASECKI Efekt synergii kapitału w arytmetyce finansowej. PROBLEM BADAWCZY. RESEARCH PROBLEM Pieniądz odpowiednio traktowany zwiększa swą wartość wraz z upływem czasu. Jest to przyrost wartości realnej będącej naturalną konsekwencją ogólnego kierunku rozwoju społeczności ludzkiej, polegającej na zwiększeniu wartości tworzonych towarów i usług. Pieniądz, jako ekwiwalent tych produktów bezpośrednio na nie wymienialny, zwiększa zatem w czasie swą wartość. Jest to wyidealizowany, ze względów na zastosowanie tutaj zasadę ceteris paribus, model przyrostu wartości pieniądza. Ostatnio w polskiej literaturze problem pracy ludzkiej jako czynnika kształtującego przyrost wartości jednostki pieniężnej podnosi M. Dobija [00] cytując przy okazji cały szereg prac równie prominentnych autorów wyrażających ten sam pogląd. Przyrost ten jest dokładnie modelowany przy pomocy całego systemu równań nazywanego kiedyś matematyką finansową [Dobija i Smaga 995; Sobczyk 997], a obecnie arytmetyką finansową [Smaga 999] lub teorią procentu [Chrzan 00; Luenberger 003]. Przy analizie tych modeli uderza ich wysoka złożoność logiczna wyrażająca się dużą ilością przyjętych założeń. W [Piasecki 005] zaproponowano uproszczenia tego systemu na drodze zbudowania matematycznej teorii aksjomatyczno-dedukcyjnej. Przyjęto jednak tam implicite założenie, że tempo przyrostu wartości kapitału jest niezależne od ilości zgromadzonego kapitału. Praktyka gospodarowania i teoria ekonomii wskazują jednak bardzo wyraźnie, że tempo przyrostu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedsięwzięciu rośnie wraz ze wzrostem wartości zainwestowanego kapitału. Efekt ten nazywa się efektem synergii kapitału. W prezentowanej pracy zostanie przedstawiona implementacja warunku synergii kapitału do zaprezentowanego w [Piasecki 005] układu aksjomatów arytmetyki finansowej.. ARYTMETYKA FINANSOWA PODSTAWY UJĘCIA. AKSJOMATYCZNEGO. FINANCIAL ARITHMETICS BASICS OF AXIOMATIC APPROACH Cześć ta w całości została opracowana na podstawie [Piasecki 005]. Tam też można znaleźć dowody przedstawionych tutaj twierdzeń. Na wstępie zostanie przedstawiony model opisującego proces przyrostu (aprecjacji) wartości kapitału w jednoznacznie wyróżnionym przedziale czasowym [ 0,T ]. Model ten odnosi się do instrumentu finansowego o wartości nominalnej C w momencie t = 0. Wartość C nazywamy wartością początkową. Przyjmujemy tutaj umowę, że nieujemne wartości finansowe odpowiadać będą przychodom, należnościom lub pozostałym aktywom, podczas gdy ujemne wartości finansowe opisywać będą wydatki, zobowiązania lub inne pasywa. t 0,T przy- Wartości początkowej C i dowolnemu momentowi czasowemu [ ]

3 SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA NR 6 57 pisujemy wartość przyszłą ( C t) s,. Oznacza to, że wartość przyszła spot jest funkcją określoną nad dziedziną określoną przez iloczyn kartezjański [ 0, T ] = {( c, t) : c R, t [ 0 T ]} R,. Podstawowe własności wartości przyszłej spot opisuje poniższa definicja. Definicja : Wartością przyszłą spot nazywamy funkcję s : R [0, T ] R spełniającą dla dowolnych wartości początkowych C, C R i momentów czasowych t, t [ 0, T ] warunki: ( C C, t ) = s( C, t ) s( C t ) s + + ; (), ( t t C > 0) s( C, t ) s( C t ) > ; (), ( C, 0 ) C s =. (3) Warunek () zakłada, że dowolnie wyznaczana wartość przyszła spot jest funkcją addytywną wartości początkowej. Oznacza to, że wartość przyszła sumy kapitału jest równa sumie wartości przyszłych kapitału. Warunek ten wyklucza efekt synergii kapitału i z tego względu będzie szczegółowo rozważany w drugiej części tej pracy. Warunek () informuje, że wraz z upływem czasu wartość przyszła aktywów nie może zmaleć. Inaczej mówiąc, na oszczędzaniu nie można stracić. Warunek (3) identyfikuje wartość przyszłą spot przypisaną chwili bieżącej z wartością początkową. W arytmetyce finansowej wartość przyszłą traktujemy jako model trendu ewolucji wartości pieniądza. Model ten służy między innymi do określenia wartości bieżącej określonego zasobu finansowego dostępnego w przyszłości. Każdy taki zasób może być opisany za pomocą strumienia finansowego. Weźmy teraz pod uwagę strumień finansowy reprezentowany przez parę ( t C) [ 0, T ] R,, gdzie: t oznacza moment przepływu strumienia, C opisuje wartość nominalną tego przepływu. Zastosowano tutaj uporządkowanie pary argumentów odmienne od uporządkowania pary argumentów wartości przyszłej. Rozróżnienie to ma służyć podkreśleniu faktu, że w przypadku dowolnego strumienia finansowego zmienna czasu jest jednoznacznie powiązana z opisaną w parze wartością nominalną, podczas gdy w przypadku wartości przyszłej moment czasu nie jest powiązany z wartością początkową. Wartość bieżąca strumienia finansowego ( t, C) jest taką wartością początkową PV ( t, C), której wartość przyszła przypisana t, C jest równa wartości nominalnej C tego momentowi przepływu strumienia ( )

4 58 K. PIASECKI Efekt synergii kapitału w arytmetyce finansowej przepływu. Ta definicja w formalny sposób może być zapisana przy pomocy tożsamości Twierdzenie : ( PV ( t C), t) C Tożsamość (4) jest równoważna tożsamości s, =. (4) ( t s( C, t) ) C PV, =. (5) Proces wyznaczania wartości bieżącej nazywamy potocznie dyskontowaniem wartości kapitału. Twierdzenie : Warunki (), (), (3) i (4) są warunkami dostatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t [ 0,T ] spełnione były warunki: ( t, C C ) = PV ( t, C ) PV ( t C ) PV + + ; (6), ( t t C > 0) PV ( t, C ) PV ( t C ) > ; (7), ( 0, C ) C PV =. (8) Dzięki Twierdzeniu wiemy, że na to, aby opisać procesy aprecjacji kapitału i dyskontowania wartości kapitału, wystarczy określić jedynie dowolną wartość przyszłą spełniającą warunki (), () i (3) albo dowolną wartość bieżącą spełniające warunki (6), (7) i (8). W pierwszym przypadku wartość bieżącą jest wyznaczana przy pomocy zależności (4). W drugim przypadku wartość przyszła jest wyznaczana przy pomocy zależności (5). 3. AKSJOMATYCZNE UJĘCIE EFEKTU SYNERGII KAPITAŁU 3. AXIOMATIC APPROACH OF SYNERGY OF CAPITAL EFFECT Pan Profesor Antoni Smoluk z Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu w swej recenzji wydawniczej książki [Piasecki 005] zaproponował zastąpienie w Definicji warunku () przez warunek [ 0, T ]: s( C + C, t) s( C, t) s( C t), + C C R t,. (9) Zaproponowany warunek jest modelem dopuszczającym efekt synergii kapitału. Oznacza to przyjęcie założenia, że tempo przyrostu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedsięwzięciu rośnie wraz ze wzrostem wartości zainwestowanego kapitału. Prawdziwość tego założenia wielokrotnie była weryfikowana empirycznie. Dyskutując warunek (9) warto też zauważyć, że dla C < 0 warunek ten opisuje efekt dźwigni finansowej. Z tego powodu warunek

5 SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA NR 6 59 (9) zostanie wykorzystany w tej części do uogólnienia definicji wartości przyszłej kapitału do przypadku niewykluczającego już efektu synergii. Definicja : Uogólnioną wartością przyszłą nazywamy funkcję s : R [0, T ] R spełniającą dla dowolnych wartości początkowych C, C R i momentów czasowych t, t [ 0, T ] warunki: (), (3) i (9). Twierdzenie 3: Dowolna uogólniona wartość przyszła Dowód: s : R [0, T ] R posiada właściwości: [ 0, T ]: s( C, t) > 0 + C R t, (0) [, T ]: s ( 0, t ) 0 t 0 =, () [, T ]: s( C, t) 0 C R t 0 <, () [ 0, T ]: s( C, t) + s( C, t) 0 C R t, (3) [ 0, T ]: C > C s( C, t) s( C t), > C C R t,. (4) Z () i (3) dla dowolnej pary ( C, t) R [ 0, T ] co dowodzi (0). Stąd jeśli C + otrzymujemy ( C, t) s( C,0) = C > 0 s, C >, to z (9) dla dowolnego t [ 0,T ] s ( C, t) s( C C, t) + s( C, t) > s( C, t) co dowodzi (4). Korzystając z (9) dla dowolnego t [ 0,T ] s ( 0, t) s( 0, t) + s( 0, t) 0 s( 0, t), mamy otrzymujemy. (*) Z drugiej strony, korzystając z () i (3), dla dowolnego momentu czasowego otrzymujemy [ 0 ] t,t ( 0, t) s( 0,0) = 0 s. (**) Zestawiając razem (*) i (**) otrzymujemy (). Korzystając z (9) i (), dla C, t R 0, T mamy dowolnej pary ( ) [ ] ( C C, t) s( C, t) + s( C t) 0 = s,,

6 60 K. PIASECKI Efekt synergii kapitału w arytmetyce finansowej co dowodzi (3). Korzystając teraz z (0) i (3), dla dowolnej pary C, t R 0, T otrzymujemy ( ) [ ] ( C, t) + s( C, t) s( C t) 0 s >,, co dowodzi () i kończy dowód całego twierdzenia. Warunki (0) i () informują, że klasa aktywów finansowych i klasa pasywów finansowych są zamknięte ze względu na operację wyznaczania wartości przyszłej. Warunek () pokazuje, że efekt synergii kapitału nie jest samoistnym źródłem pojawienia się możliwości arbitrażu cenowego. Treścią warunku (3) jest informacja, że jeśli wartość początkowa aktywów jest równa zwrotowi z wartości początkowej pasywów, to tempo przyrostu wartości przyszłej aktywów nigdy nie przekracza tempa względnego przyrostu wartości przyszłej pasywów. Wszystkie te wnioski potwierdzają poprawność wykorzystania warunku (9) w celu uogólnienia definicji wartości przyszłej. Warunek (4) przedstawia uogólnioną wartość przyszłą, jako rosnącą funkcję wartości początkowej kapitału. Dzięki temu, dla każdej ustalonej wartości momentu czasowego t [ 0,T ] istnieje funkcja odwrotna do funkcji s(, t) : R R. Formalne spostrzeżenie to będzie nam ułatwiać dowodzenie dalszych twierdzeń. Analogicznie do podanego w poprzedniej części pojęcia wartości bieżącej, uogólniona wartość bieżąca strumienia finansowego ( t, C) jest taką wartością początkową PV ( t, C ), której uogólniona wartość przyszła przypisana momentowi przepływu strumienia ( t, C) jest równa wartości nominalnej C tego przepływu. Ta definicja w formalny sposób może być zapisana przy pomocy tożsamości Lemat : ( PV ( t C), t) C s, =. (5) Dowolna uogólniona wartość bieżąca PV [ 0, T ] R R Dowód: : spełnia warunek: [ 0, T ]: C > C PV ( t, C ) PV ( t ) C, > C C R t, Wprost z (4) i (5). c.b.d.o. Twierdzenie 4: Tożsamość (5) jest równoważna tożsamości ( t s( C, t) ) C. (6) PV, =. (7)

7 SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA NR 6 6 Dowód: W tożsamości (5) podstawiamy C = s ( C,t) i mamy wtedy co razem z (4) daje (7). C.b.d.o. s (PV (t, s (C,t)),t) = s (C,t), Twierdzenie 5: Warunki (), (3), (9) i (5) są warunkami dostatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t [ 0,T ] spełnione były warunki: Dowód: ( t, C C ) PV ( t, C ) PV ( t C ) PV + +, (8), ( t t C > 0) PV ( t, C ) PV ( t C ) >, (9), ( 0, C ) C PV =. (0) Korzystając z (5) i z (9) dla dowolnej trójki ( C, C, t ) R [ 0, T ] mujemy s = ( PV ( t, C + C ), t ) s PV ( t, C ), t + s otrzy- ( ) ( PV ( t, C ), t ) s( PV ( t, C ) + PV ( t, C ), t ) = C + C = Powyższa nierówność wraz z (4) dowodzi (8). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (8). Korzystając z (7) i (8) otrzymujemy wtedy PV = PV ( t, s( C + C, t )) = C + C = ( t, s( C, t )) + PV ( t, s( C, t )) PV ( t, s( C + C, t )) Powyższa nierówność wraz z (6) dowodzi (9). Została zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami (9) i (8). Z warunku () i (5) mamy ( PV ( t C ), t ) s PV ( t, C ), ( t ) = C s( PV ( t, C ) ) s =,,, t co razem z (6) dowodzi (9). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (9). Korzystając z (7) i (9) otrzymujemy wtedy ( t, s( C, t )) PV ( t, s( C, t )) = C PV ( t, s( C t )) PV =.,

8 6 K. PIASECKI Efekt synergii kapitału w arytmetyce finansowej Powyższa nierówność wraz z (6) dowodzi (). Została zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami () i (9). Z (3) i (5) mamy ( ) C (, C) s PV ( 0, C), PV 0 = 0 =, co dowodzi równoważności warunków (3) i (0). Konieczność i dostateczność warunków (), (3) i (9) została wykazana. Dzięki Twierdzeniom 4 i 5 wiemy, że na to, aby w pełni opisać procesy aprecjacji kapitału i dyskontowania wartości kapitału dopuszczające efekt synergii kapitału, wystarczy określić jedynie dowolną uogólnioną wartość przyszłą spełniającą warunki (), (3) i (9) albo dowolną uogólnioną wartość bieżącą spełniające warunki (8), (9) i (0). W pierwszym przypadku uogólnioną wartość bieżącą jest wyznaczana przy pomocy zależności (5). W drugim przypadku wartość przyszła jest wyznaczana przy pomocy zależności (7). Przedstawione tutaj wyniki wskazują, że w sytuacji gdy spodziewamy się ujawnienia efektu synergii kapitału dla jednoznacznego zdefiniowania modelu aprecjacji kapitału wystarczy jednoznacznie określić merytoryczne uzasadnione uogólnioną wartość przyszłą albo uogólnioną wartość bieżącą. 4. ZAKOŃCZENIE 4. CONCLUSIONS Oceniając znaczenie przedstawionych powyżej wyników należy tutaj podkreślić fakt, że opisane w Twierdzeniu 5 wzajemne relacje pomiędzy uogólnioną wartością przyszłą i uogólnioną wartością bieżącą zostały udowodnione bez pomocy twierdzeń o współczynnikach aprecjacji i dyskontowania, tak jak to miało miejsce w [Piasecki 005] w przypadku dowodzenia Twierdzenia. Z drugiej strony zebrane tutaj wyniki są na tyle zachęcające, że wydaje się celowym kontynuowanie podjętych tutaj badań nad efektem synergii kapitału.. Na pierwszy ogień powinny iść uogólnione twierdzenia o czynnikach aprecjacji i dyskontowania. Tematem wartym podjęcia jest też problem specyfikacji merytorycznie uzasadnionych jednoznacznych modeli uogólnionej wartości przyszłej. LITERATURA BIBLIOGRAPHY CHRZAN P., 00, Teoria procentu. Matematyka finansowa. Podstawy teorii procentu, Oikońomos, Katowice. DOBIJA M., 00, Źródła wartości jednostki pieniądza [w:] Tarczyński W. (red.) Rynek kapitałowy skuteczne inwestowanie, Wydawnictwo Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin.

9 SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA NR 6 63 DOBIJA M., SMAGA E., 995, Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Kraków. LUENBERGER D. G., 003, Teoria inwestycji finansowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. PIASECKI K., 005, Od arytmetyki handlowej do inżynierii finansowej, Wydawnictwo Naukowe AE w Poznaniu, Poznań. SMAGA E., 999, Arytmetyka finansowa, PWN, Warszawa Kraków. SOBCZYK M., 997, Matematyka finansowa, Placet, Warszawa.

10