Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie

Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie Wstęp Praca próbuje opisać czym jest falka oraz podać zastosowania falek w praktyce. Na wstępie w Postaci matematycznej falki zaprezentujemy czym jest problem analizy lokalnej sygnału, pojęcie transformacji oraz dwa podejścia zmierzenia się problemem analizy lokalnej: krótkoczasową transformację Fouriera (STFT) oraz transformację falkową. Omawiając STFT przypomnimy wzór na transformatę Fouriera z której jest wyprowadzana oraz zdefiniujemy samą STFT. Następnie opiszemy falki, ciągłą transformację falkową (CWT) i jej zastosowania oraz dyskretną transformację falkową (DWT), mającą o wiele praktyczniejsze zastosowanie od transformacji ciągłej. Z uwagi na dużą złożoność matematyczną DWT ograniczymy się w jej przypadku głównie do przykładów zastosowań. Postać matematyczna falki Analiza lokalna Uwagi ogólne Referat rozpoczniemy od analizy lokalnej sygnału, czyli problemu polegającego na określeniu wartości sygnału w pewnym określonym punkcie czasu. Będziemy reprezentowali sygnał jako funkcję f(t), gdzie t oznacza czas, ponadto zakładamy, zę sygnał jest ciągły w całej swojej dziedzinie. Transformacje Co to jest transformacja Przez transformacje F sygnału f(t) rozumiemy przekształcenie : gdzie g(u) jest to funkcją analityczna (może być funkcją zespoloną, kreska nad g to sprzężenie zespolone). g może także zależeć od pewnych parametrów (np. częstotliwości). ~ 1 ~

Transformacje, ogólnie rzecz biorąc, służą temu by przekształcić sygnał f(t) do reprezentacji, która zawiera w sobie wymagane przez nas informacje o sygnale w zwięzły sposób. Zauważmy do tego, że każdy transformacji którą będziemy rozpatrywać jest odwracalna - znając funkcję transformującą jesteśmy w stanie odtworzyć oryginalny sygnał. Transformacje są nazywane lokalnymi jeżeli oprócz pomiaru częstotliwości, czy wielkości szczegółów (detail sizes) wskazują również, gdzie one się znajdują w sygnale f(t) (można porównać analizę lokalną do zapisania piosenki w postaci nut). Transformacja Fouriera Transformata Fouriera dostarcza informacji o tym jaki wpływ na sygnał ma dolożenie do niego określonych częstotliwości. Transformacja Fouriera służy wprawdzie do globalnego przedstawienia sygnału f(u), jednak przypominamy ją, gdyż będziemy z niej wyprowadzać wzór na krótko-czasową transformatę Fouriera. Reprezentacja sygnału za pomocą transformaty Fouriera, dla częstotliwości sygnału analitycznego równej : W przypadku transformaty Fouriera.Taka ogólna postać jest niedokładna jeżeli chcemy znać dokładny przebieg sygnału w pewnym oknie czasowym ponieważ transformacja Fouriera reprezentuje sygnał na całym przedziale czasowym, co prowadzi do tego, że np. gwałtowne skoki napięcia zostają wygładzone. Ogólnie rzecz biorąc transformata Fouriera nadaje się dobrze do znajdowania globalnych cech sygnału oraz dobrze radzi sobie z sygnałami stacjonarnymi. Krótko-czasowa transformata Fouriera (Short Time Fourier Transformation) STFT jest narzędziem do analizy lokalnej, została opracowana przed pojawieniem się falek. STFT, zwana również WFT(Windowed Fourier Transformation), będziemy używać tych oznaczeń zamiennie, jest niczym innym jak transformacją Fouriera zawężoną do pewnego okna czasowego. SFTP szuka wystąpienia pewnej kołowej częstotliwości w pewnym określonym czasie t. SFTP jest dana wzorem: ~ 2 ~

W przypadku WFT funkcja analityczna przyjmuje postać:, przez w oznaczamy okno czasowe, t pozwala na przesuwanie okna czasowego do wymaganego miejsca, w którym chcemy przeprowadzić analizę lokalną. Widzimy więc, że sygnał w tym przypadku zależy nie tylko od częstotliwości, ale również od czasu, dzięki czemu jesteśmy w stanie za pomocą STFT przeprowadzić analizę lokalną. Wadą metody STFT jest fakt, że szerokość okna czasowego jest stała i nieadaptywna, by zwiększyć dokładność opisu sygnału zwiększać musimy częstotliwość funkcji analitycznej. Oraz nawet jeżeli jesteśmy zainteresowani tylko małym wycinkiem z obszaru okna przeanalizować musimy całe okno. Transformata falkowa (wreszcie) Fig 1. Typowy kształt okien czasowych dla WFT Transformacja falkowa zachowuje się podobnie do transformacji WFT, z tą różnicą, że posiada ona zdolność przybliżania (zooming property) (analogią może być przybliżanie z czegoś za pomocą mikroskopu). W przeciwieństwie do transformaty Fouriera nie przestawia ona sygnału w zależności od częstotliwości, ale pozwala sprawdzić czy w sygnale występują szczegóły(details) określonej wielkości i jak wpływają na sygnał. Transformacje falkowe dane są następującymi wzorem(dla ciągłej transformacji): a jest czynnikiem skalującym(scale factor) określającym stopień zbliżenia, czyli długość rozpatrywanego wycinka sygnału. Niska wartość a (czyli wysoka szczegółowość) odpowiada wysokiej częstotliwości, a jest więc odwrotnie proporcjonalne do. Jest to opisane za pomocą współczynnika b takiego że. Funkcja analityczna g oscyluje wzdłuż osi u (zatem maleje dla. Funkcję spełniającą powyższe wiadomości nazywamy falką. Natomiast funkcję g z której tworzona jest cała rodzina funkcji macierzystą. W szczególności falkami są funkcje należące do rodziny: ) oraz gwałtownie nazywamy falką, ~ 3 ~

falki z tej rodziny tworzone są odpowiednio przez przesunięcie falki macierzystej g o t oraz przeskalowanie jej zależnie od współczynnika a. Zauważmy, że wszystkie falki z tej samej rodziny mają ten sam kształt, z dokładnością do translacji i skalowania. Typowy kształt okien czasowych utworzonych z falek, g(x) jest falką macierzystą, widoczne tu funkcje są nazywane mexican hat functions Porównanie transformaty Fouriera z transformacją falkową Przykładowy agresywny sygnał Rekonstrukcja sygnału atakującego. Linia przerywana - uzyskana z transformaty Fouriera Linia z plusami - uzyskana przy pomocy falki db-4 Przykład falki - falka Haara Falka Haara, znana również jako falka D2, jest najprostszą z falek, została zaproponowana w roku 1909 przez Alfreda Haara, jest uważana za pierwszą sformułowaną funkcję falkową. Falki Haara są to funkcje należące do rodziny utworzonej z falki macierzystej danej wzorem: ~ 4 ~

Falka ma zwarty suport na [0,1], jednak jest ona nieciągła, więc i nieróżniczkowalna na całym, stosowana do kompresji obrazów i dźwięku. Falka macierzysta Haara: Ciągła transformacja falkowa (CWT - Continious Wavelet Transformation) Na początku zdefiniujemy raz jeszcze ograniczenia nakładane na funkcję falkową: Warunek dopuszczalności (amissablility condition), dla funkcji skończonej energii (finite energy function) : formuła ta w szczególności spełniona jest dla wcześniej wspomnianych falek, takich że: warunek ten, jest wystarczający dla falek wykorzystywanych w praktyce (zapewnia, że będzie ona oscylować wzdłuż osi czasu, a z faktu że funkcja jest skończonej energii wynika, że przy wartość falki dążyć będzie do zera). Każda funkcja skończonej energii spełniająca ten warunek jest falką. ~ 5 ~

CWT oznaczamy przez, jest ona równa: gdzie jest funkcją skończonej energii. Uwagi odnośnie złożoności i zastosowań CWT Zauważmy, że próbkując sygnał f f razy możemy reprezentować go w postaci: zatem można przechowywać dane odnośnie sygnału w wektorze o długości N. Wykonując na tym wektorze algorytm CWT, dla M współczynników skali a otrzymujemy macierz wartości CWT o wielkości. Oznacza to, że sygnał początkowo reprezentowany przez N wartości, jest po wykonaniu na nim CWT reprezentowany przez MN wartości! Z tego powodu ciągła transformacja falkowa jest dobra w analizie sygnału, jednak nie sprawdza się dobrze w innych praktycznych zastosowaniach, ze względu na pamięć wymaganą do przechowywania sygnału po transformacji oraz koszty związane z liczeniem całek. Poza tym reprezentacja sygnału za pomocą CWD jest redundantna. Przykłady falek - falki z M zanikającymi momentami Jak było wspomniane znakomita większość falek w zastosowaniach praktycznych spełnia warunek dopuszczalności, jeżeli całka z nich jest równa zero oraz funkcja falkowa dąży do zera dążąc do plus/minus nieskończoności. Uogólniając fakt, że całka z falki jest równa zero konstruujemy falki z M zanikającymi momentami (M vanishing moments). Zasada konstrukcji falek z M zanikającymi momentami Oznaczmy przez kawałkami gładką funkcję, m-różniczkowalną i spełniającą pewne dodatkowe techniczne ograniczenia. Zdefiniujmy falkę jako: można dla niej wykazać, że spełnia ona warunek dopuszczalności dla każdego m. W szczególności dla m=1 falka będzie falką Haara, a dla m=2 tz. meksykańskim kapeluszem (mexican hat function). ~ 6 ~

Falka Haara oraz meksykański kapelusz Implementacja zanikających momentów w praktyce oraz reprezentacja sygnału Przypomnijmy wzór na CWT, dla pewnego ustalonego współczynnika skali a i danego czasu t: Zauważmy, że wpływ na wynik mają jedynie wartości u. Załóżmy, że wartości u stanowią pewien interwał. Załóżmy, że ma M zanikających momentów i sygnał f(u) na może zostać zamodelowany przez wielomian stopnia k, k<m. Możemy wykazać wtedy, że. Można rozumieć to w następujący sposób: Załóżmy, że każda gładka część sygnału może być reprezentowana przez pewien wielomian, a zmiany sygnału są modelowane poprzez przełączenie pomiędzy wielomianami. Czyli oznacza to, że sygnał można zamodelować poprzez kawałkami wielomianowe funkcje. Zatem, jeżeli falka posiada wystarczająco wiele zanikających momentów to zmiany sygnału będą mogły zostać dobrze zlokalizowane przez jej ciągłą transformację(cwt), ponieważ CWT będzie zanikać tam gdzie funkcja f jest gładka (dla odpowiednio dużego M) i CWT będzie skoncentrowane w otoczeniu wartości czasu t, gdzie zachodzą zmiany sygnału. ~ 7 ~

Inny przykład (bez wzorów) Przybliżenie sygnału danego wzorem : za pomocą ciągłej transformacji z użyciem falki db2 oraz falki db4, częstotliwość próbkowania w każdym z przypadków wynosił odpowiednio,, sekund: Porównanie CWT z użyciem falek db2 i db4 ~ 8 ~

Przykład zastosowania CWT w analizie sygnałów otrzymywanych z sensorów robotów Uwagi wstępne: rozważamy robota, który za pomocą sensora zbiera informacje na temat odległości od przeszkód (wykonując sensorem poprzeczne, oscylacyjne ruchy dookoła pewnej osi). Ponadto analizowane sygnały mogą być uzyskiwane z jednej z 3 technologii (nie będziemy się wdawać w ich szczegóły): MSG, MAG, WIG. Przykład analizy za pomocą STFT: Wykres fazowy uzyskany z STFT, sygnał ma taką właściwość, że początkowo ma częstotliwość równą 3Hz, a w ok. 3 sekundzie zwiększa się ona do 6Hz co jest uchwycone przez STFT. ~ 9 ~

Wykresy skalowe uzyskane z sygnałów po przeprowadzeniu CWT,: Mimo, że sygnały są wizualnie podobne, analiza za pomocą CWT jednoznacznie wskazuje, że zostały ne zebrane w różnych technologiach. Zauważmy ponadto, że pojawiają się na wykresie białe paski, dla współczynnika skali równego długości fali. ~ 10 ~

Tu natomiast widzimy, że każdy z sygnałów zebrany został w technologii WIG, o czym świadczy rozmieszczenie białych plam dla wartości a = 6[s]. Zauważmy przy tym, że w ostatnim przypadku sensor, w przeciwieństwie do dwóch pierwszych był unieruchomiony (dlatego też dla a=1 nie ma białego paska w ostatnim odczycie) Przykład zastosowania CWT w analizie i klasyfikacji sygnałów akustycznych Przykład dotyczy klasyfikacji sygnałów dźwiękowych jako tych przyjemnych i nieprzyjemnych dla ludzkiego ucha. Procedura: 1. Lokalna transformacja sygnału jest próbkowana za pomocą siatki (grid) dyskretnych wartości. 2. Utworzenie wektora z wartości próbkowanych, będącego wejściem do dalszej procedury klasyfikującej 3. Sygnał jest klasyfikowany zależnie od odległości jego wyniku od wartości dobrych ~ 11 ~

~ 12 ~

Dyskretna transformacja falkowa(dwt - Descrete Wavelet Transformation) DWT polega na dyskretnym próbkowaniu falki. Przy transformacji ciągłej staraliśmy się przedstawić sygnał jak najdokładniej, natomiast w przypadku transformacji dyskretnej staramy się zminimalizować ilość danych potrzebnych do reprezentacji sygnału. Zatem próbujemy znaleźć falki siatce t-a, dając w wyniku około N wartości zostać z nich zrekonstruowany., takie że CWT z f jest obliczone wyłącznie na dyskretnej takich, że początkowy wektor f może Innymi słowy transformacja ta dekomponuje sygnał na wzajemnie ortogonalne zbiory falek lub implementuje algorytm CWT dla dyskretnych szeregów czasowych. W dyskretnej transformacji falkowej wybieramy za współczynnik skali współczynnik przesunięcia, gdzie., a za DWT nazywamy funkcję, która generuje rzadki(sparse) zbiór wartości na płaszczyżnie czasskala. Do reprezentowania wartości falki w punktach, danych wzorem: używamy współczynników Ponadto wiemy, że informacja przechowywana we współczynnikach jest wystarczająca do dokładnej odbudowy sygnału (PR - perfect reconstruction), co więcej wystarczy do tego N współczynników N-próbkowanego sygnału. Próbkowanie sygnałów By transformacja falkowa mogła zostać obliczona przez komputer dane muszą zostać zdyskretyzowane. W przypadku transformacji Fouriera i STFT częstotliwość próbkowania jest jednorodna, natomiast w przypadku falek może on zmieniać się, gdy zmienia się skala. Większa skala, będzie miała mniejszą częstotliwość próbkowania(sampling rate). Nowa częstotliwość próbkowania może zostać wyznaczona ze wzoru, gdzie oznaczają współczynniki skali. ~ 13 ~

Dekompozycja falkowa Dyskretna transformata falkowa (DWT) pozwala przedstawić sygnał f(t) L2 w postaci liniowej kombinacji współczynników aj(k), dj(k). Rozwinięcia w szereg funkcji f(t) dokonuje się w oparciu o dwie spokrewnione ze sobą funkcje bazowe tzw. kwadratowe filtry lustrzane: funkcję falkową Ψ(t) oraz funkcję skalującą φ(t) Współczynniki dj,k zawierają informację o wysokich częstotliwościach oraz tworzą zbiór detali. Natomiast współczynniki ak zawierają informację dolnoprzepustową wraz ze składową stałą, czyli stanowią aproksymację sygnału. Dekompozycja wykorzystuje własność, że dla ustalonej skali j składowa detali reprezentuje rzut ortogonalny funkcji f na podprzestrzeń Wj L2. Wówczas zachodzi związek: Gdzie Vj+1 jest ortogonalnym dopełnieniem W j+1 w przestrzeni Vj Dekompozycja sygnału - ludzkim językiem DWT jest obliczana za pomocą zespołów filtrów (filter banks). Filtry różnych przedziałów (podpasm) częstotliwości analizują sygnał za pomocą różnych skal. Zatem rozdzielczość jest zmieniana przez filtrowanie. Jeżeli sygnał zostanie przepuszczony przez dwa filtry, jeden o wysokiej częstotliwości i drugi o niskiej częstotliwości, wtedy zostaje on efektywnie zdekomponowany na dwie części szczegółową (nie zawierającą informacji pochodzącej z niskiej częstotliwości) oraz przybliżającą (nie posiadającą informacji z wysokiej częstotliwości). Podsygnał uzyskany z niskoczęstotliwościowego filtra (low filter), będzie miał najwyższą częstotliwość równą połowie oryginalnej. Oznacza to (z próbkowania Nyquista), że tylko połowa z oryginalnych próbkowań jest wymagana do idealnego odtworzenia sygnału, co pozwala, innymi słowy, na usunięcie co drugiego próbkowania. Przejście przez taki zespół filtrów jest równoważne podwojeniu skali. Dekompozycja sygnału może być wykonywana wielokrotnie, za każdym razem zmniejsza się rozdzielczość czasowa, ale zwiększa częstotliwościowa. ~ 14 ~

Dekompozycja sygnału wg schematu Mallata DWT otrzymujemy poprzez zebranie współczynników ostatecznego podsygnału aproksymującego oraz wszystkich szczegółowych podsygnałów. Wartość oryginalną można uzyskać poprzez dodanie do siebie wszystkich sygnałów. Wygładzanie sygnałów Wysokie częstotliwości wykrywają cechy lokalne, niskie częstotliwości - cechy globalne. Szum jest cechą lokalna. Aby się go pozbyć, wystarczy usunąć współczynniki krótkich falek. ~ 15 ~

Falkowa reprezentacja obrazów DWT jest stosowany do analizy sygnałów dwuwymiarowych (obrazów). Dzięki algorytmowi Mallata można wykorzystać falki do wielorozdzielczej reprezentacji obrazów. Wielorozdzielczość jest to podział sygnału w ciąg sygnałów o stopniowo zmniejszającej się rozdzielczości. Algorytm Mallata dzieli obraz na cztery obrazy, a każdy z nich ma rozmiar równy 1/4 rozmiaru obrazu dzielonego, czyli jego rozdzielczość jest liniowo dwa razy mniejsza niż dekomponowany obraz. Każda składowa może być następnie dzielona w ten sam sposób przez co powstaje reprezentacja na wielu poziomach rozdzielczości. Realizacja dekompozycji polega na sekwencyjnym filtrowaniu górno- i dolno- przepustowym, osobno wzdłuż kolumn a osobno wzdłuż wierszy obrazu, przy jednoczesnym zmniejszaniu rozdzielczości. W zależności od rodzaju i kolejności filtrów powstają obrazy składowe: LL- filtr dolnoprzepustowy dla wierszy i kolumn, LH- dla wierszy filtr dolnoprzepustowy a górnoprzepustowy dla kolumn, HL odwrotnie niż LH, HH dwa razy filtr górnoprzepustowy. Komponent LL jest obrazem powstającym na drodze obliczania wartości średniej z rozłącznych grup pikseli o rozmiarze 2x2 (wykorzystuje transformację Haara). Stanowi zatem uproszczoną reprezentację transformowanego obrazu. Kolejne komponenty eksponują krawędzie pionowe (LH), poziome (HL) i diagonalne (HH) wraz z ich mocą. Mamy do czynienia z trzema składowymi zawierającymi komplementarne w stosunku do obrazu średniego detale. Na podstawie tych składowych można obliczyć parametry charakteryzuje energię krawędzi w trzech kierunkach. Można także analizować rozkład energii w każdym komponencie. Odstępstwa od rozkładu modelowego są podstawą do wnioskowania o potencjale informacyjnym lub jego zaburzeniach. Wizualna oceny komponentów falkowych pozwala niejednokrotnie wykrywać zaburzenia, niewidoczne przy obserwacji obrazu w klasycznej postaci. Destrukcyjne efekty kompresji stratnej algorytmem JPEG sa łatwiej zauważalne w komponencie HH niż przy obserwacji obrazu w klasycznej postaci. Zastosowanie kompresji w praktyce - biblioteka odcisków palców FBI Dawno temu (przed komputeryzacją) FBI miało 200 mln zbiorów odcisków palców, do czego dzienni dochodziło do 300 000 odcisków dziennie, przez co przeszukiwanie ich zajmowało o wiele za dużo czasu. Obliczono, że by przechowywać je w pamięci komputera potrzebne by było 2000 terabajtów (sic!) pamięci, a porównanie każdego z odcisków zajmowałoby 600 KB pamięci operacyjnej. Dzięki użyciu falek udało się zmniejszyć zajętość każdego z obrazów do 7% i zachować wymaganą dokładność (kompresja JPG dała radę tylko do 10%). Lokalizacja anomalii/zaburzeń w pracy silnika Falki są wykorzystywane do analizy danych dotyczących silników, aby wykryć ewentualne uszkodzenia. Na wykresie transformaty Fouriera można zauważyć zaburzenia w wypadku gdy silnik jest uszkodzony. Zaburzenia nie są równoznaczne z uszkodzeniem silnika, jedynie wskazują miejsce podejrzane o uszkodzenie, co pozwala zawężyć analizę danych do pewnego przedziału. Transformata falkowa zawiera nie tylko informacje o częstotliwości sygnału, ale tez o rozkładzie częstotliwości w czasie. ~ 16 ~

Wykresy przedstawiają współczynniki transformaty falkowej dla silnika uszkodzonego i nieuszkodzonego. Na wykresie widać, ze współczynniki sie różnią (jasny kolor oznacza większą wartość bezwzględną danego współczynnika). Niska skala na wykresie określa, ze mamy do czynienia ze współczynnikami odpowiadającymi wysokim częstotliwościom, a wiec cechom lokalnym sygnału (np. z szumem). Wysoka skala mówi, ze mamy do czynienia z niskimi częstotliwościami, a wiec z cechami globalnymi sygnału (np. z okresowością). Kompresja obrazu Zerując współczynniki w transformacie falkowej, pozbywamy sie części informacji. Jednak usuniecie nawet bardzo dużej części informacji pozostaje niezauważalna dla ludzkiego oka. ~ 17 ~

Monitorowanie tętna i oddychania: ~ 18 ~

Astronomia: Za pomocą falek odkryto okresowość oscylacji pola mgnetycznego słońca. Biliografia: 1. Hans-Georg Stark, Wavelets and Signal Processing, An Aplication-Based Introduction, Schmid & Vöckler GbR, 2005, ISBN 3-540-23433-0 2. Ingrid Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM, 1992, ISBN 0-89871-274-2 3. Karen Lees, Image Compression Using Wavelets, 2002 ~ 19 ~